CHAPITRE PREMIER

DE LA COMPOSinOIf ET DE L9EQUILIBBB DE8 F0ECE8 APPUQVEE8 A UN MEKE POINT.

24* Lorsqu'un point matériel est soumis à l'action simultanée de plusieurs forces qui ne se font pas équi> libre , il se meut suivant une direction déterminée , et l'on peut attribuer le mouvement qu'il prend ii une force unique agissant suivant cette direction. Cette force est ce qu'on appelle la résultante des forces qui ont mis le mobile en mouvement , et cellesci sont nommées les composantes de la première- Appliquée en sens contraire de sa direction, la résultante fait équilibre aux composantes, puisqu'elle tend à imprimer au mobile un mouvement égal et contraire à celui qu'il recevrait de l'action simultanée des composantes, et qu'il n'y a pas de raison, par conséquent, pour qu'il se meuve plutôt d'un côté que de l'autre.

Si toutes les composantes sont dirigées suivant une

même droite, et agissent dans le méii

sens, il siiil lie la notion que nous avons donm'-e de U mesure des forces (n" 5), que la it^ultanle sera égale à Imr somme. Si le mobile est sollicité par deux forces direclenient contraires, on décomposera la plus grande (■n deux autres, dont l'une, égale à la plus petite, sera détruite par celle-ci, et dont l'autre, égale à l'excès de la plus grande sur la plus petite, sera la résultante. On conclut de ces deux propositions que s'il y a un nombre quelconque de composantes, dirigées, en partie suivant une droite, et en partie suivant son prolongement, la résultante sera égale ît la somme de celles qui agissent dans un même sens, moins lasonmiede celles quiagissentensensi contraire, et qu'elle agira dans le sens de la plus grande somme. Quand les deux sommes seront égales , la résultante sera nulle , et les forces donm'«s se feront équilibre.

a5. Il y a un autre cas danâ lequel on délcrraine aussi très aisément la grandeur et la direction de la résultante.

égales MG et MH, pour représenter leurs intensités, et qu on achève le losange GMHK, la diagonale MK tombera sur le prolongement MD de MC; l'angle MGK sera de 60*^, comme chacun des deux autres angles du même triangle, qui sera équilatéral; on aura donc MK = MG ; par conséquent la diagonale MK du losange construit sur les deux forces MG et MH représente 9 en grandeur et en direction , la résultante de ces deux forces.

Cette proposition est comprise dans une autre que nous allons d'abord démontrer dans le cas de deux forces égales, dont les directions font un angle quelconque, et que nous étendrons ensuite à des forces inégales.

a6. La résultante de deux forces égales coupe toujours en deux parties égales Tangle compris entre leurs directions ; car il n'y aurait pas de raison pour qu'elle se rapprochât davantage de J'une de ces deux forces, ni pour que sa direction s'écartât de leur plan plutôt d'un côté que de l'autre; sa direction est donc connue, et nous n'aurons que sa grandeur à déterminer.

Soient, pour y parvenir, MA et MB (fig. 6) les directions des composantes dont la valeur commune sera représentée par P. Soient aussi nx l'angle AMB, et MD la direction de la résultante, de sorte qu'on ait AMD =BMD = x. Son intensité ne peut dépendre que des quantités P et x; en la désignant donc par R, nous aurons

R=y(p,jc).

Dans cette équation , R et P sont les seules quantités dont l'expression numérique varie avec l'unité de force ; d'après le principe de l'homogénéité des quan-

46 TftAfn'. DE MfiCASIQtJE.

Htés (n" i'^]. il faut donc que la foncrioii /"(P, x)

soit de la forme Pipo*. Ainsi l'on a

R = P(px;

et la question se réduit à déterminer la forme de la roiictiou <px.

Pour cela, je mène arbilrairenienl par le point M les quatre lignes MA', MA", MB', MB"; je suppose les qnatreangles A'MA, A"MA, B'MB, B"MB, (-gaux entre eux, et je représente chacun deux par z. .Te décompose la force P dirigée suivant MA, en deux forces égales dirigées suivant MA' et MA"; c'est-à-dire que je regarde la force P comme la n'-sultante de deux forces égales dont la valeur est inconnue et qui agissent suivant MA' et MA'; en désignant cette valeur par Q, j'aurai ,/,

car il doit exister entre les quantités P, Q, z, la même relation qu'entre les quantités U, P. x. Je décompose

De même , la résultante des deux autres forces Q sera encoi'e dirigée suivant MD, puisque cette droite coupe aussi l'angle A'' MB' en deux parties égales; et à cause de A" MD = B" MD = or -+- s, on aura

Q" désignant cette seconde résultante. Les deux forces Q' et Q" étant dirigées suivant la même droite MD , leur résultante , qui est aussi celle des quatre forces Q, sera donc égale à leur somme; par conséquent , on doit avoir

Mais on a déjà

et en substituant cette valeur de R et celles de Q' et Q" dans l'équation précédente , et supprimant le facteur Q conunun à tous les termes, il vient

^x^3 = ^(a:-h;s)-f-^(ar— jz). (0

Cest cette équation qui nous reste à résoudre pour en déduire l'expression de (px.