En faisant, pour abréger

Pcosct + Fcosa' + P''cosa"H-etc. = X, P cos CH-Fcose^ + P"cos g"+ etc. = Y, Pcos>4-P'cosy4-P"cosy4-etc. = Z,

P(a:cos f — ^jcosa)+P'(j?'cosff'— ycosa')-f-etc.=L , P( z cos a — jccosj^)+P'( jg'cosa' — a:'cosy')+eic.=M, JfÇj cos 7 — z cos€)+P'(y cos>' — z'cos Ç')+ etc.=N ,

ces équations d'équilibre deviendront

On peut remarquer que ces quantités L, M, N, ainsi

So6 TRAItÉ DE MÉCAMIQCE.

que Z^ Y, X^ se déduisent les unes des autres par la

règle du n* 22.

Ces six équations renferment des conditions d équilibre tommunes ii tous les systèmes d^ points ïnatérielsy entièrement libres ; car, quelle que soit la nature dVn pareil système , ou la liaison mutuelle des points qui le composeùt^ il est évident qu'on ne troublera pas leur équilibre en rendant lenn dtstances invariables, sans changer leurs coordonnées, ni les forces qui les sollicitent. Par conséquent, les équations d^équilibre d^uti système de forme invariable, qui ont lieu entré ces quantités , doivent encore subsister pour tout autre ^y%ième ; ifiais alo^ elles ne sont plus suffisantes ; et il y faut joindre d'autres conditions spéciales pour chaque système en particulier, qui serviront, comme on le verra par la suite, à déterminer les positions relatives de ses différens points dans l'état d'équilibre.

262. Quand les forces données s^Oût toutes parallèles entre elles » les angles qu'elles font avec chacun des axes Ox, 0/, Oz, sont égaux ou supplémentaires,' selon que ces forces agissent dans le même sens ou 6n sens contraire; où peut les supposer égaux, en considérant, en même teftips, coûime positives le^ forces ^i agiâ&ent dans «n sens, et comme négatives celles qui agissexit dans le sens opposé (n* 1 1) ; on aura donc alors

a=ra'=a", etc., ff=^'=g",etc., yz=:y=y'',elc.;

au moyen de quoi les trois premières équations (i) se réduisent à une seule, savoir :

, STATIQUE, SECONDE PARTIE. So^

P + F H- P" + etc. = o,

^t les trois setres deviendront

<T>jr + PV+ï>»x*'4.etcOco8ff=(P^+P>'+Py+etcOco8rt, Cfe + Vz' + Vz''+etc.)cosaL= (Px+ PV+Fx^-h etcOcosy, <}^:r+ Py + ^y+ etc.) cosy = (Pz+ PV +P^z'' + etc.)co8 ff .

Mais les équations d'équilibre des forces parallèles étant seulement au nombre de trois ^ il faut que ces trois dernières équations se réduisent k deux ; et ^ en effets si on les ajoute après les avoir multipliées par cos^^, cosf , cos«^ on trouve une équation identique; en sorte que Tune d'elles est une suite des deux autres.

Quand toutes les forcés dotiâéiss soht comprises dans un même plan, on peut prendre ce plan pour celui des ocetjr; alors les angles y^ y', p^", etc., sont droits, et les coordonnées z, z', ^\ etc., égales à zéro; ce qui fait évanouir là troisième et les deux dernières équations(i). Dans ce Êas particulier, comme dans le cas des forces parallèles , il y a donc seulement trois équations d'équilibfe> qui sont

363. Lorsque les fbrc^ données ne se font poa équilibre, on peut demander la condition qu'elles doivent remplir pour avoir une résultante unique , et quelle est cette résultante*

Pour répondre à cette question, je désigne par R cette force; par a, 6, c, les angles que sa direction fait avec des parallèles aux axes Oa"; 0^, Oxj, menées

5o8 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

par un de ses points , qu'on prendra pour son point d'application y et dont les coordonnées ^ rapportées à ces mêmes axes^ seront représentées par x^y Jx^ ^f Cette force, prise en sens contraire de sa direction, fera équilibre aux forces données. Les équations (i) auront donc Heu en joignant à P, P', P", etc. , une force égale et contraire à R; par conséquent, on aura

XsRcosa, Y = Rcos6, Z=:RcosCy (2)

et, en outre,

L = R(ar, cos6 — ^, cosa), M = R (z, cos a — x^ cos c) , N = R(j^,cosc — z, cosi),

c'estrà-dire, en vertu des trois premières équations,

Xr, — Yor. + L = o, ) Zx, — Xz, 4. M= o, > (5) Yz. — Z^, H- N = o. ) ^

Les coordonnées x,, j^, , z,^ pouvant appartenir à un point quelconque de la droite suivapt laquelle est dirigée la résultante, ces trois dernières équations seront celles de ses projections sur les trois plans des coordonnées. Pour que cette droite existe, il faudra donc qu'elles se réduisent à deux ; or, en les ajoutant après les avoir multipliées par Z , Y, X, les trois variables ^i> ^1 9 z,, disparaissent, et l'on a

ZL + YM + XN = o; (4)

par conséquent, il sera nécessaire et il suffira que

STATIQUE , SECONDE PARTIE. Bog

cette équation (4) soit satisfaite pour que les forces données aient une rësnltante unique : quand elle aara lieu ^ cette force sera déterminée ^ en grandeur et en direction , par les équations (2).

Si les trois sommes X, Y^ Z^ des composantes parallèles aux axes des oc ^ y^ z, sont nulles^ l'équation {J\) sera satisfaite; mais alors la résultante sera une force infiniment petite, située à une distance infinie des points d'application des forces données, ou , plus exactement, ces forces se réduiront à deux, égales, parallèles, agissant en sens contraire, et non réductibles à une seule (n*^ 44)'

Lorsque les trois sommes L, M, N, sont nulles, réquation (4) sera aussi satisfaite; et l'on voit, par Ifis équations (3) , que la résultante passera par l'origine des coordonnées.

264- Quand la condition exprimée par l'équation (4) ne sera pas remplie , on y pourra satisfaire " en joignant aux forces données une force convenable. Je supposerai , pour plus de simplicité, qu'elle passe par l'origine- 0 des coordonnées ; je la représenterai par Q, et par -^ , f* , i' , les angles qu'elle fait avec les axes Ox , O/-, Ojs. Les quantités L, M, N, ne changeront pas par l'addition de cette force , et les sommes X, Y, Z, augmenteront des termes Q cos A , Q cos fJL , Q cos V. L'équation (4) deviendra donc

Q(Lcosv +McosAt-|-NcosX)-f-LZ+MY-|-NZ = o;

en sorte qu'on y satisfera d une infinité de manières différentes , au moyen de la force Q et de» angles A , yx, V , relatifs à sa direction.

5io TMIIIË DE MÉCANIQUE.

La résmltaqte K des forces Q, P, F, F', etc., et S4 positioDy se détermineront au moyen des équations (3) et (3) , dans lesquelles on mettra X+Qcos A, Y-f-Qcosft, Z + QcosiTy au lieu de X, Y, Z. Les forces données P^ F, F'^ etc. , pourront donc être remplacées par cette résultante R et une force égale ^t directement contraire à la force Q; d*où Ton con* dut que quand des forces données ne sont point en équilibre , ni réductibles ^ une force unique , on peut toujours les réduire ,. d'une infinité de manières difiereniçs^ à de^x forces seulement » qui ne seront pas comprises dans un même plan , sans qu<H elles Sie réduiraient à une seule » contre Vhy pothèse. C'est d'ailleurs ce qu'on yoit immédiatement par la transformation du n^ 1257 ; car les forces données P, F, F'^ etc. y pourront être remplacées par la résultante, des forces parallèles à Taxe des z, et par celle des Corci^ comprises dans le plan des a: ^jr; et Ton pourra ensuite transformer^ sans difficulté^ ces deux résultantes en deux autres forces, d'une infinité de mamères différentes. En cherchant la condition pour qu'elles se rencontrent, on trouvera l'équation (4), relative à l'existence d'une résultante unique.

265. Si Ion considère deux corps solides A et A' (fig. 62) f qui se touchent en un point K et s'appuient l'un contre l'autre ^ et si l'on suppose qu'ils soient sollicités par des forces données , il sera facile de déduire de ce qui précède les conditions de leur équilibre-

Poijir cela, je suppose que les six quantités X, Y» Z, L, M, N, du n^ 34» ^ rapportent au corps A^ et

STATIQUE, SECONDE PARTIE. Su

3^ désire par X', Y', Z', V, W, N', ce <p'e«es de^

^vi^nnent rdbtivemeat k A'; j'appelte œ,,jt\,z^,le&

OCiardannées âa point K rapportées aux mêmes axes

<|uq celles qui entrctPt da»s ces disperses qiiaQtités;

p^r le poimt K, je mène une droite BSIV perpen^-*

calaire an plan tangent commun aux deux corps ; je

représente par a > ^> 6% les angles que fait la partie KH

de cette droite , comprise dans A ^ avec des p^allèles

aux axes des a:,jr^z, menées par ce même point K :

toutes ces quantités sont données , et il s'agira de for^

cper les équMipns d'équilibré auxqu^les elles dpiyeul

satisfaire.

Or y le corps A exercera sur A'^ dans la direction KH'ji une press^n inconnue que je représenterai par R; il eu éprouvera y en noême temps > une résiatance égale et coutr^re à cette force uoirmale. Si donc on jcûnt aux fprçes douné^^s qui agissent sur A une force R dirigée suiyaut KQ , on pourra eusuite faire aba-*traction de A'; et, de même^ si Ton joint aux forcea appliquées à. A^ ux^e fqrce H dirigée suivant KB\ on pourra ^uM cousidérer A^ isdémeut* Il résulte do là et des équations (i) quon aura pour réquilil>ffe de^ ces deux corps les douze équations suivantes : X -t^RcosasasOy Y^*RcosA=BBo, Z4-Rcosc=o, X'-^Rcosa=30, Y' — Rcos^scso, Z' — Rcoscso^ L •4^R(;r, oosi — ^jcosa) =mo, M + R(a, eosa — X, cos c) =i=:o,

N 4-R(jr,C08C — J8, cos 6) =30,

V •~R(ji:,cos^ — j^, cosa) œo, ftT — *R(s, cosa — o^.cos c) ŒO, N' -^R(^,cosc — z, CQS b) =o,

5i2 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

qui se réduiront à onze par 1 élimination de R. Après que ces onze équations d'équilibre auront été vérifiées^ Tune des précédentes fera connaître la yaleur de Ry qui devra être une quantité positive pour que les deux corps s'appuient réellement l'un contre l'autre.

Ces douze équations donnent immédiatement

ce qui résulte aussi des conditions d'équilibre communes à tous les systèmes entièrement libres, comme celui des deux corps A et A' (n® 261).

On trouvera pareillement les équations d'équilibre d'un nombre quelconque de corps solides, dont plusieurs s'appuient l'un contre l'autre; et il est aisé de voir que le nombre de ces équations sera égal à six fois celui des corps-, moins le nombre de lears contacts.

266. lies équations d'équilibre d'un corps solide assujetti à des conditions données doivent être comprises parmi celles d'un coi^s entièrement libre ; car l'équilibre de celui-ci rie serait pas troublé^ si on l'assujettissait à ces conditions particulières; en sorte qu'aucune nouvelle équation d'équilibre ne peut être introduite par ces conditions. Mais, au contraire, une ou plusieurs des équations (i) deviendront superflues; et il s'agira de déterminer, pour les difierens cas qui peuvent se présenter, celles de ces équations qui resteront nécessaires. C'est ce que nous allons faire successivement dans ce numéro , en supposant

STATIQUE, SECONDE PARTIE. 5i3

[oojours qu'on ait remplace les forœs données P^ P', P", etc. , par les trois groupes de forces du n** 259. I •• Si le corps solide qui doit rester en équilibre renferme un point fîxe^ on prendra ce point pour rorigine 0 des coordonnées. Les forces dirigées sui* v^ant Taxe Ox seront détruites par ce point; ce qui fera disparaître l'équation X = o. Pour l'équilibre des forces parallèles à l'axe Oy et comprises dans le plan des x et jr, il ne sera plus nécessaire qu'on ait Y = o , et il suffira que leur résultante coïncide avec Taxe Oj-, ou que la somme L'de leurs momens, par rapport au plan desj'' et z, soit égale à zéro. Enfin ^ pour l'équilibre des forces parallèles à l'axe des z, l'équation Z =s o ne sera plus nécessaire ; il suffira que leur résultante coïncide ayec l'axe Oz ; ce qui exigera que les sommes de leurs momens , par rapport aux plans des^ et z, et des x et z, qui sont les quantités — M et N , soient égales à zéro.

Ainsi ^ dans ce premier cas, les trois équations d'équilibre qui resteront nécessaires seront

Elles signifient , effectivement , que les forces don* nées ont une résultante unique , et que cette résultante yient passçr par le point fixe 0. Cette force exprimera, en grandeur et en direction, la pres-*sion exercée sur ce point, et sera déterminée par les équations (2).

a"". Supposons que le corps solide soit retenu par un axe fixe, autour duquel il est assujetti à tourner, sans pouvoir glisser dans le sens de sa Ion-* 1. 33

5i4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

gueur. Prenons cet axe pour celui des s; les forces parallèles à cette droite Oz ne pourront produire aucun mouvement , et les trois équations Z s o , M = o^ N=Oy relatives à leur équilibre , ne seront plus nécessaires. Les équations X= o et Y=o ne le seront pas non plus pour l'équilibre des forces comprises dans le plan des x et jr; en sorte que, dans ce cas , il n'y aura plus qu'une seule équation d'équilibre, qui sera Lsso, c'est-à-dire,

V{x C08 C — jr cos fit) + V\x' cos C — y cos a') + etc. = o. (5)

Mais si le corps avait la liberté de glisser le long de l'axe fixe, il faudrait en outre, pour empêcher ce mouvement, que la somme Z des forces parallèles à Oz fïit égale à zéro ; et il y aurait alors les deux équations d'équilibre

La pression que l'axe fixe éprouvera perpendiculairement à sa direction sera la résultante des forces comprises dans le plan des x et jr, déterminée , en grandeur et en direction , par les deux premières équations (2), et passant par le point 0, en vertu de réquation (5). Les forces parallèles à cet axe tendront en même temps à le faire tourner sur luimême.

En comparant les quantités M et N à L, on coo" dut de leur composition que l'équation d'équilibie autour de l'axe Ojr sera M = o , et qu'elle sera N= o autour de l'axe Ox. Il en résulte aussi que la condition d équilibre autour d'un point fixe con-

STATIQUE, SECONDE PARTIE. 5i5

âste en ce que l'équilibre ait lieu successivement

ftatouT de trois axes fixes et rectangulaires , menés

rbitrairement par ce point. Par conséquent , si l'é-

<]ixilibre existe autour de trois axes rectangulaires

<]iu se coupent en un même point, il aura aussi

lieu autour de toute autre droite passant par ce

point.

3«. Je suppose que trois ou un plus grand nombre 4le pbints non en ligne droite ^ appartenant au corps solide, soient assujettis à demeurer sur un plan fixe clont la position est donnée ; et je prends ce plan pour celai des x et y. Les forces parallèles à l'axe des z ne pouvant produire aucun mouvement, les équations relatives à leur équilibre n'auront pas lieu ; mais les trois équations

qui répondent aux forces comprises dans le plan des a: et y^ seront nécessaires pour empêcher le corps de glisser ou de tourner parallèlement à ce plan fixe.

La force Z exprimera la pression totale que le plan fixe éprouvera. Si le corps est seulement posé sur ce plan, de sorte qu'il s'agisse, par exemple, d'un polyèdre dont une face soit en contact avec le plan des X et jj il faudra que le signe de Z soit tel , que cette force appuie le corps contre ce plan. Il faudra , en outre, que cette résultante des forces parallèles à Taxe des z vienne percer le plan des x q\. jr dans l'étendue de la base du corps, sans quoi elle le détacherait de ce plan, en le faisant tourner autour de l'un des côtés de cette base. Or, si Ton appelle x^ et

5i6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

y^ les coordonnées du point où cette résultante rencontre le plan des x qX, y ^ ses momens par rapport aux plans des x et z et des j^ et z seront Z^. et Zx. ; ils devront être égaux aux sommes des momens des composantes par rapport aux mêmes plans; et, diaprés les valeurs de ces deux sommes qu'on a trouvées précédemment (n** 260) , on aura

Zx, = — M, Zjr, = N. .

11 faudra donc vérifier > dans chaque cas particulier, que les valeurs de x^ et^,, tirées de ces équations, appartiennent à un point de la base du corps; condition d'équilibre qui ne peut être exprimée par des équations, non plus que celle qui est relative au signe de Z.

4*. Si les points du- corps assujettis à rester sur le plan fixe des x et y sont seulement au nombre de deux, ou bien s'ils sont tous situés sur une même droite, on prendra cette ligne pour l'axe des^; la ré^ sultante Z devra alors rencontrer le plan des x et/ en un point de cet axe; et, indépendamment des trois équations du cas précédent, on aura cette quatrième équation d'équilibre M = o.

5^. Enfin , lorsque le corps solide ne touchera le plan fixe des x et/ qu'en un seul point, où l'on pla* cera l'origine 0 des coordonnées , on verra , sans difficulté , que les équations d'équilibre seront au nombre de cinq , savoir :

La force Z exprimera toujours la pression exercée sur

le plan fixe au point O, et devra avoir un signe conrenable.

Ce résultat coïncide avec celui da numéro précédent; car si l'on suppose le corps A' fixe et terminé par un plan, que Ton prenme ce plan pour celai des x et jr^ et le point K (fig. 6a) pour origine des coordonnées^ on devra faire , dans les équations de ce numéro, x, rs o, jr. = o, js, =: o, a = 90% bz=igo''; ce qui réduira aux cinq équations précédentes, un pareil nombre des six équations relatives à l'équilibre du corps A . La sixième de ces équations deviendra, en même temps,

en supposant qu'on ait c == o, ou que la partie KH de la normale soit Taxe des z positives; par con-séquent , la pression exercée sur A^, qui est égale et contraire à la résistance R , sera la force Z en grandeur et en direction.

On peut remarquer, d'après cette énumération des dîfférens cas d'équilibre, que les nombres d'équations relatives à iin corps solide gêné par des obstacles fixes peuvent être tous ceux qui sont inférieurs au nombre six , correspondant à un corps entièrement libre.

267. L'équation (5) relative à l'équilibre autour de l'axe des z supposé fixe , ne contient ni les composantes parallèles à cet axe, des forces données P, P', F', etc., ni les coordonnées parallèles au même axe, de leurs points d^appllcation M, M', M", etc. ; en sorte que l'équilibre ne serait pas

5i8 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

troublé y si Ton remplaçait ces forces et leurs points d'application par leurs projections sur le plan des X et^; ce qu'on démontrerait d'ailleurs facilement à priori.

Soient donc Q , Q', Q'', etc. , les forces P , Vy V, etc., projetées sur le plan des a: et jr, c'est-àdire, décomposées parallèlement à ce plan et transportées aux projections des points M, M', M", etc., sur ce même plan. Désignons par q , (fy q^'y .etc., les perpendiculaires abaissées de l'origine des coordonnées, supposée fixe, sur les directions des forces Q, Q', Q", etc.; et, pour fixer les idées, supposons que Q, Q', Q", tendent à faire tourner, dans le même sens , autour de cette origine, et que Q'", Q'% etc. , tendent à faire tourner dans le sens opposé. Pour l'équilibre de toutes ces forces , il faudra , d'après le

Qî + QY + QY — Q^'T— Q'^î'"— etc. =o, (6)

en considérant ç, q'y q^'y q"'y etc., comme des quantités positives, aussi bien que Q, Q', Q", Q'", etc. ; par conséquent , cette équation devra coïncider avec l'équation (5) j ce qu'on vérifie , en effet, de la manière suivante.

Soient H (fig. 65) la projection du point M, OG et HG ses coordonnées x et jTy HA la direction de la force Q , A et jc^ les angles que fait cette droite avec des parallèles aux axes Ox et OjTy menées par le point H. Par le point 0, menons deux autres axes Ox^ et Qt", , le premier suivant la direction HA, et le second perpendiculaire à cette droite et tel que

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 619

â'suDgle jOj't soit aigu .ou obtus en même temps ijiae jcOx^ ; appelons jc, et 7", les coordonnées OF et WIBL du point H ^ rapportées à ces nouveaux axes; nous axtrons, comme on sait,

.sr, =:jr COS fJi[+ ^ COS A , jr^ =ijr COS X — OTXîOSft.

Or, la perpendiculaire OK ou q, abaissée du point 0 SXMT HÂ^ devant être une quantité positive, on aura

ç = ± /, =: =b (jrcosX — orcosft),

selon que Fordonnée jr^ sera positive ou négative, on, ce qui est la même chose ^ d'après le sens qu'on SL supposé à l'axe Oj*, , selon que la force Q tendra à £aire tourner, dans un sens ou dans le sens opposé^ autour du point 0. On a d'ailleurs

Q = P sin>,

et, de plus (n* 8)

COS 0t s= sin y cos A, cos ^ =: sin 7' cos jUf

il en résultera donc

Qy = ± P(^cosflP — ;rcosÇ).

Les forces Q' et Q" tendant, par hypothèse, k faire tourner dans le même sens que Q, on aura de même

QY = ± F (y COS a' — afcosC), QY = =b P"(y'cosa" — ar^cosC'Oî

et les. autres forces Q"', Q'% etc., tendant à faire tourner en sens opposé, on aura, au contraire.

590 TRilTÉ DE MÉCANIQUE.

Q'Y" = =F ^'"(j'^coscl'"' — a:'"cos^'")»

etc.

Oa prendra donc , en même temps , les signes supérieurs ou les signes inférieurs dans toutes ces valeurs; et en les sul^stituant dans Téquation (&), elle deviendra l'équation (5); ce qu'il s'agissait de vérifier.

268. Le corps en équilibre étant toujours soumis à la pesanteur, il faudra comprendre parmi les forces données P^ V, V, etc.^ son poids appliqué suivant U verticale à son centre de gravité. Supposons, par exemple, qu'il s'agisse d'un .corps pesant posé sur un plan incliné et soutenu par une seule force. La figure 64 représente une section du corps passant par le centre de gravité G, et perpendiculaire au plan incliné; la longueur de ce plan est ÂB, sa base BC, et sa hauteur AC. On place l'origine O des coordonnées sur la verticale 6H passant par le centre de gravité , et l'on prend les axes Oz et Ox perpendiculaire et parallèle à AB : le troisième ax:e Oj, qui q'est pas représenté, serait perpendiculaire au plan de la figure. La force P sera le poids du corps , la verticale GH sa direction, et HOo: l'angle a. On aura, en outre, ar=5 0, /"sssQ, S = 90*. En prenant donc F pour la force donnée qui soutient le corps pesant^ les équations d'équiKbre du troisième cas du u"* 266 se réduiront à

Pco8fi6+P'cosa'=o, P'cosC=o, P'(jp'cosff'— yco8«')=o.

D'après les deux dernières , on aura €' = go* et

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. fei

jr^ =: o ; ce qui montre d'abord que la force P' devra âlre comprise dans le plan des a: et z ; et ^ en effet ^ œla est éyidemment nécessaire pour que celte force et le poids du corps aient une récoltante unique , perpendiculaire au plan incliné. Je supposerai que 0 soit le point où la direction de Y rencontre la vertioale 6H^ et je représenterai par OD cette direction. Ij'angle ci! ou DO.r deyra être obtus pour satisfaire à la première des trois équations précédentes ; j'appellerai cT Tangle aigu DO:i/.que fait k force P' ayec le prolongement de Ox^ de sorte.qu'on ait

cos ût' = — cos ^. '

L'angle et ott HOo: est le complément de l'inclinaison ABC du plan; en désignant la hauteur AC par A, et , la longueur AB par Ij on aura donc

h cos ût = •%;

d'où il résultera finalement

^ = P'cosJ^;

équaition d'équilibre qui fera connaître l'une des deux quantités F' et S'y quand l'autre sera donnée.

Lorsque^ par exemple, la force F sera parallèle au -plan incliné ^ on aura J" =: o, et, conséquemmenty