MN = 'V
en sorle que l'ordonnée MN du point N fera connaître le temps t, employé à parcourir l'abscisse DM, et réciproquement'. Sous forme finie, on aura
DYNAMIQUE , PREMIÈRE PARTIE. aSo
formule précédente égal au premier. On peut aussi mettre le rayon r au lieu de r-f- A — jc, et réduire,
par conséquent, leur somme à a \/rx; et, de cette manière, la formule dont il s'agit deviendra
'«'■j = WS,
ou simplement
en négligeant h par rapport à r.
Je me contenterai d'indiquer, comme exemple de calcul, le cas où le mobile soumis à une pesanteur variable est lancé de bas en haut; et, pour dernier exemple du mouvement fectiligne, je vais considérer le naouvement d'un point matériel attiré vers deux centres fixes, situés sur la droite qu'il décrit.
159. Soient A et B ( fig. 56), les deux centres d'attraction , M la position du mobile au bout du temps ^, et D son point de départ. On suppose , pour fixer les idées, que le mouvement a lieu entre les deux centres d'attraction , et de A vers B ; faisons
DM = a:, AM = z, AD = a, BM = c — z;
en sorte que x soit l'espace parcouru , z la distance du mobile au point A , ât la distance initiale , et c la longueur de la droite AB. En supposant toujours les attractions en raison inverse du carré des dis* tances , et désignant , à l'unité de distance , par a* et b^ les intensités des forces qui émanent des cen-
très A et B, nous aurons -r et ; r; pour leurs
356 TRAITÉ DE MÉCAHIQUE.
inteusitcs quand le mobile est eo M. La force accélératrice ç sera l'excès de la seconde force qui tend à augmenter l'espace a: , sur la première qui tend à le diminuer; donc, à cause de dx = dz, on aura
pour ce que devient la troisième équation (i) , et -jpour la vitesse c du mobile au point M.
En multipliant l'équation (a) par sdz et intégrant» on a
dT- = c^r2 + -^ y-' (*>
y étant la constante arbitraire. Pour la déterminer , je désigne par k la vitesse initiale qui répond à z^a,; on aura
En retranchant cette équation de la précédente} il eo
rés II 1 tera
{c—hy h**
On tire de là deux valeurs de ^ , dont Tune appartient au point C situé entre A et B , et l'autre à un point situé sur le prolongement de AB, du côté du centre de la moindre attraction. La première de ces deux valeurs est
Appelons y* la plus petite vitesse initiale qu'il faut imprimer au mobile pour qu'il arrive au point C , de sorte que^ parvenu à ce points sa vitesse soit nulle; on aura à la fois
et , en vertu de l'équation (c) et de la valeur de h, il en résultera
•^ c — ma c ^ ^
Si la vitesse initiale k est moindre que y, le mobile retombera sur A ; si elle est plus grande , il dépassera le point C, et ira tomber sur B. Dans le cas de A: =^/f le mobile emploierait un temps infini à atteindre le point C , à cause qu'à une distance infiniment petite de ce points il ne serait plus animé que d'une vitesse infiniment petite, et sollicité par une force qui le serait également.
i4i« Si A et B sont les centres de deux spbères homogènes, ou composées de couches concentriques,
on pourra supposer que les attractioas que l'on considère sont celScs de ces deux sphères; et alors leurs inlensitésrt' et /'*, à l'unilé de distance , seront entre elles comme leurs masses (n" loi). En supposant , pal- exemple , que A soit le centre de la lune et B celui de la terre, et négligeant la Don-sphéricité de ces deux corps, on aura
car la masse de la lune, conclue de son action pour
soulever les eaux de la mer, est -^ de celle de la
terre. On aura donc
en sorte que le point également attiré par la terre et par son satellite se trouve, à peu près, au dixième de leur distance mutuelle à partir de la lune.
Soit r le ra^on de la terre ; on pourra prendre 6or rln ^
DYNAMIQUE, PREBOÈRE PARTIE. aSg
ponr cette force à Tunité de distance. Si do&c on
Élit
(0,044894 )r=rr',
il en résultera
Or ^ l'attraction g peut être prise pour la pesanteur dont elle est la partie principale ; par conséquent , y* est la vitesse due à une hauteur / ; et à cause de
g = 9^,80896, 'M-r = ^looooooo",
sa valeur est
La lune n'ayant pas d'atmosphère dont la résis-^ tance puisse diminuer la vitesse des corps partis de sa surface, il s'ensuit que si la terre et la lune étaient en repos , un corps lancé de la surface de la lune vers la terre , avec une vitesse plus grande que 236i mètres par seconde, dépasserait le point d'égale attraction , et viendrait tomber sur la surface de la terre. Dans le mouvement de la lune autour de la terre , la droite ÂB qui va d'un centre à l'autre rencontre constamment la surface de la lune en un même point, qui devrait être le point D , d'où le mobile serait lancé suivant la direction DB ; mais , pendant une seconde, le point D parcourt sur le cercle décrit du centre de la teiTe, une longueur d'environ looo" par seconde; par conséquent, la vitesse absolue du mobile serait, en grandeur et en
aGo TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
direction, la résultante d'une vitesse dirigée suivant DB, et d'une vitesse de looo" perpendiculaire à DB. Cela étant , te corps ne restera pas sur la droite mobile AB ; il décrira une courbe dans l'espace, les formules précédentes ne s'appliqueront plus à son mouvement, et il ne viendra plus tomber sur la surface de la terre, comme dans le cas de l'immobilité de la lune.
