CALCUL DE L'ATTRACTION DES CORPS

§ I^. Formules relatives à un corps quelconque et à

la sphère en particulier.

94. Supposons qu'un point matériel O (fig 3a) soit soumis aux attractions de tous les points d*un corps de forme quelconque ; en décomposant chacune de ces forces en trois autres, dirigées suivant des axes rectangulaires menés arbitrairement par le point O^ et faisant ensuite la somme des composantes positives ou négatives qui agissent suivant chaque axe, on aura les trois composantes, dont la résultante exprimera, en grandeur et en direction, l'attraction totale qui sera exercée sur le point O. Ces trois composantes seront des sommes d'une infinité d'élémens infiniment petits, étendus à la masse entière du corps attirant ; elles s'exprimeront par des intégrales triples, fit le calcul de ces quantités sera semblable à celui des coordonnées du centre de gravité d'un corps quelconque dont nous venons de nous occuper : c'est pourquoi je placerai ici ce que j'ai à dire sur le calcul des attractions.

Cette question est une de celles dont les géc^mètres se sont le plus occupés^ soit à cause des difficultés

1 70 TRAITÉ DE IÏÉCaR!QUE.

d'analyse qu'elle pi-éseiile, soit à raison de ses nip- [lorrs :ivec If problème de la figure de la terre el de la loi de la pesaiiieiir à sa surlace; mais, dans cet ouvrage, on se bornera à donner les formules qui se présenlent immédiatement, et quelques-unes de leurs applications. Je renverrai, pour de plus grands déveioppemons, ansecond \oUin\ede\a Mécanique céleste, et à mou ML'uioire sur V Attraction des Sphéroïdes, inséré dans la Connaissance des Temps de l'année 1829. t)5. Soit D un point fixe pris dans l'intérieur du corps attirant; par ce point, uienons trois axes rectangulairesDJ, D^T", Dz, qui seront les axes descoordonnées positives; désignons parx, j; s, les coordonnées d'uu point quelconque M <lu corps attirant, et par dm l'élément dilférentiel de sa masse, qui répond à ce |)oiut M ; repiésentons aussi par «, S, 7, les trois coordotuiéesdu ])ointO, et par fi la masse de ce point matériel ; etsoit enfin u la distance OM, de sortequ'on ait

(/» = (a - xY -f- (g - jY -h (7 - 2)". V^Uraction exercée par dm sur ;x sera dirigée sui-

de forme et de dimension quelconques, dont les masses sont égales et prises pour unité, et supposer que Taitraction ne varie ni en grandeur ni en direction dans toute retendue de ces deux corps; en sorte qu'elle soit la même entre deux élémens quelconques de leurs masses, égaux kdm et à /x, qu'entre les points matériels fJt* et dm que nous considérons, lorsque leur distance OM est égale à l'unité : la force^ est Tattrac^ tion totale qui serait exercée alors par Tun de ces deux corps sur l'autre.

Les projections de la droite OM sur les axes Dx, Vj^ Dz, sont a — a:, ê — ^, y — z; en les divisant par II, on aura les cosinus des angles qui déterminent la direction de la force F; ses trois compossgites seront donc

"-•:f, !z:2:f, ïziiF;

et en y considérant u comme une quantité positive, elles tendront, selon qu'elles seront positives ou négatives, à diminuer ou à augmenter les trois coordonnées a, 6, 7, du point O. Si donc on désigne par A, B, C, les trois composantes de l'attraction totale exercée sur ce point, on aura, en mettant pour F sa valeur, et observant que [i et y sont des facteurs constans,

ces intégrales triples s'étendant à la masse entière du corps attirant.

17a TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

En représentant par p la densité de rélément dm^ et par dv son volume, on aura

dm = pdu.

Cette quantité p sera, dans le cas général, une, fonction donnée des coordonnées du point M; elle se réduira à une constante donnée, dans le cas de l'homogénéité du corps attirant. On exprimera di^ a» moyen des différentielles des coordonnées de M, dont on fera usage, et qui seront le plus propres à faciliter les int^rations.

g6. Par une considération très simple, on réduit à une seule les trois intégrales triples d'où dépendent les valeurs de A, B, C.

Les limites étant les mêmes que dans ces intégrales, faisons

A cause que ces limites sont indépendantes de la position du point O, si Ton difierentie T par rapport à ses coordonnées, on pourra effectuer ces différentiations sous les signes / (n® i4); 6t comme on a d^ailleurs

dv. a* dS II* r/7 M*

il en résultera

ce qui change les équations (i) en celles-ci :

de sorte que le calcul des trois composantes Â^ B, C, ne dépendra plus que d'une seule intégrale T.

En la déterminant, il sera important de se rappeler que le dénominateur u devra avoir constamment le même signe dans toute Tétendue de l'intégration, et qu'il doit être positif si Ton veut que les composantes A, By C| tendent à diminuer ou à augmenter les coordonnées du point O, selon que leurs valeurs données par les équations (2) seront positives ou négatives.

Au lieu d'une attraction, si le point O était soumis à une répulsion, il suffirait de changer les signes des valeurs de A, B, C, ou, ce qui est la même chose, d'y regarder^ comme une constante négative. Dans le cas où la force attractive ou répulsive qui agit sur le point O ne serait pas, comme nous l'avons supposé, en raison inverse du carré de la distance, et qu'on représenterait, en général , le coefficient do [idm par une fonction donnée de 1/, que je désignerai par ç^i/, on prendrait ime autre fonction ^u, telle que Ton eut

et que l'on mettrait à la place de - dans l'expression

de T. Il se pourrait aussi que cette force fût attractive pour une partie du corps qui agit sur O, et répulsive pour une autre partie, auquel cas la fonction

<puj dans laquelle e&t compris le coefticienty^ chan* gérait de signe dans Tétendue de Fintégrale que T représente.

Les composantes de l'action exercée sur un corps de forme et de dimension quelconques, se déduiront des formules précédentes, en y remplaçant /u par l'élément différentiel de sa masse, qui répond aux coordonnées a, 6, 7, et intégrant ensuite,- par rapport à ces trois variables, dans toute Téteiidue de cette masse; d'où Ton voit que les composantes de l'action exercée par un corps sur un autre dépendront, gé« néralement, d'intégrales sextuples.

Telles sont les formules d'après lesquelles on calculera les attractions ou répulsions ; mais avant d'en faire aucune application, il est nécessaire d'expliquer comment elles conviennent à la constitution intime des corps naturels, et d'examiner la difficulté dont il a été question à la fin du n^ 91 .

97. I^s différens corps renferment, sous des volumes égaux, des quantités inégales de matière pondérable (n**6o); et ces quantités variant, pour un même corps, avec sa température et la pression extérieure à laquelle il est soumis, on a été conduit à considérer les corps naturels comme un assemblage de parties matérielles non contiguës, et séparées les unes des autres par des porcs ou espaces vides de matière pondérable. Ces parties matérielles se nomment des atomes; leurs dimensions et celles des pores échappent, par leur extrême petitesse, à nos sens et à tous nos moyens de les mesurer. On regarde les atomes comme iiidestnicliblcs, et la inasM\ la forme^

le volame de chacun (feux, comme invariables. T^s dimensions des pores varient, au contraire, avec les quantités diverses de chaleur qu'on introduit dans les corps ou qu'on en fait sortir, et avec les pressions auxquelles on les soumet; et comme les changemens de volume d'un corps peuvent être très-grands, sans que sa masse ait augmenté ni diminué, il s'ensuit que les dimensions des parties vides doivent être comparables et généralement supérieures à celles des parties pleines.

I^s atomes de même nature ou de nature différente, se réunissent en diverses proportions, pour former d'autres parties des corps, toujours insensibles, qu'on appelle leurs molécules. Les corps diffèrent entre eux par la nature <ît la proportion des atomes qui entrent dans la composition de chaque molécule; et les atomes sont regardés comme invariables et indestructibles, ainsi qu'on vient de le dire, parce qu'en les réunissant dans les mêmes proportions, on reproduit, à toutes les époques, les mêmes corps, jouissant des mêmes propriétés.

98. Il est évident, d'après cela, que la division de la masse en élémens infiniment petits, et la supposition d'une densité de chaque élément, qui ne varie pas dans les corps homogènes, ou qui varie par degrés insensibles dans les corps hétérogènes, ne conviennent point aux corps naturels; mais cela n'empêche pas qu'on ne puisse faire usage des formides fondées sur cette considération, et qu'elles ne soient encore applicables lorsque les corps ont été divisés en parties de grandeur finie, mais tout-à-fait insensible.

176 TRAITÉ DE MÉGANIQUE.

txï effets les molécules sont si petites et si rapprochées les unes des autres, qu'une partie de la masse d'un corps qui en renferme des nombres immenses, peut encore être supposée extrêmement petite, et sou volume regardé conjme insensible. Soit v le volume d'une semblable partie, d'une grandeur insensible, et qui contient, néanmoins, des myriades de molécules; soit aussi m la somme de leurs masses; et désignons par M un des points de Vj qui sera, si Ton veut, son centre de gravité. Si nous faisons

ce rapport /9 exprimera réellement la densité du corps au point M, quelles que soient d'ailleurs les masses des molécules et leur distribution régulière ou irrégnlière dans l'étendue de p. De même, en désignant par n le nombre de molécules que i^ renferme, et faisant

cette ligne £, de grandeur insensible^ pourra être appelée V intervalle moyen des molécules qui répond au point M et à la densité p. Dans un corps homogène, ce rapport et cette ligne ne varient pas avec la position du point M; dans un corps hétérogène, ces deux quantités varieront par degrés insensibles, et pourront être supposées des fonctions données des coordonnées de ce point.

Cela posé, si Ton veut connaître la masse d'un corps, ou, plus généralement, la somme des par*

Ues extrêmement petites de cette masse, multipliées , chacune par une fonction IT des coordonnées de Tua] de ses points M, on divisera le volume V de cé'l corps en parties extrêmement petites c, puis on fera la somme de tous les produits Vpv, que j'indiquerai par

et qui devra s'étendre à toutes les parties v de V. D'après le théorème du n"^ i3, si les termes de cette somme étaient infiniment petits et que leur nombre fût infini, sa valeur serait rigoureusement égale à Tiotégrale définie

étendue au volume entier V, dont dv est l'élément différentiel. Or, on conçoit qu'on général la différence entre cette somme et cette intégrale diminuera de plus en plus, à mesure que les par-ties de la première deviendront plus petites, et que leur nombre sera plus grand; de telle sorte qtie ta grandeur de v étant insensible, mais toujours distincte de dv, on pourra néanmoins prendre , sans erreur appréciable, l'intégrale à la place de la somme. 11 y a cependant une exception à ce principe général : c'est lorsque U est du genre des fonctions qui varient très rapidement, et qu'en même temps cette quantité change de signe dans l'étendue de l'intégration; ce qui arrive, effectivement, dans le calcul des forces provenant de l'attraction moléculaire et de la répulsion calorifique, qui ne sont sensibles qu'à des distances insensibles. Mais il nous

178 TRAITÉ DE MÉGANIQUE.

suffit, quant k présent, d'observer que cette exception n'a aucun rapport avec les formules des n^ 91 et 95^ relatives «lux centres de gravité des corps et aux attractions en raison inverse du carré des distances, et qu*on peut, conséquemment, les appliquer aux corps naturels formés de molécules disjointes.