FORCES

§ 1*'. Formules du mouvement rccti ligne.

iio. Le mouvement le plus simple que puisse prendre un point matériel est celui qui a lieu en ligne droite, et dans lequel le mobile décrit des espaces égaux en temps égaux. C'est ce mouvement rectiUgne que Ton appelle uniforme, et qui sert de terme de comparaison à tous les autres mouvemens.

Quand le rapport des espaces parcourus aux temps employés à les décrire change continuellement^ le mouvement est varié; si ce changement n'avait lieu qu'à des intervalles de temps finis, le mouvement ne serait qu'iuio succession de mouvemens uniformes.

2n4 TRAITK DE MÉCANIQUE.

Daiisiii) inouvemeiit quelconque, l'espace parcouru par le mobile, ou. plus généralement, sa distance à un point fixe pris sur la ligne qu'il décrit, est une fonction du temps écoulé depuis une époque convenue. Ainsi, en appelant t ce temps, et x cette distance, on aura, dans tous les cas,

el les diverses sortes de mouvemens différeront entre elles par la forme de cette fonclinn Fi. La variable t pourra être positive ou négative : ses valeurs positives répondront à des époques postérieures 'a celle d'où l'on compte If temps, et ses valeurs négatives, à des époques antérieures.

Dans le mouvement uniforme, si l'on appelle a l'espace parcouru dans chaque unité de temps, et h la distance du mobile au point fixe, à l'origine du temps r, cest-à-dir;, ta valeur de x qui répond à t^ o, on aura, à un instant quelconque, X — è -h ai;

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 2o5

On ferait un cercle vicieux si l'on disait, d'une part, que le mouvement uniforme est celui dans lequel les espaces parcourus sont proportionnels au temps, et, d*un autre côte, que le temps a pour mesure le mouvement uniforme, c'est-à-dire qu'il est proportionnel aux espaces parcounis dans ce mouvement. Mais la notion des temps égaux et la mesure du temps ne sont fondées nécessairement sur aucune loi particulière de mouvement, et l'on peut, en conséquence, les supposer dans la définition du mouvement uniforme et de toute autre sorte de mouvemens.

Concevons^ en effet, que des corps parfaitement identiques se meuvent successivement, et que, pendant toute la durée de son mouvement, chacun des mobiles se trouve exactement dans le même état que celui qui Ta précédé : il est évident que tous ces mouvemens, dont la loi n'est pas donnée, s'exécuteront en temps égaux, et que leur nombre pourra servir de mesure au temps. Ainsi, par exemple, si ces corps sont pesans et retenus par un axe fixe horizontal, qu'on les écarte tous également de leur position d'équilibre, et qu'on les abandonne ensuite à eux-mêmes, de sorte que le mouvement du second commence dès que le premier est revenu à cette position, celui du troisième aussitôt que le second y est revenu de même, et ainsi de suite, il n'y aura aucune différence possible entre tous ces mouvemens successifs qui s'achèveront en temps égaux. On prouvera par la suite qu'il n'est pas nécessaire pour cela que ce soient différens mobiles qui se succèdent, et

21)6 TRAITl!: DE MÉCANIQUE,

que les oscillations successives d'iui même corps, do part et d'autie de sa position d'équilibre, sont aussi isochrones, ou d'égale durée; mais la considération précédente, qui ne suppose la solution d'aucun problème de Mi'canique, suHît à l'objet que nous nous sommes proposé.

Les asti-onomes ont reconnu, par ies observations les plus précises et le plus souvent répétées, l'invariabilité de la révolution apparente de la spbère céleste autour de la terre; et, effectivement, la théorie n'indique aucune inégalité sensible dans le mouvement de rotation de la terre qui donne lieu à cette apparence. On appelle jour sidéral la durée constante de cette révolution, laquelle durée est moindre que celle de la révolution diurne du soleil. Celle-ci n'est pas exactement la même à toutes les époques de l'année; et c'est sa grandeur moyenne que l'on prend pniu' unité de temps dans les usages ordinaires, et que l'on appelle le jour mojren. Nous adopterons, i/| beures,

pace constant est ce qu'on appelle la vitesse du mobile; inais, pour parler exactement, cet espace n'est que la mesure de la vitesse, et non pas la vitesse ellemême. La vitesse d'un point matériel en mouvement est une chose qui réside dans ce point, dont il est animé, qui le distingue actuellement d'un point matériel en repos, et n'est pas susceptible d'une autre définition. La vitesse exprimée, dans le mouvement uniforme, par l'espace que le mobile décrit dans chaque unité de temps, suppose qu'on prend pour unité de vitesse celle du mobile qui parcourt l'unité linéaire dans l'unité de tem{>s.

Dans un mouvement varié quelconque, la vitesse du mobile varie par degrés infiniment petits, et elle est une fonction du temps qui se déduit, ainsi qu'on le verra tout à l'heure, de celle qui exprime l'espace parcouru : mais, auparavant, il est nécessaire de connaître le genre de mouvement que prendra un point matériel en vertu de sa vitesse acquise, si la force qui lui a imprimé cette vitesse, par son action continuée pendant un certain temps, vient à cesser d'agir, et que ce mobile soit abandonné à luimême.

II 3. Il est d'abord évident que si le mobile s'est mu jusque là en ligne droite, il continuera à se mouvoir suivant le prolongement de la ligue qu'il décrivait; car il n'y aurait aucune raison pour que ce point matériel s'écartât de la direction qu'il a reçue plutôt d'un côté que de l'autre. Mais nous ne pouvons pas affirmer, à priori, que la vitesse qui lui a été imprimée ne se ralentira pas d'elle-même, pt ne fi-

2o8 TRAITÉ DË*M^!Si^E.

nira pas» par s"('leiiitliH; entièrement; ce n'est que par rexpérience et l'induction que cette question peut être décidée.

Or, il mesure que les obstacles à l'état de mouvement des corps, tels que les frottcniens et les résistances des nnlieux qu'ils traversent, diminuent d'intensilt^', nous les voyons persévérer de plus en plus dans cet élat; et, toutes les fois que noua apercevons une altéralîon dans leur vitesse, nous reconnaissons que cet effet peut être attribué à une cause étrangère, Nous sommes dune conduits à conclure que s'il était possible qu'un point matériel, après avoir été mis en mouvement, ne fût pins sollicité par aucune force, et ne rencontrât aucun obstacle, sou mouvement serait rectiligne et uniforme, c'est-à-dire, le plus simple de tous les mouvemens.

Ainsi, par exemple, si une parcelle de fer est mise en mouvement dans le vide, sur un plan horizontal et sans frotlenu^nt, par la seule action du pôle d'un aimant, et tpic tout à coup on détruise le pouvoir

incapable dagir; car, an contraire , cha<foe peint matériel trouve toujours dans l'action d'autres points matériels, mais jamais en lui-même , le principe de son mouvement.

ii4* Au bout du temps ^, et quand le mobile se trouve à la distance x d'un point fixe pris sur la droite qu'il décrit , soit v sa vitesse acquise ^ c'està<Un p U vitesse du mouvement uniforme qui aurait lie9f aiji à c^ instant ^ La force qui agit sur le mo^ Jbile venait à cesser d'agjur. L'action de o^te force continuant. L'espace dx que le mobile parcourra dans l'instant dt sera décrit en vertu de cette action et de la vitesse i^ ; la partie de djc correspondante à celle vitesse, qui serait décrite dNm mouvement uniforme » aura vdt pour valeur. En appelant donc € la partie de cet espace qui répond i faction de la force pendant Hnstant (Ù , nous au-

TX)n9

djc = i^dt -f- €.

Or, la vitesse variant par degrés infiniment petits, et ses variations étant uniquement dues à l'action de la force appliquée au mobile, il s'ensuit que dans le temps dt cette action ne peut produire qu'une vi*tesse infiniment petite; par conséquent, cette même action ne peut faire décrire qu'un espace infiniment petit dn second ordre, moindre que ceint qui serait décrit uniformément par le m^diile, s'il reoe^ vait BU commencement de dt tinte la vitesse qui sera produite pendant la durée de cet instant. On peut ditrffic négliger 4 par rapport à i^ dans l'équa^*

,m TRAITÉ DE MÈCAKIQUE. lion précédente; et alors on aura

pour l'expression de la vitesse dans un mouvement quelconque. ■ '

Si l'on voulait connaître la partie £ de l'espace parcouru par le mobile dans le temps dt , en vertu de l'action de la force qni le sollicite, il faudrait conserver les puissances de dt supérieures à la première. Or, en appelant .r' la distance du mobile au point fixe, au buut du temps t -\- dt , on aura, par le théorème de Tajlor,

pour l'expression complète de l'espace parcouru dans cet instant dt. Le premier terme, égal à vdt , est l'espace dii à la vitesse acquise au bout du temps t; si donc on néglige les termes du troisième et des ordres supérieurs par rapport à ceux du second »

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. an

toute cette augmentation de yitesse^ serait égal an produit de dif et dt y ou double de l'espace e qu'il décrit réellement.

II 5. Lorsque lespace parcouru sera donné en fonction du temps , on en déduira immédiatement la yitesse correspondante , au moyen de Féquation

p = ^. Far exemple, les mobiles, dans la machine

SAihoodj décrivant des espaces qui croissent comme les carrés du temps, on en peut conclure que leurs vitesses acquises doivent être proportionnelles aux temps pendant lesquels ces espaces sont parcourus; ce que cette machine fournit, en effet, le moyen de vérifier.

Réciproquement, si la vitesse est donnée en fonction du temps par la définition du mouvement, on en déduira, par l'intégration, l'expression de Tespace parcouru. Ainsi, après le mouvement uniforme, le plus simple est celui dans lequel la vitesse augmente ou diminue, de quantités égales, en temps égaux, et qu'on appelle , pour cette raison , «/i//orjnément accéléré ou retardé. Si donc on appelle g raccroîsscment constant, positif ou négatif, de la vitesse dans chaque unité de temps , et a la vitesse du mobile quand / = o , la vitesse (^ à un instant quelconque sera, dans ce mouvement,

V — a + gt;

et en multipliant par dt et intégrant, on aura

X = b + at^ ^gr,

pour la distance du mobile à un point fixe de la

ai-1 TRAITÉ UE MÉCAIilQUli.

droitt: (ju'il décrit ; b étant cette ilistancv à l'origine

du temps /.

Lorsque les deux constantes a et i seront nulles, on aura aimplement

L'espace paicouru est doDc alors proportioimel au carré du temps j et la vitesse acquise au bout d'un temps quelconque ( est telle qu'en vertu de cette seule vitesse le mobile décrirait, eo un temps égal à (, un espace t>t double de celui qu'il a parcouru, 11 s'ensuit que si Ton connaît l'espace parcouru dans la première unité de temps, on aura, en le doublant , la valeur de la vitesse constante g, par laquelle un mouvement uniformément accéléré diffère d'un aulre mouvement de la même nature.

Ce mouvement est celui des corps pesans qui tombent dans le vide. En un même lieu, la vitesse g est égale pour tous leurs points; en sorte quITs dé-

DTN&MIQUE, PREMIÈRE PARTIE. si3

déjà animés de vitesses quelconques, et non pas seulement , comme dans le n* 5g , ^^ ^On înfen*àté est la même dans tonte Tétetidue d'un corps de dimensions ordinaires.

II 6. Les lois de Téquilibre né supposent aucune relation particulière entre les forces et les TÎteasee correspondantes; et, pour résoudre les problèmes de Statique , il suffît de itonnaltre les rappwts nu*nuëriques des forces , tek qu'ils ont été définis dans le n^ 5. Les lois dn mouvement , au oontmire , dé«peûdent du rapport qui dent eaister entre les gmn*deurs dea vitessea produites par des forces données; et œ rapport I dont la connaissance est indi^nsable pour la solution des problèmes de Dynamique , est le même que celui des forces , ainsi qu'on va le démontrer.

Soieot toujours or et (^ Fespace parcouru et la vi-^ tesse acquise par un point matériel au bout du temps t. Stti^[>osOiis qu'à cette époque deux forces données f et y agissent simultanément sur le mobile , suivant la direction de son mouvement ; désignons par u la vitesse infiniment petite que la force / imprimerait au mobile , si elle agissait seule pendant un temps r infiniment petit ^. et par m' celle qui serait produite par la force/*, dans le même temps^ si la fwceyn existait pas. Je dis que la simultanéité de ces deui forces ne modifiera pas les vitesse^ dont elles sont capables séparément ^ et que la vitesse produite par la force y -}* /^' ^i*^ i< -f* ^1 c'est ^-dii*e qu'au bout du temps t ^ r , U vitesse du mobile sera devenue ^4-11 + w'.

îi4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

En effet, l'augmentation de vitesse du mobile ae pourra dépendre que du temps t auquel elle sera proportionnelle, et de l'état de ce point matériel, ou, autrement dît, de sa position et de sa vitesse pendant ce même temps t; ce ne serait donc qu'eu influant sur cet état que l'action de la force f' pourrait modifier la vitesse qui sera produite parla force /I Or, pendant le temps t, la distance du mobile à un point fixe et sa vitesse ne peuvent varier que de quantités inlinimenl petites , négligeables par rapport à x et v; ses variations de distances à d'autres points fixes ou mobiles , d'où peuvent émaner les forces J et y, sont également négligeables; par conséquent, la vitesse que produira la force J^, pendant cet intervalle de temps t, ne saurait être modifiée en aucune manière par l'action simultanée de la force J^'i et il en sera de même à l'égard de la vitesse due à la forcey, qui ne sera pas non plus changée par l'action de J". Donc la vitesse totale imprimée au mobile pendant le temps t, par la force /'-f-y, sera égale à

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 2i5

fibre I si ce point matérie] est en repos ; ce qui rendre dans la définition des forces égales du n^ 5.

Lorsque la force qui agit sur le mobile dans, le sens de la vitesse acquise , deviendra double, triple, qua* druple,.... la vitesse qu'elle produira-dans le temps r croîtra suivant la même proportion. Réciproquement^ quand cette force se réduira à moitié, au tiers, au quart,.... la vitesse qui sera produite diminuera de Id même manière; et , généralement, les vitesses infinimentpetites produites pendant des instanségaux^ dans le sens ou en sens contraire de la vitesse acquise , ou ioiprimées à un point matériel en repos,, seront entre elles comme les intensités des forces correspondantes.

C'est sur ce principe général quV'St fondée la mesure des forces dans la Dynamique. On a coutume de le présenter comme une hypothèse; nous le don-r nous ici comme une conséquence nécessaire de ce que les vitesses imprimées par des forces quelcouq^ues, dans des intei*valle3 de temps infiniment petits, sont toujours infiniment petites, et de ce qu'en même temps les déplacemens des mobiles sont aussi infiniment petits.

117. Si les forces que Ton veut comparer l'rtne à l'autre sont des forces constantes, de sorte, que cha-» cjime d'elles produise , pendant toute la durée du mou-* vement, des vitesses égales en temps égaux (n* 1 15), leurs intensités seront entre elles comme les vitesses qu'elles impriment en un même temps quelconque à un même point matériel. L^rs donc que ces vitesses seront données par l'observation, on en conclura le rapport des forces; et, réciproquement > quand ce

aiti TRAITÉ I>B MÉCaNH^>1]E.

rapport suia donné à priori, ou pourra le prendiv

pour celui Jes vitesses.

Désignons, par exemple, par -ir et &' les intensités de la pesanteur à deux latitudes diffên-ates , et supposons qu'on ait déterminé, en ces deux lieux de la terre , les vitesses g el g', acquises eo une seconde pur tes corps qui tombent verticalement dans le ride; on aura -i.»**^

Le rapport de ces forces «w et ■ar' sera aossî celui des poids d'un même corps, ou de deux corps homogènes el d'un même volume, àcesdeux latitudes. L'observation a fait connaître que les Tttesses dues h la pe- •:antcur angmcntent en allant de t'équateur au pôle , et que l'accroissement total est à peu près ■— de la plus petite. Il s'ensuit donc qnc le poids d'un même corps, transporté de l'équateur au pôle, augmentera cl*ï 7^ 1 et que , pour mettre en équilibre les poids de deux corps homogènes placés en ces deux lieux de s situe' à

DYNAMIQUE, PREMIÈGLE PARTIE. 317

térieâ » la proportion

g : g. Il n^ : ^t , iloanera aussi

Si ce point matériel pesant est posé sur un plan incliné, qui fasse avec le plan horizontal un angle égal a 90* — et , la force 47 se décomposera en deux autres^ Tune perpendiculaire au plan donné et qui sera détruite par sa résistance , l'autre dirigée suivant ce même plan et qui sera la force «t^*,. C'est cette der* nière force qui produira le mouvement dans le vide^ abstraction faite du frottement du mobile contre le plan incliné. Ce mouvement, du à une force constante , sera donc uniformément accéléré ; et si l'on appelle ac^ et (^1 l'espace parcouru et la vitesse acquise au bout du temps t , on aura

équations dans lesquelles on devra mettre la valeur précédente de g,.

Cet exemple est très propre à montrer la nécessité de connaître à priori le rapport des vitesses dues à des forces dont le rapport est connu ; car si l'on ne savait pas déduire g, de la vitesse g donnée par l'observation, et qu'il fallût , pour faire usage de ces der* nières équations, déterminer aussi par l'expérience I» valeur de g, qui répond a chaque valeur de l'angle ee^ la Dynamique se trouverait h peu près réduite à une science expérimentale.

2i8 TRAITÉ DE MÉCAKIQUE.

1 18. Pour mesurer une force variable, il faul en considérer l'ctTet pendant un temps inlînitneril petit, durant lequel on peut la considérer comme constante. Soit donc ip, dans un mouvement rectîlîgne quelconque, la force qui agit sur le mobile au boul du temps /, et que nous regarderons comme une quantité positive ou négative, selon que cette force agira dans le sens de 1^ vitesse acquise ou en sens opposé. Cette vitesse étant i' au même instant, elle sera i'-f-<'f au bout du temps t-^-dt; en sorte que la force Ç aura imprimé une vitesse dv au mobile dans l'instant*/^. Sï donc on désigne par»»- une force constante et connue, capable d'une vitesse g dans l'unité de temps, et qui puisse, conséquemment, imprimer au mobile une vitesse gdt dans le temps dt, ou aunt

:: d^ : gdt;

d'où l'on tut

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. atg

contraire de la pesanteur, demeurerait en équilibre ,

si Ton trouvait, par exemple, - ^ = i.

On simplifiera la formule précédente, en prenant 4r et g pour unités ; ce qui la réduira à

L'unité de force sera alors la force constante qui imprimerait au mobile, dans l'unité de temps, une vitesse représentée par l'unité linéaire, de manière que si ces deux dernières unités sont la seconde et le mètre , l'unité de force sera à peu près le dixième du poids du mobile, d'après la valeur de g- du n® ii5.

On peut remarquer que celte mesure -r de la

force variable (p est la vitesse que produirait, dans l'unité de temps, une force constante qui conserverait pendant ce temps la même intensité que la force (p pendant l'instant dt. Ainsi , dans le mouvement d'une parcelle de fer vers le pôle d'un aimant , que nous avons déjà pris pour exemple (n^ 1 15) , la force ^ dépend de la distance au pôle, et est par conséquent variable ; mais si Ton suppose qu'à un instant donné le pôle recule devant le mobile, de manière que la distance de l'un à Tautre devienne constante, la force (p le deviendra aussi, le mouvement se changera en un mouvement uniformément accéléré, et l'augmentation de vitesse qui aura lieu dans l'unité de temps sera la mesure de cette force à Vinstant où elle est devenue constante.

aao TRAITÉ DE BfÉCANIQDE.

En ayant égard à la Talenr de € trouvée dans le n* ri4f on peut aussi écrire

11 suit donc de cette formule et de la précédente qu'une force a également pour mesure la vitesse qu'elle produit dans un temps infiniment petit , divisée par ce temps, ou bien le double de l'espace qu'elle fiut parcourir, divisé par le carré de ce même temps. Dans le mouvement unifiormément accéléré , ces deux manières équivalentes de mesurer la force ont encore lieu, sans qu'il soit nécessaire que le temps soit infiniment petit.

1 19. Nous avons maintenant

ci^ àx ds^

pour les formules générales du mouvement rectiligne. Elles montrent les rapports qui existent , dans un mouvement quelconque , entre l'espace parcouru , la vitesse acquise et la force qui agit sur le mobile , et comment ces trois fonctions du temps peuvent se déduire l'une de l'autre , soit par la difTérentiation , soit par l'intégration.

En éliminant v entre les deux dernières, on a

ce qui suppose qu'on prenne le temps t pour la va-riaUe indépendante, et que sa différentielle dl soit constante; hypothèse que nous fei^ons de même, dans

DYNAMIQUE , PREMIÈRB PARTIE. oai

toute la suite de cet ouvrage , sans que ooua ayons besoin de le repéter.

Par r^Iimination de dt, on aura aussi

2 dx

ce <)ui servira à déterminer v quand U force 9 $cra donnée en ibnction 4e a: , et , réciproquement , celte force lorsque la \ ites;»e sera connue en fonction de Vespace parcouru.

Nous donnerons, dans le chapitre suivant, diverse applications de ces formules générales.

§ II. Memre des forces en ajrani égard aux

masses.

I !9€k. Avant de montrer c^oinient on devra tenir compte des masses dans U comparaisoo des forces qui agisseitf sur de9 mobiles différens » il imparte de rec*tifier une expression inexacte, que Ton emploie son^ vent, at qui tii^t à una confusion dldées.

Concevons qu'un corps aott posé sur un plan bon-» aoutal, et qu il n jr soit rc^tenu par aiicnn frottement. Si je veux U Caire glisser sm ee plan, ii £iudru néai»* moiw t k cau$ei da l'inertie de la maticare^ que j'exerce un eSwt quelconque ; sî à oa corps on en joint un second, {mis un troisième, etc., il faudra que je dé«ploie , pour produire le mâme mouipement, une force de plus en plus considérable. J'aurai , dans chaque cas, h sentiinent de TefiRirt que je serai obligé île faire ; maïs je ne devrai pas en oanclnre que la nia<«-

Ma TRAITÉ DE MÉCAWIQUE.

tière oppose aucuco resistaiicu à cet elVorl , el qu'il existe daos les corps ce qu'on appelle très iitipropremcnt une force d'inertie. Quand on s'exprime ainsi , OD confond la sensation que l'on a éprouvée, et qui résulte de l'effort qu'on a exercé, avec la sensation d'une résistance qui n'exîsie réellement pas.

Loi*sque le corps frotte contre le plan , ïl y a effectivement une résistance au mouvement horizontal^ et je ne peux pas déplacer le mobile sur ce plan sans exercer un efi'ort supérienr à cette résistance. De même, quand je veux soulever le mobile verticalement, il j a aussi une résistance à ce mouvement, que je dois vaincre par un effort qui la surpasse. Dans les deux cas, je ne produirai aucun mouvement tant que je ne ferai pas un effort plus grand que le poids du corps, ou que sou adhésion au plan horizontal ; mais si l'on ne suppose nî pc^^inteur ni frottement, je mettrai le COff» eu mouvenieul, quelque faible que soit l'effort que jVxLTccrai, et quelque grande que soit la masse du mobile : alors , sï

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. aaS

des forces en ayant égard aux masses et aux vitesses.

121. Deux points matériels, appartenant à des corps qui peuvent être de nature différente, ont des masses égales ou inégales , selon que des forces qu'on suppose égales leur impriment , dans un même temps, la même vitesse ou des vitesses différentes. Supposons, pour fixer les idées, que les forces appliquées à ces deux points soient verticales, et qu'après les avoir placées dans les deux plateaux d'une balance , il y ait équilibre. Ces forces seront égales dans cette hypothèse ; et cela étant , si les deux points sont rendus entièrement libres, et que les mêmes forces les mettent en mouvement, leurs masses seront égales ou inégales, selon qu'ils prendront , dans le premier instant, des vitesses infiniment petites, égales ou inégales.

Lorsque, de cette manière, les masses de différens points matériels auront été reconnues égales , en les réunissant on formera d'autres points dont les masses auront entre elles des rapports quelconques. Ainsi , en appelant jjl la masse de chacun des points égaux , m et m^ les masses de deux autres points formés de n et n' des premiers, m et m' seront entre elles comme ces nombres n et n\ et l'on aura

m = n/Â, ni = ri fi.

Maintenant, soient m, v ^vf ^ des vitesses infiniment petites , / et jl des nombres entiers , et

554 TRAITÉ HE MÉCANKjtlE.

si ileuK forces f et f impriment anx masses m et »C les V itesses v et c' dans un même instant , je dis qu'on aura .

/ : /' V. mv \ mW. • tji|<

En effet, on peut regarder la force /" comme la somme d'uu nombre n de forces égales qui impriment la môme vitesse v à cbacun des n points égaux dont m se compose ; de sorte qu'eu appelant k l'une de ces forces égales, on aura / = nk.

8oît , eu outre , h la force qui imprimerait la TÎtesse u à cbacmi de ces points égaux , pendant le même instant que la force k lui imprime la vitesse v. Ces forces agissant sur un même point matériel, seront entre elles comme les vitesses m e* v ( n° 1 16) ; et, à came de c^ /u, il en résullera

k = ik.

Nous aurons de méoie

les équations précédeutes, on aura alors

f=inh, f=zi'n'h;

ety en ajant égard aux valeurs de m, m!, i^, ç\ il en résultera la proportion qu'il s'agissait de démontrer.

122. Cela posé, considérons un corps de grandeur et de forme quelconques , dont tous les points décrivent des droites parallèles , avec une vitesse commune qui peut d'ailleurs varier avec le temps. Partageons ce corps en une infinité de points matériels égaux en masse, tels qu'on vient de les définir. On pourra attribuer le mouvement de tous ces points à des forcer qui seront égales et parallèles dans toute rétendue du mobile ; leur résultante , pour une partie quelconque de ce corps , sera égale à leur somme, et appliquée au centre de gravité de celle même partip. Les forces correspondantes à deux parties quelconques seront donc entre elles comme leurs masses; par conséquent , si l'on appelle f la force totale qui agit sur le mobile , m sa masse , et ^ la force qui répond à une partie de cette masse prise pour unité , on aura

Quant à la force ^ , elle sera proportionnelle à l'ao-* croissement de la vitesse des points du mobile pendant un temps infiniment petit ; et si l'on appelle (^ cette vitesse au bout du temps t, on pourra prendre pour sa mesure 9 comme dans le n*" ii8,

326 TRAITÉ DE MÉCANIQDE.

Il cil résullcia donc î '

•' dt '

pour l'cKprcssion de la force dans an mouvement quelconque, eu ayant égard à la masse du mobile, et supposant tous ses poiuts animés d'une même vitesse.

Cette force/, qui est la résultante ou la somme des forças infiniment petites qu'on peut supposer appliquées à tous les points dont ]e corps est composé , se nomme Jhrce motrice,- le facteur % de sa valeur in<p s'appelley'^"ï.'e accélératrice , et n'est autre chose que la force motrice rapportée à l'unité de masse.

La force motrice se change en une pression lorsque la masse sur laquelle elle agit est appuyée contre un plan fixe, perpendiculaire à sa direction. Une pression et une force motrice ne diffèrent donc l'une de l'autre qu'en ce que les vitesses iafintment petites qu'une pression tend à produire sont incessamment la résistance du plan fixe (

chaque unité de temps , on a

Pour une autre force constante f, agissant sur une masse m', et produisant une vitesse g' dans Funité de temps y. on aura de même

Or , rc^)seryation a prouvé que deux coi*ps pesans p qodle que soit la différence des matières , acquièrent la même vitesse en tombant dans le vide pendant un même intervalle de temps. Dans le cas de la pesanteur^ on a donc g = g' ; et, conséquemment, les poids / et /' de deux corps quelconques sont entre eux comme leurs masses m et m\ ainsi que nous Tavons supposé dans le n® 60. Le seul fait , constaté par une expérience journalière, que des corps hétérogènes ont des poids égaux sous des volumes différens, ne suffisait pas pour décider si leurs masses sont égales ou inégales; il fallait savoir, de plus, que la pesanteur leur imprime le même mouvemeni, pour pouvoir condure, de fégalilé des poids, l'égalité des quantités de matière.

Le poids d'un corps pesant qui tombe dans le vide est sa force motrice , et la pesanteur esi sa force accélératrice. Pour abréger , on appelle souvent pesari^ leur ou gravité la vitesse g , qui n'est que la mesnrè de celte force.

I !i4» Si des forces données agissent à la sur&cèpu sur di^tres partii^s d'un côirps solide, et qu'il en resuite pour tous !ies points des vitesses égales et pa-

228 TUAITÉ DE MÉCANIQUE,

rallèles, Il faudra que ces forces aient une résultante unique, qui coïucidera, en grandeur et eu directiou, avec la force motrice, telle qu'on vient de la définir, et dont un déduira la force accélératrice en la divisant par la masse entière du mobile.

Supposons, par exemple, qu'un corps pesant tombe dans l'air, dans l'eau, ou dans tout autre fluide, et que sa forme et sa densité, s'il n'est pas homogène, soient symétriques autour d'un axe vertical. Il est évident que tout étant semblable autour de cet axe , tous les points du mobile décriront des droites verticales ; ce qui exige , puisqu'il s'agit d'un corps solide, qu'ils aient tous la même vitesse à chaque instant. La résistance du milieu , qui s'exerce à la surface de ce corps , se réduira donc à une force dirigée suivant son axe de ligure. Je désignerai par K son intensité a UD instant quelconque , par 4 '^ partie correspondante de la force accélératrice du mobile, et par m sa masse ; on aura alors

la densité et de la nature du fluide. Le plbs communément, on la suppose proportionnelle au carré de (^ et à la densité du fluide , que je représenterai par p , de sorte que Ton a

R = (Tfv*; « cr étant un coefficient qui ne peut plus dépendre qu0

de la forme et des dimensions du corps , de la nature du flaide , liquide ou^ aériforme ^ et de sa température.

Daifs. le cas d'une sphère, on regarde le coeffi>« cient (T comme proportionneLà sa surface ou an carré de son diamètre. En désignant dpnc par r son rayon , et par D sa densité , de sorte que sa masse soit.

il en résultera^

m =^Dr%

> — Dr '

y désignant un coefficient numérique qui sera le même pour toutes tes sphères , et dont la yaleur devra être déterminée par l'expérience pour chaque nature de fluide. A cause que cette quantité 4 e^tde la même nature que g^ il s'ensuit que si l'on désigne par k une vitesse donnée , il faudra qu'on ait

Dr k^

yt g

afin que l'expression de 4 prenne la fom>e.

23o TIIAITÉ DE MÉCANIQUE,

confoi'iuémeiitau principe de l'homogeiicité des quantités (n" 25).

135. Une même force constante, agissant successivement sur des masses différentes, produira des mouvemous uniformément accélérés , dans lesquels la force accélératrice , ou l'accroissement constant de la vitesse dans chaque unité de temps, sera en raison inverse de la masse.

Ainsi, par exemple, y étant le poids mg d'une masse m, si l'on suspend cette masse à l'extrémité d'uD fil qui soit attaché par son autre bout à une autre masse m' posée sur un plan horizontal , il est évident que ces deux masses prendront un même mouvement uniformément accéléré, et dû à la force motrice /, abstraction faîte du frottement et du poids de In partie verticale du Bl. Si donc on appelle g' la force accélératrice de ce mouvement, on aura

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. aSi

lorsqu'ils sont soumis ^ pendant un même temps ^ k l'action d'une même force, il s'ensuit qu'il n'eiiste pas de corps réellement ^/£re^; ceux qu'on appelle ainsi sont des corps qui ont de très grandes masses par rapport à celles dont dépendent les (brce$ motrices qu'on leur applique , et qui ne reçoivent , conséquemment y de l'action de ces forces que des vitesses extrêmement petites. A la surface de la terre^ ce sont les corps attachés à cette surface qui ne font qu'une seule masse avec celle du globe terrestre ; et, eu effet, en prenant cette masse pour m' dans l'exemple précédent, on voit que la vitesse g' qui lui sera imprimée dans l'unité de temps, par un poids mg correspondant à une masse m de grandeur ordinaire, pouiTa être regardée comme tout^ fait insensible.

126. On a coutume d'appeler quantité de mou^ vement dun corps le produit de sa masse par sa vi-^ tesse. Four me conformer à l'usage , j'emploierai cette expression , à laquelle il serait toutefois plus correct de substituer celle de quantité de vitesse, puisque c'est la vitesse qui réside dans le mobile, et que le mouvement n'en est qu'un effet subséquent.

Il n'y a aucune force qui produise instantanément une quantité finie de mouvement. Le choc d'un corps solide en mouvement contre un corps solide en repos imprime à celui-ci, dans un temps très court, mais non pas infiniment petit, une vitesse qui peut être quelquefois très grande ; -et , pendant cet ibter* valle de temps, les deux corps ne se déplacent pas sensiblement. Quelque durs qu'on les suppose, ils se com-

primeDt toujours un tant soit peu; la vitesse passe de l'un à l'autre par degrés i nfinîmcnt petits ; et si l'on fait abstraction de l'élasticité de ces deux corps, leur action mutuelle cesse dès (ju'ÎIs ont des vitesses égales. Cette communicatioD rapide de la vitesse, sans déplacement sensibledes masses, est ce qu'on appelle une percussion ou une impulsion; elle équivaul, comme on voit, à une force motrice agissant, pendant un temps très court, avec une très grande intensité.

En considérant ainsi la percussion comme la somme des actions iiifinimenï petites d'une force moti-ice, on en conclut qu'elle se décompose en deux autres per^ eussions , suivant des directions données, par la règle du parallélogramme des forces , comme chacune de ces actions successives. Si, par exemple, on exerce sur la tête itun coin une percussion normale que j'appellerai P, elle se décomposera en deux autres percussions perpendiculaires à ses deux faces; el sî l'on représente par Q et Q' les deux composantes, par K et K' les longueurs des faces auxquelles elles répon-

fixes contre lesquels elles s'appuient , seront dans le même cas que s'ils étaient frappes normalement par la même masse m^ animée de vitesses propoi^

tionnelles à leurs longueurs, et exprimées par -||-

127. Si un corps solide en repos est frappé à la fois, en sens opposés, par deux autres corps dont les masses sont m et m', et les vitesses p et t^'; que ces trois corps soient symétriques autour d'un même axe quant à leur forme et quant à leur densité , et que tous les points des deux derniers se meuvent parallèlement à cette droite, leurs percussions sur le corps intermédiaire se feront équilibre , lorsque les quantités de mouvement mv et m'v' seront égales , c'est-4i-dire que ces quantités de mouvement passeront, pendant un temps très court, dans le corps intermédiaire , et s'y détruiront sans que ce corps soit déplacé d'une manière sensible.

L'équilibre aura lieu également si l'on supprime le corps intermédiaire, et que la communication de la vitesse se fasse immédiatement entre les deux autres corps. Ainsi, deux corps solides qui vont au-devant l'un de l'autre se réduisent au repos, abstraction faite de l'élasticité, lorsqu'ils viennent à se choquer , et que leurs masses sont en raison inverse de leurs vitesses; et, réciproquement, les produits des masses et des vitesses sont égaux quand il 7 a équilibre dans le choc de deux corps solides. On suppose ici^ comme on vient de le dire, les deux mobiles symétriques autour d'une même droite, et les vitesses

334 TRAITÉ DE MËCAMQUIC.

(le tous leurs points parallèles à cette (Irui)e, laquelle est celle qui passe par les centres de gravité des lieux niasses. La condition d'équilibre dans le choc de ces corps est donc l'égalité de leurs quantités de mouvenient, ou l'équation

m et m' étant leurs masses, et v et v' leurs vitesses. Nous déterminerons par la suite les mouveniens qui aui'Out Heu après le cboc, quand ces conditions relatives aux grandeurs et à la direction des vitesses, et à la forme des mobiles, ne seront pas remplies, ou bien quand On aura égard à leur élasticité.

11 résulte de celte loi de l'équilibre dans le choc que la percussion fournirait le moyen le plus direct de mesurer la masse des corps. On imprimerait une vitesse connue a à tous les points d'un corps dont la niasse serait prise pour unilc ; et si l'on pouvait déterminer exactement la vitesse- i' dont tous les pointi? d'un autre corps devraient être animes , poar qu'il

DYNAMIQpE, PREMIÈRE PARTIE. 235

numéro précédent , la tête et les deux faces du coin éprouveront les mêmes effets^ ou seront frappées avec la même énergie , si la masse m et la vitesse a sont remplacées par t^ne masse m' et une vitesse a', telles que l'on ait ma =: mV.

128. Lorsque deux percussions, provenant de vi-r tesses en raison inverse des masses, seront exercées simultanément sur les deux plateaux d'une balance , il y aura équilibre; la balance remplaçant ici le corps intermédiaire que nous avons considéré dans le numéro précédent. Ce cas sera » par exemple , celui de deux corps pesans , dont les masses sont m et m', et qui tombent au même instant sur ces deux plateaux , après avoir acquis des vitesses (^ et /, telles que l'on ait m(^ = mV.

Si la masse m est en repos dans l'un des deux plateaux, son poids y exercera une pression qui sera généralement vaiocue par la percussion de l-autré masse; mais il n'est point exact de dire, comme on le &it ordinairement, que cela aura toujours lieu, quelque grande que soit la pression daqs son espèce, et quelque petite que soit la percussion dans la sienne. .

En effet, on peut remplficer la percussion de mf par une force motrice agissant sur l'un des deux plateaux sans le déplacer sensiblement, pendant un temps très court que je représentera^ par r. En désignant par nïudt l^ quantité infiniment petite de vitesse dont cette force variable est capable pendant

l'instant dt, le produit m' fudi sera la quantité

a36 TRAITÉ DE WÉCArflQlIE.

cte vitesse qu'elle commnDiquera à la bntance peudaitt Je temps t. Pendant ce même temps, k- poids de m produira une qxiantité de mouvement c\primce par mgT, en représentant par g la gravité. Pour qu'il y ait équilibre dans le système, il faudra donc que. l'intégrale / uflt soit toute la vitesse c'dont la masse

m' est animée à l'instant où la percussion commence, de sorte qu'il ne lui reste plus aucun degré de vitesse quand le clioc est Gui; et, cela élanl , il saflîra que les quantités de mouvement mgr et m' 1 udt ,

imprimées en sens contraire à la balance pendant la durée du choc , soient égales entre elles. La condition de cet équilibre sera donc exprimée par Téqoab'ou

mV = mgT ;

et selon qu'on aura, au coulraire, fnV >■ mgr ou m'c' <CtngT, ce sera la percussion qui l'emportera sur la pression , ou la pression sur la pcrciissiou.

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. a37

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