P» = RS

à cause de (n** (i)

cos* a -f- ros' Ç ■+- cos' ^ — i , '

cos* a' •+- cos° A'-H cos* c'=

on aura donc P =

36. Si le point M, auquel sont appliquées les forces P, P', P", etc. , est assujetti à rester sur une surface donnée, il ne sera plus nécessaire, pour l'équilibre, que leur résultante soit nulle; il suffira qu'elle soit normale à la surface, puisqu'alors elle ne pourra faire glisser le point M dans aucun sens sur cette surface; et, de plus, cette condition sera nécessaire; car si elle n'était pas remplie, la résultante se décomposerait en deux forces, Tune normale à la surfece et qui serait détruite, l'autre tangente et que rien n'empêcherait de faire glisser le mobile. On n'aurait donc qu'à chercher, dans chaque cas , la direction de la résultante des forces P , P' , P*' , etc. , et à examiner si elle est perpendiculaire à la surface donnée, pour savoir si l'équilibre existera; mais il vaut mieux, comme nous venons de le faire pour un point libre, exprimer les conditions de l'équilibre par de^ équations entre les données de la question.

Or, la composante normale de chacune des forces qui agissent sur le point M est détruite par la résistance de la surface; par conséquent, cette résistance équivaut à une force égale et contraire à la totalité des forces détruites. On conçoit donc que l'on peut faire abstraction de la surface donnée, et considérer le point matériel comme entièrement libre, pourvu que l'on joigne aux ïForces données P, F, F', etc., une nouvelle force de grandeur inconnue et perpendiculaire à cette surface.

Soient donc N cette force, et A, /bc, y, les angles que sa direction fait avec les axes MA, MB, MC ; chacune des équations d'équilibre qu^on vient de trouver

sera aiigaientée d'un nouveau terme, (le sorte qu'au lieu des équations (e), on aura NcosA + Pcosa-f- P'cosa'+F'cos»"4-etc. = o, \ N cos^m- P cos C -t- F ces ff' -t- P" cos £" + etc. = o, !(/) Ncos v + Pcosj-H- P'cosy'-hP"cosy' -+- etc, =o. J

3e désigne par x,j-, z, les trois coordonnées de M rapportées à des axes parallèles à MA, MB, MC, et par L^o l'équation de la surface donnée; la direction de la force N étant, par hypothèse, celle de ia normale au point M, on aura, d'après les équatioos (5) ilu n" 31 ,

cos f£ = V -

Il faisant , pour abréger,

I.e signe de V sera inconnu, parce qu'on ne sait pas d'avance suivant quelle partie de la normale doit être

tion donnée L = o, serviront à déterminer les coordonnées des diflférens points de cette surface , où le mobile pourra demeurer en équilibre. Lorsque sa position sera donnée, on aura seulement à vérifier si les coordonnées x, y^ z^ des points d'application des forces données satisfont aux équations (g). Mais, dans ce cas , on aura des équations plus simples en faisant cmncider l'un des axes MA, MB, MC, le premier, par exemple, avec l'une des deux parties de la normale ; d'où il résultera

cos ^ = ±: 1 , cos |x = G , cos V = o;

ce qui change les équations {/) en celles-ci :

±:N-f- Pcosa-4-P'cosa'-f-P"cosa"-hetc. =o, P cosê + P cos^' -h F' cos ff" H- etc. = o , P cosy -4- P cosy -\- P^ cos y" -h etc. = o.

Ces deux dernières équations font voir, ce qui est d'ailleurs évident, que dans le plan tangent à la surface donnée, les composantes des forces appliquées au mobile doivent se faire équilibre, comme si cette surfece n'existait pas.

I^ résistance N, que la surface oppose aux forces P, P, P*', etc. , est égale et contraire à la pression qu'elle en éprouve. En vertu des équations {/)^ cette pression , dans l'état d'équilibre , est la résultante même de ces forces. Dans la pratique, il en faudra calculer la grandeur au moyen de l'équation (a) , pour savoir si la surface est capable de la supporter. Si le mobile est seulement posé sur cette surface, qui sera celle d'un coq)s solide, il faudra, de plus, que le sens de cette pression soit tel qu'elle appuie le mobile sur I. 5

66 TRAITIÎ DE MfiCANIQlTE.

cette surface; condition qui ne peut être exprimée par une équation, et qu'on devra vériBer dans chaque cas, en déterminant la direction de cette force d'après les équations {h). Cette vérification se fera plus simplement an moyen de la première des trois équations précédentes.

En efièt, supposons, pour Bxer les idées, que la partie de la normale avec laquelle on a fait coïncider l'axe MA, soît la partie située dans la concavité de la surface. On saura si les angles donnés a, a.', a', etc., sont aigus ou obtus; et le signe delà somme X des composantes dirigées suivant celte droite sera connu. La quantité N devant être positive, il faudra, dans l'équation dont il s'agit, c'est-à-dire,

prendre le signe — ou le signe + devant N, selon que la somme X sera positive ou négative. Dans le premier cas , on aura cos A = — i , et la pression contraire à N sera dirigée suivant MA; dans le se-

raaies à ces surfaces, mais inconnues en grandeur, on pourra faire abstraction des surfaces , et considérer le mobile comme entièrement libre.

N et N' étant donc ces nouvelles forces; X, /u, ^ les angles qui déterminent la direction de N par rapport aux axes MA, MB, MC, et A% yu^ p% ceux qui déterminent de même la direction de N'; les équations {e) deviendront

NcosA -hîî'cosA' -h Pcosa -4- Fcosa'-hetc. =0, Ncos /tA-4-N'cos/x' -h PcmC -h Fcosff' -f- etc. = o,\ [h) Ncosv -f-N'cosi'' -hPcos). H- Pcos).'-+ etc. = 0.

D^ailleurs, en représentant par j:, jr^ 2, les coordonnées du point M rapportées à des axes parallèles à Ma, MB, MC, et par L=o et L' = o, les équations des deux surfaces données, les valeurs de cos A, cos juj cos Vj seront les mêmes que précédemment, et celles de cos A\ cos yuS cos v\ s'en déduiront en y changeant L en V. Si Ton substitue ces valeurs dans les trois équations (A), et qu'on élimine ensuite N et N' entre elles, on aura l'équation d'équilibre a laquelle devront satisfaire les forces données P, P', P", etc.; ou bien, si la position du mobile n'est pas donnée sur l'intersection des deux surfaces, cette équation d'équilibre, et les équations L = o et U =0, détermineront ses trois coordonnées x^jr^ z.

Quand la position du mobile est donnée sur la courbe où il doit rester, on obtient immédiatement l'équation d'équilibre des forces P, P, P, etc., en prenant les axes MB et MC, auxquels répondent les angles At, €, S', etc., v, y^ y, etc., dans le plan des

lis TRAITK DE MKCA^JIQliK.

itoriuales aux deux surfaces doiincts. I^ troisième axe MA tombe alors sur la tangente à leur courlie irititersecrion; il est donc perpendiculaire aux force» normales N et N'; en sorte que l'on a Ai=go", A' = 9o°, et, en vertu de la première équation (A)^.

PcQsa ■+■ P'cosa' + Kcosa" ■+■ etc. = o, '^

pour l'équation demandée.

Cette équation exprime que la somme des composantes de P, P', P", etc., tangentes à l'interseclion des deux surfaces données, est égale à zéro; ce qui est, en effet, la condition pour que le point M ne puisse pas glisser sur cette courbe. Après s'être assuré qu'elle est remplie, on déterminera les valeurs des forces N et N', et le sens dans lequel elles agissent, an moyen des deux dernières équations (A). Si l'on prend ensuite des forces égales et contraires à N et N', et qu'on les réduise à une seule par la règle du parallélogramme des forces, celle-ci sera la r<^ultanle des forces P, P, 1**, etc., et fera connaître la pression

STATIQUK, PREMIÈRE PARTIE 69

seiile formule, qui deviendra, par la suite, l'équation générale de l'équilibre, applicable à un système quelconque de points matériels.

Pour obtenir cette formule, supposons que le mobile soit transporté d'un point M , qu'il occupe dans sa position d'équilibre, en un autre point O infiniment voisin de M, et tel que ce déplacement soit compatible avec la condition à laquelle le mobile est assujetti, s'il n'est pas entièrement libre. Désignons par r, p, //, ff^ etc., les projections de la droite infiniment petite MO sur les directions des forces R , P, P, F', etc., dans la première position du mobile; et considérons chacune de ces projections comme une quantité positive ou négative, selon qu'elle tombe sur la direction même de la force à laquelle elle répond, ou sur son prolongement. Si Ton suppose que la force R soit la résultante des forces P, P, P", etc., le produit Rr sera toujours nul dans le cas de l'équilibre : il sera nul pour un point matériel entièrement libre, parce qu'aloi's la résultante R devra être égale à zéro; il le sera encore pour un point assujetti à demeurer sur une surface ou sur une courbe donnée, parce que, d'une part, la force R devra être dirigée suivant la normale, et que, d'un autre côté, la droite infiniment petite MO appartiendra au plan tangent ou à la tangente, ce qui rendra nulle sa projection r sur la direction R. D'après l'équation (^, qu'on a démontrée précédemment, et qui a également lieu quand la droite MO est infiniment petite, fM\ aura donc

P^-hI^/^'-4-P'/>"-f-elc =0, (/)

;ti IKAITF. DE MECANIQUE

toutes les luis que les forces F, ï*', I*"

ie-

ront équilibre. Réciproquement, l'équilibre existera quand cette équation aura lieu pour tous les déplaoelueiis possibles d'un point matériel entiéreoient libre, ' uu astreint à rester sur une surface ou sur une courbe dounée.

On appelle vitesse virtuelte d'un point matériel en équilibre toute droite intÎDiment petite^ telle que MO, qu'on peut lui faire décrire, en observant les conditions auxquelles il peut être assujetti; et le principe «réquilibre contenu dans l'équation qu'on vient d'écrire, sur lequel nous reviendrons par la suite, se nomme le principe des vitesses virtuelles. En l'appliquant successivement à un point matériel entièrement libre, assujetti à rester sur une surface, astreint à demeurer sur une courbe, on retrouvera sans diflîcuité les équations d'équilibre que nous avons précédemment obtenues. Chacune des équations {e) se déduira de la formule (/), en prenant

a% a" ^ etc. , on aura alors

p = MO cos aj p' = MO cos ce', p" = MO cos a'\ etc. ;

en supprimant le facteur MO commun à tous les termes de Téquation (i), il en résultera

P cos a 4- P' cos a' -f- P cos *'' 4- etc. = o ,

comme précédemment.

TRAITf^ Dl^ MÉCANIQUE.