TRAITÉ
I . La matière est tout ce qui peut affecter nos sens d^une manière quelconque.
Les corps sont des portions de matière limitées en tous sens, et qui ont, par conséquent, une forme et un volume déterminés. On appelle masse d'un corps, la quantité de matière dont il est composé.
Un point matériel est un corps infiniment petit dans toutes ses dimensions; en sorte que la longueur de toute ligne comprise dans son intérieur, est infiniment petite, c'est-à-dire, moindre que toute longueur qu'on puisse assigner. On peut regarder un corps de dimensions finies, comme un assemblage d'une infinité de points matériels , et sa masse comme la somme de toutes leurs masses infiniment petites.
1. Un corps est en mouvement y lorsque ce corps ou ses parties occupent successivement difiérens lieux dans l'espace. Mais Vespace étant infini et partout identique, nous ne pouvons juger de l'état de mouvement ou de repos d'un corps, qu'en le comparant à d'autres corps ou à nous-mêmes; et, pour I. 1
a TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
fptte raison, tous les mouvemens {[iie nous observons sont nécessairement des mouvemens relatifs.
Tous les corps sont mobiles; mais )a matière ne se meut jamais spontanément; car il n'y aurait pas de raison pour qu'un point matériel se dirigeât plutàt d'im côté que de l'autre; et, en effet, si nous considérons un corps à l'instant où il passe de l'état de repos il l'état de mouvement , nous reconnaissons toujours que ce changement est dfi à l'action d'une cause <''trangére ou sans laquelle nous concevons que ce cor|)s pourrait d'ailleurs exister.
On donne , en général , le nom àe force à la cause quelconque qui met un corps en mouvement, ou seulement qui tend à le mouvoir, lorsque son effet est suspendu ou empêché par une autre cause.
3. Lorsque plusieurs forces sont appliquées à la fuis à un même corps, elles se modifient réciproque» ment, en vertu de la liaison qui existe entre ses parlies, et qui les empêche de prendre le mouvemoit chacune d'elh?
mTRODUCnON. 3
que prend un mobile j quand les forces qui lui sont appliquées ne se font pas équilibre.
Les géomètres étant parvenus j comme on le verra dans la suite , à réduire toutes les questions de mouvement à de simples problèmes d'équilibre , il serait naturel d'exposer d'abord la Statique entière et ensuite la Dynamique ; mais, pour faciliter Tintelligence des matières 9 il a paru préférable, dans l'enseignement y de s'occuper de la partie la plus simple de la Dynamique , avant de considérer les questions générales de l'équilibre. C'est cet ordre que je suivrai dans cet ouvrage.
4- Il y aura trois choses à considérer dans une force agissant sur un point matériel : la position de ce point, l'intensité de la force et sa direction, c'està-dire, l'espace rectiligne qu'elle tend à faire parcourir à son point d'application. Toutefois , on ne doit pas confondre un point matériel avec ce quon appelle un point en Géométrie , où ce mot désigne l'extrémité d'une ligne, ou l'intersection de deux lignes qui se coupent; l'espace que parcourt un point matériel n'est pas non plus une ligne privée de deux dimensions; mais ce corps étant infiniment petit en tous sens, et la laideur et l'épaisseur de l'espace que la force tend à lui faire décrire , étant aussi infiniment petites, on déterminera sa position et la direction de cette force, de la même manière que l'on détermine la position d'un point et la direction d\ine droite en Géométrie.
Ainsi, d'abord, la position dans l'espace, du point d'application d'une force, se déterminera , en général,
4 TRAITÉ DE MÉCANIQIIK.
au moyeu de ses trois coordonnées parallèles aux intersections de trois plans rectangulaires; ce qui, comme on sait, ne laissera aucune indécision, quand on aura égard , en même temps, au signe et à la grandeur de chaque coordonnée. Quelquefois aussi , nous emploierons les coordonnées polaires, savoir : le rayon vecteur du point donné , ou sa distance à leur origine, l'angle que fait ce rayon avec une droite fixe menée par celte origine, et l'angle compris entre le plan de ces deux droites et un plan fixe passant par la seconde,
5. Les forces ne peuvent se mesurer qu'en prenant pour uitité une force convenue, et en exprimant par (les nombres les rapports des autres forces à cette unité; ce qui exige que l'on définisse, d'une manière précise , ce que l'on doit entendre par une force égale à une autre, et par une force double, triple, quadruple,... d'une autre, indépendamment de la nature particulière de ces diverses causes de mouvement.
autre force, il faudra entendre que la première peut être regardée comme formée d'un certain nombre de forces reconnues égales à la seconde , et agissant dans une même direction . C'est de cette manière que les forces deviennent, quelle que soit leur nature particulière, des quantités mesurables que Ton |>eut exprimer par des nombres, comme toutes les autres sortes de quantités , en les rapportant à une unité de leur espèce. On peut aussi représenter leurs intensités par des lignes proportionnelles à ces nombres, que l'on porte sur leurs directions, à partir du point où elles sont appliquées ; ce qui a l'avantage de simplifier l'énoncé des théorèmes.
6. Les points d'application des forces et leurs intensités étant ainsi déterminés, il ne nous reste plus qu'à nous occuper de leurs directions.
Soit M ( fig. i" ), le point d'application d'ime force; représentons sa direction par la droite MD, de manière que cette force tende à faire avancer le point M, de M vers D; par le point M menons trois axes rectangulaires MA, MB, MC, qui seront, en général , parallèles aux axes des coordonnées , et dirigés dans le sens des coordonnées positives; désignons par A 9 ^ 9 > ) 1^ angles aigus ou obtus que la direction MD fait avec ces axes , de sorte qu'on ait
AMD = a, BMD=f, CMD^>;
je dis que cette direction sera complètement déterminée quand ces trois angles seront donnés.
En effet, en ayant seulement égard aux deux angles a et ^, il faudra que la ligne MD se trouve à la
fois sur deux cônes droits, dont le sommet commun est au point M, et qui ont pour axes les droites IVIA et MB. Il faudra donc que a et ^ soient tels, que ces deux cônes puissent se couper; ce qui aura lieu alors suivant deux arêtes situées dans un même plan perpendiculaire au plan AMB, et qui feront, avec Taxe MC, deux angles supplémens l'un de Tautre. La droite MD pourra donc encore avoir deux positions différentes; mais Tangle y étant aussi donné, on saura s'il est aigu ou obtus, et Ton pourra choisir entre ces deux positions celle qui convient à la direction de la force.
Cette construction montre , en outre, que les angles a, é, ^, ne peuvent pas être pris tous les trois au hasard. Il existe effectivement entre les cosinus des angles qu'une même droite MD fait avec trois axes rectangulaires , une équation
cos*a -f- cos* 6 -+-cos*5^ = i , (i)
que Ton démontre en prenant sur la droite MD, à partir du point M, une ligne égale à l'unité , et formant un parallélépipède rectangle, dont cette ligne soit la diagonale , et qui ait ses trois côtés adjacens sur les trois axes MA, MB, MC. Ces trois côtés seront les cosinus des angles a, ^, ^; et la somme de leurs carrés devant être égale au carré de la diagonale, d'après un théorème connu, il en résultera l'équation qu'on vient d'écrire.
7. On adoptera, dans ce Traité, la division de la circonférence en 36o", du degré en 60 minutes et de la minute en Ho secondes. I^i leltre ^ sera constam-
INTRODUCnON. 7
ment employée à représenter la demi«circonférence , dont le rayon est égal à l'unité; de sorte que l'on aura
Le quart de la circonférence répond à l'angle droit ou à l'angle de v'Î24ooo"; il s'ensuit que la longueur de l'arc correspondant à un angle d'un nombre quelconque n de secondes , sera le quatrième terme d^me proportion, dont les trois premiers seront t^tt^ n et 324000". En désignant cette longueur par «z?*, il en résultera
20626498* • • Le logarithme ordinaire de ce diviseur constant est
Dans les calculs numériques, ce sont les arcs ainsi calculés qu'on devra employer à la place des angles» qui ne seront pas compris sous les signes trigonométriques sin^ cos, tang.
Pour qu'on puisse , au moyen des angles et^Zy y^ représenter la direction d'une force dans toutes les positions possibles autour de son point d'application, il faudra et il suffira qu'ils s'étendent depuis zéro jusqu'à 1 80° inclusivement, Si , par exemple , Taxe MC est au-dessus du plan des autres axes MA et MB , Tangle y devra être plus petit ou plus grand que 90®, selon que la droite MD sera située au-dessus ou audessous de ce plan ; il sera zéro quand la direction MD coïncidera avec MC, et égal à 180° quand MD coïncidera avec le prolongement MC de MG. Les cosinus de ât, ^,7, pourront donc être positifs ou né-
galifs; mais leurs sinus seront toujours positii's, puisque ces angles ne dépasseront jamais i Ho".
En généra) , si nous considérons le prolongement MD' de la droite quelconque MD , il est évident que les angles qu'il fait avec les trois axes sont supplémens de ce , € ^y. En faisant donc
AMD'=a', BMD' = e', CMD' = >',
nous aurons
cosa'= — cosa, cosff' = — cos€, cos5''= — cosj. ( d'où il suit que les directions de deux forces qui agissent en sens contraire sur un même point M, l'une suivant MD, l'autre suivant MD', se distingueront l'une de l'autre par les signes des cosinus des angles qui leur correspondent.
8. Au lieu des trois angles a, Ç, j-, liés entre eux par l'équation (i), on pourra n'employer que deux angles indépendans l'un de l'autre, pour déterminer la direction d'une force.
En effet, soit ME la projection de MD sur le plan
INTRODDCnON. 9
La projection sur le plan AMB de la diagonale du parallélépipède précédemment indiqué ( n^ 6) sera le cosinus de l'angle DME, ou égale a sin y. Si l'on projette de nouveau cette projection sur l'axe Ma, cette seconde projection se déduira de la première , en la multipliant par cos cT; elle coïncidera, d'ailleurs, avec la projection de la diagonale du parallélépipède- sur ce même axe MA , et sera , conséquemment , égale à cos a; par conséquent, on
cos a =sin^coscr.
On trouvera de même
cos € = s\ny sin «T;
et ces deux formules serviront à transformer les équations où l'on aura fait usage des angles a, €, y^ en d'autres où l'on n'emploiera plus que y et J^. On vérifie immédiatement qu'elles satisfont à l'équation (1).
9. Il existe une autre équation qui comprend, comme cas particulier, cette équation (i), et qui nous sera souvent utile.
Pour la former, soient Xj y y z, les coordonnées d'un point quelconque M (fîg. 2) rapportées aux trois axes rectangulaires Ox, O^, Oz. Appelons r son rayon vecteur CM, et a, ff, j^, les angles aigus ou obtus que fait ce rayon avec les trois axes, de sorte qu'on ait, par exemple,
2jOM = >.
Si l'on abaisse du point M une perpendiculaire MN
lo TRAITÉ DK MÉCANIQUE.
sur l'axe Os, la droite ON sera l'ofclaiinée z, et
dans le triangle rectangle MON, on aura
z = r cos y ;
on trouvera de même
y =: r cos C, X =■ r cos a.
Soit M' un autre point, et désignons par x", y, z', f", a', C, y', ses coordonnées, son rayon vecteur et les angles relatifs à cette droite; nous aurons aussi
jt' = r' cos a.', jr" =: r" cos Ê', z' =: r' cos y'.
Appelons u la distance MM'; on aura, comme on sait,
et si l'on représente par t l'angle MOM', on aura en même temps
u^ =: r* + i" — a/r" cos i ,
d;ins le triangle dont r, r", w, sont les trois cotes.
cos î = cos a cos a' + cos € cos 6' -♦- cos y cosy' ; (a)
ce qu'il s'agissait de trouver.
Lorsque les deux droites OM et OM' coïncident, les angles a', €'y y\ sont les mêmes que a, ^, >, et cette formule se réduit à Téquation (i). Quand ces deux droites sont perpendiculaires Tune à l'autre , on a € = 90® , et par conséquent
cosotcosa' cosf + cos€'-*-cos^cosy :=o.
En mettant dans les valeurs de Xy y^ Zy celles de cos et et cos f , qu'on a trouvées dans le numéro précédent , on aura
x = rsin}<cos£r, j^ = rsin)< sincT, z = rcos>;
formules dans lesquelles les trois variables r^ y^ i sont les trois coordonnées polaires du point M, telles qu elles ont été définies dans le n^ 4 9 et qui serviront, par conséquent, a transformer les coordonnées rectangulaires en coordonnées polaires.
10. La considération des projections dont on s'est servi dans le n^ 8, sera souvent employée dans cet ouvrage; il convient donc d'exposer ici leurs premiers principes.
La projection d'une droite sur une autre droite est la partie de celle-ci qui est comprise entre les pieds des perpendiculaires abaissées des deux extrémités de la droite projetée. Ainsi, les différences x'-— x, y —J^ js'— z, des coordonnées extrêmes sont les projections de la droite MM' sur les axes des x^jr^ z ; et , d'après la première valeur de u^^ la somme des carrés des projections d'une même droite sur trois axes rectangulaires
est égaie au carré de cette droite. Si la droite projetée et celle sur laquelle on la projette sont dans un même plan, la projection est égale et parallèle à la base d'un triangle rectangle, dont la droite projetée est l'hypoténuse; en sorte que si l'on désigne par / la longueur de cette droite, par \ celle de sa projection, et par i l'angle de ces deux droites, on a
A =: / ces /,
La projection d'une surface plaue sur un autre plan , est la partie de ce plan terminée par la projection du contour de la surface projetée, c'est-à-dire, parla courbeque forment les pieds des perpendiculaires abaissées de tous les points de ce contour. Or, l'équation précédente subsiste encore, si l'on y met à la place de / J'aire de la surface projetée , et au iieu de A l'aire de sa projection; / étant alors l'inclinaison d'un plan sur l'autre, pour laquelle on ])eut aussi prendre l'angle compris entre tes perpendiculaires à ces deux plans.
En effet, décomposons l'aire de la surface proietée
INTRODUCTION. i3
esi égal à la somme des carrés de ses projections sur trois plans rectangulaires, en prenant pour l'inclinaison sur chaque plan Tangle que fait la normale à la surface donnée avec les perpendiculaires à ce plan | et ayant égard à Féquation (i).
II. Lorsque dans une question, on considérera un système de forces parallèles , on pourra supposer que l'un des trois axes rectangulaires MA, MB, MC, (fig. 1^), leur est aussi parallèle. Alors deux des trois angles a, f , >9 les deux derniers, par exemple, seront droits pour toutes ces forces; et l'équation (i) se réduira à
cos' et= i;
d'où l'on tire a = o ou a = i8o®.
De cette manière , la direction de chaque force serait fixée, en disant qu'elle fait avec l'axe MA un angle nul ou un angle de 1 80^ ; mais dans ce cas particulier, il sera plus simple de déterminer cette direction par le signe de la force , en regardant comme positives les forces qui agissent dans un sens, et comme négatives celles qui agissent dans le sens opposé.
Au reste , le cas des forces parallèles sera le seul où nous considérerons des forces positives et des forces négatives ; dans tous les autres cas, les quantités qui représenteront les grandeurs des forces, dans le calcul, seront positives, et la variation de signe ne tombera que sur les cosinus des angles que leurs directions font avec des axes fixes.
la. Ce qui précède renferme les définitions préli-
t4 TRAITS DE MECANIQUE,
ininaires, et des détails stifïisans sur la détermination des grandeurs et des directions des forces; mais, dans cet ouvrage, j'emploierai exclusivement la méthode des infiniment petits; c'est pourquoi il est nécessaire de rappeler, dans cette introduction, les principes de l'Analyse infinitésimale, et parmi les formules qui s'en déduisent le plus immédiatement, celles dont nous pourrons avoir besoin par la suite.
Un iiijtnimcnt petit est une grandeur moindre que tonte grandeur donnée de la même nature.
On est conduit nécessairement à l'idée des infiniment petits, lorsque l'on cousidère les variations successives d'une grandeur soumise à la loi de continuité. Ainsi, le temps croit par des degrés moindres qu'aucun intervalle qu'on puisse assigner, quelque petit qu'il soit. Les espaces parcourus par les difîiérens points d'un corps, croissent aussi par des infiniment petits; car chaque point ne peut aller d'une position à une autre, sans traverser toutes les posi-
INTRODUCTION. i5
qu'on appelle un infiniment petit du second ordre. Par exemple, la corde d'un arc de cercle étant supposée infiniment petite , le sinus verse du même arc est un infiniment petit du second ordre, puisque le rapport du sinus verse à la corde est toujours le même que celui de la corde au diamètre, et devient , par conséquent , infiniment petit en même temps que le second rapport.
De même , b étant déjà un infiniment petit du second ordre , si Ton suppose que le rapport de c k b soit un infiniment petit du premier ordre, on appellera c un infiniment petit du troisième ordre; et ainsi de suite.
Il suit de là qu un produit composé d'un nombre n de facteurs infiniment petits du premier ordre , devra être rangé dans la classe des infiniment petits de Tordre /i.
L'aire d'une surface infiniment petite dans toutes ses dimensions est au moins un infiniment petit du second ordre; car elle est moindre que le carré de la droite la plus longue qu'on puisse mener d'un point à un autre de son contour , laquelle droite est infiniment petite, par hypothèse. On verra de même qu'un volume dont toutes les dimensions sont infiniment petites, est au moins un infiniment petit du troisième ordre , puisqu'il est moindre que le cube de la plus longue droite menée d'un point à un autre de sa superficie.
Cela posé, le principe fondamental de l'Analyse infinitésimale consiste en ce que deux quantités finies, qui ne diflPèrent l'une de l'autre que d'un
il» TRAITÉ DE MÉCANIQLiK.
in6nimenl petit, doivent èlre regardées comme égales, puisqu'on ne saurait assigner entre elles aucune inégalité, aussi petite que l'on voudra.
Il en sera de même à l'égard de deux quantttéa infiniment petites du premier ordre, dont )a difiërence est infiniment petite du second ordre, et, généralement, à l'égard de deux infiniment petits d'un ordre quelconque, qui ne diffèrent l'un de l'autre que d'un infiniment petit d'un ordre supérieur : on tes considérera comme des quantités rigoureusement égales, et leur rapport , comme égal à l'unité.
On énonce encore ces principes d'une autre manière, en disant qu'il est permis de négliger dans un calcul, sans crainte d'altérer aucunement !es résultats, soit les infiniment petits ajoutés à des quantités finies, soit les quantités infiniment petites d'un ordre quelconque, ajoutées à des quantités d'un ordre inférieur.
mais cette circonstance ne se présentera pas dans la Mécanique.
Soient^ une fonction donnée de x, c une constante arbitraire, et ¥x-hc l'intégrale complète ou indéfinie àe fxdx. Soient encore a tX, b deux constantes données. En déterminant la constante c de manière que cette intégrale soit nulle ou commence quand x=^Oy et faisant ensuite x = bj le résultat FA — Fa sera ce qu'on appelle l'intégrale définie^ prise depuis a: = a jusqua x = b. Je la désignerai
par 1 frdx y suivant la notation très commode que
Fourier a proposée; et j'écrirai , en conséquence,
Fb
— Fa=l Jxdx.
Si l'on donne successivement à x une infinité de valeurs, croissantes depuis a jusqu'à b par des différences infiniment petites, et que l'on prenne ces différences égales ou inégales, pour les valeurs de ££r, il est facile de faire voir que la somme de toutes les valeurs de la différentielle yx^x sera égale à l'intégrale définie Yb — ¥a.
En effet , en négligeant les infiniment petits d'un ordre supérieur au premier , on a , d'après la définition de la différentielle,
F(a: -h r/x) — For =fxdx.
Si donc on représente par ^To cTa, cTj, J^„,
un nombre infini de quantités infiniment petites, telles que l'on ait
et que l'on prenne successivement, pour x et dx, lescouplesdevaleiirsaet £r,,« + <f, eteTj, a-f-/, +/, et iT,, . . . b — d^n et J*,, il en résultera
('■quations dont la somme est
ce qui renferme le théorème qu'il s'agissait de démontrer.
Lorsque la fonction fx deviendra infinie entre les deux limites a et 6, cette démonstration n'aura plus lieu , et le théorème sera en défaut. Dans ce cas d'exception , que nous ne rencontrerons pas dans ta suite, l'intégrale défmie n'a plus aucun rapport avec
INTRODUCTION. iç^
Le théorème précédent s'étend sans difficulté aux intégrales multiples. Ainsi, par exemple ^ ^^f{oc^y) est une fonction donnée de deux variables indépendantes X eXjr*j que Ton donne successivement à ces variables des séries de valeurs croissantes par des diff6» rences infiniment petites ; et que Ton prenne en même temps pour dx , les différences entre les valeurs consécutives de .T, et pour djr^ celles des valeurs consécutives de j, la somme de toutes les valeurs de
/(x, j) dxdjr, sera l'intégrale T //(x, j) dxdj, prise
entre des limites convenables.
i4* Lorsque la fonction^ renfermera une quantité CL considérée comme une constante dans l'intégration , la valeur de l'intégrale / fxdx sera elle*
même une fonction de a. Il y a des questions dans lesquelles cette intégrale n'étant pas connue sous forme finie, on aura besoin, néanmoins, de déterminer sa différentielle par rapport à a. Or, cette opération présentera deux cas différens, selon que les limites a et b seront indépendantes de a, ou qu'elles en dépendront d'une manière quelconque.
Dans le premier cas , il suflfira de différentier fx jMir rapport à a sous le signe/; en sorte que l'on
'■ jy-^ ^ f'i^^.
En effet, d'après le théorème du numéro précédent, le premier membre de cette équation est le coefficient différentiel par rapport à ee de la somme
ïo TRAITE DE MitCANIQUE.
des valeurs lie Jxdjc , comprises depuis x = a jvisqu'à j: = 6; tandis que son second membre est la somme des valeurs, entre les mêmes limites, du coefficient différentiel de^x^ir relatif à a; et il est évident que ces deux sommes sont identiques.
Dans le second cas , lorsque a se change en a + </«,. la limite b devient b -f- -^ da, ei pour cette raison,
la somme des valeurs deyxrfx, ou l'intégrale / fxdx se trouve augmentée de la valeur de fxdx qui «'■pond à x^=b et dx^ y- (/«, c'est-à-dire, àeJb.-7-da;
en même temps la limite a se change en rt H- ^ rf» ^ 1 ce qui diminue cette intégrale de la valeur de Jx, correspondante à x^a et dx = -j- det, ou de
fa. -y- det; donc, à cause de la variation simultanée des deux limites a et b, produite par celle de «,
|K>iii la valeur complète du coefficient différentiel de
I fxdx.
Quand a n'entrera pas dans^ir, que cette quantité sera Tune des deux limites hoxxa^ et que ces deux limites ne dépendront pas Tune de Tautre, cette expression se réduira à
/h ni
fxdx d, I fxilx
ce qui est, d'ailleurs, évident en soi-même.
Des remarques semblables s'appliqueront aux intégrales multiples , dont les coefficiens différentiels par rapport à une quantité qu'on a d'abord regardée comme constante, s'obtiendront aussi en différentiant sous les signes d'intégration , et en ajoutant au résultat des termes dépendans des variations des limites, quand elles dépendront de cette quantité devenue variable.
i5. Le calcul intégral fournit des règles pour déterminer exactement ou par approximation, les valeurs numériques des intégrales définies, simples ou multiples; en sorte qu'un problème est censé résolu , lorsqu'on est parvenu à exprimer les inconnues par des intégrales de cette nature. On dit alors que le problème est réduit aux quadratures ^ parce que, d'une part, une intégrale multiple n'est autre chose qu'une intégrale simple plusieurs fois répétée,
et que, d'un autre côté, une intégrale / fxdx peut
toujours être représentée par le carré égal à l'aire
d'une courbe plane, dans laquelle x tifx sont les coordonnées d'un point quelconque, et « et 6 les abscisses des points extrêmes.
Parmi les différentes formules dont on fait usage pour calculer les valeurs approchées de cette intégrale
/ Jxdxy nous citerons la suivante, qui suppose que
les fonctions yjr et -v^ ne deviennent point infinies entre les limites a et b.
Conservons toutes les notations précédentes, el faisons de plus
f =/x. ^-i=f., etc.
Supposons que les dilïïrences J , , (Ta, eT, , etc., ne sont pas infiniment petites, mais seulement très petites; prenons-les égales, et représentons par J leur grandeur commune. Nous aurons, d'après le théorème de Taylor,
i^i-) =Fb -(-^/«-(-iJ'/a-l-clc.,
valeurs de i comprises depuis /= o jusqu'à i = /z— i . En prenant successivement^ elfx^fx exf'x^ etc., au lieu de Fx et^ , on aura de même
/ft -/rt = cr2/(a 4- ij^) 4- icT'S/' (a4-/Vr) -h etc.,
fb -fa= cTS/'ia-t- îeT) + etc., etc.
Cela posé, si l'on veut négliger les puissances de cT supérieures au carré dans la valeur de F6 — Fa , on pourra prendre , d'après les dernières équations ,
icr»2/'(a+iJ^)=i«rC/»-/a)- \J^-{fb-f'a),
pour les valeurs de ses deux derniers termes. Sa valeur entière deviendra donc
F6 - Fa = <r2/(a + /«T) -f- \J'{J^ -Ja) OU , ce qui est la même chose ,
Va:^=«r[i>+/(a+cr) +J{a-\- aj^). . .
Cette formule sera d'autant plus exacte, que la différence cT, ou - (i— a), sera plus petite, et que les
valeurs de/ir varieront moins rapidement entre les limites a et 6. Le plus souvent on pourra négliger le terme dépendant de S^\ la formule ne renfermera alors que des valeurs de/x qui pourront être données en nombres, sans que la forme de cette fonction soit connue.
i6. Dans la théorie des infiniment petits, on con-
sidère les courbes comme des polygones d'un nombre in6ni de côtés infiniment petits. Cela suppose que la corde d'un arc infiniment petit est égale à cet arc, ou que te rapport de leurs longueurs peut être pris pour l'unité; c'est effectivement ce que l'on peut démontrer de la manière suivante.
Soit Mmm'M' (Ug. 3) un arc de courbe infiniment petit; tirons tes cordes Mm, mm', m'M', et prolongeous ta troisième, jusqu'à ce qu'elle rencontre le prolongement MT de la première, en un point K. L'arc mm' est plus grand que ta corde mm', et moindre que la ligne brisée mKni' ; il suffira donc de prouver que cette ligne et cette corde, infiniment petites, ne diffèrent que d'un infiniment petit d'un ordre supérieur, et que l'on peut prendre le rapport de i'une à l'autre pour l'unité : cela sera vrai, à fortiori, Jt l'yard de l'arc mm' et de sa corde.
Or, s'il n'y a dans l'étendue de l'arc M/nm' M' aucun point singulier où ia direction de la courbe cbaugf brusquement, les corde» qui vont d'un de ses points
en observant que
cosj^ = I — a sin^ ^«T.
Nous aurons donc
pour le carré du rapport de la corde mm' à la ligne brisée mKm'. On a d'ailleurs
{a-hby — ^ ■" V^MhÂ/ '
ce qui prouve que le coefficient de sin * | cT ne peut pas devenir infini , puisqu'il est toujours moindre que l'unité. En négligeant l'infiniment petit du second ordre, on aura donc l'unité pour le rapport de 6* à ^-4-6; ce qu'il s'agissait de démontrer.
17. Une courbe étant considérée comme un polygone infinitésimal , les tangentes seront les prolongemens de ses côtés infiniment petits; au point M, où le coté est Mm, la tangente sera la droite indéfinie TMmT.
Si l'on désigne par or, ^, 2, les trois coordonnées rectangulaires du point M, celles du point m seront a:'\'dx^ j-hdjj z+dz. En appelant ds l'élément de la courbe, c'est-à-dire, son côté Mm, les différentielles dx^ djr^ dzy seront ses projections sur les axes des X, jr^ z; par conséquent, si l'on représente par aj €, y y les trois angles que fait la direction de la droite MT avec des parallèles à ces axes, menées par le point M, on aura
cosa = -7-> cosb = -r5 cos '^ = - , j^i
fts dx ' ds
a6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
et en même temps
eLc'^ ■+- dy' •+- rfz' = as* .
£n prenant , sur ta courbe que l'on considère , un point fixe C, et supposant que s soit l'arc CM compté de cette origine , cet arc pourra être la varialile indépendante , dont X, y,z, seront des fonctions données par les équations de la courbe. Dans ce cas, ds sera positif; mais dx, dj, dz, et par suite cos <x, cos €, ces y, pourront être positifs ou négatifs. Les angles a, £, y, se rapporteront toujours au prolongement /nT du côté Mm, ou à la partie MmT de la tangente; les angles relatifs à l'autre partie MT' seront les supplémens de a , C , 5- , (n" 7),
La direction de la tangente au point M étant déterminée par les équations (i), on en peut conclure Téquation du plan normalen ce même point; mais on obtient directement cette équation par la considération suivante.
Soit  le rayon d'une sphère qui a son centre au
INTRODUCTIOJN. 27
équation qui appartiendra à Tintersection des deux surfaces sphériques. Comme elle est l'équation d'un plan dont sd^j*^ z'j sont les coordonnées courantes | ce sera celle du plan de cette courbe, et , par conséquent^ l'équation demandée du plan normal, puisque les deux sphères se coupent suivant un cercle perpendiculaire à la droite TT qui passe par leurs centres M et m.
En la divisant par ds^ et ayant égard aux formules (1), cette équation devient
( x' — x) cosa -h {y — jr) cos € -h{2f — z) cos y=:o.
Si donc
représente l'équation d'un plan mené par le point dont les coordonnées sont x^ y^ z, et perpendiculaire à la droite dont la direction est déterminée par les angles a, 6, > 9 il faudra qu'elle s'accorde avec la précédente ; ce qui exigera qu'on ait
^ï = Acosa, b = hcos€j c^^hcosy^
h étant un facteur indéterminé. En vertu de l'équation (i) du n^ 6, on en conclura d'ailleurs
ce qui fait connaître ta valeur de h , abstraction faite du signe. On aura ensuite
a fi h c .V
COSa=7^ COSb=: T' COS^^^vi (2)
ce qui coïncide avec les formules connues d'après lesquelles on détermine la direction de la perpendi-
î8 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
ciilaire à un plan donné. Le signe de h reste indéterminé , parce que les angles a, € y y^ peuvent se rapporter à l'une ou à Tautre des parties de cette droite qui sont situées des deux cotés du plan.
18. On appelle angle de contingence Tangle infiniment petit compris entre deux tangentes consécutives. Ainsi Mm et mm' (fig. 4) y étant deux côtés consécutifs de la courbe, cet angle, au point M, est le supplément de Mmm\ ou l'angle Tmt^ sous lequel la tangente MmT est coupée par la tangente suivante mm't. Je le représenterai par J" ; en supposant que les angles a, S^y^se rapportent toujours à la direction de MT , et désignant par a', S'y >', ce qu'ils deviennent relativement à la direction de mt^ on aura, en vertu de l'équation (2) du n^ 9,
sin * J^ = I — (cosa cosa' -h cos^cosf^ -h cos j^cosy )*.
Diaprés le théorème de Taylor, on aura aussi
cosa' = cosa -h d. cos x-h\d^. cos a 4- etc. , cosê'=cos^-f- d.cosë H- \d^ cosS-heic.y cosy' = cosy -H d. cosy -f- 1^ . cos 9^ -h etc.
Or , si l'on substitue ces valeurs dans celles de sin^ cT, et qu'on ait égard à l'équation
cos*a4- cos^ € -f- cos^;. = 1 ,
et à sa différentielle
cos a d, cosa 4- cosCd, cos 6 -+- cosyd. cos ^ — o ,
on voit que les quantités finies et U*s infiniment petits du premier ordre se détruisent; en sort(* qu'en négligeant les infiniment |x»tits des ordres supérieurs
au second, il vient
sin^cT = —{coscuP.coseL-hcosSd^.cosS'{'COsyd'^.cosy).
En différenliant l'équation précédente , on a , d'ailleurs,
cos CL (P. cos« -+- cos Ç d^ . cos € -+- cosy d^ . cos y
