DE L^QCIUBRE D'UN CORPS SOUDE

256. Il n'y a pas de corps solide^ dans la nature, qui De soit plus ou inoîns compressible, et qui ne change de forme lorsqu'il est soumis à des forces qui se font équilibre. Mais quand le corps solide que nous al* Ions considérer aura pris la forme convenable, on pourra regarder les points d'application des forces qui le sollicitent comme un système de forme invariable; et c'est à cet état que répondront les coordonnées de ces différens points, qu'on supposera con* nues, et qui entreront dans les équations d'équilibre.

Soient M , M', M", etc. , ce système de points matériels. Pour cliaque point on aura sept quantités h considérer, savoir, ses trois coordonnées, la force qui le sollicite, et les trois angles qui en détermi-

lient la direction. Je désignerai par P la force qui est appliquée au point M , et doat la, direction, sera la droite MD (fig. 60); par jc, jr, 2, les trois coordonnées OG y GH , HM f du point M , rapportées aux axes rectangulaires Oxy Ojr, Oz; et par cl, S, y , les angles aigus ou obtus que fait la droite MD , avec des parallèles à ces axes, menées par le point M. Relativement aux autres points M^, M'', etc., je représenterai les quantités analogues par les mêmes lettres avec des accens.

Cela posé , avant de chercher les conditions d'équilibre des forces données P, P', P", etc. , nous allons transformer ce sj^stème de forces en trois autres, dont Tun sera composé de forces parallèles à iVxe Oz, un autre de forces parallèles à Taxe Ojr et dirigées dans le plan des a: et jr^ elle troisième de forces dirigées suivant Taxe Ox.

^57. Décomposons chacune des forces P, P', F'y etc. , sans changer son point d'application , en trois forcés parallèles aux axes des x^j-, z; P ces « , P' cos «', P'' cos et", etc. , seront les forcer parallèles à Taxe Qx; P cos ^ , F cos C', P'' cos C", etc., les forces parallèles à Taxe Oj; P cos>, F cos y\ P"cos y",, etc., les forces parallèles à l'axe Oz; et l'on pourra d'abord remplacer les forcqs données par ces trois groupes de forces parallèles.

Sans altérer le système de forces que l'on considère, il est permis d'appliquer en un même point deux forces égales et contraires. J'applique donc an point M deux forces parallèles à l'axe Oz, égales et opposées, et que je représente par gr et — g. Je com-

pose la forée g qui agit suivant MC , aTec la force Pcofitt^ dirigée suivant MA parallèle à O^; soient ME la direction de leur résultante , et K le point oà son prolongement vient rencentrer le plan d» x et jr. Je transporte son point d'application en ce point K ,, puis je la décompose en deux forces parallèles aux axes des a: et z ; ce qui reproduit les forces P cos a ei g ; mais la force P cos et est maintenant dirigée suivant la projection sur le plan des a: et j^, de sa première direction; et 1$l force g est appliquée , perpendiculairement à ce plan y au point K de cette ppo«» jeclioii, dont lea coordonnées sont faciles à détermina.

£n effet , H étant la projection du point M sur le plan des ^ et^^ ses coordonnées seront ac et jr, et Ton aura ^ et ^ — KH pour celles du point K, puisque ces deux points appstrtiennent à une môme parallèle a l'axe dess x. Or, en considérant le rectangle KNMH^ dont la di^goqale KM est la direction de la résultante des forces g^ et P cos a , qui agissent stdyant les cèté» KN et KH ^ on a la proportion

KH : HM :: P cos a : g; d'où Ton tire

k cause de HMsss. Les coordonnées du point d'application K de la force g, dand le plan des ^ et ^ ^

sont donc

zV cos fit ^ - et x ^—.

5oo TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

En opérant de la même manière sur les (prces: P cos € et — g^ la prefnière sera transportée dans le plan des xetj' suivant la projection de sa première direction 9 et les coordonnées du nouveau point d'application de la force — g, dans ce même plan,

seront

, zPcosC

r -+- et x.

On transportera par le même moyen toutes les forces Fcos a', P" cos a", etc., Fcos €', P" cos €'\ etc. , dans le plan des x et jr; chacune de ces forces agira suivant la projection sur ce plan , de sa direction primitive, qui pouvait être au-dessus ou au-dessous de ce même plan ; et Ton aura de plus autant de couples de forces g' et — g', g" et — g", etc. , qu'il y a de points M', M", etc. Les coordonnées des points d'application de ces dernières forces, dans le plan des x et^, se déduiront de celles qui répondent aux forces g et —g, en accentuant les lettres JC, ^, z, g, P,

^58. Maintenant, par une semblable opération, faite sur les forces Pcosa, P'cosa', F' cos et", etc., parallèles à Taxe des x^ et comprises dans le plan des X et j^f on les transformera en deux groupes de forces, dont l'un se composera de forces parallèles à l'axe 0^, et l'autre de forces dirigées suivant l'axe Ox.

Ainsi , au point H (fig. 6i ) , où agit la force Pcos a suivant la direction HF, j'applique des forces parallèles à Ojr et i*eprésentées par h et — h; je compose la force A, dirigée suivant HB, avec la force Pcosa; je transporte le point d'application de leur résultante

STATIQUE, SECONDE PARTIE. Soi

4IU point Q 9 où le proloogement de sa directîoa HK vient reneontrer Taxe Ox; puis je la décompose sui- Tant les directions rectangulaires Qx et Q^, ce qui reproduit en ce point Q les forces P cos a et h, D ailleurs, on aura

GQ : GH :: P cos a : h; et, à cause de OG =rx et GH =s:jr, on en conclura

pour l'abscisse du point Q.

La force P cos a , dont la direction était HF , sera donc remplacée par une force P cos a, qui agira suivant Taxe Oûc, et deux forces het-^h, perpendiculaires à cet axe , et appliquées à des points Q et G dont les positions sont connues. U en sera de même à l'égard des autres forces P' cos a', P" cos^e'', etc. , parallèles à l'axe des oc, et comprises dans le plan des a: et jr, qui seront aussi remplacées par des forces P'cosa', P"cosa", etc., dirigées suivant la droite Ox , et par des couples de forces h' et — h', h" et — A", etc., parallèles à l'axe Oj.

aSg. Nous voyons donc que par ces deux opérations successives, les forces données seront transformées, comme on l'avait dit, en trois groupes de forces, dirigées suivant l'axe des a:, perpendiculaires à cet axe et comprises dans le plan des a: et^, et perpendiculaires à ce plan.

Dans cette transformation, la force quelconque P se trouvera remplacée par six autres forces, qui seront :

i*. Les trois forces Vcosy, g,*-- g, parallèles à

6ô3 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

Yûxe des z, et dont lés points d'application sur fe {dan des a: et j ont pour looordonnéës rapportée» aux axes Ox et Ojr, savoir : celui de la première , dt

et y; celui de la deuxième, x ct^; celui

de la troisième , x et jr ^ •

2"". Lès deux forces P cos £ — ^ et h^ parallèles à

Taxe des^, comprises dans le plan des x etj", et qu'on

peut supposer appliquées à Taxe deà or; la première

à la distance x du point 0 , et la seconde à la distance

yP C08 « X j •

3*. La force P cosa, dirigée suivaM Taxe dés ^, et dont on pourra transporter le point d'applicatiott eu O.

!i6o. Il est facile actuellement de former les équations d'équilibre des forces données P, P', P'', etc. , ou des trois groupes de forces qu*on vient de leur substituer.

On doit d'abord remarquer que cet équilibre ne peut exister, à fnoins qu'il n'ait lieu séparénlent dans chacun de ces trois groupes de forces. En effet , si les forces parallèles à Taxe des z ne se détruisaient pas entre elles, et que cependant l'équilibre de toutes les forces données fût possible, on pourrait, sans troubler cet équilibre, rendre fixe une droite traéée dans le plan des x et jr; mais alors les forces comprises dans ce plan seraient détruites , soit parce qu'elles rencontreraient cet axe fixe, soit à cause * qu'elles lui seraient parallèles. On pourrait donc les supprimer; et , cela fait , l'équilibre serait rompu , contie l'hypothèse, puisque rien n'empêcherait plus

STATIQUE, SECONDE PARTIE. ôo^

l«s forces perpendiculaires au plaia des ^t'elj'de Étire

tourner le corps solide autour de Taxe fixe ; par con-

sécfaeniy l'équilibre est impossible tant que ces der-

xxieres forces ne se détruisent pas séparément. Cela

étant, on yerra de même que FéquiliftHre nepetit exister

entre les forces 'comprises dans le plan des ûo et jr ^

saiBS que les forces piarallèles à Taxe des ^ ne «e dé-

tnxisçnt entre elles; car s'il* avait lieu, et que cette

<x>iidition me fàt pas remplie , on fixerait un point de

ra:XtB des x, qui détruirait tontes les forces dirigées

suivant cette droite : rien n'empécbërait plus les

forces perpeiidiculaires à cette droite, de £ùre tourner

le système autour de ce point ; en sorte que l'équilibre

se trouverait détruit par l'addition d'un point fixe, ce

qui serait absurde.

Cela posé, si le corps solide que nous considé-^ rofts est éatièrement libre, il fiiudra d'abord (a* $7), pour l'équilibre des forces parallèles P cos y, Rcos y', P*' cos y, etc-, g et — g, g' et — g', g^' et *^ £^> etc. , que leur somme soit nulle ; ce qui donne

Pcosj' •+• F cos y 4- F'cosy -f*'etc. ssi o.

Il faudra, en outre, que les sommes de leurs momens .par rappoi^t au plan des ;r et js et à celui des jr et z, qui sont parallèles à ces forces, soient aussi Bulles. Or, par rapport au premier plan , on a

jP cos > 4. yP' cos y -h /T" cos >" 4- etc. , •

pour la somme des momens des forces P cos y y. P' cos y'f P" cos j'", etc. j celle des momens des forces

5o4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

gf S'f «"» ^*c., est

ffj' + gy + g'y+etc.;

et la somme des momens des forces — g , — ^, •— g", etc. f a pour valeur

-é:(7-*— 7-)-^(/+-^)- etc.,

d'après les coordonnées des points d'application de ces diverses forces. On à donc , en ajoutant ces trois sommes et réduisant ,

P(^cos 7— zcos 5) +F(7cosy — ^a^cos 6')4- etc.=o;

et Ton trouvera de roême^ en formant la sonmiedes momens des mêmes forces, par rapport aa plan des ^ et js , et régalant à zéro ,

P(arcos7— zcos*)-f-P'(jc'cosy — z'cosa')+etc.=Q.

Quant aux forces P cos € — h, P' cos C — h\ P"cos^' — A'', etc., et h, h\ 11% etc., parallèles à l'axe des y y et toutes comprises dans le plan des x et j^, il n'y aura que deux équations d'équilibre (n'57]: il suffira que leur somme soit égale à. zéro, ce qoi donne

PcosCH-Fcose'H-F'cosC''H-etc. = o,

et que la somme de leurs momens, par rapport aa plan des ^ et z, soit aussi égale à zéro. Or ^ par rapport à ce plan , la somme des momens des pre* mières forces est

a:(Pcosf — A)-|-x'(P'cose'— A') + e*c. = o;

STATIQUE, SECONDE PARTIE. 5o5

celle des momens des forces h , h', h*', etc. , est , en même temps,

d'après leurs distances à Taxe des j- ; par conséquent^ en égalant la somme totale à zero^ on aura

P(ar cos f — ^cosa) +P'(a:'cosC' — -^cos a') -}- etc.Œ o.

Enfin, pour l'équilibre des forces dirigées suivant Taxe des ^^ il suffira que leur somme soit nulle 3 d'où il résulte

Pcosa4-Fcosa'H-P''cosa"+etc. = o.

Telles sont les six équations nécessaires et suffisantes pour réquilibre d'un coi^ps solide entièrement libre et sollicité par des forces quelconques , qu'il s'agissait d'obtenir. .