S5 — SY=S

Par conséquent 9 Téquation (3) deviendra toujours

SA = Pp-i-F//-hPy~F'/>"~Py"-etc.

Son second membre se composant de quantités qui sont toutes données, il en résulte que si les valeurs de S et A viennent à changer, leur produit demeurera constant, ainsi qu'on l'avait déjà dit plus haut.

On conclut aussi de cette dernière équation que , quand son second membre est nul , les forces données» ne peuvent pas tomber dans le cas d'exception où elles sont irréductibles à une seule ; il s'ensuit donc que l'équation {i) exprime à la fois que les forces P, F, P", etc. , ont une résultante unique , et que cette résultante passe par le centre des momens; par conséquent, elle est l'équation nécessaire et suffisante pour l'équilibre du levier, dont ce centre est le point d'appui. La résultante R que l'on obtiendra par la série de réduction du n*' 45, exprimera la charge qu'il aura à supporter; quand elle sera nulle, les forces P, P, P", etc., se feront équilibre dans leur plan sans le secoui*s de ce {)oint fixe.

49. I^ condition de Toquilibre dans le levier peut aussi s'exprimer par une équation analogue k la formule {i) du n*" 39.

Soient, par exemple, M, M', M" (fig. 18), les points d'application des trois forces P, P, P'", qui agissent sur le levier ECF, suivant des directions MA, M'A', M" A", comprises dans son plan. Faisons tourner infi-

niment peu ce levier autour de son point d'appui C, de sorte que M, M\ M'\ viennent en m, m', m". D'après la définition du n® 39, les arcs infiniment petits Mm, M'm', M"m^, que l'on peut prendre pour des lignes droites, seront les vitesses virtuelles des points d'application M, M% M", des trois forces que Ton considère. J'abaisse de m, m', nï\ des perpendiculaires ma, mfafj ivTa"^ sur les droites MA, M'A', M" A", ou sur leurs prolongemens ; Ma sera la projection de Mm sur la direction même de la force P, qui tend à faire tourner le levier dans le sens de la rotation qui a eu lieu ; M'a' et M'^a'^ seront les projections de M'm' et M'^m'^ sur les prolongemens des deux autres forces P et F', qui tendent à le faire tourner dans le sens opposé. Pour cette raison , je considère la première de ces projections comme ime quantité positive, et les deux autres comme des quantités négatives. Je représenterai ces trois quantités par «ir, flr', ^.

Cela posé , en vertu du principe des vitesses virtuelles, la somme des forces données multipliées respectivement par les projections ainsi définies des vitesses virtuelles de leurs points d'application, est nulle dans le cas de l'équilibre, et réciproquement l'équilibre a lieu quand cette somme est zéro ; en sorte que réquation d'équilibre du levier est

P^ ^ Vr&' -h F'^" =0; (4 )

et, en effet, il est aisé de vérifier qu'elle coïncide avec celle que l'on a déduite de la considération des momens.

Pour cela, désignons par p, p', p\ les perpendicu-

latres CG, CG', GG", abaissées du point G sur les directions des forces P, P', P"; par c, c', d", les distances CM, CM', GM", de leurs points d'application au point C; et par y, >', y" les vitesses virtuelles Mm, M'm', M'/n". L'arc infiniment petit M/n se confondant avec sa tangente, les triangles Mma et CMG ont leurs côtés perpendiculaires l'un à l'autre, et sont semblables ; on a donc

Mrt . Mm :: CG : CM; et à cause de

Ma = 'ar, Mm = >, CG^^/j, GM — c, on en déduit

Ou aura de même

en observant que iff* et *»" sont, par hypothèse , des quantités négatives. De plus, la forme du levier étant

Or, si Ton substitue ces valeurs dans Téquation (4) 9 et qu'on supprime ensuite le facteur 6 commun à tous ses termes , elle deviendra

p^ - P'p' - vy = o ;

oe qui est efiectivement l'équation d'équilibre du levier que nous considérons. Réciproquement, si Ton miUtiplie cette dernière équation par 6 , elle se changera dans l'équation (4).

Le raisonnement serait évidemment le même, quels que fussent le nombre des forces données P, P^ Vj etc., et le sens dans lequel elles tendent à faire tourner le levier.