CG = |CE

ce qui montre que le centre de gravité d'un triangle se trouve sur la droite qui joint son sommet au milieu de sa base, aux deux tiers de cette droite à partir du sommet, ou au tiers à partir de la base.

77. On démontre aussi ce théorème sans le secours du calcul intégral.

En effets par la décomposition du triangle ABC (fig. 28) en élémens parallèles au côté AB, on prouvera que son centre de gravité se trouve sur la droite CD, qui joint le sommet C au milieu D de ce coté. En le décomposant en élémens parallèles au côté CA, on prouvera de même que ce centre de gravité est aussi sur la droite BE qui va du sommet B au milieu E de CA ; ce point sera donc situé à l'intersection G des deux droites CD et BE. Or, si Ton tire la droite DE, elle sera parallèle a CB, puisqu'elle coupe CA et AB en parties proportionnelles; il en résultera donc

i36 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

DE:CB :: AD: AB:: I : 2, * ^ ne; : ce : : OE ; CB : : I : 5 ;

en sorte que DG sera la moitié de CG, et, coDsé.queniiiient, le tiers de CD; ce qu'il s'agissait de lifmontrer.

On en peut conclurt- que les trois droites qui vont des sommets d iiu triangle aux milieux des côtés opposés, doivent se couper en un n\éme point; ce^qyi, est conforme à un théorème connu.

Si les sommets A, B, G, du triangle sont les centres de gravité de tiois masses égales, le centre de gravité de ces trois corps coïncidera avec celui du triangle; car le centre de gravité des deux masses qui répondent à A et B se trouvera d'abord an milieu D de la droite AB ; et ensuite le centre de gravité de ces deux masses etdelatroisièmeseralepointGde la droite CD, tel que GD est moitié de CG ou le tiers de CD.

Il suit de là et du théorème du n" 67, que si l'on applique au centre de gravité G d'un triangle, des

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. l3^

leur sommet commun au point C. On appliquera ensuite la force qui agit sur chacun de ces élémens à son centre de gravité; et comme la distance au point C de chaque cAitre de gravité est les deux tiers du rayon du cercle, il en résultera un système de forces parallèles et égales, appliquées à tous les élémens de Tare A'D'B', décrit du point C comme centre, et d'un rayon égal à | CD. Par conséquent^ le centre de gravité du secteur sera le centre de ces forces parallèles, c'est-à-dire, le centre de gravité de cet arc A'D'B'. Or, en désignant par a, /, Cj le rayon CD, l'arc ÂDB et la corde ÂB, les quantités analogues, relativement à A'D'B', seront f/x, |/, fc; si donc G est le centre de gravité demandé, et qu'on fasse CG = x, on aura, d'après le théorème du n® 70,

2 ac

Maintenant, soient S, S', S,, les surfaces du secteur CADB, du triangle CAB et du segment ADBE; appelons G, G\ G,, leurs centres de gravité, qui seront évidemment sur le rayon CD aboutissant au milieu D de l'arc ADB; si Ton désigne par x^ x', x,, les distances de ces trois points au centre C, et qu'on y applique des forces parallèles et proportionnelles à S,S%* Sf, la première sera la résultante des deux autres; en considérant les momens de ces forces, on aura donc

^uC — ô Jtr "T" ô| J^i • On a, d'ailleurs,

2 ac

i38 TRAITÉ DR MÉCANIQUE.

En appelant h la hauteur CE du triangle dont la basç est AB ou c, on a aussi

Donc, à cause de

Téquation dés momens deviendra

^a^c = ^cA* -h I [al — ch) âc^ ;

et elle fera connaître la distance x^ du centre de gravité du segment ADBE au centré du cercle. En observant que

c = aa sm — > A = a cos — ?

on en déduira

4a* sui* —

Xa =

( / — rtsin-j

Lorsque Tare / est la demi-circonférence, on a Izizna'j le secteur et le segment coïncident, ainsi que les distances ;r et Xi, dont la valeur commune est

79. Si Ton prend successivement les trois sections coniques pour la courbe à laquelle répondent les formules (2), les intégrations s'effectueront par les règles connues, et Ton pourra obtenir, sous forme finie, les valeurs des deux coordonnées x^ et jr^ du centre de

gravité. J'indique cet exemple comme exercice de calcul, et je passe immédiatement à la détermination du centre de gravité de l'aire de la cycloïde.

Soit CPM (fig. a5) le segment dont on veut trouver le centre de gravité ; en désignant par x eXj l'abscisse CP et l'ordonnée PM, comme dans l'équation (a) du n^ 73, il faudra que les intégrales contenues dans les formules [^ s'évanouissent quand x = o; et en intégrant par partie, ces formules deviendront

>^i=i^*J-iA*^, (4)

les nouvelles intégrales s'évanouissant aussi en même temps que x.

£n vertu de l'équation (a), on a

Jxdjr = f \lax — x^ dx-j

mais si N est le point où l'ordonnée PM rencontre le cercle décrit sur CD comme diamètre, cette dernière intégrale exprime le demi-segment circulaire CNP; en représentant, pour abréger, pary l'aire de ce demisegment ^9on aura donc

X = arj - y.

Dans le cas où le point M coïncide avec le point A^ on aura

et, par conséquent,

i4o TnAlTÉ DE MÉCANIQUE.

L'aire CAD de la demî-cycloïde est donc triple de celle du demi-cercle CND, dont le rayon est ^a, ou, autrement dît, l'aire Je )a cycloïde entière est égaleà trois fois celle de son cercle générateur. On aura aussi

fx^dj = fx ^ax — X* tix', ou, ce qui est la même chose,

fx'dj^~-^af\'ax~x'dx—f{-^a—x)\Uix — x'dx.

La dernière intégrale s'obtient immédiatement; et à cause qu'elle doit s'évanouir, quand x = o, nous aurons

Xj:, =4 x'f — ^ay-i-- {ox — x')';

équation qui fera connaître la valeur de v, d'après celles deX.

Dans le cas de la demi-cycloïde CAD, où l'on a, en même temps,

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. i4i