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Si un corps est divisé en un nombre quelconque de parties dont les poids et les cerilres de gravité soient connus, on en pourra déduire son centre de gravité par une suite de proportions; mais il conviendra mieux de déterminer ses trois coordonnées au moyen du théorème relatif aux momens des forces parallèles (n^ 54).
ii4 TRAHÈ DE MÉCANIQUE
Soient, pour cela, p, p', p", etc., les poids des tlifiëieiites parties tiu corps, el P son poids total, de sorte qu'on ait
V — p -^ p' -{■ p" -\- etc.
Soient aussi, x,jr, z, tes coordonnées du centre de gravite de la partie dont p est le poids; x:',j\ a', celles du centre de gravité de la partie dont le poids est p' ; etc. Toutes ces quantités seront données par hypothèse; et si l'on appelle a', ,/, , z, , les coordonnées . (lu centre de gravité du corps entier, rapportées aux mêmes axes que les précédentes, on aura, d'après le théorème cité,
Px,— px -h i^ x' + p" x" -h etc., Pj- ~ PJ' -*r P^f +.p"f' ■+■ etc. , Ps, =pz + p'z' -f- p'z" + etc.j
ce qui fait connaître les valeurs de x, ^ y^,z^ .
65. Ou peut, dans ces équations, remplacer les poids par les masses auxquelles ils sont proportion-
STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. ii5
ce qui montre que le centre de gravité est indépendant de l'intensité de la pesanteur, et qu*il sera toujours le même point du corps, à différentes latitudes et à différentes hauteurs au-dessus de la surface de la terre. En considérant que ce point ne suppose pas Tactiou de la gravité, et qu'il ne dépend que des masses et de leur disposition respective, Euler et d'autres* autfurs l'appellent centre dinertie; mais la dénomination de centre de gravité a plus généralement prévalu.
Si la masse M a été divisée en un nombre infini de parties infiniment petites m, n/, m"^ etc. , on pourra prendre tel point qu'on voudra de chacune d'elles pour son centre de gravité, puisque les coordonnées, suivant chaque axe de tous les points d'un mcme élément, ne différeront entre elles que d'un infiniment petit. Les seconds membres des équations (i) se composeront alors d'une infinité de termes infiniment petits, dont les sommes seront des intégrales définies, d'après le théorème du n^ i3 étendu aux intégrales multiples. Par conséquent, on pourra toujours, par les règles du calcul intégral, déterminer exactement ou par approximation le centre de gravité d'un corps quelconque, sans connaître celui d'aucune de ses parties.
Dans un corps dont toutes les parties sont homogènes, leurs masses sont entre elles comme les volumes; on peutdoncalorssubstituerles volumes aux masses, dans les équations (i); et si l'on représente par V le volume entier, et par i^, i/, i/', etc., ses parties correspondantes a /ti, m\ /w", etc., on aura
I iG TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
\ = v+-t/ -+- (V + eic, Vx, =vx-i-i^x' + i^a-''4-etc.,
V j, = 1^ -f. c'y + V"jr" H- etc. ,
V s, ^^vz+Vz'-h \^' z" + etc.
[.e point ([(l'on détermine par ces équations est ic ceni re des forces parallèles appliquées à tons les points d'un corps, et proportionnelles aux élémens de son volume; ce point s'appelle le centre de grai'ité du volume, quoiqu'un volume n'ail ni masse ni pesanteur. On appelle aussi centre fie gravite d'une surface ou d'une ligne, le centre des forces parallèles appliquées à tous leurs points, et proportionnelles à leurs élémens. On déterminera ses coordonnées en remplaçant, dans les équations précédentes, les volumes V, 1', v\ v", etc., soit par les aires de la surface et de ses parties, soit par le& longueurs de ligne et de ses parties.
66. Les masses M, m, m', m", etc., et les distances mutuelles de leurs centres de gravité, sont
J'ajoute, aux deux membres de cette équation , la quantité
m [m' H- m" -4- etc. )x* -i- /w'( fwH- m" -4- etc)a:'* -\-nf ( /» -h m' -+- etc.)x^* -h etc. ;
il en résulte
M ( inx^ -h m'x'^ -h m\7f^ 4- etc. ) = mw! ( a? — x') * -f- mm'\x —x"Y H-m'/ii''(x'-A-")'4-etc.
La seconde et la troisième équation (i) donneront de même
M ( mj^ -f- m'f^ + m" y"^ -f e te . ) = nim' {j—f)^ 4- ininr{j -yy + m' m" [y - yy -h etc.,
M (mz^ + m' 2'* 4- m'' s"* -+- etc. ) = m//*' ( 2 - z' )* 4- mm" ( z — i'Y 4- m'm"{z' - 2'7 4- etc.
Or, si nous ajoutons ces trois dernières équations^ et que nous fassions
a:"*4-j^^4-z"^ = r"% etc.,
etc.,
nous aurons
M (mH '4- w' r'" 4- //l'V» 4- etc. ) = mm' p^ -t- ran'^p'^ 4- mlm^f^ 4- etc.,
ii8 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
pour l'cquaiioii qu'il s'agissait d'obtenir, et dans laquelle p, I»', fi", etc., sont les dislances mutuelles des centres de gravité de m, m', m", etc.. et r, r", r*, etc., les distances de ces [loints au centre de gravité de M.
67. Oti déduit aussi des équations :;(i] une propriété curieuse de l'équilibre d'uu point rualériel entièrement libre. Voici en quoi elle consiste.
Soit O (fig. 23) le point en équilibre; représentons en grandeurs et eu directions, par les droites OA, 0.\', OA", etc., les forces qui le soïlicilent; si leurs extréniitt's A, A', A", etc., sont les centres de gravité de masses égales, le point O seia le centre de gravité de ce système entier.
En efict, en appliquant les équations (ij à ces masses, et supposant que n suit leur nombre, on
= x + x'H-a" + etc.,
= J-+- y-i-y + etc.,
= i- -(- z' -(- z" + etc.
on aura
X =OA cosa , y =OA cosê , z =OA cosy , af = OA' cosa', f = OA' cos ê', z' = OA'cos 7', x" = OA" cos a", f = OA'cos ê% z' = OA^cos/,
pbur les coordonnées des points A, A', A.'\ etc. En vertu des équations d'équilibre, on aura donc
X -I- jc'-i- jc^-hetc. =0, j-f-y -h/'-Hetc. =0, z -h z' -# z" -f- etc. = o ,
d^oii l'on conclut
^1 =0, Ji=o, z, =0,
pour les coordonnées du centre de gravité des masses égales; par conséquent, ce centre coïncidera avec le point O: ce qu'il s'agissait de démontrer.
68. Il y a beaucoup de cas particuliers où le centre de gravité est immédiatement connu. Ainsi, le centre de gravité d'une sphère on d'un ellipsoïde est évidemment au centre de figure; celui d'un parallélépipède, à l'intersection de ses quatre diagonales ; celui d'un cylindre à bases parallèles, au milieu de son axe. I^ centre de gravité d'un cercle ou d'une ellipse est aussi au centre de figure, et celui d'un parallélogramme, à l'intersection des deux diagonales. Le centre de gravité d'une ligne droite est le milieu de cette droite; d'où l'on conclut sans difficulté le centre de gravité du contour d'iui polygone quelconque, soit par une suite de proportions (n*' 64), soit par les
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équations des motneiis des forces parallèles. On voit de iiièiue que quand on aura trouvé les centres de gravité d'un triangle et d'une pyramide triangulaire, on en déduira , par l'un ou l'autre de ces deux moyens, les centres de gravité d'un polygone et d'un polyèdre donnés, que l'on peut toujours décomposer, soit çn triangles, soit eu pyramides triangulaires.
Mais, en général , la détermination des centres de gravité exige l'emploi du calcul intégral; et dans le chapitre suivant nous allons donner tous les détails qu'on peut désirer sur ce problème.
STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. lai
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