Revenons maintenant au calcul des attrapons

Si la distance du point O au corps attiré est très grande relativement aux dimensions de ce corps, on pourra, dans l'expression de T du n^ 96, développer la quantité - en série convergente, ordonnée

suivant les puissances et les produits de x^ jr^ z. En faisant

on aura alors

-sï-rH >; * %. -t- etc.

Si l'on prend le centre de gravité du corps attirant pour l'origine D des coordonnées, on aura

fJJxdm = o, fffjrdm = o, JfJzdm = o,

puisque ces intégrales, divisées par la masse M du corps, seraient les trois coordonnées de ce point (n^9 1 } . En désignant cette masse par M, nous aurons donc

Lorsque la dislance Ol) ou ù sera assez grande pour qu'on puisse ri'duire cette valeur de T à son premier terme, les équations (a) deviendront

-KH/ï.

î composantes s

S que

celles d'il

force égale à i—— , agissant au point O suivant la direction OD ; il s'ensuit donc que l'attraction exercée sur un point O, par un corps qui en est très éloigné, est à peu prés la même, en grandeur et en direction, que si la masse M de ce corps ^'tait réunie à son centre de gravité.

liOrsque ce corps sera une sphère homogène ou composée de couches concentriques, on trouvera que tous les termes de la valeur de T, excepté le premier, se détruisent pi sulBia pour celade remplacer .r, y, s, par les coordonnées r, 9, i^, comme dans le n" 9a ; ce qui permettra d'effectuer les intégrations relatives à 9 et if- Le théorème qu'on vient d'énoncer sera doncalorsloutà-fait exact, si la distance â est seulement assez grande pour que le développement de - soit une série convergente; et, en effet, on verra dans le numéro suivant, p sans recourir à la réduction en série, que ce tliéorème ' a lieu, quelle que soit la distance du point O à la sphère attirante, pourvu qu'il ne soit pas situé dans son iutérieur. Il est facile d'en conclure que l'attraction d'une sphère sur une autre est la même que si la masse de chaque sphère était réunie à son centre; car, en appelant M et M' les masses des deux sphères, et C et C leurs centres, l'attraction de M sur un point quelconque O de M' est d'abord la même que si la masse M était concentrée au point C ; en outre, cette attraction de C Mir tous les points O de M', est égale et contraire à

i8o TRAITÉ DE MÉCANIQUK.

l'attiactioii de tous ces points ou de M' sur C, laquelle est la même que si la masse M' était réunie au poiolC; doue, l'attraclion ties deux sphères est la ménie que celle de deux points matériels situés en C et C, et dont les masses seraient M et M'.

loo. L'attraction exercée sur le point O par une couche sphérique, homogène et d'une épaisseur constante, dont D est le centre, se réduira évidemment à une force dirigée suivant OD, En faisant coïncider cette droite avec l'axe Dx, les composantes B et C, pa-

I ralléles aux axes D/ et D;, seront donc nulles, et l'on

i n'aura que la valeur de A k calculer.

Dans ce calcul, on emploiera, comme dans le n" 9a, les coordonnées polaires r, 0, •^. L'iixe Dx se confondant avec la droite DO, on aura alors

ODM = 9, DO = a, S = o, y = o; et à cause de DM = r et OM = u, il en résultera

h' = a' — a a r cos 6 H- r'.

L'angle 41 sera celui que fait le plan ODM avec un plan fixe passant par la droite DO; on prendra {11" gS)

rfv = f» sin BdrdBd<)/, jHJur l'élément du volume ; et dans l'élément dm = pdv de la masse, on regardera p comme un facteur constant.

Après avoir suhstîtué ce» valeurs dans l'expression deT du n" 96, on intégrera depuis r = b jusqu'à r=a, en désignant par a et 6 les rayons extérieur et intérieur de la couche sphérique, et depuis Q^ o et ^ = o jusqu'à 5 — n et ij; = a;i. Comme la va-

STATIQUE, PREMIERE l'ARTIR, i8i

riable <^ n'eiiti-era pas :>ous le signe /, riiitégratioo

relative à cette variable se réduira à reoiplacer la

' diiTérentielIe d^ par in. Cela étant, on aura

"''Kl"

Aux liinilesô 3= o et fi— rt, le radical aura valeurs

uiais connue il exprime la valeur de u, qui doit être < constaininent positive [n''96), il faudra prendra a + r à la limite ô — ir, et r — a ou a ~ r à la limite S = o, selon que le point O sera situé en dedans ou en dehors de la couche spliérique. Nous verrons tout à l'heure ce qu'on doit laire lorsque ce point appartiendra à la couche même, de sorte qu'on ait r > a dans une partie de cette couche, et r < a dans l'autre partie.

Relativement iv 9, l'intégrale indéfînie étant

//■sinOrfO i ,—5 5 , ■■ __ - Va' — aa/'co9 9+ r' + consl; V *' — aarcosfl+r' «

on aura donc, dans le cas du point intérieur,

=jU'- + «)-('--<")l =

par conséquent, la valeur de T ne dépendra pas de a, et celle de A qui s'en déduit au moyen de la première équation {i), sera égale à zéro. Dans le cas du point extérieur, on aura de même

rsinSi/O o ^ ■' — aarcosS

= il(« + r)-{a-r)]=ï,

iSa TRAITÉ DE MÉCAHIQUE.

et, cônséquetnmeni,

oti, ce qui est la même chose.

M étant ta masse de la couche sphérique dont le vo-

lume est ^^~ — —■ On en conclut

["•,ce qui est la même force que si la masse entière de \,cette couche attirante était réunie à son centre.

loi. Ces résultats s'étendent immédiatement aux cas d'une couche sphérique d'une épaisseur constante, mais composée d'autres couches concenlriques, dont la densité varie de l'une à l'autre, suivant telle loi qu'on voudra, et ne change pas dans toute l'étendue d'iinc même couche; car on peut déterminer séparément les attractions dç ces différentes couches, et faire ensuite la somme de toutes ces forces, laquelle sera nulle pour un point intérieur, et donnée par la formule (3) pour un point extérieur; M exprimant toujours la masse totale du corps attirant. Concluons donc,

i°. Que les attractions en raison inverse du carré des distances, exercées par tous les points d'une.couche sphérique d'une ép;iisseur constante, homogène ou composée de couches concentriques, sur un point O situé dans l'espace vide que cette couche termine, se

STATIQUE, PREMifcRE PARTIE, détruisent mutiiellement; en sorte que ce point de-

lilibre

iielque

'il fût placé

nieurerait eu eqi clans cet fîspace.

a". Que l'attraction de cette même couche et, [lar consiiquent aussi, l'attraction d'une sphère entière, exercée sur un point extérieur O, est la oicine que si la masse du corps atlirant était réunie à son centre.

Si le point O fait parlie de la couche attirante, ou, autrement dit, si l'on a a>/» et a<«, on par- i lagera cette couche sphérique en deux autres ; l'une dont les rayons extérieur et intérieur seront a et a, l'autre pour laquelle ces rayons seront a et fc; le point O étant intérieur à l'égard de la première de ces deux couches, elle n'exercera sur lui aucune action; et si' ! l'on appelle m la masse de la seconde couche, par rapport à laquelle le point O est extérieur, l'attraction î de cette couche se déduira de la formule (3), en y i mettant m au lieu de M. L'attraction totale exercée J sur le point O aura donc pour valeur

ftm/

Si la couche sphérique se change en une sphère eulièrement pleine, et qu'elle nit partout la même densité, on aura

c*esï-à-dire que dans l'intérieur d'une sphère homo- ' gêne, l'attraction est proportionnelle à la distance du point attiré à son centre- Les mêmes théorèmes ont lieu dans le cas d'uue ré-

i84 TRAITÉ DE MÉGANIQUE.

pulsion, pourvu que cette force varie toujours en raison inverse du carré des distances.

I02. L'équilibre du point O, situé dans l'espace que termine une couche sphérique, et attiré ou repoussé par tous ses points, peut facilement se vérifier.

Supposons, pour cela, que cette couche soit d'abord infiniment mince. Soit £ son épaisseur. Décomposons sa surface en élémens infiniment petits; et désignons par G) Taire de celui qui répond au point P (fig. 33). Les élémens correspondans du volume et de la masse de cette couche seront £a> et peu ; et si l'on appelle /* la distance OP, la valeur de la force dirigée suivant cette droite sera

Imaginons un cône dont la base soit u et le sommet O; en prolongeant la génératrice OP jusqu'à ce qu'elle rencontre en V la surface sphérique, et prolongeant de même toutes les autres génératrices, on déterminera sur cette surface un second élément que je désignerai par u'. Soit, de plus, r' la distance OP'; la force dirigée suivant cette droite, en sens contraire de la précédente, aura pour valeur

or, je dis que ces deux forces contraires seront égales entre elles, c'est-à-dire qu'on aura

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. i85

Soient, en effet, POQ et P'OQ' les sections des deux conesi faites par un même plan quelconque, passant par leur sommet commun O. Les surfaces semblables fù et ca' seront entre elles comme les carrés de$ lignes homologues PQ et P'Q'. A cause des triangles semblables POQ et FOQ', on a d'ailleurs