En résolvant l'équation (b) par rapport k dt , on a

L'intégrale de celte formule s'exprimera toujours au moyen des fonctions elliptiques; en sorte que l'on pourra calculer, au moyen des tables de ces fonctions , le temps qui répond à une distance donnée s, et réciproquement. Mais indépendamment des cas où l'une des deux attractions est nulle , il en est d'autres pour lesquels l'intégrale de la formule précédente peut encore s'obtenir sous forme finie. Ces

L'une de ces deux valeurs de k* est celle dey* ; l'autre est évidemment plus grande. Il s'ensuit donc que quand aucune des deux quantités a et ^ n'est zéro , on peut exprimer le temps sous forme finie en fonc* tion de z , lorsque le mobile a reçu la plus petite vitesse y*avec laquelle il peut atteindre le point C, et lorsqu'on lui a imprimé une certaine vitesse plus grande que celle-là.

Je substitue la double valeur de y dans l'exprès:sion de dt; il vient

V c ac — {a ± ù)z '

formule que l'on rendra rationnelle et qu'on intégrera^ sans difficulté^ par les règles ordinaires. La dif-^' férentielle dt doit toujours être positive ; la différentielle dz est positive pendant que le mobile s'avance de I> vers B, et négative lorsqu'il revient vers A. Dans le premier cas^ on prendra dOnc le radical'

\^cz — z*, avec le même signe que le dénominateur ac — (a ± 6)z, et,, dans le second cas, avec un signe contraire.

145. Soit cpie Ton suppose 6 = 0 ou c = oo, lé mobile ne sera plus soumis qu'à l'attraction du cen-* tre A. L'équation (c) se réduira à

la valeur de dt qu'on en déduit s'intégrera sous forme finie, et fera connaître t en fonction de z.

Si l'on fait -^ 2= o, on aura l'équation

pour déterminer la dïstauce z à laquelle le mobile s'arrêtera. Dans le cas de 3a'=A*a, celte distance sera infinie; ce qui signifie <jue le mobile ne s'arrêtera pas. Il en sera de même dans le cas de an' < (t'a, d'où il résulterait pour z une valeur négative qui ne peut appartenir à aucun point de la droite iodéfinie DB, suivant laquelle le mobile a été lancé. Dans ces deux cas le mouvement approchera de plus en plus de l'uniformité, à mesure que le mobile s'éloignera de A.

Quand la distance z sera devenue très grande et le mouvement sensiblement uniforme, sa vitesse, d'après l'équation (e), sera à peu près égale à

y/ A' — — , Ou à x/A* — 3g!t , en supposant qu'on a (X'^^^fc*, c'est-à-dire, en supposant que le corps soit parti de la surface d'uue sphère, d'un rayon a, et où

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PA&TIE. a63