P : Q :: FO : EO
ce qui fera connaître la position du point O, qu'on pourra prendre pour le point d'application de la résultante R.
On en déduit aussi
P : Q it P :: FO : EF, Q : Q it P :: EO : EF;
les signes supérieurs se rapportant à la figure 19, et les signes inférieurs à la figure ao; en ayant égard à la valeur pri-cédente de R, on aura donc, dans les
culte, toutes les questions qui peuvent se présen* ter sur la composition de deux forces parallèles en une seule et sur la décomposition d'une force' en deux autres qui lui soient parallèles. Nous n'entrerons dans aucun détail à ce sujet; et nous ne reviendrons pas non plus sur le cas particulier des forces égales et non directement opposées , que nous avons exclu de la démonstration précédente y et qui a été suffisamment examiné dans le n^ 44-
Je vais actuellement considérer un nombre quelconque de forces parallèles, dont une partie agit dans un sens et l'autre partie dans le sens opposé, qui sont situées ou non situées dans un même plan, et appliquées k des points liés entre eux d'une manière invariable, par exemple, à différens points d'im corps solide.
En composant deux de ces forces en une seule , puis celle-ci et une troisième encore en une seule, et ainsi de suite, on parviendra à déterminer la grandeur et la position dans l'espace de la résultante de toutes les forces données , à moins qiîe les deux dernières forces qu'on aura à considérer ne tombent dans le cas d'exception du n® 44- Cette résultante sera évidemment parallèle à la direction commune des composantes; de plus, elle sera égale à la somme de celles qui agissent dans un même sens, moins la somme de celles qui agissent en sens contraire, et elle agira dans le sens de la plus grande somme. Si donc on regarde les uiies comme des quantités positives, et les autres comme des quantités négatives (n° 11); qu'on les représente
94 TRAITÉ DE MÉCAMQUE.
toutes par P , P, P", etc. , et leur résultante par R .
on mira toujours
R — P-+-P'-HP" + etc.
Si- Si les forces données viennent à tourner autour (le leurs points d'apjilîcation sans cesser d'être parallèles, leur résultaiitR tournera aussi autour d'un des points de sa direction ; car son point d'application, qu'on trouve en composant successivement tes forces données, comme on vient de l'indiquer, ne dépend en aucune manière de la direction commune de ces forces, et reste, conséquenunenl, ie même quand cette direction vient à changer.
Ainsi , par exemple , supposons que les forces données soient au nombre de trois, P, P*, P*, dirigées suivant les droites MA, M'A', M" A" (fig. ai). Soit d'abord NB la directtait de la résultante de P et V, qui sera égale à l'-t-P'; soit ensuite N'B' la direction de la résultante de P -f- P' et P"; cette dernière force P" étant supposée, dans la tigure, agis-
STATIQUE, PREMIERE PARTIE. gS
rigée suivant la droite N6 parallèle à Ma et Wa'^ et encore égale à P-f-P'. Par la même raison, la résultante de Ph-P' et F' rencontrera le prolongement de la droite MM' au même point N' qu'auparavant , et sera dirigée suivant une droite N'^ parallèle à Hh; par conséquent, les^ trois forces P, P, F*, tournant autour de leurs points d'application M, M% M'", leur résultante tournera aussi autour d'un même point N'.
53. Nous appellerons centres des Jorces parallèles le point dans lequel viennent se couper toutes les directions successives de la résultante, quand ses composantes tournent autour de leurs points d'application, qu'on suppose invariables.
On verra par la suite combien le centre des forces parallèles est important à considérer, surtout dans les questions relatives à l'équilibre et au mouvement des corps pesans. On peut déjà observer que si un corps solide est sollicité par des forces parallèles quelconques, que l'on détermine le centre de ces forces , et qu'on le suppose fixe, l'équilibre aura lieu dans toutes les positions que le corps pourra prendre autour de ce point, pourvu que les lorces données restent toujours parallèles et appliquées aux mêmes points de ce corps; car alors leur résultante passera constamment par le point fixe, ce qui suffit pour qu'elle soit détruite.
Les coordonnées du centre des forces parallèles, rapportées à trois axes rectangulaires, dépendent, comme on va le voir, des produits de ces forces multipliées par les coordonnées de leurs points d'applica-
tion. A cause que ces produits se présentent dans un grand nombre de cas , on leur a donné un nom particulier; on appelle moment d'une Jorce par rapport à un plan , h; produit de cette force et de sa distance à ce plan. Ainsi, P étant l'intensité d'une force appliquée eu un point dont les coordonnées sont ^,^, z, les produits Pz, P/, Px, seront ses momens par rapport aux plans des x et^, des x et 2, des j' et z. Les niouiens de cette espèce n'ont rieu de commun, en général, avec les momens par rapport à un point qu'on a définis dans le n*' 4ï- Ceux-ci dépendent de la direction de la force, et sont îndépendans de son point d'application; les momeus par rapport à un ))iai] dépendent, au contraire, de la position du point d'application de la force, et sont îndépendans de sa direction. On ue fait usage des derniers que dans le cas des forces parallèles; en sorte qu'ils peuvent être des quantités positives ou négatives, à raison du signe de la force et des coordonnées du point ppliquée.
en ftorte qu on ait
MQ = z, M'Q' = 7!, M'Q'' = z\ etc.
Enfin, représentons par x^yj^^ z^^ les trois coordonnées du centre des forces parallèles dont il s'agit de trouver les valeurs.
La résultante P -4- P' des deux forces P et P' rencontrera en un point N la droite MM' ou son prolongement, selon que ces deux forces seront de même signe ou de signe contraire ; mais dans les deux cas on aura
Frî + FrrMNrMM'.
Soît K la projection de N sur le plan des x et y. Par le point M y menons la parallèle MGH à la droite QKQ', qui rencontre les droites NK et M'Q' aux points G et H y de sorte qu'on ait
MQ = GK=HQ';
on aura aussi
