P : Q :: OF : OE

en sortt? que les composantes sont en raison inveri«e des perpendiculaires abaissées sur leurs directions, d'un point quelconque appartenant à la direction de la résultante. Réciproquement, si les composante» P et Q sont en raison inverse des perpendiculaire» OE et OF, abaissées sur leurs directions, d'un point O pris dans leur plan, ce point appartiendra à la direction de la résuttante; car, eu divisant par MO les deux derniers termes de la derpière proportion, ou obtient la précédente, qui détermine cette di> rection .

')o. La résultante de deux forces étant connue, il est aisé d'en déduire celle d'un nombre quelconque de forces appliquées à un même point et situées ou

deur et en direction , par la droite qui joindra les deux extrémités de cette ligne brisée et fermera le polygone. L'ordre dans lequel les cotés parallèles aux forces se succéderont sera indifférent. Quand le polygone se fermera de lui même, la résultante sera nulle 9 et les forces données se feront équilibre.

Il suit de là que quand les forces données sont au nombre de trois, non situées dans un même plan, leur résultante est , en grandeur et en direction , la diagonale du parallélépipède dont ces trois forces sont les côtés adjacens.

3i. Ou peut effectuer d'une manière plus simple cette réduction d'un nombre quelconque de forces à une seule, en considérant d'abord le cas particulier de trois forces rectangulaires, auquel on ramène ensuite le cas général.

Soient X, Y, Z, les trois composantes, R leur résultante, a, bj Cf les angles qu'elle fait avec X, Y, Z. D'après ce qu'on vient de voir, R est la diagonale du parallélépipède dont X, Y, Z, sont les trois cotés adjacens; or, ce parallélépipède étant rectangle, il s'ensuit qu'on aura

Il s'ensuit aussi que si l'on joint l'extrémité de la diagonale R à celles des trois cotés X, Y, Z, on formera trois triangles rectangles, dont R sera l'hypoténuse commune; d'où l'on conclura

X = R cos a , Y = R cos /> , Z = R cos c ; {h) équations qui s'accordent avec la pnk;édente, à cause

que les trois angles a, b, c, sont liés entre eiix par cette équation (n" 6)

cos' a -+- cos* b + cos* c =: I ■

lorsque les composantes X, Y, Z, seront données, l'équation («) fera connaître ta valeur de la i-ésultante, et les équations {b) en détermineront ta direction au moyen des trois angles a, b, c, si, an contraire, la forer R est donnée, et qu'il s'agisse de la décomposer en trois forces rectangidaires X, Y, /, qui fassent avec elle des angles donnés a, b, c, les valeurs des forces demandées seront immédiatement déterminées par les équations (h).

Si l'une des composantes, la force Z par exemple, est nulle, K n'est phis la résultante que des deux forces X et Y ; elle est comprise dans leur plan, et sa direction dépend seulement des deux angles a et b. Ces angles el la valeur de R sont alors déterminés par les équations

avec ces mêmes axes; par et", €'\ >% ceux qui répondent à la force P^; etc. Tous ces angles sont donnés et doivent s'étendre depuis zéro jusqu'à i8o^ (n® 7), afin que les forces P, P', V\ etc. , puissent avoir toutes les positions possibles autour du point M.

Décomposons chacune de ces forces en trois autres dirigées suivant les axes MA, MB , MC. Les composantes de la force P seront P cos a, P cos €, P cos y ; celles de la force F seront F cos a', F cos S\ F cos y'; etc. ; et ces composantes agiront suivant les axes ou suivant leurs prolongemens, selon qu'elles seront positives ou négatives. Par exemple , la direction MD tombant^ ainsi que l'axe MC, au-dessus du plan AMB des deux autres axes, la composante P cos y de la force P tend à élever le point M, c'est-à-dire qu'elle agit suivant MC; et, dans ce cas, P cos y est une quantité positive, puisqu'on a 7 < 90®. Au contraire, si cette direction MD tombait audessous du plan AMB, on aurait y >go^; la composante P cos y serait négative, et, en même temps, elle tendrait à abaisser le point M, c'est-à-dire qu'elle agirait suivant le prolongement de MC. En ayant donc égard aux signes des composantes, on voit, d'après ce qu^on a dit dans le n" ià^, que toutes les forces dirigées suivant un même axe et son prolongement se réduisent à une seule, égale à leur somme.

De cette manière, les forces données P, F, P", elc, seront remplacées par trois forces rectangulaires; et en désignant celles-ci par X, Y, Z, on aura

TRAITÉ DE MÉCXMQUE.

X =: P cos a + P' cos a' -H F' cos a" + etc. , Y = P cos e + P cos ^' + P" cos €" -+- etc. , Z :=? cosy -i- ^ cœy' + f" cosy' -i- etc.

Le» valeurs de X, Y, Z, pourront être posUives on négatives, et leurs signes feront connaître le seni* de leur action. Si la force X est positive, c'est qu'elle agit suivant l'axe MA ou dans le sens des composantes P cos a, P' cos et', etc., qui sont positives; si elle est négative, il en faut conclure qu'elle agit suivant le prolongement de MA ou dans le sens des composantes négatives; et de même pour k^a forces Y et Z. Cela posé , soit R la résultante des forces données P. P*, P", etc., ou des trois forces X, Y, Z; soient aussi (i, b, c, les angles que sa direction inconnue faîl avec les axes MA, MB, MC. Les valeurs de R, «, /', t, seront données par les équations (a) et (A), dans lesquelles on mettra les formules (c) à la place de X, Y, Z. Les angles rt, b, c, pourront être aigus ou obtus; à cause que la force K doit toujours être . les sii:nes df leur;) cusînus Si

Pour cela, désignons par PMF, PMP, FMF, etc., les angles compris entre les directions des forces P et F, P et P", F et F, etc. D'après l'équation (a) du n^ 9 , nous aurons

cos PMF = cosa cosa' -h cos S cosê' 4- cos^ cos^, cos PMF = cos a cos a" -h cos C cos S" ■+- cos y cos y'\

cos FMF = cos a' cos a" -h cos S' cos €'' -f- cos >' cos y"j etc.

Nous aurons aussi

cos* a -4- cos' G -H cos' > = i , cos* et' -+- cos* S' H- cos* >' = I , cos* a*' H- cos* C" -^ cos*>'' = i , etc. ;

et, cela étant, si Ton ajoute les carrés des formules (c), et qu'on ait égard à l'équation (a), il vient

R* = P* 4- F» -h P"* -f- etc.

aPFcosPMF -t- aPF'cos PMP" aFP-'cosFMF + etc,

pour le carré de la valeur de R dont il s'agit.

34. On déduit aussi des équations (b) et {c) une propriété de la résultante, qui nous sera utile dans un des numéros suivants.

Dans une direction quelconque, je mène par le point M une droite, dont j'appelle O l'autre extrémité. Soient g^ A, kj les angles AMO, BMO, CMO , que cette droite iaâi avec les trois axes MA, MIk MC Désignons par RMO, I^MO, FMI) , etc. , les an

TRAITE DE MF.CANiQUF..

gies compris entre cette même droite MO et les directions des forces R, P, F, P*, etc. ; on aura, comme tout à l'heure,

cos RMO ^= cos g C08 a ■+- cos A cos h + cos k cos c , cosPMO ^ cos^ cos a H- cos A cos€-t- cos ^ cos y , cosP'MO — cos g cos a' -f- cosAcosf'+ cos A cos j.', etc.

D'après la première de ces formules et les éqtiations(6), on aura

R cos RMO = Xcosg -f- Y cos A 4- Zcos A;

et, en vertu des formules suivantes, si l'on ajoute les équations [c] après les avoir multipliées, la première par cos g , la deuxième par cos h, la troisième par cos /r, il en résultera

R cos RMO = P cos PMO -h P' cos ■"MO + etc. f

ce qui montre déjà que la composante de la résultante R, suivant une direction quelconque MO, est

STATIQUE, PREMlisRE PARTIE. Gi

la direction même de la force ou sur son prolongement. Si donc on multiplie par MO l'équation précédente , on aura

Rr= P/î H- P// -+. V"p" H- etc.; [d)

ce qui renferme la propriété de la résultante qu'il s'agissait de démontrer.

35. Pour que les forces P, P, P', etc. , soient en équilibre, il suffit que leur résultante R soit nulle , et cette condition est nécessaire si leur point d'application M est entièrement libre; mais l'équation R = o , ou

ne peut avoir lieu, à moins qu'on n'ait séparément

X = o, Y=o, Z = o, c'est-à-dire , en vertu des équations [c] ,

P cos a -+- P cos a/ ^- V" cos cl" + etc. = o , \

P cos ff -+- P cos & -H P" cosff'' -f- etc. = o, î (e)

P cos 7 -t- P cos y' -\- P' cos 7.'' -h etc. = o. )

Telles sont donc les équations cH équilibre d'un point matériel qu'on suppose entièrement libre. Dans cet état, chacune des forces qui le sollicitent doit être égale et directement contraire à la résultante de toutes les autres; c'est, en effet, ce qu'il est aisé de vérifier.

Soit R' la résultante des forces P, P, etc. Appelons a% b'^ dj les angles qu'elle fait avec les axes MA, MB, MC, et faisons, pour abréger.

r>« TRAITft DE MÉCANIQUE.

X'^P'cosa'-hP"cosa' + etc., *•>■ ^' Y'^P'cose'-f-Fcose" + etc., • -»

Z' — P' cosy + P' cos y" -+- etc. ;

nous aurons, d'après le n" 3a,

X' = R'coso', Y' = R'c09 4', Z' = R'cosc'.

rt pnr conséquent, eti vertu des équations d'équilibre,

Pcosa = — R'cosrt', PcosÊ = — R'cosô', Pcosj. = — R'cosc'.

lui ajoutant ces équations, après avoir élevé leurs deux membres an carré, on a