AC = /, AD = A
mais si Ton désigne par â le temps demandé , on
aura
Z = igO»cos« = ^;
d'après une propriété connue du cerde, on a d'ailleurs
en appelant b le diamètre AB ; d'où Ton conclut
Or , ce temps est le même que celui de la chute p^r une hauteur verticale 6 ; il en résulte doue que la corde AC sera parcourue dans le même temps que le diamètre AB.
On trouvera le même résultat , en considérant le mouvement sur la corde CB qui aboutit a Fextré^ mité inférieure de AB, et sera aussi parcourue dans le même temps que ce diamètre vertical.
Ce théorème , indépendant de la longueur de la corde parcourue, subsistera encore lorsqu'elle deviendra infiniment petite ; ce qui tient à ce qu'en même temps la composante de la gravité ^ qui agit suivant cette longueur , ne sera plus une quantité finie.
i52. Considérons actuellement le mouvement d'un I. 16
a4a TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
corps solide pes.ant qui lorabe ou qui est Iniicc do
bas en haut daus un milieu résistant , et dont lous
les points décrivent des droites verticales. Pour que
la force accélératrice ne dépende que de la vitesse ,
nous supposerons que le milieu ait partout la même
densité.
Daus le cas de la chute, on aura
ea supposant ia résistance proportionnelle au carre de la vitesse ( n° 1 24 ) > et désiguant par k une vitesse constante et donnée. Cette valeur de Ç étant une foQClion de v , il faudra faire usage de la seconde équation (1), et l'on en déduira
En intégrant et supposant nulle la vitesse initiale, de sorte qu'on ait i> = o qaaud £ = o , il en résulte
Je désigne ici par e la base des logarithme». népériens, et par hg un logarithme de cette ei^pèce. Il en sera de même dans toute la suite de cet ouvrage ; ce qui n'empêchera pas d'employer quelquefois la lettre e k représenter d'autres quantités , dans des formules où la base de ces logarithmes n'entrera pas. EUe a pour valeur approchée
et celle du module cdn^tant^ pa^ lequel il faut multiplier le logarithme hépeHën dVîi lîotUbte'quëlcbhque/ pour en déduire le logarithîiie'drdinaire de té nombre/ est
A cause de dlr = vdt , on aura
x = ^Iogi(^e*+e*;, (5)
en intégrant et supposant x = o quand ^ = o. On a aussi
et, par conséquent ,
pour la valeur de or en fonction de p.
i33. Ces formules renferment la solution. comr plètedu problème*. On en déduit cette conséquence, que le temps augmentant sans cesse , le mouvement
a44 TRAITÉ DE lfÉGA19IQUE.
apipipocfae de plus en plus de runiformité , et qu'il est -sensibleinent uniforme quand la TÎtesse gt, produite par la pesanteur, est devenue très grande par rapport à A:. En effet , en négligeant alors Fexponen^
tielle e , qui est une très petite fraction , on a
if =:^ky ? = o, or ^ *« — — log 2.
La résistance du fluide étant une force qui s'exerce à la sur&ce du mobile, la force motrice qui en résulte est indépendante de la masse , et serait la même, soit que le mobile fût formé d'une matière très dense, soit qu'on enlevât la matière intérieure, et qu'on le réduisit à une enveloppe très mince. Or, la force accélératrice se déduisant de la force motrice, en la divisant par la masse du corps, il s'ensuit que la première de ces deux forces sera, toutes choses d'ailleurs égales, en raison inverse de cette masse, et, par conséquent, k en raison directe de sa racine carrée. C'est pour cela que le mouvement final, dans un milieu résistant, est le plus rapide pour le corps pesant dont la densité est la plus grande ; la forme et l'étendue de la surface restant les mêmes.
Quand la densité du milieu est très faible par rapport à celle du mobile , la quantité k est très grande; et ce n'est qu'après un temps très long que le mouvement peut approcher de l'uniformité* Tant que la vitesse gt n'est pas devenue très considérable, on a, -en séries convergentes.
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. a45
«t les formules (2) et (3) deviennent
♦' = g< — 3P + etc.,
Elles se réduisent, comme cela doit être, à celles da mouvement uniformément accéléré, lorsque la densité du milieu est tout-à-fait nulle, ce qui rend la quantité k infinie.
1 34- Dans le cas où le mobile est lancé de bas en haut , on a
Si sa surface supérieure est la même que sa surface inférieure, la constante k sera aussi la même que dans le cas de la chute; mais si ces deux portions de surface sont différentes, les valeurs de A: le seront également; et, par exemple, s'il s'agit d'un c6ne dont la base soit horizontale, la quantité k sera beaucoup plus grande ou beaucoup plus petite dans son mouvement ascensionnel que dans sa chute, selon qyç 80]> sommet sera situé aunlessus ou au-<lessous de sa base. Pour fixer les idées , je supposerai que le mobile soit
a46 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
une sphère homogène; en appelant rson rayon, D sa
densité et p celle du milieu, on aura alors (n^ 134)
y étant une constante qui ne peut plus dépendre que de la nature du milieu , liquide ou fluide aériforme, et de sa température.
En substituant cette valeur de ^ dans la seconde équation (i), on aura
kdv gdt ^
et en intégrant et désignant par a la vitesse initiale du mobile, il en résulte
arc (tang = ^) = arc (tang = f ) — p
La valeur de v qu'on en déduit peut facilement s'écrire sous la forme :
k (ûcosÇ — itsinÇ)
Sf = : .
a sin ^ -J- ^ ^® T
En multipliant par dt et intégrant de nouveau, de manière qu'on ait j: = o quand ^=0, on en conclut
€ On aura aussi
^ = -7l0g(fs.DÇ+C0sf).
cty par conséquent^
Si l'on fait t= ^^ 6t que l'on suppose ensuite a=:o, pour appliquer ces formules au cas du vide^ elles se présentent sous la forme -; et, par la règle ordinaire, on trouve, comme cela doit être,
résultat qu'on obtient aussi par le développement en série, comme dans le numéro précédent.
i35. Appelons A la plus grande hauteur à laquelle le mobile parviendra, et qui répond à i^ = o; nous aurons
Soit aussi 0, le temps qu'il emploiera pour y parvenir; sa valeur sera
fl. = - arc (tang = 0
Parvenu à cette hauteur, le mobile retombera, et son mouvement sera exprimé par les formules du no i3:2. Si l'on représente par a^ sa vitesse, lorsqu'il sera retombé de toute cette hauteur Zr, on aura, d'après l'équation (4) ,
en égalant cette valeur de % à la précédente, on a
a4B TAAITÉ DE MÉCANIQUE,
et, par conséquent,
d'où l'oD conclut a' < a; en sorte qae la TÎtesse ui
mobile, quand il sera revenu à son point de départ se trouvera moindre que sa vitesse initiale.
Soit aussi 6' le temps du la chute totale, lequel répondra à v^a'. On aura
6 — — loff , -., =S ^ k — a"
ou bien, en mettaot pour a' sa valeur,
Taleur diflërente de celle dn temps fl, de l'élévation. En multipliant par \/a*~^~ k^ — a, le numérateur et le dénominateur de la fraction comprise sous le logarithme, on aura, plus simplement.
teasedtt ^B
jection a , lequation précédente servira k déterminer la valeur de k, relative au rayon r du boulet. En désignant par kf ce que devient A: par rapport a un autre boulet de la même matière et d'un rayon /, on aura
d'après l'expression de A* du numéro précédent.
1 36. Dans le cas où Ton fait abstraction de la pesanteur^ et où l'on suppose la résistance du milieu proportionnelle à une puissance dé la vitesse dont l'exposant est moindre que l'unité^ la solution du problème présente une singularité qui mérite d'être remarquée.
Supposons qu'on ait, par exemple.
(p = — iigr^/y;
g et A étant toujours la gravité et une vitesse constante et donnée. L'équation du mouvement sera
en en tirant la valeur de g£&, intégrant et désignant par a la vitesse initiale , il vient
et, par conséquent,
En multipliant par dt^ et intégrant de nouveau, de
sSo TRAITÉ DE MÉCAHIQDE.
sorte qu'on ait x = o quand t=^o, on trouve
pour l'espace parcouru à yn instant quelconque.
D'après la valeur de f, la vitesse diminue depuin l'origine du mouvement jusqu'à l'instant qui répond
à t= — ~ ; a cet instant, la vitesse est nulle; au-
S delà, le mouvement continue dans le même sens qu'auparavant, et la vitesse augmente indéfiniment. Mais la vitesse élant nulle à un certain instant, la force accélératrice est nulle en même temps; par conséquent, le mobile doit s'arrêter à cet instant et demeurer en repos. Or, Il faut remarquer que l'équation du mouvement admet une solution particulière f = o; en sorte que sa solution complète est l'ensemble de son intégrale et de cette équation i-^o; il s'ensuit donc que le problème est résolu depuis
/:^o jusqu'à ^:= — ^, par l'inléerale de l'équa-
sll en existait; ce qui n'arrive, pas réellement, d'après les expressions des forces en fooetîOi^S.ds la vitesse acquise et de l'espace parcouru , qui ont lieu d^ns la nature.
iSy. Donnons maintenant des exemples de mouvemens dans lesquels la force accélératrice varierai avec l'espace parcouru.
Le cas le plus simple a lieu , lorsqu'il s'agit d'un point matériel attiré vers un centre fixe, en raison directe de la distance à ce point, que l'on suppose situé sur la droite que ce mobile décrit. Au bout du temps t, soit z cette distance ; à une distance donnée a, supposons que la force accélératrice soit égale à la gravité g; on aura, d'après la loi donnée,
pour sa valeur à un instant quelconque. Si oc est l'espace parcouru au même instant, et que le mobile soit parti du point situé à une distance c du centre d'attraction, en se dirigeant vers ce centre, on aura aussi
dz
ÛC z=z c Z,
et la troisième équation (i) deviendra
Son intégrale complète est
= Acos ^ y/^ + B sin t \/\\
25a TRAITÉ SE MÉGAiriQUE.
A et B déngnaot les deux constantes arbitraires. Eft sopposant nalle la vitesse initiale da mobile ^ on aura il la fois
dz
d'au Ton oonclnt
A =3 c, B = Oy et, par conséquent y
z s= ecMt
Cette formule montre que la distance z sera nulle ou que kl mobile atteindra le centre d'attraction, au bout d'un temps indépendant de la distance c de son
point de départ, et égal k -ncy^ : il fera ensuite,
de part et d'autre de ce centre ^ des oscillations dont Tamplitude et la durée constantes seront cette distance c et ce temps - tf \/-.
1 58. Pour un autre exemple , considérons le mouvement d'un corps pesant dans le vide; nous supposons qu'il tombe d'une assez grande hauteur pour qu'on doive avoir égard , pendant sa chute , à la variation de la pesanteur.
Soient BAE (fîg. 35) un grand cercle vertical de la terre, D le point de départ du mobile dans ce plan, M sa position au bout du temps t^ sur la droite DC qui aboutit au centre C de la terre , et rencontre en A sa surface. Appelons r son rayon C A , h la hauteur AD, X l'espace DM parcouru par le mobile, z sa
distance CM au centre C ; en sorte qu'on ait
z = r + A — jc.
La force accélératrice ^ sera la pesanteur au point M; en la désignant toujours par g à la surface de la terre, c'est-à-dirci au point A , et supposant que son intensité varie en raison inverse du carré de la distance au centre C, on aura donc
d'où Ton tire
au moyen de quoi la troisième équation (i) deviendra
d^x gr*
IF (r+A— -a:)''
Je multiplie ses deux membres par 2dxi j'intègre ensuite; puis je détermine la constante arbitraire
de manière qu'on ait -^ = o , quand / = o ; il vient
ce qui fera connaître la vitesse acquise par le mobile, à une distance quelconque x de son point de départ. Au point A, où l'on a a: =:h, cette vitesse sera
et, par conséquent, moindre, comme cela devait être, que si la gravité avait , dans toute la hauteur h, la même intensité qu'à la surface^
L'équatioa précédente dooiie
agr' ^^ ^ (r + A — j) d^
Or, en comparant cette équation différentielle à 1 equation (n) du n" ^5» od voit que si l'on construit une demi -cycloïde DOC, qui ait son sommet au poiot D et son origine au point 0, situé sur la perpendiculaire CO à la droite CD , et dont le cercle générateur ait pour diamètre cette droite CD égale à r+ /;; que l'on mène ensuite par ie point M nno perpendiculaire MN à la droite DC, qui rencontre la cycloïde au point N, on aura
