CHAPITRE U

DU MOUVEMEIVT RECTIUGNE.

129. D*après ce qu'on a vu dans le n** 119, les équations du mouvement rectiligne d'un point matériel sont celles-ci :

dont la dernière est une suite des deux autres , et dans lesquelles on a désigné ^ au bout d'un temps quelconque t , par x la distance du mobile à un point fixe de la droite qu'il décrit ^ par (^ sa vitesse acquise, et par ^ la force qui le sollicite ; ^ étant une quantité positive ou négative, selon que cette force agira dans le sens ou en sens contraire de la vitesse v. Ces équations s'appliqueront non-seulement à un point matériel isolé , mais aussi à un corps solide de grandeur quelconque, dont tous les points décriront des droites parallèles, et auront, par conséquent, un mouvement commun : ^ sera alors la force accélératrice , égale à la force motrice divisée par la masse du mobile.

La valeur de ^ sera donnée dans chaque problème; et la question consistera à en déduire , par l'intégration , les expressions de (^ et x en fonctions de t. Elles contiendront deux constantes arbitraires , dont on déterminera les valeurs d'après celles de x et p à l'on-

236 TRAltÉ DE MÉCANIQUE,

ginc du mouvemeot, qui devront être données dans chaque exemple. Dorénavant, nous supposerons toujours que Ton compte le temps t k partir de cette origine ; en sorte que les valeurs données de x et i^ répondront à ^=0.

Lintégration ne sera généralement possible sous forme finie ^ que quand f ne dépendra, comme nous le supposerons dans les exemples suivans, que d'une seule des quantités t,u, x. Lorsque la valeur donnée de (p les contiendra toutes trois , ou deux seulement , les valeurs de a: et i^ ne pourront s'exprimer que par les séries.

i3o. Supposons d*abord que la force ^ soit conslaiite , et qu'il s'agisse , par exemple , du mouvement vertical d'un corps qui tombe dans le vide en vertu de la pesanteur.

En désignant cette force par g, nous aurons .

d'où Ton tire

i^ = gt, x=lgt\

et, par conséquent,

en supposant que la distance x soit comptée du point de départ du mobile, et que la vitesse initiale soit nulle, de sorte qu'on ait orso et v=:o, quand ^ = o.

Si l'on appelle a la vitesse acquise en tombant d'une hauteur A, on aura

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. iSg

ce qui fournit une expression commode d'une yi* tesse quelconque y au moyen de la hauteur d'où un corps pesant devrait tomber pour lacquërir , et de la vitesse constante g. Le temps de la chute de cette hauteur h étant représenté par 8» on aura

aussi

Si le corps est lancé verticalement de bas en haut ^ réquation de son mouvement dans le vide sera

g étant la même vitesse constante que dans le cas précédent , parce que Ton suppose l'action de la pesanteur sur les corps en mouvement ^ indépendante du sens dans lequel ils se meuvent , aussi bien que de la grandeur de leur vitesse. En supposant que a soit la vitesse initiale, on en déduira

v — a—^t, x=Lat — \gt\

pour la vitesse et l'espace parcouru à un instant quelconque. Il est évident que le mobile s'élèvera jusqu'à ce que cette vitesse soit nulle. Si donc on appelle 0' le temps de son élévation , et 1i! la hauteur à laquelle il parviendra , on aura

9' = -, A'=-; et comme ces valeurs coïncident avec celles de 0 et à

24o TRAITÉ DE MÉGANIQUE.

du cas précédent ^ on en conclut qu'un corps pesant / lancé de bas en haut avec une vitesse a , s'élève dans le vide h la hauteur d'où il devrait tomber pour acquérir cette même vitesse, et que le temps de son élévation est le même que celui de sa chute.

Communément on appelle h la hauteur due à la vitesse a, et , réciproquement, a la vitesse due à la hauteur h.

i3i. Soit que le mobile monte ou descende, il suffira, pour former les équations de son mouvement sur un plan incliné , de mettre dans les précédentes g cos a à la place de g, en désignant, comme dans le n» 117, par cl le complément de l'indinaison du plan donné sur un plan horizontal.

Dans le cas de la chute , on aura donc

i^ssg^cosa, x=:^gt^cosa, p*=2gxcosa;

mais en appelant / la longueur du plan incliné , et /< sa hauteur , on a

h = Icosa;

si donc on indique par k la vitesse acquise par le mobile, quand il aura parcouru toute cette longueur, on aura

k^ = 2g/ cos a = 2gh;

ce qui montre que cette vitesse k est la même que si le mobile fût tombé par la verticale h.

Soit ABC ( fîg. 34) la circonférence d'un cercle dont le plan est vertical. Supposons que Afi représente son diamètre vertical ^ et cherchons, d après les équations précédentes , le temps qu'un point ma-

teriel pesant emploiera à parcourir la corde AC, abou-tissante à l'extrémité supérieure de ce diamètre. En abaissant du point C la perpendiculaire CD sur AB , on aura y dans ce cas,