On voit d'abord qu'on y satis&it en prenant

^or = a cos aa: ;

a étant une constante arbitraire , de sorte qu'on ait , en même temps 9

^z=^icosaZj

^ (x -I- s) = îicos a{x -+- z) j

(p{jc— z) = acos a{x — z);

et. effectivement, si l'on substitue ces valeui^s dans

l'équation (i), on obtient l'équation connue

a cosax cos az = cosa {x+z) + cosa{x — z). <.)r, je dis que celte expression de la fonction (px esl la si'iilc qui satisfasse à l'équation (i), et que de plus, dans la question qui nous occupe, la constante a est l'unité; en sorte que l'on a <

(pa: = aco5X. (2)

Cela est évident quand x = o\ car alors les directions des deux forces P coïncident , et la résultante

B est égale à aP, ce qui suppose (pjn^a. Admettons qu'il y ait une autre valeur a de x, pour laquelle ou ait aussi pa,= acosa; je dis que l'équation (3) subsistera également pour toutes les valeurs 2 a, 3a, ^a, .... , ~a, ^ a., ^a ,..., de .r, et généralement pour

-= ïi (3) m et n étant des nombres entiers quelconques.

il s'ensuit qu'elle subsiste pour a* =201; ayant lieu pour X'=^cL et ar = aa, elle subsistera pour x= 3a; et y en continuant de même, on verra qn'elh* aura lieu pour jc = ma.

Je fais maintenant m% = C ; on aura donc

^ff = acosf ;

et de là on conclura que Téquation (a) aura encore lieu pour x=^\C\ car en faisant x = z = {^, Téquation (1) deviendra

(^•|^)* = acos6 -h a; d'où Ton tire

^lé = acos^S.

En faisant ensuite x=2=|ff, on aura, d'après féquation (i) et cette dernière,

(^T^)*= acos|C-|- a, ^\C = acos| G;

et, en continuant ainsi, l'équation (a) sera démon-

trée pour x= -7» c'est-à-dire, pour toutes les va-

leurs de x comprises dans la formule (3).

Or , les nombres m et n étant aussi grands qu'on voudra, et pouvant même devenir infinis ^ on peut faire croître ces valeurs de x par degrés infiniment petits. La formule (3) comprend donc toutes les valeurs possibles de l'angle x , et l'équation (a) est complètement démontrée, si toutefois elle est vraie pour une valeur particulière x = a , différente <le zéro. Mais, d'après le théorème du n® a5, la résultante R est égale à P, dans le cas de x = 60^; on a donc

5o TRAITR TfR HIÏCANIQUR.

lUai*Y« k ft ,

alors

^ j? = i = a cos uo";

ilonc l'équation (a) a lien pour x = Go", et conséqiieiiimeiit pour toutes les valeurs de x. ■i8. Au moyen de cette équation, on aura R = aP cos X.

Si donc la résultante R et les deux composantes P sont représentées, comme dans le n" a5, jiar des droites prises sur leurs directions respectives, à partir de leur poinl d'application, la force R sera le double de la projection de P sur sa direction , ou égale il la tliagonale du losange construit sur les deux forces P.

Soient maintenant deux, forces inégales P et Q, appliquées au point M (fig. 7) suivant les directions MA et MB; représentons leurs intensités par les lignes MG et MH, prises sur leurs directions, H achevons le parallélogramme MGKH : il y aura deux cas à considérer, le iireniier où ranslc AME sera droit.

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 5i

donc des losanges; par conséquent, d'après la propo* sition préoéd^ite, la force MG pourra être regardée conune la résultante des deux forces MN et ML, et la force MH comme la résultante de MO et ML. Donc, en substituant aux deux forces données lears composantcè, nous aurons, au lieu de MH et MG, les deux forces MN et MO, qui se détruisent, puis» qu'elles sont égales et contraires , et les deux farces ML y qui s'ajoutent et donnent une résultante représentée en grandeur et en direction par la diagonale MK.

Dans le second cas , menons par les points G et H (fig. 8) les perpendiculaires GÉ et HF à la diagonale MR, et les parallèles GN et HO à cette même droite; par le point M, menons aussi la perpendiculaire M MO à cette droite MK. Les deux parallélogrammes GEMN et HFMO seront des rectangles qui auront leurs cotés MN et MO égaux ^ comme étant les hauteurs des deux triangles égaux GMK et HMK. D'après le premier cas, on pourra remplacer les forces MG et MH par leurs composantes rectangulaires ME et MN, MF et MO; au lieu des deux forces données, on aura donc les deux forces BfN et MO , qui se détniiront, comme étant égales et contraires, et les deux forces ME et MF de même direction, qui s'ajouteront et donneront , à cause de ME = FK , une résultante représentée en grandeur et en direction par la diagonale MK.

Concluons donc que la résultante de deux forces quelconques, appliquées en un même point et repré- ^ntées par des lignes prises sur leurs directions à

5ï TKAITF. DE MIICAMQUE.

partir lie ce. poini, est représcnti'^e, en grandeur 61 en direction, par la diagonale dn parallélogratnnift construit sur k>s deux forces données.

29. Voici les conséquences qui se déduisent le plu immédiatement de ce ihéoréme.

On voit d'abord qne toutes les questions qu'on peut proposer sur la composition de deux forces eii une setde et sur la décnmposition d'une force en deuC' autres, sont ramenées à la résolution d'un triangle. En effet, leà grandeurs de la résultante et des deux composantes sont représentées par les trois côlés MK, MG, GK, du triangle MGK; et les trois angles de ce triangle sont ceux que fait la résultante avec chacune des composantes et te supplément de l'angle compris entre les deux composantes. Il s'ensuit donti que trois de ces six choses, les trois forces et les Iroi» angles compris entre leurs directions, étant données, on trouvera les trois autres en résolvant le triangle MGK; ce qui suppose une force au moins au nom-

pliquées en un même point M (fig. 9), suivant les directions MA , MB , MC , il faut que chacune de ces forces soit égale et directement opposée à la résultante des deux autres; et comme cette résultante est comprise dans le plan de ces deux forces , il s'ensuit d'abord que les trois forces données doivent aussi être dans un même plan. Soit MD le prolongement de MC; la résultante de P et Q sera dirigée suivant MD , et si on la représente par R , on aura R = S. Dailleurs, en comparant la force R à chacune de ses composantes, on a, d'après ce qu'on vient de dire,

R : Q ;: sin AMB : sin AMD, R : P :: sin AMB : sin BMD;

à cause de

sin AMD = sin AMC , sin BMD = sin BMC , il en résultera donc

S : Q : P : : sin AMB : sin AMC : sin BMC;

ce qui montre que quand trois forces sont en équilibre autour d'un même point , la grandeur de chacune d'elles peut être représentée par le sinus de Tangle compris entre les directions des deux autres. Du point O, pris sur la direction de la résultante R ou sur sou prolongement, j'abaisse des perpendiculaires OE et OF sur les directions des composantes P et Q ; on aura

OE = MO sin AMD, OF = MO sin BMD. Si donc on multiplie par MO les deux derniers

54 TRAITE DE MÉCANIQIIR.

Irniieii df lu proportion

P : Q :: sin BMD : «in AMD, il en résultera