La somme des projections des aires a, af

54a TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

a% etc. , est égale sur tous les plans également inclinés sur celui de la plus grande projection.

Pour le démontrer ^ prenons le plan perpendicalaire à la droite OD ; désignons par C la sonmie des projections de a^ dy a'^ etc. , sur ce plan; soient toujours ç, q', q'f les angles que cette droite OD fait avec les axes Qx^ 0/, Oz, et c Tangle or'OD qui mesure rinclinaison de ce plan sur celui de la plus grande projection. On aura , d'après ce qu'on vient de trouver ( n** 277 ) ,

C = A cos 9 -|- A' cos q' + A' cos q'.

En substituant B cos et, B cos € , B cos y , khi place de A, A', A% on aura donc

C == B (cos et cos 5^ -4- cos ê cos ç' -h cos y cos q^) ,

ou bien , en vertu de la formule {5), G =: B cos c ,et, en mettant pour B sa valeur,

' C = v'A' + A'* + A'* cos C}

par conséquent , la valeur de G est la même pour tous les plans qui font le même angle c avec le plan yOz' de la plus grande projection.

Cette valeur diminue à mesure que l'angle c approche de 90^; elle est nulle pour tous les plans perpendiculaires à ^'Oz'.

281. Pour appliquer maintenant à la théorie des momens ces propositions relatives aux projections des surfaces planes, il suffit de supposer que les aires Uf d, a", etc. , sont les doubles des triangles qui ont pour sommet commun le point 0, et pour bases les

roites qui représentent , en grandeur et en dîrecîofi, les forces P, P', P*, etc. , que l'on a considérées •récédemment. Leurs momens L^ M , N^ par rapport ax axes Oz , Ojr, Ojc , des coordonnées positives de surs points d'application ( n"" 274 ) seront alors les ommes des projections de a, d^ct^ etc.^ sur les plans xX^x^ ^xfiZjjiiz^ et voici les conséquences qui résultat des propositions qu'on vient de démontrer :

i*. En appelant E le moment des forces P, P', P*, etc. 9 par rapport à un axe passant par le point O^ qui fait avec les axes Oo:, 07-, Oz, des angles 6 , g', 6% aigas ou obtus , on aura

E = N cos £ + M cos h' + L cos i.

^. Parmi toutes les directions autour du point 0, de Taxe du moment E^ il en est une pour laquelle ce moment est le plus grand possible et égal à

V'L* + M* H- N*. Par rapport à tout autre axe , passant toujours par le point 0 et perpendiculaire à celui du plus grand moment, le moment E est zéro, et il est égal k \/L* + M» + N* cos /, relativement

à un axe qui fait langle cT avec celui du plus grand

moment.

3"*. Enfin, si Ton appelle ^c, ^, ^, les angles que

fait l'axe du plus grand moment passant par le point 0,

avec les axes Ox, Oj-, Oz, des momens N, M, L , et

que Ton désigne par G la grandeur de ce plus grand

moment , on aura

^ cosa = rr, cosb = -p-, cos>=^.

et , en mênie temps ,

G = v/L* + M* +ir%-

d'où il résulte qu'en prenant sur les axes Ox, Oj, Oz, à partir du point 0 , des droites proportionnelles aux momens Ny M^ L^ et achevant le parallélépipède dont ces droites seront les trois côtés adjacens^ la longueur de sa diagonale représentera la grandeur du plus grand moment , et cette droite sera l'axe de ce moment principal.

Ces théorèmes remarquables sont dus à Euler. Ils établissent une parfaite analogie entre la composition des momens et celle des forces ; analogie qui tient à ce que les forces étant représentées par des lignes droites » les momens sont exprimés par des surfaces planes^ qui se projettent sur des plans différens, de la même manière que les lignes sur des droites différentes ( n® 377 ).

282. Le point 0 et le système des forces P, F, P*, etc., étant donnés, j'appellerai moment principal de ces forces, leur plus grand moment 6. Si l'on transporte toutes ces forces parallèlement à ellesmêmes, en ce point 0, elles auront une résultante que je désignerai par R , et dont les composantes , suivant les axes Ox, Oj^, Oz, seront les trois quantités X, Y, Z, du n' 261. La considération de cette résultante et du moment principal, fournit un énoncé très simple des résultats du chapitre précédent.

Pour l'équilibre des forces P, P', P*, etc. , appliquées à un corps solide entièrement libre , il suffira que la résultante R et le moment principal G soient

STATIQUE, SECONDE PAUTIE. 545

égaux k zéro ; car , à cause de

les équations R == o et G = o , entralaeront les six équations d'équilibre du n* 261 .

On eu peut conclure que pour qu'un système de forces fasse équilibre à un autre, il est nécessaire et il suffit ; i"". que les résultantes R qui ont lieu dans ces deux systèmes soient égales et contraires ; 2: que, pour un même point 0 , leurs momens principaux soient égaux et répondent à des axes dirigés en sens contraire, ou dont l'un soit le prolongement de l'autre. La résultante R et sa direction , le moment principal et la direction de son axe, resteront les mêmes, dans toutes les transformations qu'on peut faire subir à un même système de forces, et, généralement, pour deux systèmes de forces équivalens.

Soient a, b , c, les angles que la force R fait av^c les axes Ox, Ojr, Oz, on aura

cos a = ^ , cos 6 = g- , cos c = g-.

Soient aussi ro l'angle compris entre sa direction et Taxe du moment principal ; a, G ,y, étant les angles que fait cet axe avec Oor, Ojr, Oz, nous aurons

cos fi> = cos a cos a 4- cos b cos € + cos c cos y,

ou., ce qui est la même chose ,

XN + YM 4- ZL

cos G? = gg .

n s'ensuit donc que la condition d'une résultante I. 35

unique qui est exprimée ( n** 263 ) par l'ëquattoa

XN + YM + ZL = o,

consiste en ce que Taxe du moment principal G et la direction de la résultante R doivent se coupera angle droit. C'est ce qu'on vérifie , en effets en observant que si les forces P, P'^ P'^ etc. , dans leur véritable position^ ont une résultante unique^ cette force doit être égale et parallèle à R^ et que son moment par rapport âu point 0^ doit aussi être le moment principal G ; en sorte que l'axe du moment principal est alors perpendiculaire a cette résultante transportée au point 0 parallèlement à elle-même; mais ce raisonnement ne suffirait pas pour prouver que réciproquement, quand l'équation précédente a lieu ^ les forces données ont une résultante unique.

285. Je transporte le point 0 en un autre point quelconque que j'appelle 0, ; je désigne par jet,, j^„ js., les coordonnées de 0,, rapportées aux axes Ox, Ojr^ Oz, et par L, , M,, N.^ ce que deviennent L, M, N , relativement à ce point 0, : les valeurs de ces dernières quantités se déduiront des premières ( n® 261 ) , en j mettant x — oc^j j — jr^ , z — z, » à la place de J7, ^, ;? ; et îl en résultera

M. = M -f- Zor, — Xz., \ {a)

N. = N + Y^. - Zr.. (

Ces foroiules montrent que quand P, P', P*, etc. , se réduisent à des forces égales, parallèles et dirigées en sens contraire, mais non directeoient opposées,

STATIQUE, SfiœNDE PARTIE. 547

auquel casoD aX= o, Y=:o^ Z=70> les quantités Lr , M, , N, ^ sont indépendantes des coordonnées du point 0| ; en sorte que la grandeur du moment principal et la direction de son axe ne varient pas avec la position de ce point. En effet, quelque part que soit placé le point 0, ^ il est évident que Taxe du moment principal des deux forces parallèles qu'on peut substituer aux forces données F, P', P', etc. , est la peipendiculaire à leur plan; et nous savons d'ailleurs (a? 43) ^^^ 1^ somme des momens de oes deux forces qui sera le moment principal des forces données^ est une quantité constante*

Dans tout autre cas, le moment principal change avec la position du point 0, ; et Ton peut demander quel doit être ce point, ou ces points, s'il 7 en a plu-* sieurs, pour lesquels ce moment est un minimum. En le désignant généralement par 0| , c'est-à-dire , en faisant

nous aurons

G.' = (L+Xr,-Ya:.)«+ m+Zx,—Xz,y+ (N +Yz,-Zjr, )\

Si l'on égale à zéro ses trois diffék*ences partielles par rapport à or,, ^g, z, , afin de déterminer sa valeur minima, et si l'on observe que

on obtient trois équations qu'il est facile d'écrire sous cette forme :

548 TRAITÉ DE MÉCAMIQUC.

R*x. =x(Xjc. 4- Xr. +Z^. ) + YL— ZM, R'jr.=Y(Xx.+Yjr. + Zz.) + ZN-XL, R% =2 (Xx. + Yr,+Zz.)+XM— YN.

Or, si Ton ajoute œs trois équations après les ayoir multipliées par X , Y, Z, on trouve, une équation identique; il s ensuit donc que Tune d'elles est une suite des deux autres ; et comme les coordonnées x^jjTtf Zt, ne s y montrent qu'au premier degré, elles appartiennent à une ligne droite qui est le lien des centres des momens, par rapport auxquels le moment principal est au minimum. Il n'est pas nécessaire d'examiner lequel a lieu du maximum ou du nûmmum; car il est évident que la valeur de G, croit indéfiniment avec les variables x^^ jr^, 2. , et n'est pas susceptiUe de maximum.

2i84* En éliminant la quantité Xa7| + Yjr^ -f- Zz, , entre les équations précédentes, prises successivement deux à deux , on trouve

Yz. - zr. + N = x(NXJ:ML.+ J^-J

équations qui appartiendront aux projections sur les trois plans des coordonnées du lieu des centres des momens principaux minima.

On en déduit

r — NX -f MY + LZ , X

^« — ïï ' W

pour la valeur du moment principal mininuim, qui est ainsi la même pour tous les centres 0,.

Si Ton appelle ot,, ^, , y^j les angles que Taxe du moment G, fait avec des parallèles aux axes Ox^ 0^', Oz, menées parle point 0,, on aura

cos a, = g- , cos b, s= ^, cos 5., = ^^ ,

quel que soit le centre des momens ; et, d après les équations (a), (i), (c), il en résultera , en particulier, pour un point O, appartenant à la droite déterminée par les équations {b) ,

cosot, = g^, cos^, = g^, cos^>. =g;;

ce qui montre que les axes de tous les momens principaux mi/zima^dont la valeur commune est donnée par la formule (c), sont parallèles entre eux et à la direction de la force R.

Quand les forces données ont une résultante unique, il est évident que la plus petite valeur de G, doit avoir lieu lorsque le point 0, est pris sur sa direction ; ce qui rend cette valeur égale à zéro. Réciproquement, si la valeur de G, est nulle par rapport à un point 0, , on en conclura que les forces données P, P', P*, etc. , ont une résultante unique, passant par ce point; car si elles se réduisaient à deux forces non comprises dans un même plan , on pourrait faire passer Tune d'elles par le point 0,, et réduire leur moment principal à celui de Fautre force, lequel ne serait pas zéro, contre riiypothèsc. On conclut de là que la condition néces-

55a TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

saire et suffisante pour que les forces données aient une résultante unique, consiste en ce que leur moment principal puisse être égal à zéro. Ce moment étant alors un minimum , la condition dont il s'agit sera exprimée par l'équation

LZ + MY + NX = o,

d'après la formule (c) ; et le point 0, auquel il se rapporte , appartenant à cette résultante , les équations de la droite suivant laquelle elle est dirigée , seront

X;-, — Yar, -f- L = o, Zxt — Xj3, + M= o, Yz. — Z^. +N = o,

en vertu des équations (b). Ces résultats coïncident avec ceux du n"" :k65 qu'on a trouvés par d autres con« sidërations.