IQUE

c -f. v/c* — c" On tire de là

en faisant aussi

c — -VC — c'»

On aura donc

pour réquation de la courbe qui jouit de la propriété demandée. Au point C, on aura

b + cz=z\ye^^\y' i

a étant la distance donnée de ce point à l'axe Aj/; de sorte qu'on ait à la fois x^ ^rz b tï y = a. Cette équation particulière et \% longueur / de la courbe serviront à déterminer les deux constantes c et d.

Maintenant^ pour faire coïncider l'équation (/) avec celle de la chaînette^ désignons par € une constante indéterminée, et changeons les coordonnées x' eXf en d'autres , telles que l'on ait

x' + c = — jr, / = 6 — a:,-

de manière que ces nouvelles coordonnées ^ et/ soient dirigées en sens contraire de j et x\ et rapportées à une autre origine. Par ce changement, Té-

qaation {f) deviendra

j* = — \ ye'^ e ^' — \y'e ^ e**'. De'termioons la quantité €^ en posant 1 équation

et désignons par — h, la valeur commune de ces deux quantités égales^ de sorte qu'on ait

Comme on a yy' = c'', il en résultera h := c'\ et l'équation précédente de la courbe deviendra

=^iAG^+ e ^);

ce qui coïncide avec la seconde équation {c) que nous avons trouvée pour la chaînette.

297. Si la force verticale qui agit sur chaque élément du fil suspendu aux points A et C ( fig. 74 ) ^ au lieu d'être proportionnelle à la longueur de Télément ds, est proportionnelle à sa projection horizontale dx, la seconde équation (b) deviendra

p étant une constante donnée qui représente le poids d'un prisme dont la hauteur est l'unité linéaire. En vertu de la première équation (Jb)^ qui ne changera pas, on aura toujours

5^8 TRAITÉ DE MÉCANIQIŒ.

en dësignant par h une ligne de longueur inconnue, et par ph un poids équivalent à la tension au point B, le plus bas de la courbe. Il en réitéra donc

dx '

d^où l'on tire

en plaçant l'origine des coordonnées x ctjr au point B. Dans ce cas, la courbe sera, comme on voit, nue parabole qui aura son sommet an point le plus bas; et l'on aura

T = p VA' + x%

pour la tension en un point quelconque.

En employant les notations du n"* 3g5 , on aura , aux points A et C ,

et à cause de A: + ^ =» ^^ on eo conclurai

ce qui fera connaître kyk^f^ quand on aura déterminé h j dont la valeur se déduira de la longueur / du fil. On aura , en effet ,

* = J \/FT^' , */ = /^^ \/TFj^-dx\

ce qui donne , en effectuant l'intégration par les règles ordinaires,

STATIQUE, SECONDÉ PARTIE. 57g

En supposant^ pour plus de simplicité^ les deux points  et C dans une même droite horizontale, on arara

^ = o, k = k" z=: la;

réquation précédente se réduira à

kl = ^Mog^ V'h^ + k- ^ ;tVA*+ k-}

et l'on en déduira, par des essais, la valeur approchée de h , lorsque les valeurs numériques de / et ^ seront données.

Cette inconnue h se déterminera plus facilement quand la longueur / de la courbe difierera très peu de sa projection a; ce qui rendra la valeur de k très grande par rapport à a. On aura alors, en séries très convergentes,

v/jçrq-F^: h + {j^ i^, + etc..

Au moyen de ces valeurs, l'équation précédente devient, à très peu près,

h^(l— 2k):=^^k^; d^oà Ton tire

68o TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

On a choisi cet exemple ^ parce qu'il trouve une application utile dans la construction des ponts suspendus, où il est important de calculer la tension de la chaîne de suspension et la charge de ses points d'appui.

!29vS. Supposons actuellement que tous les points du fil soient sollicites par^ des forces quelconques. 11 formera, en général, une courbe à double courbure; les équations d'équilibre de chacun de ses élémens seront au nombre de trois ; et, en supposant toujours le fil parfaitement flexible, on obtiendra ces équations par les considérations que nous avons exposées en détail dans le n^ 293. De cette manière , on trouve

d.T^ + Xé^ = o,

d.T^ + Yids =2 o, ) (1)

^•T ^ + Zids = o;

x^ y^ z, étant les coordonnées rectangulaires d'an point quelconque M de la courbe, ds lelément différentiel de sa longueur, e le produit de la densité du Al et de la section perpendiculaire à sa longueur qui ont lieu au point M, de sorte que ^ds soit l'élément de la masse du fil; T la tension en ce même 'point, ou la force, de grandeur inconnue^ qui tire cet élément îds suivant chacun de ses prolongemens; X, Y, Z , les forces rapportées à l'unité de masse et parallèles aux axes des x^j^ z, qui répondent au point M et seront des fonctions données de ses trois coordonnées.

En vertu de la tension T, Félément^^ aura éprouvé vne extension et la quantité 6 une diminution, telles que la masse ^ n ait pas changé; en désignant donc par ds* et t^ ce que ces quantités étaient dans l'état naturel du fil , on aura

ids = e'ds' ;

et en supposant l'extension proportionnelle à la force qui la produit (n* 288), nous aurons, en même temps,

ds z=z {i + cùT)ds'i (2)

câ étant un coefficient très petit , dépendant de la matière et de l'épaisseur du fil au point M. Quand le fil sera homogène et d'une épaisseur constante dans toute sa longueur, é' et oo seront des quantités constantes; mais, en général, ces deux quantités pour-» ront être regardées comme des fonctions données de lare/, compté d'un point déterminé du fil et aboutissant au point M.

299. Si le fil, de nature quelconque, est seulement soumis à la pesanteur et suspendu verticalement à un point fixe que j'appellerai A, les deux dernières équa*tioDS (i) disparaîtront, et la troisième se réduira à

dT + gidx = o,

en prenant l'axe des x vertical et dirigé dans le sens de la pesanteur, et désignant cette force par g. Je place au point A l'origine des Jt-, et j'appelle Q la valeur de T qui répond à a: = o , c'est-à-dire , la charge que ce point aura à supporter. Au point quel- Conque M ,. on aura

T = Q - gfidx;

Fiotégrale étaat nulle en même temps que œ.

Appelons B Textrémité inférieure du fil; attachons en ce point un poids P, et désignons par l la longueur de ÂB. U est évident que P sera la tension au point B; on aura donc, en même temps, ar = /, et T = P ; ce qui donne

Q = P +gf^édx,

et, par conséquent,

T = P + gf îdx—gfubc.

Or, le second et le troisième terme de eette forroale sont les poids du fil entier et de sa partie AM ; il s'ensuit donc que la tension au point M est le poids de la partie BM, augmenté du poids P; ce qui est d'ailleurs évident.

La loi de l'allongement du fil dans toute^son étendue , dépend de sa nature et de son épaisseur. Je suppose , par exemple , qu'il soit homogène et partout d'une même épaisseur, ce qui rendra constant le coefficient où. En appelant x* la longueur de la partie AM , avant que le fil soit tendu, laquelle longueur devient x par Tefiet de la tension , et mettant , ea conséquence, dx' et dx au lieu de ds' et ds^ dans l'équation (a) , on aura

dx =^ (i + coT) dx'.

Soient aussi /' la longueur totale du fil avant son al-

STATIQUE, SEGONDE PàRTIE. 583

loDgement^ et p «oa poids entier. Le poids de la par*

tîe BM sera ^ I^ — -, et la tension au point M aura pour yaleur

T = p H- iSLp^.

En la substituant dans l'équation précédente^ intégrant et observant qu'on sl a/ z=z o et;r = oau point  , il vient

pour rallongement de la partie AM, On en déduit rallongement total en faisaot x's: Z' et or = /; ce qui donne

en sorte que pour avoir égard au poids du fil dans le calcul de cet allongement, il faut ajouter la moitié de ce poids à celui qui est attaché à son extrémité inférieure.

3oo. Dans le cas général , j'ajoute les équations (i J^

après les avoir multipliées P^^^> ^> T j î^ ^^ résulte

dT + i{Xdx -H Yrfr + Zds) =r o, (5) à cause de

i;^ '^ ds- ^ ds- — ^'

. ds ds ' ds ds * ds ds

Si Von suppose le fil homogène et son épaisseur confia

tante ^ et qu'on néglige la petite dilatation de sdl élémeus, la quantité e sera constante; de plus, la formule Xdlr + Ydj- H-^Z^ est, en général, la différentielle exacte d'une fonction des trois variables ^fTf h considérées comme indépendantes; en faisant donc

'Sjdx + Ydfr~\'Zdz=: — d.(p {Xyjr^ z),

nous aurons

rfT = €d.<p{a:,jr,z),

et, par conséquent ,

T = 6(p.(x,jr, 2),

en comprenant la constante arbitraire dans la fonc" tion <p. Cette constante disparaîtra dans la différence des valeurs de T relatives à deux points du fil ; il s^ensuit donc que sans avoir déterminé la figure d'équilibre, on connaîtra Taccroisseraent de la tension d'un point à un autre ; en sorte qu'il suffira que la tension soit connue en un point déterminé, pour quelle le soit aussi dans toute la longueur du fil.

Quant à la courbe formée par le fil , elle sera déterminée par deux des trois équations (1) , ou par deux combinaisons quelconques de ces trois équations, dans lesquelles on substituera la valeur précédente de T; en sorte qu'il faudra généralement intégrer le système de deux équations différentielles du second ordre pour connaître cette courbe. Son rayon de courbure au point quelconque M s'exprimera an moyen.de la formule différentielle suivante, qui n est

^ae du premier ordre ^ et qai suppose seulement connue la direction de la tangente en ce point.

Les équations (i) peuvent être remplacées par celles-ci :

qui sont la même chose que

da:dy — djd^x == (Xrfr — ^dx) '^ , dzd-x — dxd^z = (Zdlr — Xrfz) ~, \ (4) djd^z ^ dzdy = (ïdz — Zdjr) ^\

en eHectuant les différentiations et prenant Tare s pour la variable indépendante. Or, si Ton appelle p le rajon de courbure au point M, on a (n** i8)

{{dxd'r—dj'cl^xY+ {dzd^x — dx£^z)•+ {djd'z — dzd^xY']'^

d'après les équations précédentes et la valeur de T , on aura donc

^^ ■ ^{x,jr,z)ds ^

[(X^ — Yrfr)» + {Zdx — Xdzy + (ïdz - Zdxyy

Dans le cas de la chaînette , on a

X = o, Y = — g, Z-=c, (p—sj^

586 TBAITÊ DE HÉCAHIQUB.

en prenant les axes et ForigiDe des ooordeanées qne

supposent les équations (c) du n* 394. On aura donc

ds

ce qu'il est aisé de vérifier, d'après ces équations.

Soi. Appliquons ces formules au cas d'un fil tendu sur la surface d'un coips solide » et supposons , pour plus de simplicité^ qu'il ne soit soumis à aucune force donnée , de sorte que la seule force qui agisse sur ses différens points soit la résistance inconnue du solide sur lequel il s'appuie.

Au point quelconque M du fil^ soit îids la grandeur de cette force appliquée à l'élément eds du fil, et dont les trois composantes seront lS.ids , Yéds, Tikdsi ^ direction sera normale k la surface du solide, et dirigée de dehors en dedans. La pression qui aura lieu sur la partie du solide correspondant à fk sera égale et contraire à cette force ^ds^ de ipa* nière que N exprimera la mesure de la pression rapportée à l'unité de longueur.

En appelant x, f&, y , les angles que fait la partie extérieure de la normale en M avec des parallèles aux axes des x ^ jr ^ z, menées par ce point, on aura

€X = Ncos;^, 6Y = Ncos/A, «Z=Ncosir.

De plus , si L = o est l'équation de la sur£ace du solide, et qu'on fasse, pour abréger.

dx' ^ dy ^ di*J

on aura aussi (u? 21)

. «r du my dh ^r oL

COSAssVj^, COSfL=z\—, COSF=V^,

en prenant convenablement le signe de Y* Cela étante nous aurons

Xda: + Ydx + Zdz=: NV^L = oj

ce qui rendra nulle la valeur de dT- donnée par réquation (3). La tension sera donc la même dans toute la longueur du fil, quelle que soit la forme du corps solide. Je supposerai sa valeur donnée, et je la représenterai par Ar. Si le fil est attaché par une de ses extrémités à un point du corps , et qu'un poids considérable , par rapport à celui du fil qu'où a négligé , soit suspendu verticalement à son autre bout, ce poids sera ]a tension A: et la pression que le point fixe éprouvera. Si le fil est libre par ses .deux bouts, et que des poids considérables j soient suspendus , ils exprimeront les tensions extrêmes ; par conséquent , ils devront être égaux , et chacun d'eax sera la tension A:. Enfin , si les deux bouts du fil sont supposés fixes, sa tension k se déduira de sou extension, qui sera constante dans toute sa longueur.

5o2. Je désigne par X^ fjif, y', les angles que fait la perpendiculaire au plan osculateur au point M , avec des parallèles aux axes des a:, jr, z. Le rayon de courbure en ce point étant p , on aura (n"* 19)

dxd*r — ârd'^x , ds^ =/'COS»',

dzd*x — dxd*z , 5P = pcos^,

djrd^z - dzdy

Si donc on ajoute les équations (4) après les avoir multipliées par cos v, cos ft, cos A, et qaW ait égard aïix valeurs de X , Y^ Z^ qui ont lieu dans le cas que nous considérons , il en résultera

cos V cos /+ cosfjL cosf«'+ cos A cos A' = o;

par conséquent , les normales à la surface du corps solide et au plan osculateur de la courbe formée par le fil , en chaque point M , sont perpendiculaires Tune à l'autre; ce qui est la propriété caractéristique de la ligne dont la longueur est un minimum ou un maximum sur une surface donnée (n® i6i). Il s'ensuit donc qu'un fil tendu sur un corps solide , trace ^ en général, la plus courte distance d'un point à un autre sur la surface. A la rigueur, il est possible que cette distance soit, au contraire, un maximum; ainsi, par exemple , deux points donnés sur une sphère sont les extrémités communes à deux arcs de grands cercles, dont l'un est la plus courte distance entre ces points, et l'autre la courbe plane la plus longue; or, il est évident que l'équilibre du fil tendu sera rigoureusement possible sur ces deux arcs de cercle, puisqu'en le plaçant sur l'un des deux, il n'y aurait aucune raison pour qu'il s'en écartât plutôt d'un côte que

ie l'autre; mais sur le petit arc Féquilibre sera ;tal>le , et sur le grand il ne sera qu'instantané , de ioirte qu'il ne pourra subsister^ physiquement^ qu'à l'aide du frottement du fil contre le corps solide.

Si l'on substitue encore les valeurs de cX , sY, cZ^ du numéro précédent, dans la formule (5)^ on aura

, rdz dr vn k

â cause de €^ (x, /*, 2) = k. En même temps, on a

ds^ ^ ds^ ^ ds* '

COS' A + COS' /JL -f- COS' V =: I ;

la normale à la surface du corps et la tangente à la courbe du fil, en chaque point M, étant perpendiculaires l'une à l'autre, on a aussi

^cosA+f cosfi + gcosF=:o;

or , au moyen de ces trois dernières équations, on réduit sans difficulté le coefficient de N, dans la précédente, à l'unité* On a donc simplement

ce qui montre que la pression rapportée à l'unité de longueur, exercée par un fil tendu sur la surÊice d'un corps solide, est égale, en chaque point M, à la tension divisée par le rayon de courbure du^ fil ,

Sgo TRAITÉ DE MÉGAVIQDE.

c'est-à-dire, par le rajon de la sectioii normale à U

surface et tangente à la courbe du fil.

5o3. Ces résultats sercmt modifiés par le firott»ment du fil cootre la surfece du corps sur lequd 3 s*appuie. Pour montrer comment on doit ayoir ^|^rd à cette force dans l'équilibre d'un fil flexible , je vais considérer FéquiHbre dun cordon ABMCD (fig. 7^), dont la partie BMC est apfdiquée sur la gof^ dune poulie fixe, et qui est tiré, suivant les prolongemens BA et CD de cette partie, par des forces données. La poulie et la droite AB seront supposées yerticales; la force agissant suivant BA sera un poids k, et je représenterai par F celle qui agit suivaqt CD. Les tensions qui ont lieu aux points B et C suivant les tangentes BA et CD, auront i: et F pour valeurs. Je supposerai aussi, pour simplifier la question, que la poulie soH circulaire; j'appellerai c son rayon, et je prendrai son centre 0 pour Forigine des coordonnées : l'axe des 2 sera perpendiculaire k la pooKe, l'axe des jr vertical et dirigé de bas en haut , Taxe des x horizontal et passant par le point B. Enfin, je fixerai au point C l'origine de l'arc s aboutissant an point quelconque M du cordon , de sorte qu\>n ait CM = ^.

Cela posé , si le frottement était nul , il faudrait qu'on eût A: = F dans le cas de l'équilibre; mais , à raison du jfirottement , l'équilibre peut subsister tant que la différenœ de ces deux forces A: et F n'a pas dépassé une certaine limite: Concevons donc que l'équilibre soît sur le point de se rompre dans le sens du poids k; ce qui suppose qu'on ait it > F. A cet

STATIQUE, SECX>NDE. PARTIE. 691

instant ^ le frottement du cordon eontrè la ponlie ^ qui a Heu au point quelconque M, sera dirigé, sui«vaut la partie MH de la tangente, en ce point. Je représente par /x son intensité, et,, comme précédemment, par N la résistance normale qui a lieu au même point M, suivant le prolongement MO' de MO, de manière que [ids et ^ds soient les forces tangente et normale qui agissent sur l'élément êds du cordon aboutissant au point M, et que /i et N représentent ces mêmes forces, rapportées à l'unité de longueur. Si Ton mène par ce point M des parallèles Mo:' et M;^ aux axes 0«r et O^*, en aura

cos a:TVfH = — •^, cosyMH = - , cos a/MO' = - , cosj'MO' = ^-i

de là on conclut

C C ' ce'

pour les valeurs de éX et eY qu'il faudra substituer dans les équations (i). La force cZ sera évidemment nulle; la troisième équation (1) disparaîtra, et les deux premières deviendront

rf.Tj + 'ï?:^+^' = o.

Le point M appartenant à la circonférence de la poulie , on a

Sga TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

au moyen de quoi les deux équations précédentes

peuvent être changées en celles-ci :

Maïs i (j'dx — J^djr) est la différentielle du secteur décrit par le rajon OM , à partir d'une ligne fixe (n* i56), qui sera OC, par exemple. Ce secteur étant circulaire et répondant à Tare s, sa valeur est ics; on a donc

j^djo — jcdjr = cds.

D'ailleurs, on a aussi

^^ -L. r ^ — o W — -4- rrf ^ — — £fc

IF ^ H^-— ^' ds ^'ds^ ds ^'ds —^'.

ce qui réduit les équations (6) k

T = £:N , dT = fjuis;

d'où Ton tire

crfN = fjids.

La pression qui a lieu au point M, sur la gorge de la poulie , est égale et contraire à la force N ; si donc on suppose le frottement proportionnel à la pres^ sion ( n® 1^69 ) , on aura

f étant un coefficient constant qui dépendra de la

STATIQUE, SECONDE PARTIE. SgS

latare des deux surfaces eu coutact. On aura donc

A, en intégrant,

N ==: IW ;

Al désignant la constante arbitraire , et e la base des logarithmes nspériens. On aura, en même temps,

Jf È

T zn kce\ fisrzAfe\

Au point C, on a ^ = o et T =: F ; on a donc

F A =:: - ; et si Ton appelle / la longueur de Tare CMB,

on aura 5=^/etT=:A:,à son autre extrémité B« Noos aurons donc finalement

N=:-!^eS T = Fe% u^-^^e^ ,

en un point quelconque M, et, de plus,

pour réquatioB d^équiiibre.

En représeâtaat par F' le frottement total qui a Ueu dans toute la longueur de CMB , on aura

et réquation d équilibre pourra s écrire ainsi :

Si nous faisons I, 36

e" - 1=/', nous aurons

OÙ Ton voit que le frottement total F' est égal à b plus petite des deux forces A et F, multipliée par un coefficient f\ qui varie non-seulement avec la quantité J y mais aussi avec Tétendue / du contact et le rayon c de la poulie» La différence des forces A: et F, à Tinstant où l'équilibre se rompt, fera connaître la valeur de F, et leur rapport , diminué de l'unité, sera la valeur du coefficient y^, d'où Ton pourra ensuite déduire celle de^l Lorsque F sera un poids, ainsi que A:, on devra, pour plus d'exactitude , comprendre dans ces poids A et F , ceux des parties verticales BÂ et CD du cordon.

3o4- D'après les trois équations (i), il est £idle de vérifier que les six équations générales de l'équilibre (n* !i6i) ont lieu dans le cas d'un fil parfaitement flexible.

Pour cela, j'appelle K et K' les deux extrémités du fil , et Z sa longueur; et je fixe au point K l'origine de l'arc s. En intégrant les premiers membres des équations ( i ), depuis le point K jusqu'au point K', on aura

(TS)-[TS3+/;z«^=oi

STATIQUE, SECONDE PARTIE. SgS

les quantités comprises entre les crochets répondant au point K, et celles qui sont renfermées entre deux parenthèses^ au point K'. Indépendamment des forces X , Y, Z , qui agissent dans toute la longueur du fil , je suppose que des forces particulières^ données en grandeur et en direction, soient appliquées à ses deux bouts : j'appelle k celle qui agît au point K ^ et ât, ^, y^ les angles que fait sa direction avec des parallèles aux axes des oCy y^ z^ menées par ce point ; et je désigne par Ji^ (t'y €', y, les quantités analogues relativement au point K'. Ces forces k et k' seront les tensions extrêmes, en grandeur et en direction j et d'après les parties des tangentes en K et K', avec lesquelles leurs directions devront coïncider, nous aurons

les équations précédentes deviendront donc

ILeds = o , i kcos€ + k'cos€'-h r^^=^Oy \ (8) k cos y + A-'cos y' + f Zeds = o ;

et elles expriment, comme on voit, les conditions d'équilibre renfermées dans les trois premièr^^quations(i) du n* 261.

En observant qu'on a idenlicmp^'^^*^

Sgfi TRAITÉ DE MÉCAHIQUE.

on déduira des équations (i) du n* 298

Si donc on intégre ces quantités nulles depuis le point K jusqu'au point K', et que Ton désigne paru, b, Cf les valeurs de oc, jr, z, relatives à K, et par a', b', cf, celleB qui répondent à K', on aura, ea ayant égaixl aux équations (7) ,

*(acorf— *co8*)+A'(û cosC— ô'co8«')+ / (xY— :rX)i^*= o, 1 *(cco8«— «coiSy)4 A^(c'coW— a cosy )+/ Ç;6X—a:Z)«£f = 0,^(9)

pi \

k{bcotc^c cosA) -f- k\ycosc—ccosff) + / (^-Z— zY)i&= o ; J

ce qui expriine les conditions d'équilibre relatives aux momens des forces données , qui sont renfermées dans les trois dernières équations (i) du u"* a6i. Soi). Ces équations (8) et (9) serviront, en général, à déten^i^er les coordonnées a, b, c, a', b\ c\ des deux points écrémes K et K' j toutefois, il y aura

des caâ où une partie de ces quantités devra rester indéterminée. Si, par exemple, les fiorces données <|ai agissent sur le Hl sont* la pesanteur et d*autre$ forces indépendantes des coordonnées de leurs points d'application , il est évident que la position absolue du fil dans l'espace ne pourra pas être déterminée : 00 pourra alors prendre arbitrairement les trois coordonnées de l'un des points K et K'; les équations (9) détermineront les trois coordonnées de l'autre point; et, pour que l'équilibre soit possible, il faudra que les forces données satisfassent aux équations (8).

Lorsque l'un des points K et K' sera fixe , le premier par exemple, les équations (8) et (9) auront encore lieu, pourvu que l'on regarde la force k comme inconnue, eu grandeur et en direclipn, et représentant la pression que le point K aura à supporter. Dans c^ cas, les valeurs de a, à, c^ seront données; les équations (9) détermineront celles de a', b', c\ et les équations (8) feront connaître les trois composantes de la force Ar. Quand les deux points K et K' seront fixes et donnés de position , on connaîtra leurs coordonnées, et les équations (8) et (9) serviront à déterminer, en grandeur et en direction , les pressions kelV exercées sur K et K.^

Dans tous les cas, soit que les coordonnées de K et K' aient été données, soit^u'on les ait déduites dqç équations (8) et (9) , on assujettira la courbe formée par le fil à passer par ces deux points; ce qui servira à déterminer les quatre constantes arbitraires que renfermeront les intégrales complètes dp ses deux équations différentielles du second ordre. Quant à la

Sgè tRAITÉ DE MÉCANIQUE,

constante arbitraire que contiendra la fonction ^ dd n** 3oo , on déduira sa valeur de la longueur donnée du fil, c est-a-dire, de l'équation

dans laquelle on regarde ^ et jz comme des fonctions de X, De cette manière, le problème sera complètement résolu.

§ III. Équilibre dune verge élastique.

3o6. Nous entendons par cette dénomination une verge droite ou courbe, dont on ne peut changer la courbure sans j appliquer une ou plusieurs forces, et qui reprend sa forme naturelle dès que ces forces ont cessé d'agir, tandis qu'au contraire un fil parfaitement flexible conserve , sans le secours d'aucune force, la courbure qu'on lui a fait prendre, et n^est élastique que dans le sens de sa longueur. Pour qu'une verge soit élastique par rapport à la flexion , il faut qu'elle soit formée d'une matière fort peu extensible et contractible ; mais cela ne sufiit pas : il faut encore que les dimensions de son épaisseur, quoique très petites par rapport à sa longueur, aient cependant une grandeur convenable ; car, quelle que soit la matière de la verge, on peut toujours diminuer assez son épaisseur pour qu'elle n'ait plus aucune tendance sensible à reprendre la figure dont on l'a écartée, et qu'elle soit ainsi réduite à l'état d'un fil parfaitement flexible.

STAtiQUE, SECONDE PARTfE. Sgg

Lorsqu'une verge élastique est écartëe de sa forme baturclle par des forces données, chacun des filets poTigitudinaux dont elle se compose peut éprouver trois effets diffërens : chaque partie j d'une longueur aussi petite qu'on voudra, peut être contractée ou dilatée, sa courbure naturelle peut être augmentée ou diminuée, et cette partie peut avoir été tordue sur ellemême. La tendance de chaque partie à reprendre son état naturel, dépend des attractions et répulsions mutuelles qui ont lieu entre les molécules de tous les corps et ne s'étendent qu'à des distances insensibles. Le calcul des forces totales qui en résultent et doivent faire équilibre aux forces données, appartient à la Physique mathématique : je renven^ai, pour cet objet, à mon Mémoire sur YéquiUhre et le mouvement des Corps élastiques (^). Dans ce Traité , on formera les équations d'équilibre d^une verge élastique,, en partant de principes secondaires qui sont généralement admis.

On appelle, en particulier, lame élastique un parallélépipède rectangle d'une petite épaisseur, que l'on courbe dans le sens de sa longueur, de manière qu'il se trouve compris entre deux surfaces cylindriques, dont les arêtes sont égales à sa largeur. Cette dimension peut avoir une grandeur quelconque; en la divisant par des plans très rapprochés et perpendiculaires à sa direction , la lame sera partagée en veines élastiques rectangulaires. Jacques Bernouilli a déterminé, le premier, la figure de la lame élas-

(*) Mémoires de V Académie des Sciences, loiiie YIJI.

6oo TRAITÉ DE MÉGANIQIX.

tique en équilibre, d'après des considérations que oous allons développer, et qui Serviront ensuite k la solution complète du problème , dans le cas d'une verge élastique quelconque*

$07. Considérons une lame élastique encastrée par une de ses extrémités, c'est-à-dire, fixée de ma-* nière que l'un des deux petits rectangles qui la terminent perpendiculairement à sa longueur, ne puisse prendre aucun mouvement. Supposons qu'on la plie dans le sens de sa longueur au moyen d'une force appliquée à son autre bout, et qui sera la seule qui agisse sur la lame. Pour que la lame prenne une figure cylindrique , comme on vient de le dire, il faudra qu'elle soit terminée, à son extrémité li-< bre , par un rectangle inflexible , au milieu duquel on appliquera la force donnée , dans un plan per* pendiculaire à la largeur de la lame. Toutes les coupes longitudinales ou perpendiculaires à cette largeur seront égales; celle qui renferme la direction de la force donnée est représentée par la figure 77 j et les courbes AMB et A'M'B' sont les sections des deux surfaces cylindriques de la lame, qui formaient se; deux faces planes dans son état naturel.

On suppose que tous les points qui appartenaient, dans cet état, n une même perpendiculaire à ces deux faces, sont encore situés, après que la lame a été pliée, sur une même normale aux deux surfaces cylindriques; ce qui est, effectivement, conforme à ce qu'on observe dans son changement de figui^. Il en résulte que si MM' est une normale à

la courbe AMB^ elle sera aussi perpendiculaire à A^'B^^ et contiendra tous les points de la lame qui étaient situés primitivement sur une des perpendiculaires à ses deux faces ; il s'ensuit aussi que si Fon décompose la lame, dans son état naturel, en filets longitudinaux , et que la courbe CND représente un de ces filets après le changement de figure, elle coupera à angle droit en N la normale MM - .

Soit m un point de la courbe AMB, infiniment Toir sin de M; menons la normale mnm! aux trois lignes AMB, CND, A'M'B', qui les coupe eu m, n, m'; les prolongemens de MNM' et Tnnm^ se rencontreront en un point 0, qui sera le centre de courbure commun à ces trois courbes. Appelons p le rayon de courbure du filet moyen, ou également éloigné de AMB et A^M'B^; ^ la partie de ce filet comprise entre ces deux normales MNM' et rmvnf; u la distance du filet quelconque CND au filet moyen, et </ la longueur de N». En considérant cette distance u comme positive ou comme négative ^ selon que CND se trouve , par rapport au filet moyen , du côté de la convexité AMB de la lame, ou du côte de sa concavité A'M'B', le rayon de courbure NO de CND sera égal à f +u, et les longueurs infiniment petites ff' et (f seront entre elles comme p + 1^ et p , de sorte que Ton aura

En se courbant , les filets longitudinaux auront éprouvé de très petites extensions ou contractions , et les longueurs tr' et ^, qui étaient égales auparavant,

6o2 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

seront devenues inégales. Désignons par y leur grandeur primitive^ et faisons

cT et S' étant de très petites fractions, positives ou négatives, selon que le filet moyen et le filet CND se

seront allongés ou raccourcis. La fraction - est aussi

supposée très petite ; si donc on néglige le produitde

J^ et -, on aura

ce qui montre que quand le filet moyen n'aura pa& changé de longueur, les filets situés du côté de la convexité se seront tous allongés , et les filets situés du côté de la concavité, se seront tous raccourcis, les uns et les autes proportionnellement à leurs distances au filet moyen.

Cela posé, rendons invariable la forme de chacune des deux parties de la lame qui répondent à AMM'A' et Bmm'B', et que nous appellerons H et K, pour abr^er. La partie H sera immobile; la partie K sera tirée vers H » ou en sera repoussée , par la tendance de la partie intermédiaire Mmm'M' à reprendre son état naturel et redevenir une tranche d'une épaisseur constante y. Le filet Nn de cette tranche tendra à se contracter ou à se dilater, selon qu'il aura été allongé ou raccourci, c'est-à-dire, selon que la quantité J^'sera positive ou négative. La partie K sera donc tirée dans le premier cas, et poussée dans le second cas, par une

STATIQUE, SECONDE PARTIE. Bo3

'force appliquée an point n ; or, on suppose que cette force , provenant de Faction de Nn , est proportionvielle à la quantité eT' et normale à mnm% comme si ce filet TSn était isolé.

En adoptant cette hypothèse y je représenterai par ^fle<r' la force dont il s'agit, rapportée à lunité de surface , et , conséquemment , par aJ^'Àdu la force normale exercée sur l'élément transversal de la surface K, qui répond au point n; a étant une constante dépendante de la matière de la lame , A sa largeur, et ^du l'aire de cet élément. Si donc on désigne par 2î l'épaisseur de la lame, et qu'on représente par T la force totale qui tirera ou poussera K, selon qu'elle sera positive ou négative , on aura

et , en mettant pour eT' sa valeur,

T = aaAfiJ^.

Soit, en outre^ /Et le moment des forces normales à la surface de K , pfis par rapport a Taxe transversal également éloigné des deux faces de la lame; nous aurons aussi

ju = aA r* éTWm,

et, par conséquent ,

On voit par là , i*. que la force T, qui tend a contracter ou à dilater une tranche quelconque de. la lame, est proportionnelle à Tex tension positive ou né-

6o4 TRAITÉ m MÉCANIQUE,

gatire dn filet moyen^ et indépendante desatopiirlraFe; 2"". que son moment a& est, au contraire , indépendant de cette extension , et ea raison inverse du rayon de courbure; 3^. que la matière et la largeur de la lame restant les mémes^ la valeur de T est proportionnelle à son épaisseur, et celle de /x, an cube de cette dimension.

Quand le filet moyen n'a pas changé de longueur^ on a é^^azo et T ss o ; les forces parallèles qui tirent on poussent K se réduisent à deux , égales et contraires, mais non directement opposées, dont le moment, par rapport à l'axe transversal perpendi'*culaire à ces forces, est toujours égal à fi. Cetle quantité /i est ce qu'on appelle le moment de îélasticité^ lequel est proportionnel, en chaque poiot, à la courbure de la lame, ou à l'angle de contingence de son filet moyen.

3o8. Il est facile actuellement de former les équations d'équilibre de cette lame. Dabord, si l'on appelle T ce que devient la force T au point M, on voit que la tranche infiniment petit? qui répond à Mmm'M ', sera tirée ou poussée , d'un côté par cette force T', et d^ l'autre par une force égale et contraire à T ; et puisque , par hypothèse , aucune force donnée n'agit sur cette tranche, il faudra donc qu'on ait T' = T. Ainsi la force T est constante dans toute la longueur de la lame, et, par conséquent, égale à la composante suivant cette longueur, de la force donnée qui agît à son extrémité libre. La dilatation cT sera aussi constante , proportionnelle à cette force , et positive ou négative selon que cette force tendra à allonger ou ï

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 6o5

contracter les filets loogitudinauic. Elle n'aura aucune influence rar la figure de la lame; mais quand on laura mesurée, elle pourra servir à déterminer la valeur de la constante a, relative à la matière de la lame. En représehtanl par «sr un poids équivalent k la force qui tire la lame dans le sens de sa longueur, et par co 1 aire de chaque section transversale de la lame , on aura

Pour déterminer la figure de la lame , menons par le point Â, dans le plan du filet moyen, deux axes rectangulaires Ax et Aj-, dont le premier sera tangent à la courbe AMB , et représentera la direction de la lame dans son état naturel , et dont le second sera tourné du c6té de sa concavité. Soient a: et ^ les coordonnées rapportées à ces deux axes, d'un point quelconque du filet moyen ; aetb, celles de son extrémité libre, que nous prendrons pour le point d'applica* tion de la force donnée qui tient la lame eh équilibre ; PetQles composantes de cette force, suivant les prolongemens de a et 6. Par le point qui répond & ^et^, menons Taxe perpendiculaire au plan de la figure, auquel répond le moment désigné par/Ei, et faisons une section perpendiculaire au filet moyen. Pour Féquilibre de. la partie de la lâmi^ comprise entre cette section et son extrémité libre, il faudra q'œ le mo-^ ment )b&, ajouté aux momens de P et Q, par rapport â« mémeaxe, donne ttne&ottmte égale> zéro^ on ayant égard au sens dans lequel les forces dont fe est le mo-

6o6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

ment,' et les forces P et Q, tendent à faire tourner

cette partie de la lame ; on aura de cette manière

En prenant l'abscisse x pour la variable indépendante ^ et observant que la lame est convexe vers l'axe Ao? ^ on aura

où l'on regardera le radical comme une quantité positive. Si donc on substitue cette valeur dans celle de fz, et celle-ci dans l'équation précédente^ et qu'on fasse , pour abréger ^

il en résultera

pour l'équation de la courbe formée par la lame élastique en équilibre.

Son intégrale contiendra deux constantes arbitraires que l'on déterminera par les conditions / = <

et j^ = o, quand orso, ou, si Ton veut^=o et ^ = o , pour cette valeur de :r , à cause de la

petitesse de £. En faisant ensuite a: = a et jr^=zb dans cette intégrale , on aura une équation en a et bf que l'on joindra à celle qui résultera de la longueur donnée de la lame ; on aura alors les deux équatioos nécessaires pour déterminer ces inconnues a et b} et

la courbe élastique proprement dite^ sera complètement déterminée.

Sog. Si la lame^ au lieu delre encastrée, est entièrement libre à son extrémité A , il faudra poar la maintenir en équilibre^ appliquer à cette extrémité une force dont les composantes soient égales et contraires à P et Q; en prenant l'extrémité correspondante du filet moyen pour son point d'application, il faudra, de plus, que la résultante de P et Q vienne passer par ce point; ce qui exigera qu'on ait

Qa=P(è — e).

Cette équation suffira, quand la lame sera retenue par un axe fixe, passant par cette extrémité du filet moyen, et dirigé dans le sens de sa largeur. Si elle est simplement posée sur un plan perpendiculaire à sa longueur, qui ne l'empêche pas de tourner autour de Tarète d'une de ses deux faces « il faudra que le frottement de cette arête contre le plan , ou une autre force^ empêche la lame de glisser

La lame n'étant point encastrée, la direction de son plan tangent en A ne sera plus connue ; si l'on place toujours en ce point l'origine des coordonnées a: etjr, on aura encore ^=6 ou^=o, quand a: = o; mais on ne pourra plus prendre l'axe des a: sur la tangente en A , dont la direction ne sera pas donnée à priori. Cet axe sera alors la direction donnée

de la force P, et l'équation ^=0, quand a:=o,

devra être remplacée, pour la détermination des constantes arbitraires , par l'équation précédente ,

6o8 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

relative aux momens des forces P et Q^ qu'on pourra

réduire à Qa = Pô.

3 io« Supposons qu'on ait P=o; en sorte que la lame soit pliée par une force Q perpendiculaire k sa direction primitive ; ce qui est, par exemple, le cas d'une lame horizontale, encastrée par un bout, et à l'autre bout de laquelle on suspend un poids donné Q.

Je fais dans ce cas

c étant une ligne dont la longueur donnée sera généralement très grande , à moins que le poids Q ne soit aussi trèis considérable. L'équation (i) deviendra

et en intégrant de manière qu'on ait ^ = o quand xssso, on aura

On en déduit

, ^^^ (7ax — jc*) dx

ds=z

j/4c> — (3UIX — a:*)* 2c*dx

V/4c*— (OMX — Xy^

ds étant l'élément différentiel de la courbe. Ces formules s'intégreront exactement par le moyen des fonctions elliptiques; mais à cause de la grandeur de c, on a szssx , à très peu près, et Fon peut réduire à

la valeur de djr} d'où Fon tire

pour Féqnation de la courbe.

La lame s'écartera peu de la direction horizontale; Tabscisse a pourra être prise pour sa longueur^ et Fordonnée b exprimera son plus grand écart. Â cause de

3Qc' = CU»6%

si Ton fait 2€A = co , comme précédemment , nous aurons

dans le cas de :r = a et ^ = i. Il en résulte donc que la nature de la lame restant la même^ la quantité b dont elle fléchira sera proportionnelle au poids Q et au cube de la longueur ^e^ et en raison inverse du carré de son épaisseur £ eé de Faire o de sa section tranversale.

Si Fon substitue pour acù sa valeur j du n*" 3o8, et

qu'on appelle h Fallongement total aj^ de la lame p produit par un poids ^, on aura

En supposant <9* = Q^ on en conclura que si un même poids Q , appliqué à l'extrémité libre d'une lame élastique^ agît successivement dans le sens de sa I. 29

6io TRAITÉ DE MËCAiyiQfJË.

longueur et perpendiculairement à sa longueur , l'extension h et la flexion b^ supposées très petites par rapport à la longueur a^ seront entre elles comme les carres de 1 épaisseur et de cette longueur.

3i 1. Quelles que soient ]es forces P et Q, on obtiendra toujours une int^prale pi^mière de l'équation (i) en la réduisant à la forme de Féquation [2) par la transformation des coordonnées. Nous nous bornerons à considérer le cas où la lame, appuj^ée contre un plan et non encastrée^ s'écarte peu de sa forme naturelle. Ce sera^ par exemple , un ressort posé sur un plan horizontal par son extrémité inférieure  ^ et chargé d'un poids donné à son extrémité supérieure B. On suppose qu'en se pliant sous cette charge^ le ressort s'écarte très peu de la verticale ÂBy et que dans toute sa longueur, la tangente a la courbe qu'il forme dans son état d'équilibre, fait un très petit angle avec cette ligne droite. La figure 78 représente différentes formes qu'il peut prendre dans cet état.

Prenons pour axes des x et des jr , la verticale Ax dirigée en sens contraire de la pesanteur , et l'hori-

zontale Ajr. La quantité ^ sera très petite , par hypothèse; nous négligerons son carré dans l'équation (i); on aura aussi Q = o, puisque la force qui agit à l'extrémité B est verticale ; en vertu de l'équation Qa=zJfb du n° 309, il s'^ensuivra 6 = o ; et comme le poids P sera dirigé de B vers A, il faudra changer le signe de cette force dans l'équation (i), qui la suppose dirigée en sens contraire. De cette

STATIQUE, SECONDE PARTIE. 6ii

manière, cette équation deviendra simplement

en Élisant, poar abréger,

On représente ici par œ Faire de la section du ressort y perpendiculaire à sa longueur; par € sa demî-épaisseur^ dans le sens où il est plié; et par €t une quantité dépendante de la matière dont il est formé. Ces trois quantités sont supposées constantes , et par suite c est une ligne de grandeur constante et donnée.

A cause que l'on a j^=o, quand :rs=o^ on déduit de cette équation

• . «rjt: dr wk ara:

r = A sm — , -^ = — cos — ; •^ c dx c c '

k étant une constante arbitraire qui doit être nulle ou très petite par rapport à c.

Quand on aura A: = o, le ressort restera droit , et sa longueur AB sera un peu diminuée par la pression du poids P. Lorsque ce coeflficient k ne sera pas nul ^ le ressort se pliera; au point B^ on aura «r = a et jrz=zb z=,o; en désignant par i un nombre entier^ il faudra donc qu'on ait

pour la valeur de a ou de AB. Si l'on appelle / la longueur du ressort, on aura aussi

6ia TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

en négligeant la quatrième puissance de -^ et mettant pour a sa valeur ^ il vient

d*où Ton tire

Ainsi le coefficient k sera nul ou exprimé par cette formule.

5 12. Voici les conséquences remarquables qui se déduisent de ce résultat.

1®. Tant que / sera moindre que c, la formule (5) sera imaginaire pour toutes les valeurs du nombre entier î; on ne pourra pas prendre le coefficient k différent de zéro^ et le ressort ne sera pas plié parle poids P.

2*". Soit parce qu'on aura augmenté la longueur du ressort , soit parce qu'on aura diminué la quantité c en faisant croître le poids P^ supposons que / surpasse c; la valeur de A:, différente de zéro et qui répond k i=ii, sera réelle, et le ressort pourra être plié par ce poids. En désignant par / une fraction très petite , et faisant

on aura

1=1, as=6', k =fa;

STATIQUE, SECONDE PARTIE. 6f3

réquation de la courbe du ressort sera donc

wx

a sm —,

oii Ton voit qu'elle ne coupera pas la verticale entre les deux points A et B.

S"". Le rapport - continuant à croître , s'il vient à

surpasser 2 , la valeur de. k qui répond à f = ^ sera réelle, et le ressort pourra prendre une figure différente de la précédente. En désignant par^ une fraction très petite , et faisant

nous aurons

t =:: 2, a =: 2C , k :=: fa;

d*où il résultera

ce qui montre que, dans ce cas, la courbe coupera la verticale au milieu de ÂB, qui répond à a: =; ~ a« jS^. En continuant ainsi, on voit que si l surpasse un peu ic, et qu'en désignant par <p une très petite fraction, on ait

on pourra prendre

a z:^ ic, k =: ^a-y

ce qui donnera

jr =z (pa sin — i

6i4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

équation d'une courbe qui coupera la droite AB en un nombre î + 1 de points éqùidistans , y compris A et B.

Lorsque l surpasse un multiple de c d'une quantité qui nest pas très petite^ la valeur de ky donnée par la formule (5) , cesse d'être très petite par rapport à c; et celle de ^ n'étant plus alors une très

petite fraction ^ la figure du ressort ne peut plus être déterminée par l'analyse précédente. Il faut observer que^ dans tous les cas^ la figure rectiligne, qui répond à A; =: o , est possible ; mais elle n'est stable et nécessaire que quand / est moindre que c. 5i5. On entend par la force d'un ressort ^ supposé vertical pour fixer les idées, le pkis grand poids qu'il peut supporter sans fléchir. Ce poids P est déterminé par l'équation cz=zl, qui donne

OÙ Ton voit que, toutes cboses d'ailleurs égales, la force d'un ressort est en raison inverse du carré de sa longueur. Le ressort étant un parallélépipède rectangle, on voit aussi que si Ton essaie de plier successivement les faces adjacentes, sa force sera proportionnelle au carré de l'épaisseur perpendiculaire à la face qu'on voudra plier.

Quant à la grandeur absolue de P^ on la calculera en mettant dans la formule précédente la valeur de a , que l'on déduit soit de l'extension A de ce ressort, soit de sa flexion b, que produirait un poids 4r ; or ,

STATIQUE, SECONDE PARTIE. 6i5

d'après les n"" 3od et 3io^ et à cause de aJ'^^b et 41 = /, ces valeurs soot

par conséquent, on aura

p ^rwi* . p ' irwl

3 14. Les résultats du n* Soy s'étendent aisément à une verge élastique, lorsqu'on la suppose droite ou à simple courbure dans son état naturel, et qu'en la pliant elle reste encore à simple courbure et n'éprouve aucune torsion.

On prendra, dans ce cas, pour le filet moyen, celui qui passe par les centres de gravité de toutes les siectîons perpendiculaires à sa longufsur, lesquelles pourront êtr^ constantes ou variables, pourvu qu'ea chaque point leurs dimensions soient très petites par rapport au rayon de coiirbure de la verge. Soit fi> Taire de Tune de ces sections, faite par un poii^t quel-* conque du filet moyen ; décomposons eo en élémen3 perpendiculaires au plaq de ce filet ; et soit (^ l'^re de l'élément qui répond à la distance u de ce même filet; la variable u pouvant cire positive pu négative, et p désignant une fonction donnée de u. Soient aussi A: et — k les valeurs extrêmes de i^; nous aurons

la seconde équation résultant de ce que l'origine de la variable u est le centre de gravité de co.

6i6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

Daignons par d-, a^, /, J^', f , les mêmes quanti-' tés que dans le n** Soy, et par y, y, r, ce qu'étaient ^9 ^'f f9 dans l'état naturel de la verge élastique; on aura^ pour les deux états de cette yerge ^

et, pour le passage de l'an à l'antre.

Si doue on néglige les produits -^ et — ^ on en dé* duira

valeur qui coïncide avec celle du numéro cité^ dan$ le cas [de la vei^e naturellement droite, où Ton a r = 00.

Soit encore T la somme des forces perpendiculaires à cù qui tirent ou poussent Tune des deux parties de la verge y séparées par cette section normale. Appelons fi le moment de ces forces par rapport à l'axe passant par le centre de gravité de », et perpendiculaires au plan du filet moyen; d'après l'hypothèse du n^ 307, on aura

CL étant uue^quantité dépendante de la matière de la verge , [qu'on suppose constante dans l'étendue de chaque section ca y mais qui pourra varier d'un point à un autre du filet moyen. En substituant pour «T'

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 617

sa valeur précédente^ et faisant^ pour abréger,

^ ^ Kfu^du = ^ (êq^ , il en résultera

Quand la verge élastique sera à double courbure , dans son état naturel ou après son changement de figure j la force T aura encore la même expression ; de plus 9 le filet moyen étant toujours celui qui passe par les centres de gravité de toutes les sections normales, et en désignant par r et f ses rayons de courbure en un même point, avant et après ce changement , on pourra prendre cette expression de /et pour le moment de l'élasticité par rapport à un axe pas-sant par ce point et perpendiculaire an plan osculateur du filet moyen ; mais il faudra, en outre, avoir égard à la torsion de la verge, comme nous le ferons tout à Pheure.

3i5, En comparant cette valeur de jw à celle du n* 307 , on voit que l'équation différentielle seconde de la courbe plane formée par le filet moyen d'une verge* élastique qui n'a éprouvé aucune torsion , ne difierera de celle qui répond à la lame élastique proprement dite , qu'en ce qu'elle contiendra au

lieu de - , et la quantité 9 à la place de la demiépaisseur €• Si la verge est homogène , et qu'elle soit, dans son état naturel, un prisme ou un cylindre al«

6i8 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

longé, les trois quantités a, o^y V» seront constantes, et l'on aura r = oo • On en conclut que la flexion d'une verge naturellement droite, produite par un poids Q perpendiculaire à sa direction^ et la force de ce ressort , se déduiront des valeurs de 6 et P trouvées dans les n"" Sio et 3i3y en y mettant 9 à la place de €. Par cette substitution, / étant la longueur de cette verge, on aura

ou, ce qui est la même chose,

Pour deux verges différentes, mais de même longueur, les flexions produites par un même poids seront donc en raison inverse des forces de ressort ; en sorte qu'il suffira de comparer entre eUes les grandeurs de ces forces, dans les différentes hjrpothèses sur le contour de la section normale.

Supposons que la section normale soit un triangle isocèle, et qu'on veuille plier la verge, de manike que la face correspondante à la base de ce triangle devienne une surface cylindrique, concave ou convexe. Soient a et c la base et la hauteur de ce triangle. Dans le cas de la convexité, vers laquelle sont dirigées les valeurs positives de u (n* Soy) , nous aurons

et il en résultera

STATIQUE, SECOIWE PARTIE. 619

p «-'(tac'

ans le cas de la concavité , on aura d*où Ton conclut

P7r*aac^

ce qui montre que , dans ce second cas , la force du ressort est triple de celle qui a lieu dans le premier. Si la section normale est un carré représenté par y*y et qu'il s'agisse de plier le ressort ^ de sorte que deux de ses faces opposées deviennent des surfaces cylindriques, on aura

*=*'=;/, ^=/. P=îï^.

Si elle est un cercle dont le rayon sort ijb , nous aurons

et en supposant Taire de la section normale égale dans les deux cas, de sorte quon ait y*=s "TCk^, on voit que la force de ressort qui a lieu dans le premier cas surpasse celle qui répond au second, dans le rap« port de ^ à 5.

Supposons encore que le ressort cylindrique soit un tuyau creux ^ dont les surfaces concentriques, in* térieure et extérieure, aient g et ^ pour rayons. Pour avoir la force de ce ressort, il faudra mettre

successivement g et g' k la place de k dans la dernière valeur de P^ et retrancher les résultats l'un de l'autre; ce qui donne

Si Taire tt (g'' — g*) de la section normale est égale à ttA:*, on aura donc

d'où l'on conclut que le vol urne ^ la longueur et la matière étant les mêmes» la force d'un ressort creux est plus grande que celle d'un ressort plein , dans le

rapport de i -j- ^ à l'unité ; 2g étant le diamètre

intérieur, et Tck* l'aire de la section normale.

5 16. Formons maintenant les équations d'équilibre d'une verge élastique quelconque, dont tous les points sont sollicités par des forces données.

Appelons A et B les deux extrémités du filet moyen. Soiento:,^, z, les trois coordonnées rectangulaires d'un point quelconque M de cette courbe, s l'arc AM, « la section normale de la verge faite par le poiut M , y sa densité en ce point, et, conséquemment , ><wfc la masse d'une tranche infiniment mince de la verge. Désignons par Xyoûds, Yyatds, Zycùds, les forces données qui agissent sur cette masse parallèlement aux axes des x^ y^ z, de sorte que X, Y , Z , soient ces forces rapportées à l'unité de masse. La somme de leurs composantes, suivant la tangente en M au filet moyen , et tendant a augmenter l'arc s , sera

Représentons aussi par T la force provenant de Faction d'une partie de la verge sur la partie adjacente , appliquée à l'une des faces de la tranche ya>dsy perpendiculaire k û), et tendant à diminuer ou à augmenter Tare s, selon qu'elle est positive ou négative. L'autre face de yceds sera tirée ou poussée en sens contraire par une force égale à T + dT ; par conséquent, pour l'équilibre de cette tranche^ il faudra que la force dT soit égale et contraire à la force tangentielle donnée , ou qu'on ait

dT + y(» {Xda: + Ydjr+Zdz) = o; (a)

ce qui s'accorde avec l'équation (5) du n° 3oo.

A cause du peu d'extensibilité de la matière de la verge y on pourra prendre, dans cette équation (a), pour T' et o) la densité et la section normale de la verge au point M, dans son état naturel. Si ces deux quantités sont constantes, et que la formule com-r prise entre les parenthèses soit une différentielle exacte, on obtiendra, par l'intégration immédiate, la valeur de T; et, parce que l'on a T=zclcûJ' (n** Soy), on en conclura la dilatation positive ou négative de l'élément ds , qui se sera allongé dans le rapport de I -f- iT à l'unité ; mais cela ne fera pas connaître la dilatation de la section normale cû, ni le changement de densité de la verge au point M. Or , d'après ce que j'ai fait voir dans le Mémoire cité au commencement de ce paragraphe, l'allongement ou le rac-

622 TRAITÉ DE MÉGANIQUE,

courcissement de ds est toujours accompagné d'une diminution ou d^une augmentation de œ^ mais telle , que le volume ends variera dans le même sens que dSf et la densité y, en sens inverse. II s'ensuit que quand une verge homogène , prismatique ou cylindrique y est attachée par un bout ^ et tirée à son autre extrémité par une force dirigée suivant le prolongement de sa longueur, elle éprouvera , à la fois, une extension et une augmentation de volume, proportionnelles à cette force; ce qui a été effectivement confirmé par l'expérience. Réciproquement , si cette verge est posée verticalement sur un plan horizontal, et chargée d'un poids à sa partie supérieure, qui ne la fasse pas plier, elle se raccourcira , et , en même temps, son volume sera diminué proportionnellement à la grandeur de ce poids.

517. Prenons sur l'arc ÂM du filet moyen un point m infiniment voisin de M; par ce point m , faisons une section normale ; et concevons que la partie de la verge comprise entre cette section et Textremité Â, soit rendue tout- à-fait immobile, et que la partie comprise entre l'autre bout B et la section faite par le point M, devienne seulemetit de forme invariable. Cela étant, cherchons les conditions d'équilibre de cette seconde partie , que nous appellerons K.

En vertu de la torsion de la verge , les points de la tranche comprise entre les deux sections normales faites par M et m, seront sollicités par des forces qui tendront à détordre ses différens filets longitudinaux, et agiront dans des plans perpendiculaires à Mm, cest-à-^ire, à la tangente en M au filet moyen. Ces

forces tendront à faire tourner K autour de cette droite^ en sens contraire de la torsion. Soit r leur nwMnent par rapport à cette droite , que Ton appellera le moment de la torsion de la verge ^ correspondant au point M. Si Ton mène ^>ar ce point des parallèles aux axes des x^ jr ^ Zy et si Ton observe que Taxe de ce moment fait^ avec ces droites ^

des angles dont les cosinus sont ^, ^, J ^ ^^ ^^

conclura (n** 281)

pour les momens par rapport à ces trois parallèles , des forces qui agissent sur K dans le sens de la tor^sîoo.

Désignons par ft ^ le moment de l'élasticité relatif au point M ^ c cst-à-dire, le moment des forces dont T est la somme , par rapport à un axe mené par ce point et perpendiculaire au plan osculateur du filet moj^en; r et p étant les râ jons de courbure en ce même points dans l'état naturel et après le changement de forme de la lame y et € désignant une quantité positive , dépendant de la matière et de la section normale au point M^ nous aurons (n"" 3 14)

et si l'on appelle ffgfh^ les angles que l'axe de ce moment fait avec les parallèles aux axes des x^jyZ^ menés par le point M, les momens de l'élasticité par rapport à ces trois droites seront

6^4 TRAITÉ DE MÉGANIQUE.

/A COS/, fJLCOS g, fJL cos h.

Soîent M' un point quelconque de Parc MB; x\y, z\ ses trois coordonnées ; ^ Tare AM', et y/, a)\ X', Y', Z', ce que deviennent y, a, X, Y, Z, relativement à M^ En appelant Z la longueur totale au filet mojen , et faisant

[ [Y' (^' - X) - X'(y- jr)]>V^' = Z„

■^' [X' (2' — z) -r Z'{x' — ar)]>Va:f' = Y/,

ces trois quantités X^, Y^, Z^, seront les momens des forces données qui agissent sur K , par rapport aux axes menés par le point M^ suivant les directions des Xj y f z.

Enfin , supposons que des forces particulières agissent à l'extrémité libre de K; représentons par Py Qy R, les sommes de leurs composantes parallèles aux axes des œ^y^z^^X par a', h\ c\ les coordonnées du point d'application de leur résultante ; leurs momens par rapport aux mêmes axes que Z^, Y^, X^, seront u

et si Ton désigne par a^ h^ c^ les coordonnées de l'extrémité B du filet moyen , on pourra remplacer ces momens par

STATIQUE, SECONDE PARTIE. 6a5

Q C« - Jf) - P (* - 7) + R', P (c — z) — R (a — a:) + Q',

en faisant, pour abréger,

Généralement, les coordonnées c^, h\ c'^ seront distinctes de a , b ^c p parce que les forces extrêmes P, Q, R, ne seront pas appliquées immédiatement à la verge élastique, et qu'elles agiront aux extrémités de bras de levier. Soit que ces forces aient ou non une résultante unique , les quantités P', Q', R', seront leurs momens par rapport à des axes menés par le point B, parallèlement à ceux des x, ^ , jz, ; si donc on suppose qu'on ait en ce point

= cosa', £ = cosC, ^ = cosy,

et qu'on fasse

P'cos a' + Q' cos C' + R' cos>' = L,

cette quantité L exprimerai le moment des forces extrêmes par rapport à la tangente au point B (n* iiSi); d'où l'on peut déjà conclure que L sera le moment de la torsion extrême , où la valeur de T relative à ce même point.

Cela posé pour l'équilibre de la partie K de la verge . I. 4o

6a6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

élastique , il faudra que la somme des mcHnens par rapport à chaque axe , de toutes les forces qui agissent sur ses différentes tranches et à ses extrémités , soit égale à zéro; ce qui donne ces trois équations

/.co8/-r^+X;+F + R(ô-^)-Q(c — z) = o,l

^cos^-r^ + Y,+Q' + P(c-*)-R(a— x) = o,J(«)

Si 8. D'après les formules du n* 19, on a dzà^x — dxd^z

"»*= Td? '

>jds^ étant la racine carrée de la somme des carrés dtf trois numérateurs. Il en résulte

d.fi. cosj — dfd.^^ — dzd.^, d.fM cosg = dzd.^—dxd.^, d.fJL cos* = dxd.^—djrd.^, et, par conséquent ,

^d. fJL cos/ -i- £ d.fJLCosg.-h ^ d.fi cos A=^' On a d'ailleurs

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 627

4? "T- ds^ '^ d$^ — ^^

dx , àx djr M djr dz w dz dJ'^'dJ + di'^^d^ + di'^'ds =^-

Si donc on ajoute les différentielles des équations {b), après les avoi en déduisant.

après les avoir multipliées par ^z» f'f X» ^^ aura.

mais à causç que les quantités soumises à Tintégration dans les expressions de X^, Y^, Z^, s'évanouissent à la limite / = s, il suffit (n"" i4) de différentier sous les signes f par rapport k x^j, z, pour obtenir les valeurs de dX.^, dY^ , dZ^ ; on a donc simplement

ax^ = dzJ^^X'yWds^ — rfr//zyû)W,

dï^=^dx y 'ZV'«W — dz f^^%fyWds\

dZ, = djrf^X'yWd/ — dxJ^yWd/;

* et en substituant ces valeurs dans l'équation précédente , eUe se réduit à rfr = o.

Ainsi le moment de la torsion est constant dans toute la longueur d'une verge élastique en équilibre, quelles que soient les forces qui y sont appliquées.

Sa valeur sera donc partout la même qu'à chacun des deux bouts de la verge; et il est facile de vérifier qu'au point B, on a t=:L, comme on l'a dit plus haut. En effet, en ce point, on a, x = a, y — &,

z=:c} les intégrales li^,Y^,Z^, s'évanouissent, et

les équations Çb) deviennent

T cos a' =: /tt cos y + P', T cos f ' = /t cos g + Q',

T COS y Z=z fJL cos h + R'.

A cause que la normale au plan osculateut* du filet moyen et la tangente à cette courbe, sont perpendiculaires l'une à l'autre, on a ^ en ce même point B,

cos aJ cosf + cos Ç' cos g -f- cos >f' cos A = o ;

en ajoutant donc les équations précédentes , après les avoir multipliées par cos a', œs €', cos y', la quantité fjL disparaîtra, et, d'après la valeur de L, on aura T = L.

Le moment de la torsion peut seul se déduire des équations d'équilibre ; quanta la torsion elle-même, sa grandeur est variable le long de la verge, lorsque la matière ou la section normale varie d'un point à un autre. Si la verge est homogène, et que la section normale soitconstante, la différence des angles de torsion est la même aux extrémités de deux parties de la verge, d'égales longueurs, et proportionnelle aux longueurs, quand elles sont différentes. Supposons, pour fixer les idées, qu'une verge homogène, prismatique ou cylindrique, soit encastrée par un bout, et qu'on applique à son autre extrémité deux forces égales , parallèles et contraires, agissant à distances égales et de deux côtés différens ; cette verge restera droite } mais elle se tordra sur elle-même, proportionnelleixient à sa longueur et au moment de ces deux forces

par rapport à son iSIet moyen , lequel moment sera la valeur de la quantité L. J'ai trouvé, en outre, dans le Mémoire déjà cité (n* 5o6), que si la section normale de cette verge est un cercle, la quantité de la torsion sera proportionnelle, toutes choses d'ailleurs égales, à la quatrième puissance de son diamètre; ce qui est conforme à Texpérience.

3 19. Deux des équations (£), ou deux combinaissons quelconques de ces équations, après qu'on y aura substitué la valeur de jbt et mis L à la place de r, serviront à déterminer la figure de la verge en équilibre. Si elle est droite dans son état naturel, et que toutes les forces qui y sont appliquées soient comprises dans un même plan , les trois équations (b) se réduiront à une seule qui sera celle de la courbe plane formée par le filet moyen.

Prenons le plan de ces forces pour celui des x etj'} nous aurons

z = o, cosy=o, cosg=so,

cssô, c'=:o, R = o, cosy'=i.o;

d'où il résultera

X^=o, Y^=so, P' = o^ Q'=so, T = L:=o?

et les deux premières équations (b) s'évanouiront.

A cause de r=s oa, la valeur de fi se réduira à- ;

on aura aussi cos A = ± i ; mais en ayant égard au sens de l'action de T Sur la partie E de la verge (n° 3 14), il est aisé de voir quil faudra prendre cos A= — 1 dans la troisième équation {b), qui

63o TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

deviendra, de cette manière,

et Ton remarquera qu'en conservant les notations du n* 5i4, le coefficient C aura pour valeur

Lorsque les forces X et Y seront nulles , cette équation (c) coïncidera avec l'équation (i) du n* 3o8, en observant que dans celle-ci^ les forces P et Q agissent à l'extrémité même de la verge, ce qui rend nul leur moment R'. Dans tous les cas^ on fera disparaître par des difierentiationSy les intégrales contenues dans cette équation {c)^ qui se changera par là en une équation différentielle du quatrième ordre.

La figure de la verge étant déterminée par l'équation (c), il faudra en outre que les forces données qui y sont appliquées , satisfassent aux conditions d'équilibre du n** 361 , qui se réduisent à trois ^ à cause que ces forces sont toutes comprises dans un même plan. Désignons donc par D et E les sommes des forces particulières qui agissent à l'extrémité A de la verge, parallèlement aux axes des x et y y et par F' leur nkoment pat rapport à ce point A , de manière que D, E, F', soient à Tégard de ce point, ce que P, Q, R', sont relativement à l'antre extrémité Bj les trois équations dcmt il s'agit se^ ront

D + P+r XV«V/=o,

+f^ [YV - ^) - x'cr - j-)] y.'ds'=. o, ^

où Ton mettra pour a: et j les coordonnées du point A.

Lorsque les deux bouts de la verge seront entièrement libres , les forces extrêmes et leurs momeos seront donnés. Si la verge est encastrée à son extrémité A, les forces D et E, ainsi que leur moment F% seront indéterminés; mais on connaîtra les valeurs

âc jc f jr, -j- , relatives à ce point A. Si la verge est

seulement retenue par le point fixe A , les forces D et E seront encore indéterminée^ ; leur résultante sera égale et contraire à la charge de ce point d'appui , dont elle exprimera la résistance , et l'on aura F'=o pour leur moment : on connaîtra alors les valeurs

de x etjr, mais non plus celle de ~. Les mêmes remarques s'appliquent au point B.

320. Supposons^ par exemple ^ que la verge soit homogène et naturellement prismatique ou cylindrique ; ce qui rendra constantes les trois quantités y^ C0, €. Supposons, en outre , qu'elle ne soit sou-* mise qu'à des forces perpendiculaires à sa longueur, qui l'écarlent très peu de sa position primitive; et prenons pour Taxe des x, le filet moyen dans cettç

63a TRibITÉ DE MÉCANIQUE,

position; on aura alors

ce qui fait disparaître la première équation (d). En négligeant le carré de ^ > on aura aussi

et l'équation (c) se réduira à Cg:=R'+Q(a-a:)+>«//Y'(x'-x)ai'. (e) En la différentiant une première fois, on a

On a aussi (n® i4)

d.f^^Tds^ = — Yds;

en différentiant une seconde fois, et mettant dx au lieu de ^, on aura donc

Les quatre constantes arbitraires que contiendra l'intégrale complète de cette dernière équation , se détermineront d'après les conditions relatives aux deux bouts de la verge, et en observant que la valeur de^ tirée de cette équation devra satisfaire aux deux précédentes pour toutes les valeurs de a:. Or, réquation (/) résultant des deux autres par la diffé-

rentiation, îl suffira^ pour cela ^ que cette valeur dejr satisfasse à celles-ci pour une valeur particulière de x; il suffira donc qu'on ait

■ «g=R'' «ê=-o. fe)

pour a:=a ; conditions qui résultent de l'équation (e) et de sa difierentielle première^ en y donnant k x cette valeur particulière. Si l'on y donne à or la valeur relative au point A^ et qu'on ait égard aux équations {d) , on aura

«g — f'. «ê=Ei w

mais ces équations n'expriment pas de nouvelles con« ditions distinctes de celles que renferment les équations (d) et (g), que l'on pourra, si l'on veut, rem-, placer par le système des équations (g) et (h).

321 . Ces formules comprennent le cas de la verge pesante. Alors, je suppose le point A fixe, et j'y place l'origine des coordonnées a: et ^; je suppose aussi que Taxe des x, qui représente la direction naturelle de la verge, soit horizontal ; je prends l'axe des jr positives dans le sens de la pesanteur, et je représente cette force par g. On aura Y = g, et l'intégrale de l'équation (/) sera

6y = ^ar^ + Cjt' + C'jf + C'o:; (i)

C, C, C^ désignant trois constantes arbitraires, et la quatrième étant nulle, à cause qu'on a <r=:o et jc=zo SLU point A.

Supposons la verge encastrée à cette extrémité; il

£3iudra qu'on ait aussi ^ = o quand jc = o ; d'où il

résulte €"== o. Supposons, en outre , que le poids Q soit attaché immédiatement à l'autre extrémité B, de sorte que son moment R' soit zéro; en vertu des équations (g) , qui répondent à ce point , ou à a: =: o , on aura

igya)a^ + 6Ca + aC == o,

gycùa + 6C = — Q.

Je tire de là les valeurs de C et C^ je les substitue dans l'équation (i), dont je supprime le terme C'x; j'appelle q le poids de la verge , de sorte qu'on ait ijl=: gye^a'y il vient

équation qui coïncide avec celle du n* 3io, quaod on néglige le poids de la verge , et qu'on y met Qc* à la place de €•

Pans les deux cas de Q = o et ^ =r o, on a

pour l'ordonnée du point B , qui exprime la flexion totale de la verge. En supposant Q s= ç, on voit donc que les flexions produites par un poids Q suspendu à l'extrémité libre d'une verge horizontale encastrée par son autre bout , et , par ce même poids , réparti uniformément sur toute la longuetir de cette veige^ sont entre elles comme 8 est à S.

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 635