r/. cos ay H- (d. cos Sy -f- {d. cos^ )^ = o

ce qui change la valeur de sin* cT en celle-ci :

sin'cr=(rf.cosa)* 4- (d. cos^* + {d. cosj.)*,

laquelle sera aussi la vaieur.de cT^, à cause que l'arc infiniment petit «T est égal à son sinus.

Les différentielles de cos ctj cos 6^ cos y , se déduiront des formules (i) du numéro précédent. En ne spécifiant pas la variable indépendante^ on aura

, ds^ il'x — dxdsePs

rf.cosa= T-r :

et comme on a

ds^ = dx^ -f- djr^ -h dz^j

dsd^s = dxd^x 4- djd^jr 4- dzd^z , 1 1 en résultera

d,cosa= '^{djrd'x^dxd^y) + '^{dzd^x^dxdH); on aura de même

d, COS^ = ;^(^rf*7-rfr^'^) 4- -^ {dzd^jr - djrd^z)j

d.cosy= ^—Jdxd^z^dzd^x) 4- -^-{^dj-d'^z — dzd^jr); or, en faisant la somme des carrés de ces trois va-

3o TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

leurs, on trouve, après quelques réductions, que l'expression de sin'tT ou de J'', peut se mettre sous la forme

(T' = ^[{dxd''f — djJ'xf ■+- (dzd'x — dxfPzY

Le cercle osculateur est celui qui a deux côtés consécutifs communs avec la courbe. Au point M, ce cercle est donc celui qui passe par les trois points M, m, m', dont le centre se trouve à l'intersection O des deux perpendiculaires élevées sur les milieux de Mm et mm' dans le plan de ces deux élémens consécutifs, et qui a pour rayon la droite MO. Si ces deux élémens sont supposés égaux, cette droite divisera l'angle M/nm' en deux parties égales : nous ferons cette hypothèse sans craindre d'altérer la valeur de MO; car il est aisé de voir que le rapport numérique des deiLx côtés infiniment petits Mm et Mm' n'influe que d'une quantité infiniment petite sur la grandeur de ce rayon qui est, par Conséquent, la même, soit

INTRODUCTION. 3i

Gîla étant, si le rayon de courbure p était connu d'une autre manière, on aurait

pour la valeur de l'angle de contingence; et réciproquement, d'après la valeur précédente de «T*, celle de p sera

\{da:d'X'-dfePxY-h{d*d'x^dxd'zy'h{dxd*z^ dzd^xYY

1 9. Pour achever de connaître la nature intime de la courbe au point quelconque M, il faut encore déterminer son plan osculateur^ c'est-à-dire le plan des deux côtés consécutifs Mm et mmt.

Ce plan passant par le point M, on pourra représenter son équation par

af^ y^ z!j étant les coordonnées courantes. A cause qu'il doit aussi passer par les points m et m\ les différentielles première et seconde de cette équation , savoir :

kdaf -^Bdy -hCdzf = o, Arf*a/^-Brfy 4- Crf'z'= o,

devront être satisfaites comme l'équation même , en y faisant ar'=jc, 7^=^, 2'=«; en sorte que l'on aura

kdx -f-B^r -^Cdz = o, AcPj:+Brfy-4-Crf*35= o.

Les valeurs de A, B, C, qui remplissent ces deux conditions sont, comme il est aisé de le vérifier ,

3ji traité de MÉCANIQllt.

C — D {dxd'j- djtPx) ,

B = H^dzd^x—dxdH),

A ^ D [dyd'^ s — dzd^j) ; D étant un iàcteur indéterminé. En les substituant dans l'équation du plan osculateur, et supprimaul ce facteur commun à tous ses termes, elle devient

(z' — ï) {dxd'f — dxd*x) -f- {y —y) [dzd*x — dxd*z)

-h (x'—x){dyd'z — dziPj) = o.

Si l'on appelle A, jw, i-, les angles que fait la normale au plan osculateur, avec des parallèles aux axes des X, y, 2, menées par le point M, on aura, d'après les équations (3) du n" 17,

izos>i:^'-((ifd'z — dzd*j-), \

cospi—j{dzd'x—dxfPz),\ (3)

cos f =^j {dxd'j—djrd'a^), I

1 désignant par It^ la somme des carrés des trois nii-

normaux consécutifs; ce qui fournit le moyen de déterminer ses coordonnées d'après les équations de ces trois plans, qui sont maintenant connues.

L'équation du plan normal en M étant (n® 17)

celle du plan consécutif s'en déduira en y mettant ac-hdjCj J-^f^Jj z-\-dZj au lieu de x, j-, z; par conséquent, la différentielle de l'équation du premier de ces deux plans , prise par rapport à x, jr^ z, savoir :

appartiendra à leur intersection.

On tire de ces deux équations

(a/— x) ( dxd^jr — dffPx) = («'—«) (dfd'z — dzd'j) — ds^dy^ V— j) ( drd^x — dxd^f) = [z^—z) {dxd^z -^dzd^x) ^ds^dx ;

et au moyen de Féquation du plan osculateur, on en conclut

— dx [dzd^x — dxiP:^) ] ,

en désignant, pour abréger, par p la même expression que dans le n^ 1 8. On aura de même

f -y = ^ [d^ {dxd^j—dyd^x)

-'dz[dj'(Pz''dzd^y)], x" — X = ^ \dz [dzd}x— dxd^z

—djr{dxd^jr^djrd^x)];

ce qui fait connaître les trois coordonnées x'^jr'y zf^ du

centre de courbure O, et, par conséquent, le sens

i.'l rit VlTf. DE MKCANIQIIK,

lie la roiirhiire lioDt le rayon osculateiir ne détermine

qmr la graniieur.

En ajoutant les cariés de ces valeurs de x'—x, r' —y, s" — z, et réduisant, on a

{x'-xy + Ij'-fY + {z'-3)» = p»;

d'où il résulte que la quantité p est la distance du point O au point M, ou le rayon de courbure MO, comme on le savait déjà.

a I . Les formules des cinq numéros précédens renferment tout ce qui est relatif a la direction et à la courbure d'une ligne quelconque, plane ou à double foiirbiire. Relativement à une surface quelconque. on ;i aussi à considérer la courbure et la direction de son plan tangent; quant à sa courbure, je renverrai au Mémoire que j'ai inséré sur ce sujet dans le ai'cahier tlu Journal de l'Ecole Polytechnique, et je ne m'occuperai ici que de ce qui concerne le plan tangéiit et la normale.

En un point M, dont les coordonnées sont x,j-, :,

I /équation de la surface donnera

dz = pdx -+- qdj ;

p et q désignant des fonctions connues de Xyjj z. L'équation précédente devient donc

(A -f- />C)ctr -f- (B -4- çC) rf^ = o ;

et comme elle doit subsister pour toutes les directions de la droite MM', c'est-à-dire, pour tous les rapports qu'on peut établir entre dx et djr^ il faudra égaler séparément à zéro les coefficiens de ces différentielles; d'où il résultera

AH-/>C=ro, B-h9C = o.

Je tire de là les valeurs de A et B, je les substitue dans réquation du plan tangent, et je supprime le facteur commun C; il vient

z'^z - p{a/''X)-q [f-jr) = o.

Si a^ bj c, sont les angles que fait la normale au point M, avec les prolongemens des coordonnées Xj jTj Zj on aura, d'après les équations (2) du n^ 17,

cos a = —

cos b =: . =:? > (A)

COS c ==

Le radical sera positif ou négatif dans ces trois formules, selon que la partie de la normale qu'on voudra considérer fera lui angle c aigu ou obtus

3« TIVAITR UE Mf'^CANiQllK

avec la droile menée par le point M, suivant la lUrec-

fioii des 2 positives.

En appelant a» l'élément de la surface dont la prolectioii sur le plan des x etj' est dxdy, on aura

(ixfij- = ±ai cos Cy selon que c sera aigu ou obtus; car cet élément infiniment petit en tous sens, est compris dans le plan tangent dont l'inclinaison sur le plan des :r et ;■ est l'angle c ou son supplément; et le théorème du n" lo convient également à la projection d'une surface plane inlîniment petite. D'après cela on aura ù> — f/xf/j- \/," + ^' + ^',

en regardant toujours le radical comme une quantité positive.

Soit L une fonction donnï'e de ,r, j, r; repnv sentons par

l'équation de la surface que l'on considère; en la dif-

en faisant, pour abréger,

3a. Je placerai ici une remarque qui sera utile |)our vérifier ou déduire les unes des autres les formules analogues qui répondent à différens axes.

Supposons que dans une question tout soit semblable à l'égard des trois axes des coordonnées x, j^ j z. Si Ton a une équation X = 0, relative à Taxe des :r, il en existera une semblable Y = o, qui répondra à Taxe des^, et une troisième Z== o, relative à l'axe des z; et ces deux autres équations Y=:o et Z = o, se déduiront de X = o, par de simples cbangemens de lettres. Or, voici comment ces permutations devront s'effectuer.

On mettra dans X toutes les quantités relatives à Taxe des Xy à la place des quantités analogues qui répondent à Taxe des j^, puis celles-ci à la place de celles qui répondent à l'axe des z, et, enfin, ces dernières quantités à la place des premières, qui répondaient à l'axe des a:. Par cette permutation tournante, on déduira Z de X; par une seconde permutation de la même nature, effectuée sur Z, on obtiendra X; et par une troisième permutation tournante, effectuée sur Y, on retrouverait X.

S'il s'agit, par exemple, des équations (3) du n** 19, dont la première répond à l'axe des x, la seconde à l'axe des /, et la troisième à l'axe des 2, j'écrirai sur une même ligne , mais en deux parties , les coordonnées x^ y^ z, et les angles A, ^u, i', qui

36 TRAITE DE MECVMQUK.

leur correspondent respectivenient; puis, sur une se. conde ligne, je disposerai ces six quantités, aussi en deux parties, et dans un ordre différent, de sorte qu'on ait

X, jr, Z,

V, A, fx.

Cela fait, je remplacerai dans la première équn< tion (3), chacune des quantités de la ligne sn|>érieure par ta quantité correspondante de la ligne intérieure; par cette permutation, h ne changera pas, et l'on obtiendra la troisième équation (3). Je mettrai de nouveau , dans celle-ci , tes quantités de la ligne inférieure à la place de celles qui leur correspondent dans la ligne supérieure; ce qui donnera la seconde équation (3); et en opérant de même sur cette équation, on retrouvera la première équation (3), d'où l'on est parti.

Chacune de ces opérations revient à un changement d'axes des coordonnées, dans lequel on fait

INTRODlICnON. 3<)

ooorclonnées se déduisent Tune de l'autre par de sirn- [)les permutations de lettres, et sans aucun changement de signe; ce qui n'aurait pas lieu si Ton ne permutait pas simultanément les trois coordonnées et les quantités qui s'y rapportent de la manière qu'on vient d'indiquer.

•^3. Voici encore une observation générale, par laquelle je terminerai cette introduction.

I^s équations que nous aurons à considérer renfermeront des nombres abstraits, tels que le nombre tt ^ les logarithmes, les lignes trigonométriques, etc.; elles contiendront, en outre, d'autres quantités de diverses natures, qui y seront aussi représentées par des nombres exprimant leurs rapports à des unités choisies arbitrairement, pourvu que chaque unité soit la même |>our toutes les quantités d'une même espèce. Or, en changeant la grandeur d'une ou de plusieurs unités, les nombres qui expriment les quantités correspondantes, varieront en raison inverse de cette grandeur; et, malgré ce changement, tout-à-fait arbitraire, les «(uations qui les renferment devront encore subsister. Il faudra, pour cela, que leur forme remplisse certaines conditions, faciles à vérifier dans chaque cas |>articulier , et qu'on appelle, dans l'acception la plus étendue , les conditions de ï homogénéité des quantités. Toute équation qui n'y satisfera pas sera, par cela seul, inexacte , et devra être rejetée.

Ainsi, en indiquant par V \n\e fonction donnée, supposons qu'on ait

J,J',... désignant des forces, /, /',... des lignes,. . . m , m', . . . des masses, ï, C, . , . des temps. Si l'on représente par H, n', n", n', des nombres abstraits, et que l'on diminue k la fois l'unité de force dans le rapport de un à n, l'unité linéaire dans le rapport de un à n', l'unité de masse dans le rapport de un à /T, l'unilé de temps dans le rapport de un à li", les nombres /,/', ... 1,1',.,. m, m*, ... t, t',. .. deviendront nf, nf,... n'it r^l',... n"m, n"m',.., n't, n'~l',..., et l'équation (a) devra encore avoir lieu, c'est-à-dire, qu'on devra encore avoir

F{nf, rij',.. . n'l,rïl',.. . n-in, n"m',. . .nt,n"t',...)=o,

quels que soient n, n', n", n". Si l'équation (a) renfermait des surfaces s, s',. , . et des volumes v, v',, . . leurs dimensions devraient être rapportées à la même unité que les lignes l, i',. , ., et ces quantités s, 3^ . . . V, v",. . . deviendraient conséquem nient n'^s, n"s' . . . ii'^v, «"i^, . . .par le changement de cette unité. Ij' équation du n" 1 8, qui donne la valeur de p, sa-

INTRODUCTION. 4i

Il sera impossible que F équation [a) ne renferme qu'une seule quantité d'une même espèce; lorsqu'elle en contiendra deux, par exemple deux forces J et f'y et qu'on la résoudra par rapport à l'une d'elles 9 ce qui donnera

il faudra, pour l'homogénéité des quantités, ^}^^J soit facteur à tous les termes de la nouvelle fonction F, ou , autrement dit, il faudra qu'on ait

N étant un facteur qui ne contiendra aucune quantité de la nature def et y, et ne variera plus avec l'unité de force.

Quelquefois le principe de l'homogénéité des quantités paraîtra n'avoir pas lieu , parce qu'on aura pris pour unité dé force l'une des forces que l'on consi* dère dans la question, ou bien pour unité linéaire la distance de deux des points matériels dont on s occupe, ou bien pour unité de masse celle de l'un des corps du problème, etc. Mais, alors, si l'on change arbitrairement ces unités, et que la force, la ligne, la masse, le temps, qu'on avait d'abord piîs pour unités, soient maintenant exprimés par ^, A, /Uy ô, les autres quantités de ces différentes natures qui entrent

dans l'équation (a) deviendront -» — ? • • -? - ?

— ? — ?• • r' r' •*? il faudra donc qu'on ait

Jï TRAITE DE MKCANIQUK.

équation qu'on pourra écrire ainsi F, {<p,f, J\.,.X,I,e,... Il, m, m', . . .8, (, (',. . .) = o , " et qui devra maintenant satisfaire à la condition àc l'homogénéité: F, indique ici une fonction qui se déduira, dans chaque cas, de la fonction donnée F,

%%*\\*^VV**%\\%\%V1A\%^»W\**» •»■<«»/»**%%•»»*•»%%»»*•♦»♦•* *^^* *********^ ******** ^***^**** ^****'