CHAPITRE m

EXEMPLES DE L'EQUILIBRE D'UN GOmPS FI.EXiJNLE.

§ t". Équilibre du poljgone funiculaire.

385. On appelle, eo général , machine Jwiiculaire, tout assemblage de cordes liées entre eUes par des nceuds fixes , ou simplement passées dans des an« neaux qui peuvent couler le long de ces cordes. Le Dombre des cordons qui viennent aboutir à im même nœnd peut être quelconque ; mais pour simplifier la question , nous supposerons que chaque nceud n'assemble jamais que trois cordons; et , en premier lieu, nouB exclurons les anneaux mobiles.

Prenons donc une corde parfaitement flexible et dune longueur quelconque , dont A et B (fig. 71 ) soient les deux extrémités. Soient M, M', M'^ etc. , différens points de cette corde ; attachons à ces points des cordons MG , M'G^ M'C% etc. , suivant lesquels agiront des forces données P, P', P', etc. ; applîqucms aussi au point M une force donnée H , agissant dans la direction du cordon MA , et au dernier des points M^ M', M'', etc. f une autre force donnée K, dirigée vers le point B. Dans Tétat d'équilibre, cette corde flexible formera un polygone dont les sommets seront

55a TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

les points A , M , M'^ M%... B^ et que nous appelle^ rons spécialement un poljgone funiculaire. Il s'agit de trouver les conditions que les forces données H , P, P', P, . . . K , doivent remplir pour que cet équilibre soit possible , et de déterminer la figure du polygone qui convient à cet état.

Pour trouver ces conditions , je pars de ce principe évident que si l'équilibre existe^ chacun des cordons MM', M'M*, etc., doit être tiré, à ses deux extrémités, par des forces égales , dirigées suivant ses prolongemens ; car si ces deux forces n^avaient pas la même direction que le cordon , rien ne les empêcherait de le faire tourner; et si elles n'étaient pas égales et contraires, elles feraient avancer le cordon suivant sa direction.

11 s'ensuit d'abord que la résultante des deux forces H et P, appliquées au point M , doit coïncider avec le prolongement MD du cordon M'M. On peut donc transporter le point d'application de celte force au point M' situé sur sa direction (^n'' /^i); enXdi composant ensuite avec la force P', appliquée à ce point, il faudra que cette seconde résultante , qui sera celle des trois forces H , P, F, coïncide avec le prolongement M'D' 4p^ cordon JVTM'; et, par conséquent, il sera permis de la transporter au point M^ Je prends encore la résultante de cette force et de P" qui agît en ce même point M* ; j'ai , de cette manière, la force qui tire le cordon M"M"' à son extrémité M", et qui doit être dirigée suivant son prolongement M"D". Cette force est, comme on voit, la r^ultante Ae& forces H, P, P', P"; un raisonnement semblable prour*

yerait qne la force qui tire le même cordon k son extrémité M'", et qui doit coïncider avec son autre prolongement M'^'D'", est la résultante des forces P% P'% . . .y K ; ces deux résultantes sont donc égales et directement opposées; et, conséquemment, la résultante de toutes les forces données H, P, P', P*. . . . K, doit être égale à zéro. On parviendrait évidemment au même résultat , en considérant les forces qui agissent aux deux extrémités de tout autre côté du polygone. Ainsi, les forces appliquées au polygone fiinicnlaire doivent %tre telles qu'en les transportant en un même point parallèlement à elles-mêmes, elles s*y fassent équilibre ; ce qui donne ^ comme on sait , trois équations entre les grandeurs de ces forces et les angles que font leurs directions avec trois axes rectangulaires menés par ce point. Ces équations sont (n? 35 )

Hcosa4-Kcos6-f-Pcos(X-f-P'cosot'+etc.= o, ) Hcos6-|-Kcos/+Pcos^+P'cosg'-f-elc.=o, > (a) H cosc4-Kcosg+Pcos5r4-P'cosy4-etc-=o; î

a, e^ ctj a% etc. , désignant les angles relatifs à Fun des axesj è,/", C, €% etc., les angles relatifs à un autre axe; et c, g, 5^, >', etc., ceux qui répondent au troisième.

386. Lorsque les forces H, P, F, P",. . . K, et les directions des cordons par lesquels elles agissent, ne satisferont pas à ces équations, il sera impossible qu'elles se fassent équilibre par le moyen du polygone funiculaire, quelque figure qu'on lui donne; mais toutes les fois que ces équations seront satis-

faites, on pourra donner au polygone une figure telle que l'équilibre ait lieu. Les grandeurs et les directions des forces H, P, F, P",. . . K, étant données, cette (igure est déterminée, et sa constructiou résulte de la suite de compositions de forces que nous venons d'indiquer.

En effet, connaissant les directions des cordons MA et MC, par lesquels agissent ks forces H et P, on déterminera la grandeur et la direction de leur résultante. Sur le prolongement de cette direction, à partir du point M, je porte la longueur donnée du côté MM'; cela fait, j'applique au point M' la résultante de H et P suivant la ligne M^M, et la force F suivant la direction donnée du cordon M!G. Je prends la résultante de ces deux forces, et sur le prolonge-ment de sa direction , à partir du point M', je porte la longueur donnée du côté M'M". Maintenant, je fais au point M'' une construction semblable à celle que je viens d'indiquer pour le point M ; j'applique en M'' la dernière résultante sur le côté 'Ml'W, et la force P'' suivant la direction donnée du cordon M'^C; je compose ensuite ces deux forces en une seule, et, sur le prolongement de celle-ci, je porte la longueur donnée du côté M''M^

Je continue ainsi jusqu^à ce que je sois parvenu au dernier des nœuds M, M^, M'', etc., qui sera , je suppose, le point M*% de sorte que M'^B soit le dernier côté du polygone. Sa direction est connue, puis** qu'elle représente celle de la force extrême K, qui est donnée par hypothèse. Il faudra donc qne la direc«* tion prolongée de la résultante des deux forces appli- j

quées au point M^% suivant le côté M'"M'^et suivant le cordon M"C'% coïncide avec la direction donnée du côté M"'B. C'est, effectivement, ce qui arrivera toujours; car, d après notre construction, la force dirigée suivant M *^M''' n'est autre choise que la résultante des cinq forces H , P, P, P", P'", transportées au point M'^ parallèlement à leurs directions ; en la composant avec la force P'% dirigée suivant M*'C'% on aura la résultante de toutes les force$ données , moins la force K; or, en vertu des équations (a), qu'on suppose satisfaites, cette résultante est égale et directement opposée à la force K (n"" 35).

Si l'on mène par le point A, les trois axes auxquels se rapportent les angles a, e, êL, a', etc., b, f, Ç, C% etc. f c, g,y,y', etc., les coordonnées de chacun des sommets du polygone, rapportées à ces axes, seront les projections sur ces mêmes axes de la partie da polygone comprise depuis le point A jusqu'à ce sommet. On pourrait les calculer, en fonctions de ces angles, des longueur des côtés du polygone et des forces données ; les formules générales que Ton obtiendrait de cette manière serviraient, dans chaque cas,' a construire directement tous les sommets du polygone, ou seulement un ou plusieurs de ces points ; mais il est plus simple de déterminer succès sivement, et les uns au moyen des autres, les différens côtés du polygone, ainsi qu'on vient de l'indiquer.

287. Quand les forces données remplissent les conditions exprimées par les équations (a), et qu'on a fait prendre au polygone la figure propre à l'équi-

libre, rintensité commune des deux forces égales et contraires qui tirent chacun des côtés suivant son prolongement, est la tension que ce cordon éprouve; il est donc important , dans la pratique , de calculer cette tension , et de s'assurer, par l'expérience, qu'elle ne dépasse pas celle qu'un cordon du même diamètre et de la même matière peut supporter sans se rompre.

Or, d'après ce qu'on vient de voir, cette tension variera d'un côté à lautre du polygone; la tension du côté MM' sera égale a la résultante des forces H et P, ou à celle des forces P', P", P'",. •. K; la tension du côté M'M'' sera égale à la résultante des forces H, P, F, ou à celle des forces P",P'",. . . K; et ainsi de suite. Il sera donc aisé, dans chaque cas particulier, de déterminer les tensions qu'éprouvent tous les côtés du polygone en équilibre, lorsque les grandeurs et les directions des forces H, P, P', P", ... K , seront toutes données.

Si les points extrêmes A et iS du polygone sont fixes, les forces H et K représenteront à la fois les tensions des cordons qui aboutissent à ces points et les pressions que ces points éprouvent. Dans ce cas, les valeurs de H et K, et des angles a, b, c, e,J*, g, qui déterminent les directions des deux côtés extrêmes du polygone, ne seront plus données; mais on aura huit équations pour déterminer ces huit inconnues', savoir , les équations (a) , les équations ( n* 6 ) cos'a -f- cos*é -f- cosV= I , cos*e + cos'y+ cos*g =i , et trois équations résultant de ce que la position des deux points fixes A et B est donnée. On formera

celles-ci en calculant les valeurs des trois coordoanées de l'un de ces points , rapportées à des axes passant par l'autre points c'est-à-dire, les projections du polygone entier sur ces trois axes, et les égalant aux valeurs données de ces mêmes coordonnées.

La détermination de ces huit inconnues sera généralement très coiïipliqaée; mais après que le polygone funiculaire aura pris de lui-même la figure propre à Féquilibre des forces appliquées à ses sommets, on obtiendra sans difficulté les tensions de ses différens cotés ; ce qui suffira pour la pratique. Ainsi , en décomposant la force P appliquée au point M en deux autres forces dirigées suivant les prolongemens des côtés ÂM et MM', les composantes, données immédiatement par la règle du parallélogramme des forces, seront les tensions de ces deux côtés. Celle qui agira suivant le prolongement de AM devra être égale à la force agissant suivant ce premier côté, lorsque le point A sera libre; et quand il sera fixe, elle exprimera la pression exercée sur ce point. Pareillement , les composantes de la force P' suivant les prolongemens de MM' et MW, exprimeront la tension de MM% déjà connue par la décomposition de F, et celle du côté adjacent M'M"; et ainsi de suite.

288. Les cordons qui forment les différens côtés d'un polygone funiculaire sont toujours un peu extensibles; chacun d'eux s'allonge d'une petite quan^ tité, en raison de la tension qu'il éprouve dans l'état d'équilibre; et lorsque cette tension est connue, on peut calculer l'allongement correspondant.

En effet ^ l'expérience prouve que tant que la

558 TRAITÉ DE MÉGANIQUE,

teasioa d'ua fil homogène et d'une épaisseur cens* tante n'approche pas de la forde nécessaire ponr le rompre, son allongement est proportionnel à sa Ion-* gueur et à la tension qu'il éprouve ; il varie d'ailleurs, d'un fil à un autre y avec l'épaisseur et la ma* tière du fil. Cela étant , je suppose que Ton attache à un point fixe un fil de la même épaisseur et de la même matière que le cordon AM , et que l'on suspende à son extrémité inférieure un poids donné n, très grand par rapport à celui du fil. Soient / et /(i +C9-) ses longueurs avant et après la suspension du poids FI ; cette quantité tar sera une fraction très petite , indépendante de / et proportionnelle à n , en négligeant le poids du fil ; en sorte que si, dans une autre expérience, les trois quantités 1,^8-^11, sont t, v\ W, en aura

'tsr = — ,

quels que soient / et l'. Or, il est évident qu'un fil attaché à un point fixe et tiré à- son autre extrémité par une force dirigée suivant son prolongement , est dans le même état que s'il était tiré par cette même force suivant ses deux prolongemens. Si donc on appelle T la tension du cordon AM, et si Ion suppose quMl se soit allongé dans le rapport de i+ r à Tunité, on aura

pour déterminer cet allongement ; et il en sera de même pour tous les autres côtés du polygone.

STATIQUE, SECONDE PARTIE. SSg

289. Soit que les points extrêmes A et B du polygone soient fixes, ou qu'ils soient libres^ si Tun ou plusieurs des nœuds M, M, W, etc., sont remplacés par des anneaux , cette circonstance donnera lieu à de nouvelles conditions d'équilibre. Supposons, par exemple , que M'' soit un anneau mobile qui puisse glisser le long du cordon M'M"M^'; il est clair que dans ce mouvement la somme des distances M'M" et M"M'^ du point M" aux points M' et M'", res^ fera constante. Or, si l'équilibre existe, cet état ne dera pas troublé en rendant fixes ces deux derniers points; mais alor$ le point M'^ sera dans le même cas que s'il était astreint à demeurer sur la surface d^oQ ellipsoïde de révolution, dont M' et M''' sont les deux foj^ers^ et dont le gnind axe est égal à la longueur donnée du cordon M'M"M'"; donc ce point ne peut rester en équilibre (n"" 36), à moins que la force P'' qui lui est appliquée ne soit perpéndicu«laire à cette surface; d'où il suit, d'après une propriété connue de l'ellipse, que la direction de cette force doit couper en deux parties égales l'angle des deux rayons vecteurs M''M' et M"M'".

Lors donc qu'en exécutant la construction du n* 286, on sera parvenu à un anneau mobile tel que M", et que l'on aura pris la résultante des deux forces dirigées suivant M"M' et M''C", dont le prolongement sera le côté M"M'"î si Ton trouve que les angles C"M"M' et C'WM'" ne sont pas égaux entre eux, il en faudra conclure que l'équilibre n'existe pas. En général, il faudra que la direction du cordon M'^C, attaché à un anneau mobile, ne

56ô TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

soit pas donnée d'avance , afin qu'on paisse , en la déterminant d'une manière convenable , remplir la condition de 1 égalité des deux angles M'M^'C' et

Observons que dans letat d'équilibre^ les tensions des deux côtés adjacens à un anneau mobile seront égales entre elles; cela résulte de ce que ces deux côtés font des angles égaux avec la direction de la force appliquée à cet anneau , et que leurs tensions sont les composantes de cette force suivant leurs propres directions; mais cette égalité de tension peut aussi être considérée comme évidente en elle-même, puisque les deux côtés le long desquels l'anneau peut glisser ne forment qu'un cordon , qui doit néces-. sairement éprouver la même tension dans toute son étendue.

290. Ce que nous disons à l'égard d'un anneau obligé de glisser le long d'un fil considéré comme ainextensible et parfaitement flexible ^ peut s'étendre à tous les points d'un système de points matériels en équilibre. Quelle que soit la liaison de ces points entre eux , on ne troublera pas cet équilibre en « fixant tous les points du système , excepté un seul. Or, si la liaison de ce point avec les autres est telle qull puisse encore décrire une surface ou seulement une ligne courbe autour de ces points fixes, il est évident que le point mobile sera dans le même cas que si la surface ou la ligne courbe existait réellement; par conséquent^ la direction de la force qui lui est appliquée doit être nonaale à cette surface ou à cette ligne.

Concluons donc que dans tout système de points matériels en équilibre ^ la force appliquée à chacun de ces points est perpendiculaire k la surface ou à la ligne sur laquelle ce point serait obligé de rester, si tous les autres points auxquels il est lié étaient regardés^ pour un moment^ comme des points fixes.

^ Quand cette condition , relative à la direction des forces et à la liaison des parties du système, n'est pas remplie, on peut être certain que l'équilibre n'existe pas ; mais elle ne suffit pas à elle seule pour assurer l'équilibre du système.

291. Si toutes les forces qui agissent sur un polygone funiculaire suspendu aux deux points fixes A et B, sont des poids donnés, il résulte de la construction du n** 286, que ce polygone tout entier sera contenu dans le plan vertical passant par ces deux points ; et cela est d'ailleurs évident en soi-même , puisqu'il n'y aurait aucune raison pour qu'il s'écartât de ce plan plutôt d'un côté que de l'autre. En prenant alors la perpendiculaire à ce plan pour l'axe auquel répondent c, g, y, y', etc. , tous ces angles seront droits, et la troisième équation {a) disparaîtra; les deux autres se réduiront à

H cos a -f- K cos 6=0, \ (h)

Hcosi + Kcos/-f- n = o, J ^/

en supposant. que les angles a, e, a, a', etc., répondent à un axe horizontal, et les angles b, f, C, C% etc., à un axe dirigé dans le sens de la pesan- I. 36

leur, et en représentaot par II la somme des poids P,

V, Vf etc. ^ appAicpiés au polyj^oae.

L'équilibre de ce polygone ne sera pas trodUe si l'on rend sa former InTariable; par conséquent^ k force n devra être égale et directement opposée à la résultante des forces H et Kr En yertu des équations (b)f elle est déjà égale et contraire à cette résultante; il faudra donc encore qu'elle passe parle point 0 (6g. 7:2 ), où les prolongemens des cordons extrêmes AM et BN Tiennent se couper^ et qu'oa peut prendre pour le point d'application commua aux deux forces H et K. Ainsi , dans l'état d'équilibre, la résultante n des forces verticales P, P', F', etc., sera dirigée suivant la verticale OD ; et , cela étant , on aura les proportions (n"* 29)

H : n :: sin BOD : sîn AOB , K : n :: sin AOD : sin AOB,

qui feront connaître les tensions des cordons extrêmes, ou les pressions H et K exercées sur les deux points fixes A et B, quand on aura mesuré les angles AOD et BOD.

292. On peut faire sur les tensions des cordons qui supportent un poids donné , la même remarque que l'on a déjà faite à l'égard des pressions éprouvées par les points d'appui d'un plan horizontal sur Lequel un poids est placé (n** 270).

Supposons que les trois cordons attachés aux points fixes A, B, C (fîg. 73), se réunissent au point M , et qu!en ce point un poids P soit suspendu et agisse sui' vant la verticale MD* Prenons un point D' sur le pro-*

longement de cette droite, et construisons le parallélépipède dont MD' est la diagonale, et qui a ses trois cètés adjacend MA', MB", MC, sur les directions des trois cordons. ^ Ton réprésente la force P par la droite Mjy, ses composantes suivant ces directions seront représentées par les droites MA', MB', MC, et elles e^prioieront les tensions des trois cordons MA, MB, MC, ou les charges des trois points fixes A , B, C, lèsqtiélles se trouveront, dans ce cas, complètement déterminées. Mais , lorsque les cordons aboutissant au point M seront au nombre de quatre , ou en plus grand nombre, on pourra décomposer la force P d^une infinité de manières différentes, suivant leurs directions; en sorte que leurs tensions et les charges des points fixes ne seront plus déterminées , et une ou plusieurs d'entre elles pourront être nulles ou prises arbitrairement. Or, cette indétermination aurait réellement lieu dans la question abstraite , oii Ton n a tenu aucun compte de l'extensibilité des cordons; mais elle n'existe plus dès qu'on a égard à cette propriété de la matière : alors tous les cordons s'allongent un tant soit peu ; leurs extensions dépendent de leur nombre et de leurs positions relatives ; et si Ton mesurait ces petits allongemens , on en pourrait conclure la tension de chaque cordon, ou la charge de chaque point fixé qui a réellement lieu.

Ainsi ^ en supposant que le cordon AM, par exeknple^ de ^it allongé dans le rapport de i-f-eT à l'unité, et sachant, d'ailleurs, qu'un cordon de même matière . et de même diamètre s'allonge dans le rapport de

1 -f- «ir à ruDÎtë^ quand on le suspend yertkalenieBl: à un point fixe , et qu'on attache le poids P a son extrémité inférieure, on en conclura (n"* ^288) que h tension éprouvée par ce cordon, ou la charge que

supporte le point A, est égale au produit -P.

Si l'on désigne par <»•' et J^', ^* et /", etc., ccq^e deviennent les fractions «zr et ^ relativement aux oh^ dons MB, MC, etc., et par ^, y, y, etc-, les angles aigus que font les cordons MA, MB, MC, etc., a?ec la verticale jVII)^ il faudra qu'on ait

- cos > + — , cos 5.' H — ;^ cos y 4- etc. =5 1,

afin que la somme des composantes verticales de toutes les tensions soit égale au poids P. En projetant les mêmes cordons sur un plan horizontal mené par le point M, et désignant par 60, c»\ a»'', etc., la angles que les projections' de MA, MB, MC, etc., font avec une droite MO tracée arbitrairement (!bm ce plan , on aura aussi

- sin y sin « -f- -7 sin y^ sin »' -(- etc. = 0,

- sin y cos û> H , sin y cos «' + etc. = 0,

tir W"

pour exprimer que la résultante de toutes les teosioD^I est une force verticale.

Quand il n'y a que trois cordons, ces trois qn«tions suffisent pour déterminer les rapports de leifls

tensions au poids P, ou les valeurs de - > -^> ■"•>*"

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 565

xioyen des angles qaé ces trois cordons font avec la fertioale MD^ et des angles compris entre les pkns le cette droite et de leurs directions. Quand il n j en 1 cjue deux, leurs directions et cette verticale sont [Tomprises dans un même plan; ce qui réduit à une seule les deux dernières équations.

§ II. Équilibre dun fil Jlexihlè.

293. Considérons d'abord un fil pesant, homogène et d'un diamètre constant; supposons-le parfaitement flexible et attaché par ses extrémités A et G (fîg. 74) à deux points fixes; et proposons-nous de déterminer la courbe ABC qu'il forme dans son état d'équilibre. On nomme cette courbe la chaînette; elle est évidemment comprise dans le plan vertical passant par les deux points fixes A et C ; car il n'y aurait aucune raison pour qu'elle s'en écaitàt plutôt d'un côté que de l'autre.

Par un point 0^ menons dans ce plan deux axes rectangulaires Ojc et Ot* , cpii seront ceux des coordonnées positives ; prenons Oor horizontal et dirigé du côté du point A, et Qt* vertical, dirigé en sens contraire de la pesanteur^ et passant par le point B; le plus bas de la courbe. Soient a: et y les coordonnées OP et PM^ rapportées à ces deux axes, d'un point quelconque M de la chaînette, et s l'arc BM aboutissant en ce point et compté du point B; et désignons par xf yy\ s\ ce que deviendront x ^ y ^ s j relativement à un autre point de cette courbe , tel que Ton ait / > j.

Si Ton appelle p le poids de l'unité de longueur du fil y lorsqu'il est couché sur un plan horizontal , p {s' —- s) sera, dans cet état , le poids d'une longueur s' — s dn même fil, puisqu'on le suppose homogène et d'une épaisseur constante. Quand il sera suspendu aux deux points fixes' A et B, ses différentes parties s'allongeront inégalement ^ à raison de leurs tensions respectives; et^ en même temps ^ leuns densités ou leurs épaisseurs diminueront de manière que leurs masses ne changent pas; par conséquent, le poids de cette longueur ^'—*^ ne ser^ plus exactement le même qu'auparavant ; mais si la matière du fil est très peu extensible, et qu'on néglige les petites dilatations de ses parties, on pourra encore prendre p{s' — s) poor le poids correspondant à l'arc MM' de la chaînette.

Soient, en outre ^ T et T' les forces inconnues qui agissent à ses extrémités M et M', et proviennent de ce que ces points sont liés aux parties CM et AM' de celte courbe. En joignant ces forces au poids /^(^ — s), on pourra considérer MM' comme entièrement libre; par conséquent, si l'on représente par ot et ^ les angles que fait la direction de la force T avec les proloa* gemens des coordonnées a: et ^ de son point d'appli*cation, et paroc' et C les angles analogues relativement 8 la force T', nous aurons

Tcos a+ T'cos af= o, )

Tco9^ + T'cosC=^(/— j), V (il) T(:rco8C— jxo» ce) +T{x'cosC — j^cos cL')s=zp{s' — j)jr„ J

pour l'équilibre de ces trois forces comprises dans un même plan ( n° 262 ) ; x, étant l'abscisse hori-

itale dn centre de grsritë de Tare MM\ Elles au-

Usn , queUe xfiie coit la Jokigoeur de cet arc :

^a la fivppose ififiniineot pethe , on pourra nié-*

^^îger, dans œs éqoatiôns , les quantités inânim^at

thés du second ordre ; mais il £emdra conserver

quantités dn premier ordre; oe qui n-empêcfaera

qu'on ne doive considérer la force T comme

étant dirigée suivant la partie MH de la langente ,

it r«xtréinité M, et la iforce T'^ suivant la partie

SCH' de la tangeaèe , k Vvatré extrémité M.

Four le faire voir, prenons sur MM' un point m Hel que l'apc Mm soit infininoent petit du second omire; ce qui permettra de négliger le poids de cette partie de la cbalnette. Si l'on ûxe le point m, Véqiiilibra ne sera pas troublé ; or^ le fil étant sup-« posé per&itement fleiciMe» il ny aurait lien qui empêchât la force T de faire tourner l'arc Mm autour de m , si elle n'était pas dirigée suivant son prolongement MH. On Vetra de même que la force T' doit être dirigée suivant M'H'.

D'après celâ^ nous aurons

dx p dr

«»*'- ^\ cobC'=^î

et en négligeant les infiniment petits du second ordre , ces dernières valeurs seront

cosd'as^-f-rf.g, cosC=f-Hrf.f.

On peut aussi prouver qu'en a T'=ssT-^ctT. En

eff^t, la quantité T est une fonction des coordonnées du point quelconque M auquel elle répond , qui devient, conséquemment, T -^dT au point M'; en ce point, elle exprime la force cpii agit sur la partie supérieure AM' de la chaînette, suivant la direction M'H^, prolongement de HTVi'. Or, si m' est un point de la courbe dont la distance à M' est infiniment petite du second ordre , la force qui agit en m' sur la partie Âm', sera la même , en grandeur et en direction, que celle qui agit en M' sur AM'; par conséquent, la partie MW de la chaînette est tirée en sens contraire, suivant MU' et m'H^, par des forces T' et T-f-dT, qui doivent être égales pour que MW demeure en équilibre.

Cela posé , je substitue ces différentes valeurs dans les deux premières équations (a), et j'y fais s' — s=:zds; elles deviennent

rf.Tf = o, d.T ! = ;«&. (b) Quant à la troisième, elle prendra la forme

en y négligeant les infiniment petits du second ordre, ce qui permet de remplacer a:^ par a: dans son second membre. Or , cette équation est la même chose que

et, comme on voit, elle est une suite des deux au-

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 569

beiM. Effectivement, le problème ne peut dépendre que de deux équations , puisqu'il n'y a que deux inconnues ^ et T à déterminer en fonctions de a: ; la première, pour connaître Téquation de la courbe, et la seconde, pour savoir quelle est la tension en un point quelconque M, c'est-i-dire ^ la grandeur des forces égales qui tirent l'élément Mm suivant ses deux prolongemens.

^94* L'intégrale de la première équation (b) est

eu désignant par c la constante arbitraire. Au point B, on a 27^^ ^ et T = c ; si donc on représente la tension en ce point le plus bas, par le poids d'une longueur A du fil, on aura c^rzph, et, en un point quelconque ,

La seconde équation (b) deviendra donc

dx

d'où l'on tire

en observant qu'on a, en même temps, j = o et

^ = 0 au point B. Ces équations feront connaître

immédiatement l'arc s et la tension T , lorsque l'or-* donnée^ aura été déterminée en fonction de x.

570 TRAITÉ DE yÉCÂVlQBE.

En mettant dans rëqnation précédente, âi la pboe de ^ y sa râleur

ds s= dx y i +^f an en déduit

hd.^

dx ss:

dr En intégrant et observant qu'on aa: = oet 2;^ = o

au point B^ on en déduit

. , = *k,g(|H.v/7rg),

€t, par conséquent^

e étant, à Tordînaire, le base des logarithmes népériens. Je multiplie cette équation par

(vA

en résulte

- V '^di» dx'

on aura donc

ds =

+ e Vdx,

rfr =

— e'vdx;

d'où Too tire

en observant que ^ =f o et jcsso, au point B, et prenant l'origine 0 des ooordonnées à la distance h au-dessous de ce point ^ de sorte qu'on ait^ = A quand ar=i=o.

Ces équations {c) donnent s^rih-^, comme plus

haut. La seconde est Tequation de la cbainette, sous la forme la plus siinple; elle montre que cette courbe est symétrique de part et d'autre de son point le plus bas.

La valeur précédente de T deviendra

en aorte que la tension en un point quelconque M est exprimée par le poids d une longueur du fil , égale k la perpendiculaire MP abaissée de œ point sur la droite horizontale^ passant par le point 0. C'est au point B que cette tension est la plus petite ; et sa valeur en ce point est pk, comme on l'a supposé.

agS. Il ne reste plus qu'2i déterminer la constante h qui entre dans ces formules. L'expression de^ fera en< suite connaître la figure de la chaînette ; mais pour que sa position soit connue dans le plan vertical passant par les points A et C^ il faudra aussi déter-

57a TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

miaer la distance de Taxe Ojr à l'un de ces points

fixes.

Pour cela , je mène par le point A nne horizontale qui coupe Taxe Ojr en un point Q^ et. par le point C, une verticale qui rencontre cette horizontale au point D. La position du point C, par rapport au point A, étant connue, les distances AD et DC seront données. Je les représente par a et ^ ; je désigne aussi par k la distance AQ; en sorte qu'on ait

AD = a, DC = 6, AQ = A, OB = A;

a et b étant des quantités données , et A: et A les deux inconnues qu'il s'agira de déterminer.

J'appellerai kf la distance QD , / la longueur donnée de la courbe ABC f g et ^ ses parties AB et BC , / la flèche BQ ; on aura

k + k' =za, g + g' =: l,

en regardant k' et g' comme des quantités positives ou négatives, selon que le point C appartiendra au prolongement de AB ou à AB même. Les ordounées des points A et C seront h +/ et h +/*— ^9 en considérant aussi la quantité b comme positive ou comme négative, selon que C sera au-dessous ou au-dessus de la droite horizontale , menée par le point A.

Si l'on fait dans les équations (c) , d'abord

a: = A, ^ = g, / = A + /, et ensuite X =: — k\ j c= — g', 7 = k^+ f — b,

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 573

il en résultera

d'où l'on tire

/ = He* - r'ï + e"^ - e"^),

De là et de A: + A:' = a ^ on conclut

et 9 par conséquent ,

-L(/ - r") = n, (rf)

en faisant, pour abréger,

ii = «, v^ï- ="•

Cette quantité /i étant composée de quantités données ^ l'équation (âf) fera connaître la valeur de et^ et par suite celle de h. En général , cette équation se résoudra par des essais ; et l'on en déduira la yaleur numérique de ol d'après celle de n , aussi exactement qu'on voudra. Si n diffère très peu de l'unité, la valeur de ci sera très petite ; en développant alors

5^4 TkAITÉ DE MÉCANIQUE,

les exponentieUes^ et négligeant la quatrième puissance de «5 on aura simplement a' = 6(7»— i). Si nous fusons aussi

nous aurons

A = ia + hQ, k' — \a — h€; et la valeur précédente de b deviendra

ce qui fera connaître la valeur de € , d*apres celle de h, et, conséquemment , les quantités A: et ^. Le signe de k' décidera de quel côté de Ojr, le point C sera placé.

Le cas le plus simple aura lieu quand les points fixa A et C seront situés sur une même droite horizontale. On aura alors 6 sar o f Téquatian (e) donnera €z=:o, et , par suite , k:s=k' z=z\a, comme cela doit être. On aura^ en même temps,

ce qui fera connaître les tensions aux points A et C , ou les charges que ces points fixes auront à supporter, après quô la valètir dé h aura été calculée. Dans le Càs général', ces tensions extrêmes se déduiront des valeurs dé jr , corresponctantes à jr := A: et jc = — A^.

ag6. Farmi toutes lés courbes de même longueur.

STATIQUE, SECX)ND£ FARTIE. SjS

qxÊji aboutissent aux points donaés' A et C ^ la <^«inàtte est celle dont le centre de gravite est le plus bas.

"Ru effet , menons par le point A ( fig. j5 ) un axe hori^ntal Ay, et un axe Xa/ vertical et dingé dan» le sens de la pesanteur. Soient ;r^ et y les coordonnées d'an pomt cjuekonqoe M^ rapportées à ees axes. du appelant x^ la distance du centre de gravité d une courbe quelconque AMC, à l'axe Ay, nous aurons

b étant la valeur de x' qui répond au point C ^ et / désignant la longueur donnée de cette courbe , de «K>rte qu'on ait

Or, d'après la foirmule (é) du n° :k>i ^. la courbe dans laquelle la première intégrale est un maximum entre tottifes lés courbes^ de même fongueur, a pour équation différentielle

» / c dx

e et d étant des constantes arbitraires. En intégrant et observant que les variables x' et j^ sont nulles enmême temps, il vient

et, par consé^foent-,

jr.' -f- C -h >^{X' + C/ — C'" = > C°' ,

576 TRAITÉ DÉ MÉCANl en disant , pour abréger ,