CHAPITRE II

DE l^équiliuhe du levieb-

fio. On considérera ici un levier comme tme ligne droite ou courbe ECF (6g. loi inextensible, et de forme invariable, qui ne peut que tourner, dans un plan, autour d'un de ses points C supposé fixe, que l'on appelle le point à'appui du levier. Ordinairement il n'y a que deux forces qui soient appliquées ;■» cette machine, et dont Tune a pour objet de tenir Tînitre en équilibre; la première s'appelle la puis' sauce, et la seconde la résistance. Mais , pour plus de généralité, nous supposerons qu'un nombre quelconque de forces dirigées dans le plan du levier agissent en différens points de cette ligne ; et il s'agira de r les conditions de leur équilibre

transporter le point d'application de chacune de ces forces en un autre point du corps pris sur sa direction ou sur son prolongement. Si une force donnée P agit, par exemple, à l'extrémité E du levier, suivant la droite AS, et que M soit un autre point appartenant à cette direction, qu'on suppose lié au levier d'une manière invariable, il est permis de remplacer la force P par une autre force de même intensité, agissant au point M suivant la droite MA. En effet, on peut d'abord appliquer au point M deux forces égales entre elles, agissant en sens contraires, l'une suivant MA y l'autre suivant son prolongement MA'; si, de plus, on suppose que chacune de ces forces soit égale à P , celle qui agit suivant MA' détruira la force P appliquée au point E suivant EA , puisque ces deux forces égales agissent en sens contraires aux extrémités de la droite ME, de longueur invariable , par hypothèse; il ne restera donc plus que la force P agissaut au point M dans la direction MA, et par laquelle la force donnée P , qui agissait au point E , se trouvera remplacée.

Les forces agissent souvent sur les corps qu'elles mettent en mouvement ou qu elles tendent à mouvoir, soit en les tirant par le moyen d'un fil qui leur est attaché, soit en les poussant par le moyen d'une barre appuyée contre leur surface. Ce til ou cette barre s'étend ou se contracte plus ou moins; c'ebt quand ils oat cessé de s'allonger ou de se raccourcir qu'on les considère comme des lignes invariables qui représentent la direction de chaque force, dont Faction est la même alors que si elle s'exer-

74 TRAITlt HE MÉCANIQUE.

^^iiil iiiiiiK-tliaUtiiieiit aux |)oiiiIs de la Mirtace liu mobile où ces lignas viennent aboutir. Un levier ii'esl pas non plus, comme on le sup|K)&e ici, une ligne de forme invariable; c'est une barre qui fléchit un tant soit peu, et s'étend ou se contracte aussi d'une |»etile quantité, en raison des (orees qui y sont appliqut'>es. La forme qu'il doit prendre sérail très dil- (icile à déterminer d'avance; mais c'est quand il y est parvenu qu'on le considère comme invariable, et c'est k cette figure, très peu différente de sa forme naturelle, que se rap{iorteront les conditions d'éi|tii' libre qu'il s'agit de trouver.

lii. Supposons qu'une seconde force Q agisse à l'autre extrémité F du levier, suivant la droite Vti, et que les deux directions EA et FB soient comprises dans le plan où le levier peut tourner; ces deux droites, ou leurs [jrolongemens, viendront se couper en un certain |K>inl M, que l'on pourra pivjidre, d'après ce qu'on vient de prouver, imjiiile |>oinl d'application commun à V et Q. Cela étant ,

STATIQUE, PREMIÈRR PARTIE. 75

l'équilibre,

p : Q :; CH : CG;

et y réciproquement , l'équilibre existera quand cette proportion aura lieu. Par conséquent, en appelant /y et y les perpendiculaires CG et CH, ^équation d'équilibre sera

On appelle moment dune force par rapport à un point , le produit de cette force par la perpendiculaire abaissée de ce point sur sa direction. Ainsi , la condition d'équilibre dans le levier consiste en ce que les momens de la puissance et de la résistance , pris par rapport au point d'appui, sont égaux; ces deux forces tendant d'ailleurs à (aire tourner le levier en sens opposés.

Si l'on suppose les droites CG et CH liées invariablement au levier, on pourra prendre G et H pour les points d'application des forces P et Q, et remplacer le levier de figure quelconque ECF par le levier coudé GCH (fig. 1 1 ). Les perpendiculaires CG et CH s^appellent les bras de Ici^iery de la puissance et de la résistance. La condition de l'équilibre ne dépend pas de la grandeur de Tangle GCH ; et c'est aussi ce que l'on peut voir à priori

En effet, si du point C et d'un rayon CH on décrit l'arc de cercle UH% qu'on le suppose lié invariablement au levier, et qu'on applique au point H' deux forces égales à Q, agissant en sens contraires , suivant les parties H'B' et H'B" de la tangente en ce lK>int, il est évident que la force Q, dirigée sui-

76 tbaitR de Mécanique.

vjiiil Il'lf", mt;i tléliriite par li) force Q iliiigée suivant HB; car ces deux forces tendent à faire tourner le système en des sens opposés, et il n'y aurait pas de raison pour qu'il obéît plutôt à l'une qu'à rniilre. La seconde de ces deux forces se trouvera donc remplacée par la force Q dirigée suivant TI'B', et l'angle GCH sera changé dams l'angle GCH', pins grand ou plus petit, sans que l'équilibre soit troublé.

Par ce changement, Taugle des deux bras du levier pourra devenir 180" ou zéro; alors le levier sera droit; la puissance et la résistance seront des forces parallèles dirigées dans te même sens ou en sens contraires; et, pour l'équilibre, il faudra toujours que leurs intensités soieut en raison inverse des longueurs de leurs bras de levier.

43. Si l'on ap[}elle R la résultante des deux forces V et Q concourantes au point M (fig. 1 o), et m l'angle AAIB compris entre leurs directions, on aura (n" -J9)

R» = P» + Q» -K aPQ C03 m ;

lieu que^ dans le second cas^ elles agissent d'un même côté , et Tangle AMB est obtus.

Les trois points £, F, C, restant les mêmes, si le point de concours M des trois forces P, Q, R, s'éloigne à 1 infini, ces forces deviendront parallèles. Dans le cas de la figure i o, Fangle m devient alors infiniment petit; on a cos m = i , et conséquemment

Dans le second cas , c'est le supplément de Tangle m qui devient infiniment petit; on a donc cos /» = — I , et

en supposant P<Q. Par conséquent, la résultante de deux forces parallèles est égale à leur somme ou à leur différence, selon que ces forces agissent dans le même sens ou en sens opposés; et quand leurs directions sont contraires, la résultante agit dans \v sens de la plus grande. Dans ces deux cas , les composantes P et Q sont en raison inverse de leurs distances CG et CH à la résultante.

Cela étant, si Ton mène une perpendiculaire com* mune aux trois forces parallèles, et qu on appelle a la partie GH de cette droite (fig. i3 çt i4) comprise entre les deux composantes P et Q, et a: la distance CH de la résultante R à la composante Q qu'on suppose la plus grande, on aura

P : Q :: X : rt zp jc,

en prenant le signe supérieur ou le signe inférieur,

selon que P et Q agironl dans le mênip sens (fig. i "î)

nu en sens contraires (fig. i^). On en déduit

P : Q =t P :; X : n, et, par conséquent,

ce qui fera cniinaître la position de ia résultante, dont la valeur sera en même temps Q ± P.

44- Lorsque les forces P et Q agissent en sens contraires, et qu'elles diffèrent très peu l'une de l'aulrc, leur résultante, toujours dirigée dans le spns de la plus grande, se trouvera située à une très grande distance des forces données. Mais quand elles seront rigoureusement égales, cette distance deviendra infinie; ce qui signifie que deux forces égales, parallèles et agissant en sens opposés, ne peuvent être reniplacfes par une seule force; et, en effet, il n'y aurait aucune raison [jour que cette force uniqiie agît plutôt dans un sens que dans l'autre.

STATIQUE, PREMIÈRE PARtiE. 79

des forces dirigées suivant HB et HF^ seront encore des forces égales, parallèles et dirigées en sens opposés, suivant des droites 6C et HD, et ces résultantes remplaceront les forces primitives qui agissaient suivant GA et HB. Si Ton appelle P la grandeur commune de ces deux forces, et a leur distance mutuelle, lune et Tautre de ces deux quantités changeront par l'opération que nous indiquons; mais leur produit àP demeurera constant, ainsi qu'on le prouvera tout à rheure.

45. Au reste , ce cas particulier est le seul dans lequel un système d'un nombre quelconque de forces P, P, F", etc., comprises dans un même plan et agissant sur des points matériels liés entre eux d'une manière invariable, ne puisse pas se réduire à une seule force. En effet , soit que les deux forces P et P concourent en un point, ou qu'elles soient parallèles, on les réduira k une seule force Q, par la règle du parallélogramme des forces, ou par celle du numéro précédent. On réduira de même à une seule force Q', cette première résultante Q et P; puis à une seule force Q'', la seconde résultante Q' et P"*; et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait réduit toutes les forces données à deux seulement, qui se réduiront elles-mêmes à une seule force B, à moins qu'elles ne tombent dans le cas d'exception dont il s'agit.

Dans le cas général , cette force R est la résultante des forces données P, F, F, etc. ; et si Ton joint aux composantes une force R' égale et contraire à R , il y aura équilibre dans le système. La grandeur de R et sa position dans le plan des forces données ne do-

So ÎRAITE DE MFXANIQUE.

pendra iiulleniciit de l'ordre dans lequel on aura pris ces forces dans les réductions successives qu'on vient d'indiquer; car, en changeant cet ordre, si l'on parvenait à une force S différente do R en grandeur on en direction, il faudrait que l'une de ces deux forces prise en sens contraire fît équilibre à l'autre ; ce qui sernit impossible.

Pour l'équilibre des forces P, P", P", etc. , quand elles seront appliquées à un levier situé dans leur plan, il faudra d'abord qu'elles se réduisent à une seule force: car si elles se réduisaient à deux forces parallèles S el S' non réductibles à une seule, et que S' fût la plus rapprochée du point d'appui, on pourrait décomposer S' en deux forces Q et Q', parallèles et agissant dans le même sens, dont la première serait direcloment opposée à S et la seconde passerait par le point d'appui : ces deux composantes seraient l'une et l'autre moindres que S' ou S. la force Q' serai! détruite, et il ne resterait qu'une force S— Q, qui ferait tourner le levier dans le sens de S. l^es forces

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 8i

Tangle des composautes, ou, dans son opposé, au sommet; à la somme, quand ce point est hors de ces deux angles.

En effet , soient P et P' ces deux forces, MA et MA' (fig. i6 et 17) leurs directions, Q leur résultante agissant suivant MB, C le centre des momens, p^ p'^ q^ les perpendiculaires Ca, Ca\ Cfr, abaissées du point C sur la direction de P, P, Q. Décomposons chacune de ces trois forces en deux autres, dirigées suivant la droite MC et suivant la perpendiculaire KMK' à cette droite; et considérons les composantes perpendiculaires. On a évidemment

cos BMK = sin BMC = î,

en désignant par c la longueur de la droite MC; donc

la composante de Q suivant MK sera égale à —• De même, les composantes de P et P perpendiculaires à MC seront — et — ^- Elles agissent en sens con-

traire, quand la ligne MC traverse Tangle AMA' (fig. 16), et dans le même sens, quand elle tombe hors de cet angle. Or, la somme de ces composantes, dans le second cas, et l'excès de la plus grande sur la plus petite, dans le premier, doit reproduire la composante de Q, puisque Q est la résultante de P et F; en supposant la composante de P plus grande que celle de P, et supprimant le diviseur commun c, on aura donc

Q9 = P/; ± ly ; ce qu'il s'agissait de prouver.

8a TRAITÉ OE MÉCANIQUE.

Si Ton imagine que le point C soit fixe et que les perpendiculaires Ca, Ca', Cbj forment un système invariable, les forces P, F, Q, qui peuvent être censées agir aux extrémités a, af^ bj de ces droites, ne pourront produire qu'un mouvement de rotation autour du centre des momens. Or , Tinspection de la figure 1 7 , à laquelle répond le signe supérieur dans Téquation précédente, montre que quand le point C tombe hors de l'angle AMB , et de son opposé au sommet, les trois forces P, F, Q, tendent à faire tourner leurs points d'application dans le même sens autour du point C; au contraire, lorsque ce point tombe dans Tun de ces deux angles, la figure i6, qui répond au signe inférieur, fait voir que les forces P et P" tendent à faire tourner les points a et a! en sens opposés; et Ton voit aussi que, dans ce cas, la résultante Q tend à faire tourner sou point d'application dans le même sens que la composante qui a le plus grand moment. D'après cette remarque, le théorème qu'on vient de démontrer revient à dire que le moment de la résultante de deux forces est égal à la somme ou à la différence des momens de ces deux forces, selon que les composantes tendent à faire tourner leurs points d'application dans le même sens ou en sens opposés autour du centre des momens, et que la résultante tend à faire tourner dans le sens de la composante qui a le plus grand moment.

Ce théorème ayant lieu pour des forces dont les directions font un angle quelconque, doit encore subsister lorsqu'elles deviennent parallèles; c'est effecti-

vement une conséquence facile à déduire de la coni« position des forces de ce genre (n® 45)-

47 . L'avantage de ce dernier énoncé est de pou voir facilement s'étendre à un nombre quelconque de forces P, P', F', etc., dirigées dans un même plan. En regardant le centre des momens comme un point fixe, autour duquel les forces tendent à faire tourner le système de leurs points d'application, liés entre eux d'une manière invariable, le moment de la résultante est égal à la somme des momens des forces qui tendent à faire tourner dans le même sens qu'elle, moins la somme des momens des forces qui tendent à faire tourner en sens contraire.

Pour 6xer les idées , supposons que les trois premières forces P, P, P", tendent à faire tourner dans un même sens, et toutes les autres dans un sens opposé. Reprenons la série de réductions du n*' 45. Soient Q, la résultante deP et F, et Q' celle de Q et F', ou de P, P', P". Soient aussi /?, p\ p"^ ç, ç', les perpendiculaires abaissées du centre des momens sur les directions de P, P, P", Q , Q'; nous aurons, d'après ce qu'on vient de voir ,

09 = Pp ^~ py , Q'ç' = Q? -h Py ,

et , par conséquent ,

QY = Vp -4- Py + Vp\

De même, si l'on désigne par Q^ la résultante de toutes les autres forces P^, P'", etc.; par q^ la perpendiculaire abaissée du centre des momens sur sa direction ; par p'^ p'^ , etc. , les perpendiculaires abaissées du

même point sur les directions dp P", P",plc., ou aura aussi

Q^q^ — P"p- 4- P"p" -h etc.

Or, la résultante R de toutes les forces données sera celle des deux forces Q' et Q,; si, donc, on représente par /■ la perpendiculaire abaissée du centre des niomens sur la direction de R, et si l'on considère <jue ces forces Q* et Q, leudent à faire tourner en sens opposés, on aura

= ±(Q'ï'^Q/ïJ,

selon que QV/' sera plus grand ou moindre que Q//,. Dans le premier cas, la force R tendra à faire tourner dans le même sens que la force Q', et, conséquemnient, dans le même sens que les trois forces P, V, F'. Nous supposerons que ce soit ce premier cas qui ait lieu; et en substituant pourQ'i^' et Q/j^ leurs valeurs, ijous aurons alors

^p + P'p' + V"p" — P>* — P"/)' — etc. ;

48. On peut rendre l'équation ( i ) plus générale , en supposant que par des décompositions et recompositions des forces P, P', P", etc., on les ait transformées en d'autres forces S, S', S", etc., dont l'ensemble soit équivalent aux forces données. En désignant par j, sfj y, etc., les perpendiculaires abaissées du centre des momens sur les directions de S, S', S", etc., on trouvera, par le même raisonnement que dans le n u méro précédent ,

Sy^-SV-+-SV-^etc.= P;?+P>'-+-PV— F>*— P«>'^— etc.; (3)

équation dans laquelle on devra prendre avec le signe -4-, les momens des forc<» S, S', S", etc., qui tendent à faire tourner dans le même sens que P, P, P"; et avec le signe —, les momens de celles qui tendent à faire tourner dans le même sens que P^, P*', etc.

Le cas particulier où les forces P, P', P", etc. , sont irréductibles à une seule, est compris dans cette dernière équation. Soient alors S et S' deux forces égales , parallèles et non directement opposées; et appelons h leur distance mutuelle. Si le centre des momens est situé entre leurs directions, on aura ^-f-^ = A; elles tendront à faire tourner dans le même sens autour de ce point; on donnera donc le même signe à leurs momens^ et il en résultera

Si + &s' = SA.

Si, au contraire, le centre des momens n'est pas compris entre S et S', et qu'on suppose i>/, on aura s — s' = h; ces deux forces tendront à faire tourner eu sens opposés; on devra donner le signe 4- au mo-

ment de S et le signe -— au moment de S'; et il en résultera