PQ : P'Q' :: OP : OP
en élevant au carré les quatre termes de cette proportion, on en conclura donc
et, par conséquent, l'équation précédente.
Il résulte de là que les actions exercées sur le point O par tous les éléments de la couche sphérique se détruisent deux à deux. «L'action totale de cette couche sera donc nulle; et il en sera encore de même si elle a une épaisseur figie; car alors on pourra la décomposer en une infinité de couches infiniment minces, dont chacune n'exercera aucune action sur le point O.
§ n. Formules relatives à l'ellipsoïde.
io3. Ix>rsque le point O (fig. 3a) appartiendra à la masse attirante, on facilitera souvent les intégrations en prenant ce point pour origine des coordonnées polaires. I>e rayon vecteur du point quelconque M sera alors z/; en appelant donc, comme dans le n^ 93, rf« l'élément de la surface sphérique dont le rayon est Tunité, ou aura
i86 TRAITÉ DE MECANIQUE.
et si l'on apjielle g, A, Ar, les angles que fait la droite OM avec des parallèles aux axes Dx^ D^, Dz^ menées par le point O, on aura aussi, d'après les notations du n? 95,
cosff= 7 cos/i= j cosA = -\
ce qui changera les équations (1) de ce numéro en
celles-ci :
A = — liffffp cosgdudtù, B = — liffffp cos hdudtù , C = — liffffp cos kdud(ô.
Les intégrales relatives à u s'étendront depuis u^=o jusqu'à 21 = r, en désignant par r le rayon vecteur d'un point quelconque de la surface qui termine le corps attirant. Pour plus de simplicité, si l'on suppose ce corps homogène, ces intégrales s'effectueront immédiatement, et il en résultera
A = — lifpffr cos gdtù ,
B = — [jjpffr cos hdtù j \ [a)
C = — l^Jpff'^ cos kd(ô.
Pour déterminer la valeur de r, qu'on devra substituer dans ces formules, soit, en coordonnées rectangulaires,
F(ar, j, z) = o,
l'équation de la surface du corps attirant. En un point quelconque de cette surface, on a
x = a -f- // cos g^ y^zzÇ-^u cos //, z = '/ -h n cos Â",
d'après \os valeurs précédcnlos de rosfj, cos/i. cosX,
et tf , S, 7, étant toujours les trois coordonnées du point O dont les valeurs sont données. On substituera donc ces valeurs de x, y^ 2, dans Téquation précédente; celle qui en résultera donnera, en général, deux valeurs de r, l'une positive et l'autre négative; mais on rejettera la valeur négative, parce que le rayon vecteur r est une quantité positive dont la direction est uniquement déterminée par les angles g^, A, k^ qui peuvent être aigus ou obtus.
Après la substitution de la valeur de r dans les équations (^), les intégrales doubles s'étendront à tous les éléments dtù de la surface sphérique, décrite du point O comme centre, et d'un rayon égal à l'unité.
1 04. Appliquons ces formules au cas de l'ellipsoïde homogène dont la surface a pour équation
a^ 6, c, désignant les trois demi-axes, et le centre de figure étant l'origine D des coordonnées. Si l'on y substitue les valeurs précédentes de Jtr, y^ z, il vient
pr^ -f- 2qr= /,
en faisant, pour abréger,
cos' g cos' h cos' ^
acosg 6cos/( vco^
a^ ù' tf»
Nous aurons donc
TRATTlt DE MltCAHIQUR.
Or, la quantité p est positive; la quantité^ est aussi positive ou zéro, parce que le point O, qui répond aux coordonnées or, ê, y, est sitné dans rinlérieiir de l'ellipsoïde, ou, tout au plus, à sa surface; par coiiséquenl, il faudra prendre le radical avec le signe +, pour que le rayon r ne soit pas négatif. Je dis, de plus, qu'on pourra supprimer ce radical dans les formules (a). En effet, la partie correspondante de l'intégrale contenue dans A, par exemple, serait
j J^'^l'^P^ co5Éf(/u;
mais pour cliaqne couple d'éléniensrfw dont les rayons sont dans le prolongement l'un de l'autre, les élémens de cette intégrale double se détruisent; car eu passant de l'un de ces élémens </u à l'autre, chacun des trois cosinus C09 g, cos h, cos k, change de signe, les quantités p, /, tj^, restent les mêmes, et le coelficieut de (/u sons le signe f prend des valeurs égales et de signe contraire. Tous les éléments de l'intégrale pi"écédente se détruisant ainsi deux à deux, la valeur de A devient d'abord
dùi
eu ayant égard à la valeur de q. Or, les deux dernières de ces trois intégrales se composeront de cou-
STATIQUE, PREMIKRE PARTIE. 189
])les (i'élémens qui répondront aux mêmes valeurs de h et de k, et à des valeurs de g- supplémens l'une de l'autre. Chacun de ces couples d'élémens se réduira donc à zéro, et, par conséquent aussi, les intégrales entières. F.n supprimant ces intégrales et faisant subir des réductions semblables aux valeurs de B et de C, on aura simplement
Soient actuellement fl l'angle compris entre le rayon OM et la parallèle à l'axe Ox menée par le pointD, et 4. l'angle que fait le plan de ces deux droites avec un plan passant par la seconde et parallèle à celui des x et y; nous aurons (n" 8)
cosg= ces 9, cas A =:sin fi cos i|(, cos A-:= sln 9 simji, et, en même temps (n" 93 ),
d<ù — sin 9rf9(/t|-; d'où il résultera
.(ï*/^"c°/7 = ô'c'cos^ô + (c*cos' t|i-(-i*sin*t|/)fl*sin'9, (^ r rcM.'tivm^d^tl'Sf
Pour comprendre les directions de tous les rayons OM, les intégrales devront s'étendre depuis 9 = o et 1^ ;= o jusqu'à 9=3ff et ({(— an; mais à cause que le cocflî-
igo TRAITÉ DE MF.CANIQUB.
cienl de dd a ia même valeur pour 6 et pour 7i — ?, il suffira d'intégrer depuis 5 = o jusqu'à 9 = iff, et de doubler le résultat; et parce que le coefficient dei}i est le même pour ifi et pour n ±'^, il suffira aussi d'ihtégrer depuis i(i = o jusqu'à ;|i = -^n, et de quadrupler le résultat. Cela étant, je fais
f=tang4., *^9=^-^ et à cause de
cos' (il ^ . ) siu* J/ :=
il en résulte
a'sin'e}c'+ (c'cos'0-f rfl'ftc
^y/{b' cos' fl 4- «' sin= 0) {r' eos' O-ha' sin' B) '
au moyen de quoi ia valeur de A ne dépendra plus que de l'intégrale relative à 6. Sans nouveau calcul, on déduira B de A en y mettant ê au lieu de ce. et permutant les lettres fl et i; et de même, on déduira C de A en y mettant y au lieu de a, et permutant les lettres a et c. De celle manière, on aura fmalentent
t , j- r\^ Acros'Ssin 9(/6 A=:/j7t«./p« / ,■ ■ ■
J^ ^(6'cos'0 + a'8in'9J(c'cos*e=a'sin'e) I
J \/(o'eos'e4-i'siTi'0){c'Mi'0+i'sin^S)7'- '
rtficos'Osmerfa
Ces valeurs de A, B, C, étant positive», ii s'ensuit
STATIQUE, PREMIERE PAHTIK. 191
que chacune de ces trois composantes teiitl à rapprocLer le point O dit centre de l'ellipsoïde; le contraire aurait lieu dans le cas d'une répulsion où l'on de* vrait niellre, dans ces formules, — J au lieu Aef.
io5. Désignons par d une constante positive, et supposons qu'on subslitne (1 -1- (?) a, (1 -f- â) b, (t + i)c, an lieu de a, b, c, clans les formules (t;]. I^ facteur I -I- d disparaîtra, et tes valeurs de A, B, C, resteront les mêmes. Or, par cette substitution, l'ellipsoïde se trouvera augmenté d'une partie comprise entre sa surface primitive et une surface semblable; les composantes A, B, C, ne changeant pas, il en faut doue conclure que l'action de telle partie additive sur le point intérieur O se réduit à zéro.
Ainsi une coucbe homogène comprise entre deux surfaces elliptiques semblables, ayant le même centre et leurs axes dans tes mêmes directions, n'exerce aucune action attractive ou répulsive sur un point O situé dans l'espace vide que termine sa surface intérieure; en sorte que ce point matériel restera en équilibre, quelque part qu'il soit placé dans cet espace; théorème qui comprend celui que nous avons précédemment trouvé pour le cas d'une couche sphérique.
Il en résulte que l'action d'un ellipsoïde plein et homogène sur un point O de sa masse, se réduit à celle qui est exercée par la partie de celte masse terminée par la surfaceclliptique, passant parce point, semblable à celle du corps entier, et semblablemeut placée. D'après les formules (c), la composante de cette force, parallèle à chacun des trois axes de Tel-
lipsoide, est proporlioiinellL' û l'ordonnée du point O parallèle à cet axe, et ne tlôpeiirl que de cette variable. Dans le cas général où les trois demi-axes a, b, c, sont inégaux, on transforme en fonctions elliptiques les intégrales relatives à 5 que ces formules renferment; ce qui permettra d'en calculer les valeurs numériques, au moyen des tables de M. Legendre. Ces mêmes intégrales s'obtiennent sous forme finie, lorsque deux des constantes a, b, c, sont égales, et qu'il s'agit, par conséquent, d'un ellipsoïde de révolution.
106. Supposons, par exemple, qu'on aitc^é; la forme des intégrales relatives à Q sera différente, selon que l'ellipsoïde sera aplati ou allongé, c'est-à dire, selon qu'on aura i > o ou A < a. Supposons aussi que ce soit le premier cas qui ait lieu; et faisons, dans cette hypothèse,
en sorte que la fraction e soit l'aplatisscDient de l'ellipsoïde, et m sa masse. Il en résultera 3f./na r.^ cos'6sinSrf&
"~ "' Jo 1 -H (.■; eos' B '
et, en effectuant l'intégration, on aura
i~bJfii
- arc (tang r= e)].
pour la composante parallèle à l'axe de révolution. On aura aussi
B c S^fr.
\^fm Ç",^ cus'0siii9(/&
STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. ig3
Les composantes B et C étant entre elles comme les coordonnées S et 7 du point O, il s'ensuit que leur résultante sera dirigée suivant la perpendiculaire abaissée de ce point sur Taxe de révolution. En appelant A' cette force, et a' la longueur de la perpendiculaire, de sorte qu'on ait
A' = >/BM-C^, a' = Vê' -H 7% et e£Fectuant Tintégration indiquée, il vient
*' = ^' h ('""8 =')-Th}
La résultante des deux forces A et A' exprimera, en grandeur et en direction. Faction totale de l'ellipsoïde sur le point O.
Lorsque e sera une très petite fraction, on pourra développer ces valeurs de A et A' en séries très convergentes, ordonnées suivant les puissances de e. A cause de
arc (tang =e ) = e — ^ -f- g — etc. ,
— î— = c — e' H- c' — etc. ,
nous aurons
A = ?^(.-^-Hetc.),
A'=«^(i-^ + etc.).
Dans le cas dé la sphère, ou de e = o, la résultante de A et A' sera dirigée vers le centre, et aura la même intensité que dans le n^ loi .
