CHAPITRE n

THÉORIE DES MOHENS.

2'j I • Les momens que nous allons considérer dans ce chapitre sont ceux dont il a été question dans le n^ 4^* Ainsi , le moment d une force P est }e produit P/? de cette force et de la perpendiculaire p abaissée du centre des momens sur sa direction. Si donc ce centre est C ( fig. 66) , et que la force P soit représentée par la droite MA prise sur sa direction , son moment aura pour expression le double du triangle CAM qui a pour base cette force et son sommet au point G. D'après cela, le théorème du n^ 4^, relatif au moment de la résultante de deux forces, n'est plus qu'une proposition de Géométrie facile à démontrer.

En effet, soient MA et MB les deux composantes ; la diagonale MD du parallélogramme MADB sera leur résultante; et le point C étant en dehors de l'angle AMB et de son opposé au sommet^ il s'agira de prouver que le triangle GMD est la somme des triangles CMA et CMB. Or, on a d'abord

CMD = CMA + CAD + MAD;

en abaissant du point C une perpendiculaire CE sur la droite MB, qui rencontre en F sa parallèle AD, on

aura

CMB = ^MBXE, CAD = ^AD.CF;

et à cause de

MB = AD, CF=:CE — EF, il en. résultera

CAD = CMB — iMB.EF;

mais le produit MB.ËF est la surface du parallélogramme MÂDB , ou le double du triangle MÂD; on aura donc

CAD = CMB — MAD,

et , par conséquent ,

CMD = CMA + CMB;

ce qu'il s'agissait de démontrer.

La figure suppose que la droite EF soit la différence des perpendiculaires CE et CF; elle pourrait être leur somme , et Ton modifierait sans difficulté la démonstration précédente pour l'appliquer à cet autre cas. On prouvera aussi , de la même manière , que le triangle CMD est la différence des triangles CM A et CMB, quand le point C est placé dans l'angle ÂMB ou dans son opposé au sommet.

272. Par le centre des momens (fig. 67)1 menons un plan quelconque; projetons sur ce plan la droite AB qui représente la force P en grandeur et en direction; soit Q la force représentée de même par la pro* jection A'B'de AB; le moment de la force P sera le double du triangle CAB, et celui de la force Q le double du triangle CA^B'; par conséquent, le centre des momens restant le même , le moment de la projection d'une force sur- un plan passant par ce point ^

5a8 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

est la projection^ sur ce même plan^ du moment de

celte forcé.

Si Ton appelle H le moment de la force P, et K celui dé sa projection Q; que Ton élève sur les plans de ces deux momens des perpendiculaires CD et CE , et qu'on appelle J" Tangle DCE, cet angle sera aussi Tinclinaison de H sur K, et Ton aura ( n^'io )

K = HcosJ^.

Pour une même force P, langle J^ et le moment H changeront avec la position du point C sur la droite CE ; mais cette droite restant la même , le produit H cos J" ne variera pas; car K ou le triangle CA'B' ne fera que se déplacer parallèlement à lui-même, sans changer de grandeur.

2j5. Au lieu d'une seule force, considérons un système de forces quelconques P, P, P", etc. Soient H , W, U", etc. f leurs momens par rapport au point C (fig. 68). Désignons par cT^ S', J"", etc. , les angles que les perpendiculaires CÙ, Oï, Clf', etc., aux plans de ces momens, font avec un même axe CE; par Q, Q', Q", etc. , les projections de P, P', F', etc., sur le plan mené par le point C et perpendiculaire à cet axe; et par K, K', K", etc., les projections de H, H', H'', etc. , sur ce même plan. Nous aurons

K = H cos J^, K' = H' cos J^', K'' = H" cos cT^', etc.

Si Ton voulait seulement, connaître les aires des projections d'après celles des surfaces projetées, il faudrait considérer les inclinaisons cT, J^', cT", etc. , comme des angles aigus ; mais dans les usages que

STATIQUE, SECONDE PARTIE. Sag

nous ferons des projections des momens, nous regarderons ces angles comme aigus ou obtus^ ou^ autrement dit, nous prendrons pour les droites CD^ CD', CD''^ etc. , les parties des perpendiculaires aux plans des mooiehâ H^ H\ H''^ etc., qui font des angles aigus ou obtus avec l'axe CE , selon que les projections Q, Q'> Q''* c*c- f des forces P, P', P, etc. , tendront à ibire tourner autour du point C, dans un sens con-* venu, ou dans le sens opposé. Ainsi , dans la figure , les angles DCE^ D'CE^ D"CE, étant aigus^ et les angles D'^CE y D'^CEy etc. , étant obtus, cela suppose que les forces Qy Q', Q% tendent à faire tourner dans un même sens, et les forces Q'^', Q'% etc. , dans le sens opposé. Les droites CD'' et CD^'^ étant le prolonge-^ ment Tune de l'autre, cela signifie que les forces F' et P'^' sont comprises dans un même plan passant par le point C, mais qu'elles tendent, ainsi que leurs projections Q" et Q''', à faire tourner en des sens opposés.

En appelant S la somme des valeurs positives ou négatives de K, K', K'', etc. , nous aurons

S = H cos <r + H' cos cT' + H^ cos ^' + etc. ;

abstraction faite du signe , S sera la somme des momens des forces Q , Q', Q", etc* , qui tendent à faire tourner dans un sens , moins la somme des raomens de celles qui tendent à faire tourner dans le sens opposé ; d'après le théorème du n* ^7^ î» quantité =^ S exprimera donc le moment de leur résultante qui tendra à faire tourner dans le sens des forces qui répondent aux angles aigus /, ^\ /", ou aux angles

53o TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

obtus ^"'f J^'% etc. , selon que la valeur précédente

de S sera positive ou négative.

Si Ton change à la fois toutes les droites CD, CD', CD"^ etc., dans leurs prolongemens, les angles eT, <:^^ cT't etc., se changeront dans leurs supplémens, et S deviendra — S. Il en sera de même lorsqu'on remplacera l'axe Œ par son prolongement CE'.

La somme S, comme chacune de ses parties, sera indépendante de la position du point C sur Taxe CE; elle -ne dépendra que du système des forces P, P', P^'^ etc., de la position de cet axe et de sa direction perpendiculaire au plan de projection. Dorénavant nous appellerons cette quantité S le moment des forces P, F, P^, etc. , par rapport à Taxe CE.

^74' D'après cette définition ^ les trois quantité L, M, N , du n"" 361 , seront les momens des forces P, P', P", etc. , par rapport aux axes des coordonnées positives de leurs points d'application.

Pour le faire voir, soit Q la projection de la force P sur le plan des x eXjr^ et q la perpendiculaire abaissée de l'origine des coordonnées sur sa direction, de sorte que son moment par rapport à ce point ait Q9 pour valeur. Supposons que la force Q agisse de A vers B ( fig. 69 ), et que AC et AD soient les coordonnées X Qijr de son point d'application A, rapportées aax axes rectangulaires Ox et Oj. Soient aussi X et fju les angles BAC et BAD' que fait la force Q avec les prolongemens de x et^ ; les composantes dirigées suivant AC et AD' seront Q cos A et Q cosytt, et leurs momens par rapport au point 0, ^Q cos A et jcQ cos^t; d'apiès la figure, elle tendront à faire tourner en sens

STATIQUE, SECONDE PARTIE 53i

contraire Tune de l'autre » et la force Q, dans le sens de Qcos)E<e; on aura donc

Qq = vTQcosfi — ^QcosA.

En examinant les différentes positions que peut avoir le point A, et les diverses directions qu on peut supposer à la force Q, il est aisé de voir que cette équation subsistera quels que soient .lés signes de jc, y y cos A , cos ft, pourvu que la force Q, transportée au point E ou F, où sa direction rencontre l'axe des x ' ou des j^ tende à faire tourner l'axe Q'x des x positives, dans l'angle des a: et ^positives, et, conséquemment , l'axe Oj des^ positives, en dehors de cet angle, comme cela est indiqué par les flèches s et st. Si le contraire avait lieu, c'est-à-dire, si la force Q, ainsi transportée , tendait à faire tourner l'axe des y positives, dans l'angle des x et y positives, et, par conséquent, l'axe des x positives, en dehors de cet angle, on aurait

Q^=^cosA — :rQcosjEt,

quels que soient aussi les signes de x^y^ cos A , cos /ec, U suit de là que si S est le moment des forces P, P', P*, etc. , par rapport à l'axe des z positives, et que l'on regarde les angles ^T, /', cT'', etc. , du numéro précédent, comme aigus ou obtus, selon que les projections Q, Q', Q'Vetc, de ces forces tendent à faire touroer" l'axe des x positives , dans l'angle des coordonnées x e\y positives , ou en dehors de cet angle, on aura

S = Q (a: cos|t — y cos A) -f- Q' (•3?' cos fâ! — ^cos A') + Q" {x'' cos /a" —f cos A") -h etc. j

x\ y y X', f/!; Jp">y> >^'f f^"$ etc., étant ce que deyiennent x , y^ ^ ^ j^ > relativement aux forces Q', Q", etc.

Soient , de plus, a, ff, 5. ; et', ff', y'; a", Ç", y"; etc., les angles que font les directions des forces P, P', P*, etc. , avec des parallèles aux axes des x , j, z; on aura

Q=Psiny, Q'=P'siny', Q" = P''siny% etc.,

cos et = sin y cos A, cos ce'= sin y^cosA', 003*"= sin y"cos a", etc. , cosC=sinycos/c^ cosC^isïuycosfi^y cose"=siny''cos/*'', etc.;

et d après ces valeurs , celle de S coïncidera avec la quantité L du n"* a6i . Ainsi L est le momentdes forces P, P', P% etc. , par rapport à Taxe des z positives; et selon qu'il est positif ou négatif, ce système de forces tend à faire tourner le plan des xetz positives autour de cet axe y dans Fangle trièdre des coordonnées positives , ou en dehors de cet angle.

Maintenant, si l'on substitue respectivement les axes des z, x^jr, positives, à ceux des JC,^, z, positives, L se changera dans M; il s'ensuit donc que M est le moment des forces P, P', P", etc., par rapport à l'axe des^ positives, et que, selon qu'il sera positif ou négatif, ce système de forces tendra à faire tourner le plan des zetj" positives autour de cet axe, dans l'angle trièdre des coordonnées positives, ou en dehors de cet angle. Cela fait, si Ion remplace de même les axes des z, X, j-, positives , par ceux des^, z, x, positives, M se changera en N; par conséquent, N sera le moment des forces P, P', P'', etc. , par rapport k l'axe des x positives; et suivant qu'il sera positif ou négatif, ce

STATIQUE, SEœWDE PARTIE. 533

sjstème de forces tendra k faire tourner le plan des^ et a: positives autour de cet axe , dans l'angle des coordonnées positives^ ou en dehors de cet angle trièdre.

Les trois quantités L/ M , N, sont donc^ comme on l'a dit, les momens d'un même système de force par rapport aux trois axes des coordonnées positives de leurs points d'application ; et les signes de leurs valeurs, telles qu'elles sont écrites dans le n"" 261 , répondent à un sens de rotation connu , autour de chaque axe supposé fixe.

2j5. La première valeur de Qq du numéro précédent, est la même chose que

Qq = orPcos^ — P^cosa.

En appelant H le moment.de P par rapport à l'origine des coordonnées^ et cT l'angle compris entre une partie de la perpendiculaire au plan de ce moment et l'axe des z positives^ on aura donc ( n* 372 )

H cos ^ = P ( ô? cos C — ^ cos rt ) ;

ce qui suppose que cette partie de la perpendiculaire au plan de H^ soit celle qui fait un angle aigu ou obtus avec l'axe des z positives, selon que la quantité comprise entre les parenthèses est positive ou négative. Soient cTi crt cT^ les angles que fait la même partie de cette perpendiculaire avec les axes des^ et des x positives ; on aura de n>eme

HcoscT, = P(zcosât — xcosy),

HcoscTft = TÇjrcosy — zcosÇ).

Si donc on fait , pour abréger ,

{xcosC — jrcoaa.y'^'(jico8aL^xco3yy+(jrcosy—zcoBC)*=p^^

etqu'on regarde /i comme une quantité positive^ il en résultera

H = ¥p, k cause de

cos*«r + cos*<r, + cos*<r. = i;

par conséquent , on aura

cos cT = - (x cos S — J" cos * ), cos cTi = - (5J cos a — a: cos 3^ ) ,

cos <r. = - (jrcosy -^ zcùsC),

pour déterminer sans ambiguïté les trois angles J", cTt , J^ft. L'angle «T sera aigu ou obtus , comme on Fa supposé , selon le signe de x cos € ^^j cos a, et les angles ^^ et cT. y selon les signes de z cos a — x cos y et y cos 5^ — 2 cos €•

On yérifiera aisément ces formules. En effet ^ représentons réquation du plan qui comprend l'origine des coordonnées et la force P, par

Att + Bi' + Cfv = o;

UfV^'Wy étant les coordonnées courantes. Les coordonnées du point d'application de cette force étant Xy jf 2, il faudra qu'on ait

Ax + B^ -f- Cz = o;

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 535

de plas les éqaations d'une droite menée par l'origine des coordonnées et parallèle à cette force , seront

V cos CL =iu cos €, w cos a z=z u cos y;

et cemme cette parallèle est aiissi comprise dans le plan que Ton considère, îl en résultera cette seconde éqaation de condition :

A cos a 4- B cos C + C cos 5. = o. De ces deux équations, on tire

p __^ A ( or cos C — jr cos a ) "^ J' cos y — Z cos Q *

^ A ( « cos m — X cos y ) D == — -— — *

jr cos y — z cos C '

et en substituant ces valeurs dans Féquation du plan.^ elle devient

v{jrcoB y — z cos C) +v(z cos a — x cos >)+w(j: cos ff— j*cos«):=o .

Or, d'après les formules connues ( n* 17 ) , les cosinus des angles J", cTt, ^^y que fait la normale à ce plan avec les axes des u, v^ w, qui sont aussi eeux des or, ^, z, auront pour valeurs les formules qu'il s'agissait de vérifier.

En vertu de l'équation H = Pp, la quantité- p est la perpendiculaire abaissée de l'origine des coordonnées sur la direction de la force P. C'est aussi ce qui se vérifiera sans difficulté , en prenant le pied de cette perpendiculaire pour le point d'application de P; car^ si l'on appelle r le rayon vecteur de ce point, qui sera alors cette perpendiculaire^ et ^ ^ /« , y, les angles que

fait sa direction avec les axes des Xyjy z, on aura

X = rcosA, y = rcos/x., z = rcosj.;

et en substituant ces valeurs dans celle de j^y et ayant égard aux e'quatîons ( n®* 6 et 9 )

cos* a + cos* & H- cos* y z=z \ y

cos* A + cos*ft + cos* y = I ,

COS OL COS A + COS ff eus jE^ -+- cos y cos y = o,

on trouvera

p^ =z r^ ou p z=z r.

2j6. Les momens d'un même système de forces par rapport à difFérens axes , jouissent de propriétés remarquables qui sont une conséquence immédiate de celles des projections des surfaces planes sur diflférens plans, que nous allons maintenant exposer.

Soient Ox , O/*, Oz , trois axes rectangulaires qui se coupent en un point O ( fig. 70 ). Menons par ce point trois autres axes Ox% Oy, Oz' , aussi rectangulaires. Pour déterminer les directions de ces nouveaux axes par rapport aux premiers^ faisons

xOx^ = et y yQx' = S , zOor' = > ,

o^f =. a! y joy =n Cy -soy = y,

xOz' = a" y 7O2' = €\ zOz' = y";

et considérons e^ C, y y etc. , comnie étant neuf angles donnés y aigus ou obtus. Leurs cosinus seront liés entre eux par six équations. En considérant successivement les trois droites Ox\ Oy% Oz'y on aura d'abord

cos* a + cos' 6 + c^s* y = ^ f ] cos* cl' + cos* €' + cos* y s=z i , > (i) cos« fit" + cos* C + cos* y =z= I ; )

et à cause que a/Oj' , ar'Ojg', j'Oz", sont des angles droits, on aura aussi

cos * cos uf + cos € cos f -|- cos y cos y = o , ) cos a cos a"+ cos € cos ^'+ cos > cos y = o , ^ (2) cos a' cos a"+ cos ^' cos C + cos y cos 3." = o . )

Les neuf angles a, a', a", etc. , détermineront réciproquement les directions des premiers axes Ox, Oj^, Oz , par rapport aux seconds Ox\ Oy, 0/. De cette manière on aura d'abord

cos* et -j- cos* a' -f- cos* et!' z=s j , ) cos* e + cos**g' + cos* C = I , > (5) cos* y + cos* y + cos* y' := 1 , '

et , en outre ,

cos a cos 6 + cos a' cos ^' + cos a" cos f = o , i cos a cos 5^ + cos a' cos jr' + cos a" cos 5/" = o A (4) cos € cos 7^ + cos C cos j'' + cos S'' cos 5." s= o ; )

équations qui^seroDt équivalentes aux six précédentes^^ et pourront leur être substituées.

Soit a l'aire d une surface plane terminée par un contour quelconque , et située dans un plan passant par le point 0 ; par ce point , élevons sur ce plan une perpendiculaire OD, et faisons

xOD = q, jOD = q', zOD = q\

Ces trois angles aigus ou obtus , détermineront la di-

538 TRAITÉ DE MÉGANIQUE,

rectioa de OD et celle du plan de a ; s'ils se changent tous les trois dans leurs supplémens , la droite OD se changera dans son prolongement , et le plan de a restera le même.

Appelons aussi /?, p\ p", les projections de a sur les plans yOz , jcOz , xOjr^ nous aurons ( n* lo )

p^=:a cos Çf p' z=a cos ç', p^ =:a cos q'.

Soit, enfin, b la projection de a sur un quatrième plan , qui sera, si Ton veut , le plan^'O/, et c Tangle or'OD ; on aura aussi

b = acosCf et , d'après la formule (2) du n' 9 ,

cos c = cos q cos a + cos q' cos 6 -j- cos ç* cos y ; (5) d'où Ton conclut

6 = I? cos ût +/)' cos € +/>" cos y ; (6)

équation qui fera connaître la projection d'une aire a sur un plan quelconque , lorsque l'on connaîtra ses projections sur trois plans rectangulaires.

. Comme l'équation (5) n'a lieu qu'en tenant compte des signes des cosinus qu'elle renferme , il s'eosnit qu'il faut de même avoir égard , dans l'équation (6)» aux signes des projections p, p', p'\ et les considérer comme des quantités positives ou négatives, selon que la perpendiculaire OD au plan de a fait des angles aigus ou obtus avec les axes Ox, Oj", Oz.

2'j'j. Gela posé, considérons de même un nombre quelconque d'aires planes a, cl ^ d\ etc., situées dans des plans différens; projetons toutes ces aires sur les

STATIQUE, SECONDE PARTIE. 53g

trois plans ocOj', xOz^ jrOzj et ajoutons ensemble les projections faites sur un même plan , en ayant égard à leurs signes , ainsi qu'il vient d'être dit. Soient A , A', A", les trois sommes qu'on obtiendra de cette manière ; soit aussi B la somme des projections de a^ a' y cCy etc. , sur le plan ^'Oz' ; en formant pour chacune de ces aires, une équation semblable à l'équation (6), et ajoutant ensuite toutes ces équations y on aura

B = Acosât + A'cos^ + A^'cos^.

Représentons encore par B' la somme des projections de a, a', d\ etc. , sur le plan jc'Ojz'. Il est évident que la valeur de B' se déduira de celle de B , par la substitution de l'axe 0^' perpendiculaire à ce plan , à Taxe Qaf perpendiculaire au plan yOz'^ c'està dire^ en mettant dans la formule précédente a!, C\ y\ au lieu de a, ^, > ; ce qui donne

B' = A cos a' + B cos 5' + C cos y^ .

Si Ton représente de même par B'' la somme des projections, de a^ a! ^ a", etc. , sur le plan oc^^fj sa valeur se déduira de celle de B , en y substituant a", Ç\ y' y au lieu de et, €, y; d'où il résultera

B" = Acosa" + Bcos^" + Ccosy'.

De ces valeurs de B, B', B% et en ayant égard aux équations (5) et (4) , on tire réciproquement

A = Bcosa + B'costt' + B^'cosa", ) A'=Bcos^ + B'cos^' + B"cose', > (7) A^=Bcos5.+ B'cos>'H-B'cos/. )

54o TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

Ces (lifTérentes équations nous montrent que les projections des surfaces planes sur difierens plans » suivent les mêmes lois que celles des lignes droites sur des droites différentes.

2j8. En faisant la somme des carrés des valeurs de B, B', B'', il vient, d'après les équations (5) et (4),

ce qui fait voir que la somme des carrés de ces trois quantités B , B', B% ne varie pas avec la direction des trois plans rectangulaires de projection auxquels elles se rapportent. Dans le cas particulier où toutes les aires a, a\ a", etc, , sont dans un même plan, cette somme n'est autre chose que le carré de laîrc totale a + ^' + a' + etc. ; et si Ton prend ce plan pour celui des axes Ojr et Oz, par exemple, on aura évidemment

A = a + û' + a*-j-etc. , A'ssro, A"=o.

Cherchons actuellement ce que la même somme représente dans le cas général où lesAaires a, à!f a'f etc. , sont situées dans des plans quelconques.

L*équation (8) donne

la somme B, qui varie en passant d'un plan de projection à un autre, est donc la plus grande possible , quand on a B' = o et B' = o ; et alors elle est égale à \/A* + A'* + A'S Ainsi , la quantité constante dont il s'agit représente , dans le cas général , la plus

grande somme des projections sar un même plan ^ des aires planes que l'on considère dans l'espace.

2jg. Le plan^'Oz' qui repond à cette plus grande projection / jouit de propriétés importantes en mécanique , que nous ferons connaître dans la suite de ce traité. Sa position est facile à déterminer , d'après les équations B' = o et B" = o , qui le caractérisent.

En effets les équations (7) se réduisent alors à

À = B cos a , A' = B cos € , A' = B cos y ;

d'où Ton tire

cos a

cos

cos y =

Lors donc que l'on connaîtra les sommes A^ A', A% des projections sur trois plans rectangulaires jOx , âiOZf xOjr, choisis arbitrairement , on pourra immédiatement déterminer la direction du plan^'Oz' de la plus grande projection , au moyen des trois angles a,, € , y, qui se rapportent à la droite Oo:' perpendiculaire a ce plan. Quant à sa position absolue dans l'espace , il est évident qu'elle est indéterminée ; car les projections de chacune des aires a, a% a% etc. , et, par conséquent, la somme de ces projections, sont les mêmes sur tous les plans parallèles.