CHAPITRE V
DÉTERmN ATIOIV DES CENTRES DE GRAVITE.
§ i^. Centres de gravité des lignes courbes,
6g. Soit j l'arc de la courbe donnée, aboutissant à un point quelconque M ^ et compté à partir d'un point fixe que j'appellerai C. Soient aussi x, j^ z^ les trois coordonnées rectangulaires de M. On considérera cette courbe comme un polygone d'une infinité de côtés; ds sera le côté ou l'élément de la courbe qui répond au point M; et quelque part que soit le centre de gravité de cet élément, on prendra x , ^, z , pour ses trois coordonnées, qui ne sauraient, effectivement, difierer de .r, ^, z, que de quantités infiniment petites.
Appelons / la longueur de la partie déterminée de la courbe dont il s'agit de déterminer le centre de gravité ; et représentons par s^, et s^ les valeurs données de s qui répondent aux deux extrémités de /. Soient r,, ^,, z^, les coordonnées du centre de gravité de cet arc /, rapportées aux axes des Xj j", z. D'après le théorème du n** i3, la somme des valeurs de chacun des produits xds, jrds, zds, dans toute l'étendue de /, sera une intégrale définie prise depuis s = So jusqu'à s = s^y en regardant x, y^ z,
comme d^'s fonctions de s données par la nature de la
courbe que l'on considère. Nous aurons donc (ii" 65)
Ix,
zds, (i)
pour les trois équations qui serviront à déterminer
Sn|iposoiis , ymr exemple , que la ligne donnée soit une droite, et que s;ï partie / aboutisse au point C, de sorte qu'on ait ^y^^ o et s, = l. Désignons p;ir a, S, y, les trois angles que fait cette partie / avec des axes menés par le point C suivant la direction des jc , j, z , positives ; soient aussi a, b, c, les trois coordonnées du jioint Cipoiirle point quelconque M nous aurons
x=^ a + s cos a. ,
= b ~i~ s cos ê ,
- icosy.
3e substitue ces valeurs dans les équations (i); et en efiectuant les intégrations et divisant ensuite par /, il vient
STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. i23
maie au point C; et en prenant cette droite pour Taxe des Xj il suffira de déterminer la valeur de x, , qui sera donnée par l'équation
xds.
L'are de cercle est compris dans ce cas particulier, en prenant pour axe des x le diamètre qui passe par son milieu. Si l'on place en même temps Torigine des coordonnées au centre du cercle, et qu'on appelle a son rayon, on aura
X'= a COS-;
pour l'abscisse du point quelconque M. On en conclut
Ix. = 2 a^sin — 5 ' 2 a
et en appelant c la corde de l'arC /, on aura
c = 2asin — ? lxt = ac:
ce qui montre que la distance x^ du centre de gnivité d'un arc de cercle au centre du cercle, est quatrième proportionnelle au rayon, à la corde et à l'arc.
71. L'équation de la courbe plane fera connaître Tune des deux variables xetjren fonction de l'autre. Si l'on suppose la valeur de j donnée en fonction de Xy on prendra
■ 24 TRAITl^ DE MÉCANIQUE.
et en ai)|(elaiil a et 6 les valeurs do oc qui fépoiuleiit aux deux exlri-inilés de l'arc l, on aura, au lieu dCs équations précédentes y
Si la courbe donnée est une section conique, on obtiendra sons forme finie, par les règles ordinaires, les valeurs des intégrales contenues dans les deux dernières équations [i). Dans le cas de la parabole, on obtiendra de même ta valeur de l'intégrale que renferme la preTniére de ces équations; en sorte que les deux coordonnées du centre de gravité d'un arc de paraboU' pourront Içujours s'obtenir eu l'oncNonsdes abscisses a et ë de ses extrémités. D'après un théorème tie T^ndcn, l'arc d'hyperbole s'exprime au moyen
STATIQUE, PKRMIÈRE PARTIE. laS
7a. Je prendrai Tare de cjcloïde pour un autre exemple de rapplication des équations (2). Dans cette courbe, la longueur. Faire, la surface et le volume engendrés par sa révolution, et les coordonnées de leurs centres de gravité, se déterminent exactement. La construction de la tangente en un point quelconque de cette courbe est aussi trèssimple; sa développée est une autre cycloïde; et, de plus, par une série de développemens successifs, une courbe quelconque approche de plus en plus de se confondre avec la cycloïde, et s'y confondrait rigoureusement à Tinfiui (*)• C'est encore la cycloïde que l'on trouve, comme on le verra par la suite, lorsqu'on cherche la courbe qui jouit des propriétés les plus remarquables, par rapport au mouvement curviligne des corps pesans. Cette réunion singulière d'un grand nombre de propriétés curieuses et de nature différente sur une mém# courbe, en rend la considération très-utile et très-fréquente en Géométrie et dans la Mécanique. Voici comment on obtient son équation.
La cycloïde est une courbe plane ACB (fig. a4), engendrée par un point déterminé M de la circonférence d'un cercle pendant qu'il roule sans glisser sur une droite AB. Si le point générateur se trouve d'abord au point A, et qu'il arrive ensuite au point B de cette droite, l'intervalle AB sera égal à la circonférence du cercle donné ; on voit aussi que son
(*) Journal de l'École Poljrtechnique , i8* cahier, page 43 1.
diamt'tre sera ogal à la perpendiculaire CD, abaissée du sommet C de la cycloïde sur AB, et qui divise la courbe eu deux parties symétriques. En appelant c le rayon du cercle donné on aura donc
Dans une position quelconque du cercle, soient HG son diamètre perpendiculaire à la base AB, et H son point de cpntacl avec cette droite. Du point M, abaissons les perpendiculaires MP et MK. sur AB et GH, et faisons
nous aurons
AU = AP + MK ~ /> -i- \iC(j — q*, arc M H — c.arcf sin — ^t~^ j.
Mais le cercle générateur tournant sans glisser sur la droite AB, d s'ensuit qu'on a constamment
les deux cordes MO et Mil du cercle générateur sont la tangente et la normale à la cycloîde qui répondent au point M. En déterminant par la formule connue son rayon de courbure au même point , on le trouve égal au double de MH; d'où il résulte qu'en prolongeant MH d'une quantité HN égale à MH , le point N sera le centre de courbure. £n faisant de même la droite CDE double de CD , le point E sera le centre de courbure qui répond au sommet C ; et de là on conclut aisément que la développée ANE de la demicycloïde AMC est la même courbe, renversée de manière que son sommet C soit transporté en A et son origine A en E. Il s'ensuit que la longueur de ANE ou de AMC est égale à la droite CDE , et que, par conséquent , la longueur totale de la cycloîde est égale à quatre fois le diamètre de son cercle générateur.
73. Dans, les usages que nous ferons de cette équation , il sera plus commode de transporter l'origine des coordonnées au sommet C (fig. a5). Je prendrai pour axes des x et des jr les droites Gr et C^, perpendiculaires et parallèles à la base AB. En abaissant du point quelconque M une perpendiculaire MP sur Gr, on aura donc
CP = a:, MP = j^;
et si l'on compare ces coordonnées aux précédentes, et que Ton appelle a le diamètre CD du cercle générateur, on voit que
donc , en substituant ces valeurs dans l'équation dif;
i2if TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
férentielle delà cycloîtle, et metlanl aussi a au Heu de ac, elle deviendra
dj =
rf.^y/Ï
En prenantl'intrgrale de manière qu'elle s'évanouisse quand x =: o, on a
^=3 2 yjax , pour la longueur de l'arc CM, dont l'origine est au sommet C. Au point A, on a jr = n; ce qui donne, comme préci^demmenl, ia pour la longueur delà demi-cycloïdeCMA. On peut remarquer que s* = ^ax est une équalion de la cycloïde semblable à celle de la parabole, dont elle ne diffère qu'en ce que l'ordonnée ^ s'y trouve remplacée par Tare s.
En appliquant les deux dernières équations (u) ati : de gravité de l'arc CM , nous a
d'un arc M' CM symétrique de part et d'autre du sommet C, qui doit appartenir à la droite CD, se trouve au tiers de CP^ à partir du point C. En intégrant par partie, on a
Si l*on substitue pour djr sa valeur donnée par l'équation {a)j on aura donc
et, par conséquent,
ce qui, joint à la valeur de .T|, détermine complètement le centre de gravité de Tare CM. Dans le cas de la demi-cycloide, on a x = fl et jr^^rca; d'où il résulte
74- Quand une courbe plane tourne autour d'une droite comprise dans son plan et que je prendrai pour Taxe des abscisses, elle engendre une surface de révolution dont rétendue peut se déduire de la loui gueur de cette courbe et de l'ordonnée de son centre de gravité.
Pour le faire voir, soient a: et jr Tabscisse et l'ordonnée dn point quelconque M de cette courbe, et s Tare CM aboutissant à ce point et compté d'un point fixe C ; l'élément ds engendrera la surface d'un cône
i3o THAITK DE MtXANlQlJE.
truriqiic, et son milieu décrira une ciicouféience égale à an (^ -^\^J'), ou simplemeiit à a jij-, à cause que (/j^ est un iiifininieiit petit. D'après la rt-gle connue, ou aiini donc injiis jiotu- cet élément tle surface. Donc, si l'un appelle s^ et J, les valeurs de s qui rt'-pondent aux deux extrémîlés de la courbe génératrice, et S la surface engendrée, on aura, d'après le Ihéoième du n" l'i.
n i jds.
Ou remarquera que celte expression suppose que In courbe généralrîce n'est p;is coupée par l'axe des jCf sans quoi ses parties situées des deux côtés de cet axe décriraient deux su i faces différentes, dont S n'exprimerait plus que la différence. Avec celle restriction, elk' subsistera encore lorscpie la génératrice sera une courbe fermée; et, pour l'appliquer à ce cas, il suffira de prendre pour .î, l'arc Jo augmenté de la circonférence entière de cette courbe.
Cela posé, si l'on compare rette foruiule à la troi-
STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. i3i
plus à rien s*il fallait calculer l'ordonnée j^i, puisque ce calcul serait le même que celui de S. En supposant, par exemple, que la courbe génératrice soit un cercle; désignant par a son rayon, par c la distance de son centre à l'axe de rotation, et supposant qVon n'ait pas c < a, on aura
r et, par conséquent,
Quand le cercle touchera Taxe de rotation, on aura c = aj et la surface engendrée sera équivalente au carré dont le côté est é^al à la circonférence ^na du cercle générateur.
§ IL Centres de gravité des surfaces.
75. Soient toujours x^jr^ £, les coordonnées d'un point quelconque M, et x^^ y^^ z^, celles du centre de gravité qu'il s'agit de déterminer. Je considère z comme une fonction donnée de x et ^; je fais
dz dz
di = P> 7fy = 'i^
et j'appelle tù l'élément de la surface donnée qui^pond au point M ; on aura (n® a i)
Quel que soit le point de tù où se trouve le centre de gravité de cet élément, ses coordonnées différeront infiniment peu de a-, /•, z; on pourra donc
] 3? mAITÉ DE Mt:CAlNIQUE.
preiidrr ax, t^j, az, pour les momcns de u par rapport aux trois plans des coorduiinées, et il en résultera (n™ i3 et65}
x=//», ix,=//x<^, ij;=ffr", i-'.^SS'";
X étant l'aire de la portion de surface dont on demande le centre de gravité, et les intégrales doubles s'étendanl à tous les élémens de X.
Dans le cas d'une surface plane, et en prenant son plan pour celui des x et y, les quantités p et q seront milles, et l'on aura seulement à considérer les trois équations
\=JJdxdj, \x,=SSxdxdj, ^Jt=SSr^^dy.
Supposons que X soit alors terminée par la courbe ABC (fig. j6); à chaque abscisse x ou OP répondront deux ordonnées PM et PN, que je représenterai par y et j\ et qui seront données en fonctions de X par l'équation de cette courbe. Soient aussi a et ê les abscisses OD et OE des points A
STATIQUE, PREmÈKE PARTIE. i33
ABCy si l'aire X est dbmprise entre deux courbes différentes et entre deux droites parallèles à Taxe Ojr des ordonnées, on tirera de Téquation de la courbe supérieure la valeur de j^ et de Téquation de la courbe inférieure celle de j', et Ton prendra pour a et S les distances de ces deux parallèles au point O. Dans le cas le plus ordinaire, la courbe inférieure sera remplacée par Taxe O^ des abscisses; on aura donc ^ = o, et simplement
X= ( jrdx, \a:,= f jxdx, y^jr, = ^ f j^dx (a),
)>our déterminer Taire et le centre de gravité d'une portion de surface plane comprise entre une courbe donnée, Taxe des abscisses et deux ordonnées de cette courbe.
Observons aussi qu'on parvient directement aux équations (i) de la manière suivante.
Je partage l'aire ABC en élémens tels que MNN'M\ infiniment minces et parallèles à l'axe O^. J'appelle u la longueur de la droite MN; par ses deux extrémités M et N, si Yoix mène des parallèles à l'axe Oj:, on ajoutera à Félément MNN'M', ou l'on en retranchera, des triangles infiniment petits du second ordre, qui n'en altéreront pas la grandeur; par conséquent, cet élément sera égal à udx. Si l'on désigne par v la distance du milieu de MN à Taxe O.r, on pourra prendre x etQ pour les deux coordonnées du centre de gravité de cet élément ; car il est évident qu elles n'en pourront différer que de quantités infinifnent petites. D'après les autres
i34 TRAITÉ DE MÉCANKJUE.
notations précédentes, on aura donc
Xx= r udxj XX| = r xudx^ Xji = r s^udx. (3)
D*ailleurs, y eXf étant toujours les ordonnées PM et PN qui répondent à une même abscisse quelcoqque, on a aussi
ce qui fait coïncider ces dernières formules avec les équations (i).
76. Pour premier exemple, je suppose qu'on demande le centre de gravité du triangle ABC (6g. 27).
Je place l'origine des coordonnées au sommet C, et je prends Taxe des x perpendiculaire à la base âB; je représente cette base par 5, et la hauteur CD ^par h. Par le point quelconque P appartenant à GD, je mène la perpendiculaire MN à cette droite; CP et MN seront les variables x et </, et Ton aura la pro- ^portion
de laquelle ou tire
hx
On aurSy en outre, a = o et 6 = A. Au moyen de ces valeurs, les deux premières équations (3) donneront
d*oii il résulte
On n'aura pas besoin de calculer la valeur dé j^;
STATIQUE, PRENUKRE PARTIE. i35
car si E est le milieu de ÂB, et qu'on tire la droite CEy elle coupera en deux parties égales tous les éléments (Tu triangle parallèles à AB, et contiendra, conséquemment, son centre de gravité. Si donc on prend sur CD une partie
et qu'on élève ia^droite FG [)erpendiculaire a CD, le DQii)t Ooù elle rer^contrera CE sera le centre de gravité du triangle. La droite FG coupant CD et CE en parties proportionnelles, on aura aussi
