P-4-P')NG = P'.M'H

A cette équation, j'ajoute Féquatîon identique

( P + F) GK = P.MQ -h PMIQ' ;

ce qui donne

(Ph-F)NK = P2 + F3'.

I^ résultante des deux forces P -^ P' et P" l'encon

i^^ traitR de mècamquf,.

(rera eii un point N' la droite NM" ou son prolon* gement, selon que ces deux forces auront ie même signe on des signes contraires; et si K' est la projection de N' sur le pian des x et y, on trouvera, comme dans le cas précédent,

( l' + P' + P") N'K' = ( P + P')NK -t-P"-*'; par conséquent, on aura *

On continuera de même jusqu'^e qu'on ailépuisé loufes les forces données P, P'. V", clc; et si R est leur résiillautti totale, on aura finalement

Rz, —Vz-h V'z" + P"z" + etc.

La figure 11. suppose que tous les points M, M', M", l'tc. , N, N', etc. , sont situés d'un même côté du plan des a- et y, ou que leurs ordonnées parallèles à l'axe des s scAit toutes de même signe; mais il est aisé de voir que si l'équation précédente est vraie dans ce cas, elle le sera encore lorsque ces ordonnées

identique

il en résultera

RZ, = PZ H- FZ -4- 1*^ T -f- etc. ;

équation dans laquelle les ordonnées Z, Z', V ^ etc., peuvent être positives ou négatives.

Oki voit donc que^ dans tous les cas, le moment de la résultante d'un nombre quelconque de forces parallèles par rapport à un plan choisi arbitrairement, est égal à la somme des tnomens de ces forces par rapport au même plan.

55. En prenant successivement les momens par rapport aux trois plans des coordonnées, on aura, d'après les notations précédentes,

Rj:,=Px-t-Fx'4-P''x''-f-etc., 1 Rjr,=P7 + Fy4-PV-hetc., (f)

Rz, =PzH-P'z'-hF'z"H-eti?.j )

et à cause de

R = P-hP'-f-F'4-etc., (a)

les trois coordonnées du centre des forces parallèles seront complètement déterminées. En menant par ce point une droite parallèle aux forces données, dans le sens indiqué par le signe de fi, on aura la direction de la résultante. Ces quatre équations renfermeront, de la manière la plus générale, la théorie des forces parallèl&«

La somme des momens des forces P, P', P*', etc. , est égale à zéro, par rapport à tout plan passant par le

loo TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

ceiiire tles forces parattètes; car, en prenant ce plan pour crlni des x et j^ il faudra qu'on ajt z,=^o, et, conséqnemment, • -

PsH-P'z'-t-F"£" + etc.

Dans le cas particulier où P, P, P", etc., se réduisent à deux forces égales, agissant en sens opposé, leur gomme R est égale k zéro; ce qui rend infinies les valeurs do .r,,^',, z, . Le centre des forces parallèles est donc alors situé à l'infini, ou plutôt ce centre n'existe pas, non piiis que la résultante.

5t>. Lorsque tons les points d'application M, M', M", etc. , des forces doniiées sont situés dans un même plan, il est évident, par la nature du centre des forces parallèles (n" 52), que ce point, s'il existe, devra aussi se trouver dans ce plan ; c'est aussi ce que l'on peut conclure des équations (i) et (2).

En désignant par a, h, c, trois constantes données, on aura, dans ce cas.

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. loi

tion (u)y OD peiU remplacer par R:r,, Rj^y R, les coefficients de a^ 6, c ; et eii supprimant ensuite le (acteur commun R, on a

ce qui montre que le centre des forces parallèles appartient au plan des points M, M% M"', etc.

Lorsque tous ces points sont sur une même ligne fhx^ite, ce centre s'y trouve également ; et il suffit de la première des équations (i) pour déterminer sa position, en prenant cette droite pour Taxe des x. Si, de plus^ les forces P, P', P^, etc. , sont perpendiculaires à cette droite y les momens que npus considérons actuellement se confondent avec les momens par rapport à un point, qui est ici l'origine O des abscisses Xy et la première équation (i) coïncide avec Téquation (i) du n® 47- H est aisé de voir, en effet, que parmi les forces données P, F, F', etc. , celles qui tendent à faire tourner autour du point O dans le même sens que la résultante R, sont toutes les forces qui ont le même signe que leurs distances or, œ'^ x"^ etc. , à ce point, et que celles qui tendent à faire tourner dans le sens opposé sont les forces qui ont un signe contraire à celui de ces mêmes distances; par conséquent, les moments des premières s'ajoutent, ^et ceitx des dernières se retranchent, conformément a l'énoncé du numéro cité.

57. Les équations d'équilibre des forces parallèles P, F, F', etc. , se déduisent aisément de la théorie qu'on vient d'exposer.

S'il n'existe aucun point fixe dans le système, il

faut, pour l'équilibre, qu'en séparant l'une de ces forces, [lar cxemjile l.i force I', toutes les autres aient une résultante qui soit égale et directement opposée à P. Soit (loue R' la résultante des forces P', P", etc.; puisque les forces P el R' sont égales et dirigées en sens contraires, elles doivent être égales et de signes (liffércns, ou, autrement dit, on doit avoir P + R' = o. Mais K' est la somme des composantes P', P ", etc.; il en ivsnlte donc, pour la première équation d'équilibre,

P + P'+P' + etç. -

Pour exprimer, en outre, que les forces Pet R* sont directement opposées, soient a, ë, 7, les trois coordonuées du centre des forces parallèles P', nanière qu'on ait

R' a — P'a;' -(- P" j?" 4- etc. , R'ê = py -hVy +etc. , R'y.

P", etc. , de

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. io3

plan ; par conséquent , leurs coordonnées seront les mêmes parallèlement aux axes des x et j^ de sorte que l'on aura

Je substitue donc x ttjr k la place de a et S cLins les deux premières équations précédentes 9 et , à cause de R' = — P, il vient

Par-4-P'x'-+-P"a:"H-etc. = o, \ , P7 + P'y-HP^y-^etc. = o; ) ^ ^

équations qui signifient que la somme des momens de toutes les forces P, F, P", est nulle ^ etc. , par rapport aux .plans des x el 2, et des jr et z, parallèles à leur direction.

Ainsi, l'équilibre de ces forces exige que les équations {a) et [b) aient lieu en même temps. Réciproquement, quand ces trois équations sont satisfaites, l'équilibre existe; car si l'on considère la résultante R' de toutes ces forces moins une, on aura, en vertu de ces équations ,

R' = .-P, R'a==-Pj?, R'g = — P^,

il y par conséquent,

en sorte que cette résultante sera égale et directement opposée à la force P, qu'on avait omise. Il n'est pas nécessaire, pour cela, que les deux plans par rapport auxquels la somme des momens des forces données est zéro , soient perpendiculaires l'un à

io4 TBATTÉ DE MÉCANIQUE,

l'autre; il suffit qu'ils soient parallèles à la direction de ces forces; et l'on peut aussi s'assurer facilement que si cette condition est remplie par rapport à deux plans parallèles à cette direction, elle le sera également par rapport à tous les autres.

Concluons donc que pour l'équilibre d'un système de forces parallèles, appliquées à un corps solide entièrement libre, il est nécessaire et il suffit,

i". Que la somme de ces forces soit égale à zéro ;

i". Que ta somme de leurs moraeus soit nulle par rapport à deux plans quelconques parallèles à leur direction commune. Quand toutes les forces seroot comprises dans un même plan, cette seconde condition sera déjà remplie par rapport à ce plan^ et il suffira qu'elle le soit , en outre, par rapport à un autre plan.

58. Si l'un (tes points de ce corps solide est supposé fixe, il suffira, pour l'équilibre des forces parallèles, que la somme de leurs momens soit nulle par rap- :'i deux plans passant par ce point et parallèles

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. io5

Si le corps solide est retenu par un axe fixe , autour duquel il ait seulement la liberté de tourner, il suffira , pour l'équilibre des forces parallèles appliquées en ses différens points , que la somme de leurs momens soit égale à zéro , par rapport au plan mené par cet axe parallèlement à leur direction; car leur résultante tombant alors dans ce plan , elle y rencontrera l'axe fixe , et sera détruite par sa résistance. Ix>rsque l'axe fixe est lui-même parallèle aux forces données , le plan dont il s'agit est indéterminé; la condition d'équilibre s'évanouit par conséquent ; ce qui doit étre^ puisque des forces qui sont toutes parallèles à un axe fixe ne peuvent faire tourner un corps solide autour de cette droite, de sorte que, dans ce cas, l'équilibre a lieu indépendamment de leurs intensités et de leurs distances à cet axe.