Le calcul de l'attraction d'im ellipsoïde ho

194 TRAITÉ DE HËCA^IQÛE.

niogéne sur un point extérieur présente encore beaucoup plus de difficulté; mais on doit à M, Yvori un théorème au moyen duquel ce cas peut être ramené à celui du point intérieur; ce qui permet d'exprimer les composantes de l'attraction par des intégrales simples, semblables aux formules (c). Voici une démonstration de cette importante proposition.

En faisant, dans la première équation (i) du n" gS, dm = pdxdjrdz, et observant que ^ est un facteur constant, on a ,

Je suppose que l'équation de la surface soit toujours l'équation (i), et j'y mets ax', bj", cz', à la place de X, j", z, ce qui la change en celle-ci :

En même temps la valeur de A devient

Chacune de ces deux intégrales doubles s'étendra à tous les élémeifts de la demi-surface sphérique dont le rayon est Tunité, et qui a son centre a Torigine des coordonnées; le produit dydii est la projection sur le plan des y et z, d'un élément quelconque. Si donc on désigne par 6 Tangle que le rayon qui aboutit à cet élément fait avec Taxe des or, et par (p l'angle compris entre le plan de ces deux droites et le plan desx et y^ Taire de cet élément sera sin OdOdf^j son inclinaison sur le plan des ^ et 2 sera Tangle Oy et il en résultera

df dz' = cos ô sxnQdOd^,

pour sa projection sur ce plan. On aura en même temps

jc, = cos 0, y = sin 6 cos i|;, z' = sin 6 sin i}».

Les limites des deux intégrales seront maintenant 5 = o et tp = o, Q =^n et^ = arr; mais si l'on met, dans la seconde^ tt — 6 à la place de n^ il est aisé de voir que ces deux intégrales se réuniront en une seule, qui aura les mêmes limites par rapport à ij^, et dont les limites relatives à 9 deviendront 9 = o et d = rr; en sorte que Ton aura simplement

cos 9 sin BdBd^ ï

en faisant, pour abréger,

R' =: a'-i- 6'-f- 7' — 2( afl cosO 4- G ^ sin 0 cos>|« -+■ 7 csin 0 sin\p)

fl'cos'Ô + ^'sin'O co5'4» + c'sin» Osin'4»,

et regardant R comme une quantité positive. Les

igG TRAITÉ DE MÉCANIQUE. deux autres composantes B et C s'exprimeront pareillement par des intégrales doubles. *

Maintenant, considérons l'attraction d'un autre ellipsoïde ayant la même densité p, le même centre, et ses axes dans les mêmes directions que le premier. Soient a,, b„ c,, les trois demi-axes correspondants à a, h, c ; appelons 0, le point soumis à cette attraction, a,. S,, 7,, ses coordonnées, et A,, B,, C,, les composantes de cette force, parallèles aux trois axes de l'ellipsoïde. En supposant toujours que \i. soit la masse du point attiré, nous aurons

R, étant ce que devient R quand on y change a, A, c, a, ë, 7, en a,, b,, c^, a,, &,, y,, Les valeurs de B, et C, se déduiront de roème de celles de B etc.

Supposons que tes deux ellipsoïdes aient tes mêmes

; + ïT + ?i = '- )

Soient enfin p et 9 deux angles donnés; et prenons

ai = ûcos/?, S|=:6 sinpcosç, 7i = csin/?sin9, ) a =z=rt,cos/>, ê =6iSinpcosgf, 7 ^Cisin/isinç; ( ^ '

valeurs qui satisferont aux deux équations précédentes et qui établissent une relation particulière entre les coordonnées des points O et 0| . En substituant ces valeurs de a, ê, 7, dans l'expression de R', et y mettant aussi les valeurs précédentes de b^y c^j b^j cf , il vient

R^ = a^-h a^-h h (sin^ p cos^ q -f- sin* 6 cos' <p) -h k ( sin* psin^q-h sin* Osin^^) — 2(^1 acospcosd -h 6| 6 sin /? cos gf sin d cos ip C| c sin j9 sin 9 sin dsinij^).

Or, sans écrire la valeur de Rf , on voit qu'elle sera la même que celle de R^; car elle s'en déduirait par les permutations de a et i^^, 6 et 6i, c et C|, sans changer h et kf qui sont des quantités communes aux deux ellipsoïdes; et il est évident que cette dernière formule ne change pas par ces permutations. A cause de Rf == R, les valeurs |de A et A, renfermeront la même intégrale double; en l'éliminant, on aura donc

A, bc = Ai|C«.

Relativement aux autres composantes, on obtiendra des résultats semblables; en sorte que, d'après les

igB TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

suppositions qu'on a faites sur les deux points alliiés

O rt 0,, on aura finalement

l'our énoncer le théorème que ces trois équations renferment, appelons points corresponiians, sur les surfaces des deux ellipsoïdes, deux points dont les coordonnées sont entre elles dans le rapport des demi-axes auxquels elles sont parallèles, ije point O, de la suriace du premier ellipsoïde, dont les coordonnées paralldes aux demi-axes ei, b, c, sont «1, €ii 7(. aura pour correspondant, sur la surface du second ellipsoïde, le point O, dont les coordonnées parallèles aux demi-axes a,, 6,, c,, sont a, S, y, puisqu'on a, d'après les équations (s),

Cela posé, il résulte des équations (3) le théorème uivant :

Tun des deux est entièrement compris dans l'autre; par conséquent, si le point O est extérieur par rapport au premier ellipsoïde, le point 0| sera intérieur par rapport au second. Pour déterminer, au moyen du théorème précédent, l'attraction d'un ellipsoïde donné sur un point extérieur O aussi donné, on fera donc passer par ce point la surface d'un second ellipsoïde ayant le même centre et les mêmes foyers que le premier ;*par les formules relatives aux points intérieurs, on déterminera les trois composantes Â| , B| , C| , de l'attraction de ce second corps sur le point 0| de la surface du premier, correspondant du |>oint O; les équations (3) feront ensuite connaître les composantes A, B, C, de l'attraction de l'ellipsoïde donné sur le point donné. Ainsi tout se réduira à trouver les valeurs des trois demi-axes a^j 6|, C|, du second ellipsoïde d'après ceux du premier qu'on a représentés par a, 6, c, et d'après les coordonnées a, S^ 7, du point donné O.

Pour fixer les idées, je suppose que a soit la plus petite des trois quantités a, 6, c; ce qui rendra positives lea quantités h et k du numéro précédent. J'appelle u le carré de a^ ; on aura

et il ne restera plus qu'à déterminer cette inconnue fi, qui devra être réelle et positive. Or, en vertu de la seconde équation (i), nous aurons

a H — TT -+- -hn = "? W)

équation du troisième degré par rapport à u, qui a au moins une racine réelle et positive; car en faisant croître u depuis /-évo jusqu'à l'infini, son premier membre est d'abord plus grand et ensuite plus petit que le second; en sorte qu'il y a au moins une valeur positive de u qui les rend égaux. Je dis de plus qu'il n'y eu a qu'une ; car en supposant qu'il y en ait deux, u et u', il faudrait qu'on eût à la fois

et en retrancliaul ces équations l'une de l'autre, et supprimant le facteur u' — u, commun à tous les termes, il en résulterait

: qui est évidemment impossible. -Donc il n'existe ul ellipsoïde qui ait le même (

STATIQUE, PREMlilJElE PARTIE. 201

de la fonction de R, qui exprime la loi de Tattraction.

Si les deux ellipsoïdes sont des sphères concentriques, l'attraction de chacune d'elles sera la même sur tous les points de la surface de l'autre, et il ne sera pins nécessaire que les points O et O^ soient corresc piondans. En appelant a et a^ les rayons de ces deux sphères, D l'attraction de la sphère du rayon a sur un point de la surface sphërique dn rayon a^^ et D| celle de la sphère du rayon a^ sur un point de la surface sphérique du rayon a, lesquelles forces seront dirigées suivant les rayons des points attirés, on aura

D : D, :: a} : aj,

quelle que soit la loi de l'attraction en fonction de la distance.

Cette proportion est facile à vérifier dans le cas ordinaire où l'attraction est en raison inverse du carré de la distance. En effet, d'après les résultat? du n^ loi, si l'on suppose a > a^, l'attraction D de la sphère du rayon a sur un point intérieur, situé à une distance a^ de son centre et dont fx est la masse, sera

l'attraction D| de la sphère du rayon a^ sur un point extérieur, dont fji est aussi la masse et qui se trouve à la distance a de son centre, aura pour valeur

203 TRAITÉ DE MÉGANIQUE.

Su'

et eo comparant ces valeurs de D et D|, on voit qu'elles sont entre elles comme les carrés des rayons

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