CHAPITRE m
BU HOIJVElfENT CURVII.IC»rE«
§ !•'. Formules générales de ce moia^ement.
t44« Dsins le mouvement curviligne^ la courbe décrite par le mobile est ce qu'on appelle làtrajec-taire de ce point matériel. Au bout d'un temps Quelconque tf soit M (fig. Sy) la position du mobile. Si Ton appelle s l'arc CM de la trajectoire compris entre le mobile et un point fixe C , pris arbitrainemei^t sur cette même courbe^ s sera une fonction de i^; en sorte que Ton aura, dans un mouvement curviligne quelconque ,
Si l'on désigne, au même instant, par x^ j^ z, les trois coordonnées rectangulaires du mobile^ ces va*riables seront ausâi des fonctions de t ', ^et l'on aura également
x=/^ jr—ft, zz=if't.
Lorsque ces trois dernières équajtàons ^ero^t conr nues, on en déduira, par l'élimination de /, leadeux équations en x, j^ z, de la trajectoire. Au. inoj;eti des équations de cetjte co^rbe^ 041 déleraûnera;.! ^
fonction de Tune des trois coordonnées, et , par suite^ en fonction de t; ce qui fera connaître la loi da monyement sur la trajectoire. Chacune des trois équations précédentes est celle du mouvement rectiligne de la projection du mobile sur l'un des axes des coordonnées ; il s'ensuit donc que la détermination complète du mouvement curviligne d un point matériel dans l'espace se réduira à celle de trois mouvemens rectilignes^ qui seront les mouvemens de ses projections sur les trois axes 0:r, Ojr, Oz, des coordonnées. Quand ces trois mouvemens seront uniformes, celui du. mobile sera aussi rectiligne et uniforme, et réciproquement.
*i45. Pendant ^instant di, le mobile décrira l'élé*n\ènt ^ de sa trajectoiro; en négligeant, dans cet in^ teryalle de temps infiniment petit |^ Faction des foixres qui le sollicitent , on pourra considérer son mouveipent comme rectiligne et uniforme. Si donc on appelle if la vitesse acquise au bout du temps ^, on aura
ds
Si ces forces cessaient réellement d'agir à Tinstant que Ton considère, le mobile continuerait de se mouvoir avec cette vitesse v, et suivant le prolongement MT de Télément ds, c'est-à-dire, suivant la tangente à la trajectoire, puisque en vertu de Tinertie de la matière il ne pourrait alors changer ni la direction de son mouvement ni la grandeur de sa vitesse (n* 1 13). On peut donc considérer un point matériel qui décrit une ligne courbe quelconque comme étant animc^,^
à chaque instant , d'une vitesse dirigée suivant la tangente à cette courbe , et exprimée par le rapport de son élément différentiel à l'élément du temps.
En représentant , au bout du même temps t , par PfÇf r, les vitesses des projections du mobile sur les trois axes des Jc , jr, z, on aura aussi , dans ces trois mouvemens rectilignes^
dx dr dz
P^'-dt' l'^Ti* ''=5-
Mais si Ton désigne par a, f , 9^, les angles que fait la tangente à la trajectoire , ou la direction de la vitesse Vf avec des parallèles aux axes des JC^jr^ z, on a(n« 17)
dx ^ dr dz
d'où Ton conclut
pssi^cosflt, q=:ifCOsC, r=:vcosy, (l)
et en même temps
Le temps t croissant continuellement^ sa differen«tielle est toujours positive. Les vitesses/?^ ^9 ^f sont positives ou négatives, selon que les coordonnées x , jfZf croissent ou décroissent. Dans les équations (1), on peut regarder la vitesse (^ comme une quantité positive ; le sens de cette vitesse , ou la partie MT de la tangente à la trajectoire, suivant laquelle elle sera dirigée y se déterminera alors par les signes de ^, ^, r, qui feront connaître si les angles a^C^yf sont
s68 TRAIT*. DE MÉCANIQUE.
Quelle que soit la variation de vitesse du mobile ^ en grandeur et en direction, pendant l'Instant rh ^ il J 3 donc toujours une certaine direction pour I.iquelle l'augmentation de vitesse est ta plus grande, €t qui jouit de cette propriété, que, suivant toutes les directions perpendiculaires à celle-là, la vitesso o'est ni augmentée ni diminuée.
1^7. La direction d'une force qui agit sur un point matériel en mouvement est la droite suivant laquelle elle augmente ou diminue la vitesse acquise, et purpendiculaîremeiit à laquelle elle u'y produit aucune altération. Ainsi , quand nous dL>ons que la pesanteur d'un corpsen mouvement dans un sens quelconque est verticale, comme celle d'un corps eu repos, nousen tendons par là que cette force augmente la vitesse verticale, et n'altère aucunement la vitesse horizontale.
Cela étant, désignons, au bout du temps t, par U, U', U", etc., les intensités des différentes foi-ces qui agissent sur le point raatériel dont nous considérons le mouvement carviligne ; par a, h, c, a', b\ c*.
tires, si chacune d'elles agissait seule sur le mobile animé de la vitesse (^. On yerra, comme dans le ^* 116, que la simultanéité de ces forces n'iofluerm nullement sur les grandeurs et les directions des yitesses qui seront réellement produites; par conséquent, si Ton continue d'appeler p\ q\ /, les quan- •tîtés infiniment petites dont les vitesses Pf q^ r, des projections du mobile sur les axes des x^j^z^ s'ac* -croîtront dans l'instant dt^ ces quantités seront les sonunes des composantes de 11, 1/, ii\ etc. , suivant ces trois axes; en sorte que nous aurons
p' z=: u cos a + II' cos a' + «" cos li' + etc. , j' = M cos b + u! cos V -f- w" cos V -f- eXc.^ r' '=• u cos c + «' cos c' + m" cos c" -f- etc.
Mais en appliquant à chacune des forces u y iC ^ li'y etc., ce qu'on a trouvé (n* 118) pour la mesure d'une force d'après la vitesse dont elle est capable , on a aussi
u=:Vdt, af = V'dt, u''z=zU'dt, etc;
ea comparant les valeurs de p% q% r\ à celles de X , Y, Z , il en résulte donc
p'=^dt, q'=\dt, r'zz^Zdt;
^ ce qui montre que l'accroissement de la composante de la vitesse du mobile suivant chaque axe, dans ^ l'instant dt^ est la vitesse produite, pendant cet ins* tant, par la composante totale suivant ce même axe, des forces données qui agissent sur ce point matériel.
Ce résultat tient à ce que les forces sont proporlionaelles aux vitesses qu'elles impriment au mobile (laus uu même temps infiniment petit, lesquelles vitesses iafîaimerit petites ne changent pas, soit que ces forces agissent isolement , soit que leurs actions aient lieu simullanément. 11 s'ensuit aussi que si les iorces appliquées au mobile sont, par exemple, au nombre de trois , non comprises dans un même plan ; que l'on prenne sur les directions de ces trois forces U, U', U", à partir de leur point d'application , des droites de grandeui-s finies qui soient entre elles comme les vitesses correspondantes u, u', u" ; et que l'on achève le parallélépipède dont ces trois droites seront les côtés adjacens, la résultante de ces forces sera dirigée suivant la diagonale, et sa grandeur sera à celle de chacune de ces forces comme la diagonale est au côté correspondant.
148. Si les forces qui agissent sur le mobile sont indépendantes de sa vitesse et de sa position dans l'espace, les mouvemens de ses trois projections sur
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARl'IE. 171
Puisque toutes les forces qui agissent sur le mobile peuvent toujours être réduites à une seule ^ supposons que U y capable de la vitesse u , soit cette force unique , et désignons par < l'espace qu'elle fera par^ CDurir au mobile pendant l'instant dt , suivant sa direction , indépendamment de la vitesse (^ de ce point matériel au bout du temps t. D'après ce qu'on a vu dans le n^ I i4f nous aurons
Mais, en vertu de cette vitesse acquise (^ et de l'action de la force U ou de ses composantes , les espaces parcourus par les projections du mobile sur les axes des JCfjTf z, pendant l'instant dt, seront
pdt + jp'dtj qdt-l'^q'dt, rdt'\-\r'dt,,
donc, à cause de
p' z=:u ces a , q^ =^u cos 6 , r' ^=zu cos c ,
et en ayant égard aux équations (1) età la valeur de c, on aura
ùcf — X z=i Où cos a + 6 cos a ,
y '^ jr ^=i ea cos ff + 6 cos b ,
z' — z = û> cos 7 -h € cos c ;
tê étant l'espace sfdt qui serait décrit par le mo- Inle dans Tinstant dt, en vertu seulement de la vitesse s> f et x\ jr\ z\ ses trois coordonnées au bout du temps t'\-dt, qui étaient oc , j^ z, au bout du temps t.
Cela posé , soient toujours M ( fîg. 57 ) le point de la trajectoire dont x, y , z, sont les trois côor^
1^1 TRAITÉ DE MÉCAHIQUE.
(ioimées, et MT la direction de la vitesse i'. Soit aussi MA celle de la force U. Prenons sur MA et MT des droiles Mil et MK, égales à £ et », et aciievoiis le parallélogramme MHM'K , dont ces droites sont les deux côtés adjacens. L'extrémité M' de sa diagonale sera, en vertu des équations précédentes, le point dont les coordonnées sont a?', ^, s*, ou la position du mobile au bout du temps / -i-dt.
Appelons / lii vitesse du mobile au point M', lannello vllesse sera dirigée suivant le proloogemeiil M'T' du la droite MM', et aura pour valeur la composante de v suivant MM', augmentée de U vitesse produite suivant cette direction par l'actioa de la force U pendant l'instant (//. L'espace é étant infiniment petit par rapport à w , il s'ensuit que l'angle TMM' est aussi ÎQHoïmeat petit; la composante de f est donc cette vitesse même , en négligeant les inlinimcnt petits du second ordre. De plus, si l'on désigne par o l'angle AMM' que fait la direction de la force U avec le côté MM' de la tra-
DYNAMIQUE , PREMIÈRE PARTIE. a73
gramme Umi'Tif; et l'eictrémité M'' de la diagonale sera un troisième point de la trajectoire.
£n commençant cette suite de constructions an point de départ du mobile^ où Ton doit connaître ^ vitesse en grandeur et en direction , il est évident que l'on déterminera successivement tous les points de sa Irajectoire plane ou à double courbure , et , en même temps, la vitesse dont il sera animé en chacun de ces points. Si les intervalles de temps, qu'on a supposés infiniment petits et désignés par dty sont seulement très petits, on obtiendra une suite de points qui seront les sommets d*un polygone , d*autant moins différent de la trajectoire, que ses côtés seront plus petits. En regardant la vitesse comme constante sur chaque cèté, et prenant pour sa valeur la demi-somme des vitesses qu*on aura trouvées aux deux extvémités^ on pourra xralculer le temps employé à parcourir une portion quelconque du poly«gone ; par conséquent, on connaîtra de cette manière ja courbe décrite par le oiobile, ainsi ^ue sa vitesse et sa position à un instant donné sur cette courbe, à tel degré d'approximation qu'on voudra ; mais il v«ot mieux faire dépendre les valeurs des coordonnées du fldobile en fonctions du temps , d'équations diSéiïea^ iielles que l'on intégrera ensuite s'il est possible.
i49- Ces équations différentielles .du mouvement curviligne sont une suite immédiate du principe établi dans le n* 147-
En effet, les composantes de la vitesse du mobile^ parallèles aux aixes :dc ses coordonnées x,j, z, létant -j-, I. 18
■-- , -y-, au bout du temps quelconque t, leurs accroissemeus , pendant l'instant dt , seront d.-r-, ff-Y, d.~; et comme chacun d'eux est dû uniquement à In composante suivant l'axe correspoudaiil , de la fotCG qui agit à cet instant sur le mobile, il s'ensuit qu'en appelant toujours X, Y, Z, les composantes de cctle force, parallèles aux axes des coordonnées x, j; z, nous aurons
d.~ = Xdt, d,^^=Ydt, d.~ = Zdt,
ou, ce qui est la même chose,
^^- = X, ^ = Y, ^ = Z. (a) lit- ' df ' dl^ ^ J
Le problème consistera, d»ns chaque cas, à intégrer ces trois équations du mouvement; et l'on peut considérer, pour cette intégration, le procédé du n" précèdent comme une méthode générale d'ap
le temps ^9 on aura les deax équations de la trajectoire» Quand on saura d avance que cette courbe est plane^ on pourra prendre son plan pour celui des X et j^, par exemple ^ ce qui réduira les trois équations précédentes aux deux premières.
i5o. Au bout du temps t^ soient a ^ by c, les trois, coordonnées d'un second point matent , à la position duquel on veut comparer celle du premier. Les axes de ces coordonnées étant ceux des oc, y^ z^ je fais
jc = a -+• x\ jr =2 b +y, z = c + z';
les variables jr', jr\ z\ feront connaître à chaque instant la position dû premier point par rapport ad second; et d'après les équations (2), on aura
rff* — di^^ dc^ ~ de^ di- — ^ £//•'
pour les déterminer en fonctions du temps.
Quand le mouvement du second point ne sera pas connu, mais que l'on donnera seulement les composantes A, B, C, parallèles aux axes descoopdonnéesy de la force qui le sollicite, on aura
'dF — ^' 'de — ^' 'dF — ^' et il en résultera
pour les équations du mouvement relatif du pre« mier point.
Si la force dont A^ B, C, sont les composantes
a^fi TRAITÉ DE SiÉCAWÏQt'E.
agit à la fois snr les deux mobites, ces comp^Mante<; entreront aussi dans les valeurs de X, Y, Z, et disparaîtront de ces dernières équations. Cest ce qui arrivera , par exemple, à l'égard des corps qui se meuvent à la surface de la terre, et dont on rapporte les positions à des points délerthiués de cette surface : les forces relatives à ces points et provenant du niouvetflenl diurne de la terre, n'entrent pas dans les équations des divers mouTertiens que l'on considère à sa superficie; et l'on en fait complclenient abstraction , en formant ces equatîonB.
Toutefois, cela ne veut pas dire que les mouvemcns que nous observons soient tous iodépendans de la vitesse de rotation de la terre. Elle influe pour une petite partie sur l'intensité de la pesanteur , et , conséqueniment , sur les Iboutcmeus verticaux. De plus, quand un corps tombe d'une hauteur considérable, la vitesse de rotftiion dont il est animé à sou point de départ est un I lie
DYNAMIQUE, ffiEM^ÈHp PA|ITIE. 977
^5i. Les équations (2) sont celles du mouvemeot (fun point matériel ent^èreipent libre; niais il est faci.le 4ç les éteudrç |^ uu point matériel assujetti k 8Ç mouvoir sur une surface donnée. Il suffira pour cela 9 çompoie dan$ 1^ cas de l'équilibre {n'' 56), de JQiadrç ^ux forces dpnuées qui agis^nt sfxr le inobile , une force de grandeur inconnue , qui repré;sçqtera la résistance de ^9 surface. C^te force $era nq^^le^à la surface donnée j| je la représenterai par N, et p^ur ^f/À, V, les angles (|u elle fait avec les prolong^mens des coprdQ^nées x,jr^ z, du mobil^: les eqç^itipns du mouvemept seront ^prs
■^ = X + N cos A ,
^:^ Y + Ngqs/*,^ (5) 0 = Z + N cos F.
En repvés^ntant par I4 = o réquatipn de 1« surface donnée , et faisant , pour abréger,,
on ;»ur» ( n» ^j ) , pn ïnêna^ teqaps ,
COSA = V ^, çqpA* =: Y ^, çps i. === V •^.
Aprèç ayQtr substitué pes yaleurs dans les équations (5) f pp élimii^er^ entre ejles le produit NV ; les (leif X éq^^tioQs qui en résulteront, jointes ^^ |j=q , seryjirpwt 9t dt^lprminer ^, 7, ;s5^ en fonctioi^ ^^ t. On
2^8 TKAITÉ DE MÉCANIQUE,
tireia uusuile de l'uoe des ccjuations (3), ou d'une conihiiiaisoti quelcodijue de ces équations , la valeur de NV ; cl comme N doit toujours être une quantité positive , le signe de cette valeur fera connaître celui de V ; au moyeu de quoi la force normale N et le sens dans lequel elle agit seront complètement déter-
Si le mobile est assujetti à se mouvoir sur deux suifaces dotmëcs, ou sur leur courbe d'inlersectioD, on le considérera encore comme entièrement libre, après avoir joint aux forces données deux forces inconnues N et N' , normales à ces surfaces; et en désignant par A , fJ-, v , les angles qui détermineront les directions de la première par rapport aux axes des :c , y, z , et par A', /*', v' , les angles qui répondront ;i la seconde, il en résultera
^ = X + NcosA 4- W'cosÀ' -rr = V 4- Ncos^t + N'cos/*'
équations données L = o et U = o , serviront à dé4 terminer les valeurs de x^jjZ^ en fonctions de f. Cela fait y on tirera de deux des équations (4) i les valeurs de NV et IN'V', dont les signes seront ceux de V et V; et, de cette manière, on connaîtra les forces normales N et N', et le sens dans lequel elles agissent : leur résultante sera , en grandeur et en direction , la résistance de la courbe sûr laquelle le mobile est astreint à se mouvoir.
i53. Pour donner une forme plus simple aux équations (4) , soient m la masse du mobile et mP la pression qu'il exercera , dans son état de mouvement^ sur la courbe qu'il est forcé de décrire. Désignons par 'sr, ^ ^ for^, les angles que fait la direction de cette force avec les prolongemens , dans le sens positif, des coordonnées x ^ jr^ z, de ce point ; la ré* sistance que la courbe oppose au mouvement du mobile, considérée comme une force accélératrice, sera égale et contraire à P; en la joignant aux forces données X, Y, Z, qui agissent sur le mobile, nous aurons, au lieu des équations (4) f
di"
= X P COSC9-,
= Y — Pcos^ar', \ (5) = Z — Pcos/ar^
La direction de la force P n^est pas connue à piiori : on sait seulement qu'elle est normale à la courbe donnée; d'où il résulte que le cosinus de l'angle compris entre cette direction et la tangente à la tra-**
a8o TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
jectaîre doit être égal k zéro; ce qui donoe
I cos'ïïr 4-
i w' -f- T- cos la^' =? o. (G)
Les angles «r, ip', <t^\ seront, eu outre, liés cotre eux par l'équation ordinaire
cos''zy -f- cos'ip' -f- COS'lff" ï= I.
Oq éliminera P, -sr, «ar', m' , entre ces équations, en
ajoutant les équations (5) , après les avoir multipliées
dx dr lia . > i • ir- .• ,^\
par -j , -j- , -j- ; en ayant égara a I equalion (p) ,
et en faisant, pour abréger,
dxd'x + dj-d*x + '^g^'z
dsdi* ^
£n différeDtiaat l'équatioa identique
dr' + dj^ + d^ ^
DTNAMIQUB, PJIEMIÈRS FAIITIE. a8t
tives ou comme négatives» Belou qu^Qlle» tendront à augmenter ou à diminuer Tare ^ décint par le mo^ bile. L'équation (7) signifie donc que dans le Bnou-r vement curviligne , comme dans le mouvement rectiligne^ la force qui agit sur le mobile ds^ns )e sens de son mouvement est égale au second coefficient
différentiel de l'espace parcouru : à cause de (^ = j- ,
on peut aussi dire qu'elle est égale an premier coefficient différentiel de la vitesse acquise p.
Cette équation étant indépendante de la résistance de la courbe, convient aussi an mouvement d'un point matériel entièrement libre et à celui d'un point maté» riel assujetti à demeurer sur une surface courbe; nais c'est principalement dans le cas d'un point matériel qui se meut sur une courbe donnée , que cette équation pourra être utile. On tirera des équations de cett<^ courbe les valeurs de x, jr, Zy en fonctions de ^; et après les avoir substituées dans l'équation (7) , il ne restera plus qu'à intégrer cette équation du second ordre entre s et t. Les deui: constantes arbitraires que renfermera son intégrale se détermineront au
moyen des valeurs de ^ et ^ qui répondent à ^= o,
c'est-à-dire , au moyen de la position et de la vitesse initiales du mobile. Quand le^ trois coordonnées (is » jy Zf auront été déterminées en fonctions àià tf d'après l'intégrale de l'équation (7), jointe aux deux équation$ données de la trajectoire , les équations (5j feront connaître , à un instant quelconque , les trois composantes de la pression F qu'éprouvera la courbe sur laquelle le mobile est obligé de se janouvoir*
283 TRAITE DE MÉCAMQUE.
On trouvera, dans le chapitre suivant, une dëler-
mioation plus simple de cette force en grandeur et'
en direction. ■- , ' ' ~,-''-*XjM<i
§ II. Conséquences principales des formules précédentes.
i55. Lorsque le moLile est sollicité par une force dirigée vers un centre fixe, on obtient immédiatement trois intégrales premières des équations (3),
Pour cula, plaçons l'origine des coordonnées x,^, z, en ce poiul; re]> résentons, en grandeur et en direction, la force qui sollicite le mobile, par son rayon vecteur; et construisons le parallélépipède dont ce rayon est la diagonale, et qui a ses trois côtés adjacens sur les axes des x , ^, s. Les trois coordonnées X ,j-, z, du mobile seront les grandeurs de ces trois cotés, et représenteront les trois composantes de la force donnée ; en sorte que l'on aura
équations précédentes; et comme leurs premiers membres sont les différentielles de ydx — xdjr , xdz — zdx j zdjr — jàz, on aura, eq intégrant^
jrdx — xdjr = cdt^ J xdz — zdx = c'dtf \ (Jb) zdjr — jdz = d'dt ; j
Cj c\ d\ étant des constantes arbitraires.
i54« Pour énoncer le théorème contenu dans ces intégrales premières des équations du mouvement, considérons la projection ÂMB (fig. 38) de la trajectoire du mobile sur le plan des coordonnées x et j^ dont les axes sont Ox et {^j. Au bout du temps t^ soient M la projection du mobile^ OP et MP sou abscisse x et son ordonnée j^; et C étant le point où cette courbe coupe Taxe Qy , appelons u le secteur COM, p Faire COPM , q le triangle OPM ; nous aurons
u = p — q, 7 = \xjr.
Si M' est la projection du mobile au bout du temps t-j^dt, MOM' sera Taire décrite par le rayon vecteur de cette projection pendant l'instant dt ; ce sera aussi la différentielle de u om de p — q; et à cause de
dp=jrdx, dqz=:ixdjr + ljrdx,
on aura
du — i {jrdx — xdjr) ;
par conséquent ^ la première équation (6) signifie que Taire décrite pendant chaque instant dt par. le rayon vecteur de la projection M du mobile est constante et égale à icdt} donc aussi Taire décrite pendant. un
a84 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
temps t quelconque, est proportionnelle à cette va^ riable et égale à ^ct. Les aîres décrites daas ce même temps par les rayons vecteurs des projections du mobile sur les plans des j: et z , el des/ et z, seront de même égales à 7 c't el ~ c"t.
Concluons donc que qugnd un point matériel est soumis à une force constamment dirigée vers un centre fixe, ies aires décrites autour de ce point par le rayon vecteur de sa projection sur un plan quelconque passant par ce même point, sont proportionnelles au temps employé à les décrire.
Kéciproqucment, lorsque cette propriété a lieu par rapport à trois plans rectangulaires menés par le centre des aires, on en peut conclure que la force ou la résultante des forces qui sollicitent le mobile est constamment dirigée vers ce centre fixe.
En effet , si les équations {b) sont données, on aura, en les diflëreutiant,
jd'x — xd'j=^o, xd*z — zd'x^o, zd'/- — jd*z=zo;
DTNAMrQUË , PKËMfiÈflE PKKTIE. ^
îS5. LorsqnVm p<ntit matériel <M faottUf» à «m« force dirigée vers un centre fixe, il est évident que sa trajectoire est une courbe plane , puisqu'il n'y auriiît aucune tai^tt i[)6tif qu'il sdrtll, ^ot6t d>Wi c(Hé que de l'autre^ du plan passant par la direction dé >^àtftesse initiale et ^ai^ lêïÊîierrtre fixé. C'est ffEis^ ce que l'on déduit des équations (6); car en les ajoutant., après les avoir multipliées par z, /j «r, et divisées par dt, il vient
cz + c'j- + c*'a: = o.
Oa peut prendre ce plan p&^ celui des ^^ rf Taire décrite par le rayon vecteur même du mobile, dans le plan de sa trajectoire , sera donc proportionnelle au temps; et, de plus^ le théorème prëcédent se iréduii*a à cette piK>partionctaiîté. En effet , •d elte a lieu pouk* l'aire décrite sur le pkiÉ 4e la trajeeèinKi, elle aura lieu éjgalement pour Taire décrite |Mir le rayon vecteur de la projection du mobile sur tout autre plan ; car cette autre aire n'est autre cbose que ia pt>ojection de la prenorière mit te |dafla| «M ooas sauvons (n"" 10) que la |TrojectioB d'une aine >pla«ea on rapport constant avec Taire projetée.
1 56. L aire infiniment petite MOM' peut aussi s'exprimer en coorâornnées polffires. Pour cela y dwignons par r le rayon vecteur OM, et par 6 l'angle MOx qu'il fait avec Taxe des oc. Décrivons du point 0, comhié ceMte, Tafrc Ae cercle OMN qui *oatrpe aa ^fMMtot N le rayon Tecfteut OM' Côrrespôndatit k Tangle 6 — r?9, et qui ^tira pourlonguétif >«f9. Lfe'secti&mrcih- •cùlait-e MON w^a égal h {r^dft, et potM^fa ^re «pri^ pcmr Taife MQM', eti itégligieiatît Taik^ MJîM', >itifiDi>-
ad6 THÂlIË i>E H&CAfilQt^
meot petite du second ordre. On devra donc avoir
équation que l'on vérifie efTectîveraent au moyen des valeurs
X = rcos 6, / = rsin9,
et de leurs différentielles, qui sont
f/x = cosâ^('r-l-rsi[iÔ^, ify = sm8dr~ rcosBà^,
à cause que celle de l'angle 9 est ici — d^. De cette manière, la première équation (b) prendra la fbmie
r'rfB = cdt,
sous laquelle ou l'emploie ordinairement.
On exprime de même en coordonnées polaires 1 elément de la courbe. En désignant l'arc CM par 7 et cet élément par (/ff, on aura à la fois
i considérant MNM' comme un triangle rectiligne
sont exprimées par
dr rdb dt' dt'
car Tangle (XMT qae fait ce prolongement avec la .tangente MT est complément de l'angle M du triangle MlâN; d après ce triangle, on a donc
cos(mT = ^, sinO'MT=^;
et en multipliant ce cosimit et ce sinus par la vitesse
•^, dirigée suivant MT, on aura les composantes dont
il s agit. *I1 est souvent utile d'en faire usage. Elles
diflerent des composantes "^ €* ^ de la même vitesse
en ce que les directions de celles-ci sont fixes, et qae celles des précédentes varient avec la position du mobile.
La vitesse j- , avec laquelle le rayon vecteur OM
décrit l'angle COM, compté à partir d'une droite fixe, est ce qu'on appelle la vitesse angulaire du mobile. Elle
se déduit, comme on voit, de sa vitesse -j- , perpendiculaire à OM, en la divisant par la longueur de ce rayon.
167. Revenons maintenant aux équations différentielles du mouvement.
Ajoutons les équations (5) du n"* 162, après les avoir multipliées par dlr, djr, dz-, en ayant égard à l'équation (6) du même numéro, et observant que
dxd^x + djrd^jr + dzd*z ^ j às^ ' ^ ...
di^ 2 a(* 2 '
288 TRAITt: DE MÉGAHÏQOE.
il en résultera ■•
Supposons qne les e:cpressions des forces données X, Y, Z, n« renferment explicitement ni le temps t, ni la vitesse i', et qn'en considérant J?,j-, z-, comme des variables iudépemia:ntes, cette formule (c) soit une différentielle exacte ; faisons, en cousétjueoce,
Xrfx -f- \dr + Zdz = d.VÇx, X, 2) ;
F indiquant une fonction donnée ; en intégrant l'équation ((■) et désignant par C la cooslanle arbitraire, nous aurons
i'- = :iV(x,j,z) + C.
Pour éliminer cette constante, soient a, h, c, k, les
valeurs initiales dex, j*, z, v; on aura
et, en retranchant cette équation delà précédetAe,
nulle, et Ton a (^ = A, soit que le mouvement ait liea sur une surface ou sur une courbe donnée, ou que le mobile soit entièrement libre.
Cette équation nous montre , de plus , que dans la supposition qu'on a faite sur la nature des forces X, Y, Z, l'accroissement du carré de la vitesse du mobile, en passant d'une position à une autre, est toujours le même , quelle que soit la courbe qu'il a déaite y et ne dépend que des coordonnées a, b, c, x, j'y z, des deux points extrêmes. Lorsque cette courbe sera donnée, ou seulement lorsque le mobile sera assujetti à se mouvoir sur une surface donnée, on prendra pour k la vitesse du mobile tangente à cette courbe ou à cette surface. Si la percussion exercée sur le mobile a l'origine de son mouvement n'a pas cette direction , elle se décomposera en deux autres forces, Tune normale et Tautre tangentielle ; la première sera détruite par la résistance de la courbe ou de la surface donnée; et c'est la seconde qui produira la vitesse k , et qui en déterminera le sens et la direction.
Si l'on désigne par C une constante arbitraire, l'équation
sera celle d'une surface qui sera atteinte avec des vitesses égales par tous les mobiles soumis aux mêmes forces, partis du point dont a, b, c, sont les coordonnées, suivant différentes directions et avec ime même vitesse k. Lorsque, par exemple, ces mobiles ne sont sollicités que par la pesanteur, cette équation est celle d'un plan horizontal.
ngo TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
rUns le cas d'une courbe donnée ,^ On d^uîra de ses équations les voleui-s de x^j, z, en fonctions de l'arc s; en les substituant, dans l'équation (rf), et y mettant t- à la place de v, on en tirera
oii S est une fonction donnée de s ; par conséquent, «lans ce cas, la détermination du temps en fonction de l'espace parcouru se trouvera réduite à l'intégration d'une différentielle donnée. Mais la supposition sur laquelle est fondée l'équation {d\ et , conséquemment , cette équation, n'auront pas lieu quand le mobile éprouvera la résistance d'un milieu, qui est une force dépendante de la vitesse; il en sera de même lorsqu'il s'agira du mouvement d'un point matériel attiré ou repoussé par d'autres points qui sciont euxmêmes en mouvement; circonstance qui introduira le temps / explicitemeat dans les valeurs deX, Y, Z, Dans CCS deux cas, si la trajectoire est une courbe donnée, on fera usage de l'cquation (c),dans laquelle
y , z. Désignons par r la distance du mobile à ce point ; on aura
et les cosinus des an^tn qae cette droite r fait avec des axes menés par le mobile , suivant les directions dea^jp, jr, z , positives^ seront les rapports de e— or, y — J^f g — 2, à r. Si donc on représente par R la force attractive, dirigée du mobile vers ce centre fixe, ses trois composantes auront pour expressions '
et, conséquemment , la partie de Xd[r 4-Yrf^+ Zd:^ qui proviendra de R sera
Mais en différentiant la valeur de r*, on a
ce qui réduit a — RdV* la quantité précédente. Si la force qui émane du centre fixe était répulsive, il suffirait de changer le signe de cette quantité , qui deviendrait Rdr, en considérant, dans tous les cas, R comme une quantité positive.
On conclut de là que si le mobile est sollicité par un nombre quelconque de forces R, R', 11", etc., qui émanent de centres fixes, dont les distances à ce point matériel sont r, K, r^\ etc. , on aura
^Sidx^Xdj+Zdz = zpR^/rqpR'^^ q= R"rf^^'qF etc.;
2f)2 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
les signes supérieurs ayant lieu dans le cas des attractions, et les signes inférieurs dans le cas des répulsions. Or, en supposant tjue chacune de ces forces soit une fonction donnée de la distance correspondante , tous les termes de cette valeur de Xdj: + Yrf^-f- Zdz seront des différentielles dépendantes d'une seule variable, et, par conséquent, cette formule sera une dilfcreuiiclle exacte; ce qu'il s'agissait de prouver.
On volt aussi par là, et d'après l'équation (fi), que l'accroissement du carré de la vitesse provenant de chacune des forces R, R.', R", etc., sera le même que si elle existait seule : à l'égard de la force R, par exemple, cet accroissement sera exprimé par ■=p 2f\\dr, en prenant l'intégrale de manière qu'elle s'évanouisse pour la valeur initiale de r.
iSq. Dans le cas d'un point matériel pesant, qui se meut, sur une courbe donnée, dans le vide et sans frottement sur cette courbe, l'équation (rf) se réduira à
tiale k soit due à une hauteur h ; nous aurons
c = o, A* = 3gA,
et, par conséquent ,
U en résultera que quand le mobile arrivera au point By la vitesse maxima sera la même que s'il fût tombé de la hauteur h , augmentée de celle du point D au-dessus du plan horizontal mené par le point B. En vertu de cette vitesse acquise, le mobile s'élèvera le long de BCÂ; sa vitesse diminuera continuellement ; et si Ton a A = o , elle sera nulle au point C situé dans le même plan horizontal que D. Parvenu au point C , le mobile redescendra le long de CB ; et il oscillera ainsi indéfiniment de D vers C, et de C vers D. Lorsque la constante h ne sera pas nulle , le mobile s'élèvera au-de&sus du point C. Si l'élévation du point A an^essus du plan horizontal qui comprend D et C, est moindre que h, le mobile n'atteindra pas le point A; il s'arrêtera en un certain point C; et si l'on mène par C un plan horizontal qui coupe la courbe en un autre point D^, lé mobile oscillera indéfiniment de C vers D', et de D' vers C Les oscillations seront toutes isocJirones ou d'égale durée. Cela est évident à l'égard de celles qui auront lieu dans le même sens; et l'on voit aussi que la durée de chaque oscillation de C vers D' sera la même que celle d'une oscillatipp de D^ vers C\ en observant qu'un élément quelconque do la courbe sera parcouru avec la même vitesse dans
les deux cas. Cette durée commune de toutes les oscillations entières dépendra de la forme de la courbe et de la grandeur de h.
Lorsque l'élévation de A au-dessus du plan horîiiontal passant par le point de départ sera égale à A, lé mobile approchera indéfiniment du point A , mais ne l'atteindra qu'après un temps infini. Quand cette élévation sera plus grande que A, le mobile dépassera le poiut A, et parcourra la circonférence entière de la courbe donnée. Revenu au point D , sa vitesse sera la même qu'à l'origine du mouvement ; d'où l'on conclut qu'il fera une suite indéfinie de révolutions, qui auront toutes une égale durée, dépendante de la forme de la courbe et de la granduur de h.
Si la courbe donnée est d'abord comprise dans un plan vertical, langent à un cjlindre à base quelconque , et qu'on enveloppe ce plan sur le cylindre, de sorte que la courbe donnée devienne une ligne à double courbure, le mouvement oscillatoire ou révo-
pofnt donné que j'appellerai Â^ à un autre point donné que je nommerai B, jouit d'une propriété remarquable. Si le mobile est entièrement libre, l'intégrale f^^ds^ prise depuis le point A jusqu'am point B^ est plus petite que suivant toute autre courbe aboutissant à ces deux ])oints; s'il est assa^ jetti à se mouvoir sur une surface donnée, cette propriété de la trajectoire n'a plus^ lieu que retati-^ vement à toutes les courbes tracées sur cette surface, et qui aboutissent toujours aux points A et B. Dans ces deux cas, ds est Téléipent différentiel d'une courbe quelconque , qui répond aux coordonnées Xfj^Zftlv une fonction de ces trois variables et d'une constante k , donnée par l'équation (d).
La démonstration de ce théorème revient à prouver qu'en vertu des équations du mouvement, la variation de fvds est nulle , en supposant fixes les limites de cette intégrale : alors elle sera un minimiun ou un maximum; et ce sera toujours le mini" mum qui aura lieu quand le mobile sera entièrement libre; car il est évident que l'intégrale /i^^ pourra croître indéfiniment avec la longueur de la trajectoire, et ne sera pas susceptible de maximum.
Or , par les règles les plus simples du calcul dés variations, on a
S'.fvds = f^.vdsy J'.vds = cT^sfr -f- ifS'd^.
D'ailleurs dt étant l'élément du temps, on a dsssz vdt;
donc
i's^ds = i dû. v\
Si Ton différentie Féquation {d) et que l'on remplaça
TIIAITÉ DH MECANIQUE.
ES différentielles dx, dj, dz, par les variations Sxp ff J'Zf on aura
Ed ayant égard aux valeurs de ces A , cos /x ^ cos p , Il obserraot que
les équations (3) du a" i5i donnent
Le terme NVtTL n'entrerait pas dans cette équatioD ,
le mobile était entièrement libre ; quand il est
Lssujetti à se mouvoir sur la surface dont l'équation
t L = o, ce terme est nul; car toutes les courbes
ne Ton compare à la trajectoire du mobile devant
i être tracées sur cette surface, on a J^L ^o;
Bouc OD doit supprimer ce tenue dans tous les cas j
il il en résulte
puant au second terme v^ds de la variation de vds , pou s avons
ds* = doc* + dj* -\- dz* ,
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 2gj
nous aurons
En réunissant ces deux parties de la valeur de J" • i^, il vient
d'où Ton conclut
fj'.vds = ^J^jc + ^jy+^cr2 + constante,
pour rintégrale indéfinie de ^.vds. Mais les deux points extrêmes A et B étant supposés fixes , les variations J^x, J'jr, J'z, qui s y rapportent, devront être nulles; par conséquent, l'intégrale définie /^ • t^dlf , prise depuis le point A jusqu'au point B, laquelle est égale à la variation J'./s^ds, se réduira à zéro; ce qu'il s'agissait de démontrer.
i6i« Quand le mobile, assujetti à se mouvoir sur une surface courbe , n'est sollicité par aucune force donnée , sa vitesse est constante (n® '^7); Tintégrale fi^ds est donc le produit \fs. Par conséquent l'arc s décrit par le mobile est, en général, la ligne la plus courte du point A au point B; et il suit de l'uniformité du mouvement, que, dans ce cas, le mobile va d'un point à l'autre , dans un temps plus court que s'il était forcé de décrire sur la surface donnée toute autre courbe que sa trajectoire. Toutefois y si cette surface est fermée de toute part , comme une sphère , par exemple , les points A et B seront les extrémités de deux arcs de grand cercle , dont Tun sera moindre et l'autre plus grand que tous les arcs^
298 TRAITÉ DE MÉCASIQUE.
de petits cercles aboutissant aux mêmes points; et le mobile pourra décrire l'une ou l'autre de ces deux portions d'un même grand cercle, selon le sens de sa vitesse initiale A' tangente à la sphère.
On peut pre'seuter l'équation différentielle de Ix Irajectoire sous une forme qui mette en évidence la propriété de la ligne la plus courte sur une surface quelconque, laquelle consiste en ce que son plan osculatcur en cliaque point est normal à cette surface.
Les forces X, Y, Z, étant supposées nulles, les équations (5) du n" i5i se réduisent à
^=NcosA, ^=:Ncos^, ^=Ncosi-.
A cause que f est une constante, et que vt=s ^
on a
IF^^'^F' dF ^ 'd?' 'dF^ dF'
en prenant l'arc s pour la variable indépendante; et cela étant . on pourra remplacer les équalions précé-
ftxd'r — drd'x , dzd'x — dxd*z
£^COS.H ^3 C08f«
djrd*z — dzd^j
ds^
