Eli vertu de réquation (a), on a
et la valeur àej peut s'écrire ainsi : en faisant donc, pour un moment,
y ax — x*
=zZ
et supposant que cette intégrale soit nulle comme toutes les autres, quand x = o, on aura
' jr= y/ ax — x^ -^ \az ; d'où il résultera
/^^ = i^wc:*"" 3^'"+- 2^/2 \jax— x^dx. (5)
Parce que l'on a fa^t
7 =jy'ax — x^dxy on aura, en intégrant par partie,
Jz yjax — x^ dx = zy — j^dz, (6) On peut écrire l'expression de 7 sous la forme
7=-a» r ^ /-ia^x)'^x^
' 4 Jv^ n.r — x' J yjax^x' '
et en intégrant par partie dans le second terme, il vient
7 = 7^' I : - f-fl— X I i/fljr— jr» — Çsl axs^dx ;
i42 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
doù l'on conclut
A cause de \^ax — x^dz = dxj on aura donc
Je substitue ces valeurs de 7 et J*fdz dans l'équation (6) ; il en résulte
ce qui change Téquation ( 5 ) en celle-ci :
fxjrdjr = ia^x-^iax* - \x*
-4--5^a'z* — ^£iz(|rt — x) y/iue — X*. (7)
Au moyen de cette valeur et de celle de Zj savoir :
(a — ajT \ cos = 1 »
la troisième équation (4) ne contiendra plus rien d'inconnu, et fera connaître la valeur de^, pour un segment quelconque CMP.
Dans le cas de la demi-cycloïdc CAD, on aura
x = ay z=:a/r(cos = — 1) = ;:; la formule (7) se réduira à
et à cause de
la troisième équation (/| . donnera
STATIQUE, PREMikRE PARTIE. i43
ce qui, joint à la valeur de x, du numéro précédent, déterminera complètement la position du centre de gravité.
8i. Soit S Taire d'une zone de surface ôfi révolution, comprise entre deux plans perpendiculaires à son axe de figure. Cet axe renfermera le centre de gravité de S : je le prendrai pour Taxe des x; et je désignerai par x, la distance de ce centre à l'origine des coordonnées, et par a et S les distances à la même origine, des deux plans qui terminent S; la détermination du centre de gravité de cette zone se réduira à celle de la valeur de x^ .
Je décompose S en élémens dont chacun sera la surface d'un cône tronqué décrite parle côté infîniment petit de la courbe génératrice, comme dans le n^ 74; celui qui répond au point M de cette courbe dont les coordonnées sont X et j^j sera égal k 2njr yjila: -f- djr^ ; il •aura aussi son centre de gravité sur Taxe des x, et Ton pourra prendre x pour la distance de ce point à Torigine des coordonnées, puisqu'elle ne pourra différer de X que d'un infiniment petit. Cela étant, on aura (n^ i3et65),
&r,=27rj^ xjr y/c4-|.>, )
en considérant jr comme une fonction de x^ donnée par l'équation de la génératrice.
i44 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
Si cette courbe est, par eiemple^n arc de cercle, que l'on place l'origine des coordonnées à son centre, et qu'on appelle a son rayon, on aura
jr = Si n^ — x* ; d'où il résultera
• S = artrt (ë — a),
S.r, ^-fl{g» -a»), et par conséquent,
ce qui montre que le centre de gravité d'une zone spliérique est au milieu de la partie du diamètre comprise entre les deux plans qui la terminent, et perpendiculaire à ces plans.
82. La cycloîde nous fournira deux exemples de l'application des formulés (8), en faisant tourner successivement l'arc CM {fig a5) autour de l'axe C.r et de l'axe Cy.
Dans le premier cas, on aura, en vertu de l'équa-
STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. i45
et^ par conséquent,
ce qui fait connaître la surface concave vers l'axe de figure, engendrée par Tare CM, et la distance de son centre de gravité au point C. Quand cet arc devient la demi-cycloïde CA, on a x = « et/ = -^7ra, et, conséquemment,
Dans le second cas, il faudra, pour continuer de dire usage de Téquation (a) du n^ 73, permuter x et ^ jr dans les formules (8), lesquelles deviendront, par là,
S=a7r/xy/i-hg€/x,
Sjr, = 2nfxx y/i-t-^^x;
jr^ étant la distance au point C, du centre de gravité de S situé sur la droite Cj*, et les intégrales s'évanouissant au point C, c*est-à-dire^ quand x = o. D*a* près l'équation (a), nous aurons
S = ^nfxK/^dx= ^xyfâx-,
la valeur de S/i sera la même que celle de Sx^ du I. 10
i46 IHAITK DI-: HKCANIQUE.
piTiiiier cas, et en la divisaiiL |^)iir celte valeur di' S, on aiirn 1.1 distance a\i point C, dn centre de gravitr <ïe \a surface convexe vers l'axe de figure, engendrée (wr Tare tIM. Lorscjue cet -irc deviendra la demi-cycloïde CA, la surface' engendrée swti égale i 4'f *ï en ntème temps, la distance^', aura ponr valeur
On petit lemarquer que quand un même arc de courbe tourne successivement autour de deux axes i-ectangul aires et passant par une de ses extrémités, le second mondire de la seconde équation (8) ne change pas de valeur, et, par conséquent, les dislances à celle exlréinité, des centres de gravité des deux surfaces engendrées, sont en raison invei-se des aires de ces surfaces.
83. Si la courbe ABC (fig. a6) tourne autour de l'axe 0.r, compris dans son plan et qui ne la traverse pas, sa surface engendrera un solide de révolution dont te volume, que je représenterai par V, pourra s'ex-
pour hauteur commune; car on petit négliger les volumes infiniment petits du second ordre, engendrés par les triangles que Ton retranche de cet élément, on qu'on y ajoute, en menant par les points M et N des parallèles à Taxe Ox. Or, si Ton compare cette expression de Va la troisième formule (i) du numéro cité, on a
ce qui montre que le volume engendré par l'aire >. d'une courbe plane est égal à cette aire multipliée par la circonférence ^njr^ du cercle qae décrit son centre de gravité; théorème analogue à celui du n® 74, et qui servira à déterminer le volume V quand le centre de gravité de X sera connu à priori. Il subsistera encore, lorsque la surface génératrice, au lieu d'être circonscrite par une courbe fermée, sera comprise entre deux courbes différentes et deux perpendiculaires à Taxe de figure, pourvu que cet axe ne passe pas entre ces deux courbes planes.
Si fVtire génératrice est mi deiui-cercle tournant autour de son diamètre, la distance de son centre de
gravité à cet axe de rotation sera égale à t^ (n® 78) ,
en désignant par a son rayon; la circonférence dé*
crite par ce point aura donc -^ pour longueur ; et
comme l'aire du demi-cercle est j7ra', on aura
ce qui est, effectivement, le volume de la sphère.
Sii|)|.o
TRAITE i)K MF.CANIQUF..
t'iicote que !a courbe fermée ABC soit
e ellipse, el représentons para et h ses deux demiaxes, et par c la distance de son centre à l'axe de rotation. I/airc A sera, comme on sait, égale àreni; et son centre de gravité étant évidemment le centre de figrne, on aura ^, =^c; d'où il résultera ^»
V = a 71 'abc, quelle que soit l'inclinaison de l'un ou l'autre des axes de l'ellipse sur Taxe de rotation.
84. 11 est évident que le segment du solide de révolution compris entre deux plans passant par l'axe de figure, est au solide entier comme l'angle de ces deux plans est à quatre angles droits, ou, ce qui est la même chose, comme l'arc décrit entre les deux plans, par le centre de gravité de l'aire géns'ratrice, est à la circonférence entière anj',. Doue, en appelant / la longueur de cet aie, et L le volume du segment, on aura
X étant toujours l'aire génératrice qui, par hypcflliêse,
el les autres points décriront des courbes semblables à cette ligne. Soient X, L, /, Taire de la courbe génératrice, le volume engendré par cette surface, et la longueur de la courbe parcourue par son centre de gravité. Si / était un arc de cercle, L serait un segment de solide de révolution; mais, dans tous les cas, on peut diviser / en parties infiniment petites, dont chacune se confondra avec le cercle osculateur qui lui correspond. Désignons par a Tune de ces parties, et par v le volume du segment correspondant de L ; et supposons que les plans perpendiculaires à sa direction, par lesquels v est terminé, se coupent suivant une droite qui ne traverse pas Taire de la gé* néralrice. Cet élément i' de L sera un segment de solide de révolution; et d'après Téquation précédente,
on aura
i* = aX.
Donc, en prenant la sonune de toutes les valeiu's de v et observant que le facteur X est constant, il en résultera que le volume L est égal au produit de / et X, comme dans le cas d*un solide de révolution. La règle que cette équation L = X/ renferme est utile dans la pratique, et susceptible d'un assez grand nombred'applications; toutefois, on ne devra poiat oublier qu'elle n'a plus lieu quand les génératrices consécutives se coupent sur la surface engendrée, et forment, par leurs intersections successives, ce qu'on appelle une (uète de rebroussement,
85. La considération du centre de gravité fournit aussi une règle pour évaluer le volume d%in piMsme
i5o TRAITÉ oe. MÉCAWIQLE.
ou d'un cyhiKiit' à base quelconque, tronqué par un
pl^in incliné sur celle base.
Soient y l'aire d'une sei^lion de cylindre perpendiculaire à sa génératrice, X l'aire de la section inclinée qui le lei'inine, $ l'angle de ces deux plans, '.) un éK'UU'nl quelconque do ),, £ sa projection sur le phm y, ou réicnieut correspondant de l'aire y, qui est elle-nièiue la projection de X. D'après le ihéorèuie du n° i o, on aura
y = X cos 5, s — w cos 6.
Cela étant, je suppose qite X suit la burface à laquelle se rapportent les formules générales du n" jB, et que & représente l'inclinaison de son plan sur celui des x et j. Je multiplie la troisième de ces formules par cos 0, et je tais passer ce facteur constant sous le signe//; en vertu des valeurs de y et £, on aura
y:, = //is.
Or, cette intégrale double eçt le volume An cylindre
STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. i5i
un plan |>arallèle à la hase, ce cylindre uo. change pas de volume, puisque le segment qu'on en retran-. che est évidemment ^al à celui qu'on y ajoute.
.Si les aires désignées par 7 et A se coupent mutuellementy le volume se composera de deux segmens dont l'intégrale ffzî exprimera la ditférei^e et non pas la somme. Quand le cylindre sera terrtiiné par deux sections inclinées dont les aires ne se cou})ent pas, on pourra toujours le diviser en deux parties, dont la base commune et perpendiculaire à la gêné*, ratrice, ne coupera ni Tune ni l'autre de ces deux sections; et en observant que leurs centres de gravité se trouvent sur une même d^oite perpendiculaire à cette base, on voit que le volume total sera égal à Taire decette base multipliée par la distance mutuelle de ces deux points.
§ III. Centres de gravité des volumes et des corps.
86. La détermination du centre de gravité d'un volume dépend, en général, de plusieurs intégrales triples; mais il y a des corps pour lesquels la position de ce centre se détermine par des int&grales simples. Ce sont ces corps que nous allons d'abord considérer.
Le centre de gravité d'une pyramide ou d'un cône à base quelconque se trouve sur la droite qui va de son sommet au centre de gravité de la base ; car cette droite rencontre toutes les sections parallèles à la base, en des points homologues qui sont leurs centres de gravité, et qu'on peut aussi prendre pour les
i5-ï TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
centres de gravité des élémens de ce corps, infiniment minces et parallèles à sa base. Par conséquent la droite dont il s'agit contient le centre de gravité de la pyramide ou du cône, et il ne reste plus qu'à déterminer sa position sur cette ligne.
Soient i et X l'aire de la base et celle d'une section parailélf;; désignons par  et x les perpendiculaires abaissées du sommet sur leurs plans; nous aurons, comme on sait,
et, conséqueninicnt.
De plus, on pourra prendre Xdx pour l'élément du volume du cône ou de la pyramide; et si l'on appellti V son volume total et x, ta valeur de x correspondante à la section qui contient le centre de gravité, on en conclura, comme dans les questions précédentes,
STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. i53
rallèle à la base, il coupera en parties proportionnelles la hauteur h et la droite qui va du sommet au centre de gravité de la base ; il s'ensuit donc que le centre de gravité du cône ou de la pyramide à base quelconque se trouve aux trois quarts de cette droite, à partir du sommet, ou au quart, à partir de la base.
87. Relativement à la pyramide triangulaire, ce théorème se démontre sans le secours du calcul in«* tégral.
Soit ÂfiCD (fig. 3o) cette pyramide. Soient aussi E et F les centres de gravité des faces ACD et BCD; tirons les droites BF. et AE, dont les proiongemens se rencontreront au milieu H de Tarète CD; et ensuite dans le plan AHB, tirons les droites AF et BE, qui se couperont en un certain point G. Je dis que ce point sera le centre de gravité de la pyramide ABCD; car en la décomposant en élémens parallèles à la base ACD, on verra, comme dans le numéro précédent, que son centre de gravité doit se trouver sur la droite BE; et en la décomposant en élémens parallèles à BCD, on verra, de même, que ce point appartient à la droite AF. Ces deux droites AF et BE, qui sont effectivement dans un même plan, devront donc se couper, et leur intersection G sera le centre de gravité demandé.
Maintenant, dans le triangle ABH, la droite EF est parallèle à la base AB, puisqu'elle coupe les côtés AH et BH en parties proportionnelles, c'est-à-dire, au tiers à partir de H ; on aura donc
FG : GA : : EF : AB : : EH : ah,
i54 TRAITÉ DE teèéAWQUE.
et, [)ar coiisi'qiitinl, "^**yr'i
iG : GA : : I : 3 ; ^ * *
en sorte que FG est le tiers de G A ou le quart de AK ; ce qu'il Sagissnit lie prouver.
On en conclut quesi les quatre somnit!lsA,B,G, D, lie la pyramide sont les centres de gravité de mitsses égales, le* point G sera le centre de gravité de ces quatre musses; car di^j» le point F est celui des trois masses qui répondent à B, C, D (n" 77); et ensuite le point G, tel que GF est le tiers de (îA, sera le centre de gravité de ces trois masses et de la quatriènte.
Il stiir de là (n" 67) que si l'on applique au centre de gravité de la pyramide triangulaire des iorces représentées, en grandeur et en direction, par les droites qui vont de ce point aux quatre sommets, ces quatre forces se feront équilibre.
88. Ayant déterminé le centre de gravité d'une pyramide triangulaire, on eu déduit immédiatement Celui d'une |)jramideoud'un cône a base quelconque, en décomposauL cette base en un iiombi-e fini ou iu-
STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. i55
inun soit au centre de la sphère, et qui aient pour bases les éléments infiuiment petits de la base du secteur, leurs centres de gravité se trouveront tous sur la base d'un secteur concentrique, dont le rayon sera les trois quarts de celui du secteur donné; d'où Ton conclut que le centre de gravité du secteur donné sera le même que celui de la base du secteur concentrique; ce qui en détermine la position.
Supposons que le secteur sphérique soit engendré par le secteur circulaire CADB (fig. 29), tournant autour du rayon CD, qui aboutit au milieu de l'arc AB ; le triangle CAB et le segment circulaire ADB engendreront, en même temps, un cône et un segment sphérique; et le centre de gravité de ce segment sphérique se déterminera d'après ceux du secteur sphérique et du cône.
Pour cela, appelons V,, V, V, les volumes respectifs de ces trois corps, et Xi, x, ody les distances de leurs centres de gravité au point C; pous aurons
Soient a le rayon CD, c la corde AB et/ la flèche DE de Tare ADB. Relativement au cône, on aura
La base du secteur sphérique sera égale au produit de la flèche et de la circonférence du grand cercle, ou à 'xiraf^ et son volume aura pour valeur le pro-
duit de cette base et de j a, ou ^^ ^^ ^'^" ^®* crit du point C comme centre, et d'un rayon égal à
\56 TRAITÉ DE MÉCANFQUR,
■jeu, iiu ai-c de cercle tel que A'iyB', le ceiHre de gravité de la surface engendrée par cet arc se trouvera au milieu de la flèche D'E' (n" 8i), ou, autreiiientdit,àuiiedislaiicediipointCégaleàCD' — ^D'E', dont la valeur est j[a — {J ). Donc, ce centre de gravité étant, d'après ce qu'on vient de dii-e, celui du secteur sphérique V, ou aura
t ces différentes valeui-s dans les vieil t
lin subslilui équations {a),
^Tra'fla — i/} = -^ttc' [a —Jf + V,x, ;
d'où Ton tirera les valeurs de V, et x,.
Si l'on appelle / la longueur de l'arc AB, on aura
J= ai\— cos — ] ,
et il en résidtera
STATIQTÎK, PREMIERS PARTIE. 157
89. On détermine aussi par des intégrales simples le volume et le centre de gravité de tout corps symétrique par rapport à un axe, comme un ellipsoïde, par exemple.
Soient x, ^, z les trois coordonnées rectangulaires d*un point quelconque de la surface; prenons Taxe de figure pour celui des x, et désignons par X l'aire de la section perpendicula^e à cette droite, qui répond à Textrémité de Tabscisse x. Si Ton décompose le volume en élémens infiniment minces et perpendiculaires à Taxe de figure, on pourra prendre Xdœ pour le volume d'un élément quelconque, et or pour la distance de son centre de gravité à l'origine des coordonnées. Donc, en désignant par V une tranche comprise entre deux sections correspondantes à des abscisses données a et Sj et par x^ la distance de son centre de gravité à l'origine des coordonnées, nous aurons
V= Hxdx, Vx,= rxXdx.
Dans le cas de l'ellipsoïde, l'équation de la surface est
a^h^ Cj désignant les trois demi-axes. Ceux de la section X seront
on aura donc
iGH TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
i-l, par conséquent,
{l'où l'on lire
Si l'on applique cette formule au segment sphélique que l'on a considéré dans !e numéro précédent, il faudra prendre
co qui donne
4 I— cos— -i-sin' —
et en multipliant le numérateur et te dénominateur de celle fz-aclion par i — cos — » on véri6e qu'elle
STATIQUE, PREMIÈRE PARTIR. iSg
Téquation de cette surface devient
et l'intégrale triple se change en
ahcJSSdafdfdz'.
Cette nouvelle intégrale devra s'étendre à tous les élémens de Tespace circonscrit par la surfiice qui répond à Téquation précédente; elle sera, par conséquent, le volume de la sphère qui a Tutiité pour
rayon; et ce volume étant égal à ^9 il en résulte
- -|-^9 comme précédemment, pour celui de Tellip-
soide.
(90). Les corps symétriques autour d'un axe comprennent les solides de révolution. Nous prendrons toujours Taxe de figure pour celui des abscisses x. £n supposant alors un solide de cette nature engendré par une aire plane, comprise entre deux courbes données et les perpendiculaires à Taxe des x qui répondent àa: = aeta:=Ç, et désignant parj^ et y les ordonnées de ces courbes relatives à une même abscisse quelconques, il faudra faire
dans les formules du numéro précédent; ce qui donne
Dans le cas le plus ordinaire où la courbe intérieure
ifio IRAITK DE MÉCANIQUE.
sf confoiulr.i avec l'axe de figure, on aura ^■' = 0,
et simplement
V^Tt f" y^t/jc, V.r,=:n P j*x(lx. (b)
La cycloïde fournira encore des exemples de l'application de ces formules, dans lesquels toutes les intégrations s'eficctueront sous forme finie.
Si l'on considère le solide convexe, engendré par Taire CMP (fig. 25) tournant autour de l'axe Cx, on intégrera d'abord par partie; ce qui donnera
V = n.r^;'» - ^n/x^i/j, V X, — ^-nx^f* — ttjx^ydj ; ■*
les intégrales étant prises de manière qu'elles s'évaiionisseiu au point C, ou quand j? = o. En verlu de 1 équation (a) du n" 73, On aura donc
V — -.r;-' ~2i:fj-fjax — x' ffx,
Vx, = ^r.x'j' — n J j-x \/ ax ~ X* dx :
et les calculs s'achèveront par des transformations
STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. i6i
y^ étant la distance au point C, du centre de gravité qui se trouve sur Taxe C^, et les intégrales s'éva- Douissant en ce point C. En vertu de Téquation (a) de la cycloîde, on aura donc
V = 7r/x ^ ax — x^dx^ V j^, = njyx^ ax — x^ dx.
La première intégrale s'obtiendra sans difficulté; la seconde, par des transformations semblables à celles du D® So. Dans le cas où CM sera la demi-cycloide entière^ on trouvera
91. Maintenant, soient x^^ y^^z^^ les trois coordonnées rectangulaires du centre de gravité d'un corps de forme quelconque, homogène ou hétérogène, dont la masse sera représentée par M. D'après ce qu'on a déjà dit dans le nP 65, il faudra, pour déterminer ces trois inconnues, diviser M en parties infiniment petites, et changer, en conséquence, les sommes en intégrales dans les seconds membres des équations (i) de ce numéro. On aura, de cette manière,
Mjt, =SJSxdni, Mj, =SJJjrdm, MZ| = ///w/zn ; (i)
dm étant l'élément différentiel de la masse du corps
qui répond aux coordonnées x, jr, z, £n appelant p
la densité de ce même élément, et dn^ son volume»
on aura aussi
dm=^pdv.
On pourra prendre maintenant, pour l'élément du du volume, le parallélépipède rectangle dont les trois côtés adjacens sont parallèles aux axes des x, I, II
,il résiiller;
TRAITK DK MÉCANIQUE.
■g.Tiix ;nix (liffi^rciilieUes ftx, ttj, ilz; J"c
flv = dxdjdz.
Si le cnrjis est homogène, sa densilé sera cons- Iniite ; en (Ipsignanl par V son volume, on aura
M=fV, ^
(•\ les éqtiatioii8(i} ileviemiront V^, =J//.r,A,, V J, =///rA, V z, =///=rfr. (,).
Si le corps est hétérogène, il pourra se présenter deux cas dilTéreiis. Dans le premier cas, ce corps se composera de parlies homogènes de grandeur finie, et la densité ne variera tjue d'une partie à raulre. On appliquera donc à chacune d'elles les équatioiis(3], puis on déterminera le centre de gravité du corps entier d'après ceux de toutes ses parties (n" 64). Dans le second cas, la deiisitô variera par degrés insensihles dans l'intérieur du corps; et alors ou fera usage des équations (i), dans lesquelles |ï devra être une fonction donnée dex,^;', s.
drons sur cette observarion dans le chapitre suivant, et nous ferons voir qu'on peut, néanmoins, appliquer les formules (i) et (2) aux corps naturels, comme si la matière n'éprouvait aucune discontinuité dans leur intérieur.
9a. Au lieu des coordonnées x^ jy Zy il sera quelquefois nécessaire, pour faciliter les intégrations, d'employer les coordonnées polaires de chaque élément dm. Soit alors r son rayon vecteur, 6 Tangle qu'il fait avec Taxe des x positives, et ip Tangle compfis entre le plan de ces deux droites et celui des X eX.j\ nous aurons (n^ 9)
jcr = r COS0, ^ = rsin9cos(j/, 2.=r sin9 sin<|;.
Il faudra, en même temps, exprimer ds^ au moyen des différentielles de ces nouvelles variables r, 6, «p. On a des formules générales pour la transformation des variables indépendantes dans les inté** grales multiples ; mais on peut aussi trouver directement l'expression de dv dont nous devrons faire usage, savoir :
rfi^=r*sinô^rrfÔrf(};,
ainsi qu'on le verra tout à l'heure.
Je mets ^dsf à la place de dm dans les équations (i), et j'y substitue ensuite cette valeur de dy^ et celles de jcr,/, z; elles deviennent
MX|=///pr»sin eco^QdrdGd^, \ Mjr,=fffpr*s\n*ecosf^drded^y [ (3) M z, =fffpi^ sin*esin ^drdQd^, )
i64 TRAITÉ DF. MltCANlQUr:.
■à quoi il t'uudrH joindre l'équation '
U — fffpr'' sinQdrcl9d<^.
Qii^nt aux limites de ces intégrales triples, elles seront (liffi-rentes selon que l'origine des cooi*données sera placée en dehors ou en dedans du corps. Lorsque celte origine sera un des points de M, on intégrera d'abord depuis r = o jusqu'à r = u, en représentant par u une fonction de S et i]' donnée par l'équatîou de 1.1 suriace; cela fait, on intégrera depuis 9=o et i|;=::o jusqu'à S =n et i|/ — îtt, en commençant à volonté par l'angle $ ou par l'angle i^. Les limites seront généralement plus compliquées quand l'origine des coordonnées n'appartiendra pasà la masseM. Représentons, dans ce cas, par u et u' deux fonctions données de 6 et i3f, par u et w' deux fonctions de if, et par a et a' deux angles donnés; supposons qu'il s'agisse d'une portion de corps comprise, d'une part, entre les deux surfaces qui out pour équations r=u et r= u' ; d'une autre part, entre les surfaces coniques qui ont pour axe commun l'axe des j-, leur
STATIQUE, PREMlJilRE PARTIE. i65
dont les rayons sont a et a'; supposons, en même temps, que les deux cônes soient à base circulaire, ou, autrement dit, que co et tù' soient des angles constans; supposons, de plus, que la densité ne soit fonction que de r; de sorte que la portion de corps que Ton considère appartienne k une sphère composée de couches concentriques infiniment mincies , dont chacune ait la même densité dans toute son étendue, laquelle densité variera d'une couche à Tautre, suivant une fonction donnée de la distance au centre. En faisant, pour abréger^
et effectuant les intégrations relatives à 9 et <]/ , on trouve
M = A(a' — a) (cos w — cos w'), Mxt= |Bi'a' — a) (cos* o) — cos'w'), M^i = ^B(sina'— siua) (w'— w — ^sinaw' 4-^sin2o>), Mz, =^B(cosa--cosa')(ca'— oj— ^sinaw'-f-^sinau);
ce qui fait connaître les valeurs de ^i, ^n 2|, qu'on ne pourrait déduire, dans cet exemple, des équations (i).
Si la masse M forme un anneau complet, de sorte qu'on ait a' = a -f- an, il en résultera ^i = o et z, =o, c'est-à-dire que le centre de gravité sera situé, comme cela doit être, sur l'axe de cet anneau : sa distance x^ au centre de la sphère dont cet anneau fait partie, aura pour valeur
B(cos&>-f-cos&>')
Xt = — ^ -'
i66 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
Daiw le CBS de Thomogénéité de la sphère, la densité p étant constante, on aura
Quand le vide de Tanneau disparaîtra, ou fera ca=o; et, enfin, s*il se change eu un secteur sphérique, on fera aussi n = o ; d*où il résultera
X| = -g-(i-+- cosoi)');
ce qui s'accorde avec la valeur de la quantité désignée par X dans le u^ 88, en observant que la flèche représentée par^aurait pour valeur /i'(i — .cosco^, et que le rayon est af.
g3. Pour trouver la différentielle dv du volume, exprimée au moyen des différentielles des coordonnées polaires, je suppose que M ( fig. 3 1 ) soit le point qui répond aux coordonnées r, 9, <{» ; en sorte que O étant leur origine, OM soit le rayon vecteur r, B Fangle MO.r compris entre ce rayon et un axe fixe Ox, et ^ Tangle que fait le plan de ces deux droites avec un plan fixe, mené arbitrairement par la seconde. Soit M' un point situé sur le prolongement de OM, et dont le rayon vecteur OM' sera r'. Du point O comme centre, et dans le plan M'Oor, décrivons les arcs de cercle MN et M'N' compris entre les deux droites OMM' et ONN', et désignons par 9^ Fangle NÔor; enfin, faisons tourner le plan de cet angle autour de l'axe Ox; et représentons, dans sa nouvelle position, par ^' Tangle qu'il fera avec le plan fixe. Dans ce mouvement, Taire MM'N'N engendrera un volume MM'N'NPP'Q'Q, quo je représenterai par U.
Or, celte aire^ diflérence des deux secteurs circulaires M'ON' et MON, est égale à
Si l'on appelle u la perpendiculaire abaissée de son centre de gravité sur l'axe Ox, on aura u (cp' — ^) pour la longueur de l'arc que ce centre décrira autour de cette droite. D'après le théorème du n^ 84» nous aurons donc
Cela posé, concevons que les tro^s dimensions de IJ deviennent infiniment petites, et faisons, en conséquence,
Le Êicteur r' 4- r se réduira, en même temps, à ir\ on pourra aussi prendre pour u la perpendiculaire MH abaissée du point M sur l'axe Ox, laquelle est égaleàrsinO, et ne saurait différer à^u que d'un infiniment petit; enfin, U se changera en dv^ dont la valeur, qu'il s'agissait de déterminer, sera
rfi;= r* sin0 drdQd^.
On remarquera, effectivement, que ce volume e/t^ peut être considéré comme un parallélépipède rectangle, dont les trois côtés adjacens sont MM' ou r/r, l'arc infiniment petit MN, qui a son centre au point O et pour longueur rdQ^ et l'arc infiniment petit MP,« qui a son centre au point II et pour longueur /• sin Odd.
i68 TRAITÉ DE MÊCAniQUE.
La base MNQP de ce parallélépipède est l'élément de la surface sphérique dont le centre est au point O et le rayon égal à r. En la désignant par de, on a donc
dtr ~ r'sin QdQ d<if, dv = dtfdr.
Si l'on appelle da l'élément de la surface sphérique dont le rayon est pris pour unité» on aura aussi
da> = sin SdBd'^. dv = r'drdù).
Eu intégrant cette expression de du depuis 9 = o et iji = o jusqu'à ^:p n et tj; = arr, on en déduit 4" pour le rapport de la surface de ta sphère au carré de son rayon ; ce qui est, en elfet, sa valeur connue.
STATIQUR, PREMIÈRE PARTIE i6g
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