OS A

D après les valeurs de cos A , cos^ , ces y, citées dans le n^ i5i , on aura donc

dxd^jr — djrd^x dL , dzd^x — dxd^z dL \

ds^ 5r "* 3? ly \

pour l'équation différentielle seconde de la trajectoire* On y substituera la valeur de l'une des troiâ coordonnées a:, j-^ z, en fonction des deux autres , tirée de l'équation L = o de la surface donnée^ sur laquelle cette courbe doit être tracée; on intégrera ensuite l'équation à deux variables qui en résultera; puis on déterminera les deux constantes arbitraires que l'intégrale renfermera , en assujettissant la courbe à passer par les deux points A et B de la surface donnée. L'équation qu'on obtiendra de cette manière y et qui sera, comme on voit, indépendante de la grandeur et de la direction de la vitesse initiale A:, devra être celle de la ligne la plus courte entre ces deux points.

Ov, si l'on appelle a, €, y ,\es angles que la normale au plan osculateur d'une courbe quelconque , au point dont les coordonnées sont x, j", z, fait avec leurs prolongemens dans le sens positif, et qu'on

fasse , pour abréger ,

[{dxd'j^dj^d*xy+ {dzd'x-^dxd'zy+idjrd'z^dzd'j-yy z^h,

nous aurons

cos a = - ( dyd^z — àzd^j) ,

cos C ^ - (dzd'x — dxd'z) ,

cos y = Y {dxd'j — dfd'x), %

d'après les formules (5) du n° ig, où ces mêmes angles sont rcprésenlés par A, ;*, c. En vertu de l'équatiou ((?), on aura donc

cos X cos CL + cos € cos ft -(- cos y cos v^o;

ce qui montre que la normale au plan osculaleur de la trajccloîre, et la normale à la surface donnée, sont perpendiculaires l'une à l'autre; d'où l'on conclut que l'e'quation {f^, qu' appartient à la ligne la plus courte , est aussi celle de la courbe qui a partout sou plan osculateur normal à la surface donnée ; en sorte que ces deux lignes sont une seule et même courbe tracée sur cette surface, quand on les assujettît

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. Soi

§ III. Digression sur le mouvement de la lumière.

162. Le théorème du n* 160 est connu sous la dénomination de principe de la moindre action ^ qui lui vient du point de vue métaphysique sous lequel on l'a d'abord envisagé ^ et qu'on a depuis justement abandonné. Mais il peut encore être utile de donner ici une des premières applications qu'on a faites de ce principe y celle qui est relative à la réflexion et à ]a réfraction de la lumière dans le système de l'émission.

Tant qu'un rayon lumineux se meut dans un milieu d'une égale densité^ sa vitesse et sa direction restent les mêmes ; mais quand il passe d'un milieu dans un autre ^ sa direction s'infléchit et sa vitesse change. Dans l'instant du passage^ la lumière décrit une courbe d'une étendue inappréciable , dont on peut faire abstraction sans erreur sensible. La trajectoire de chaque particule lumineuse est donc alors l'assemblage de deux droites ^ dont chacune est décrite d'un mouvement uniforme. Ainsi, en appelant^ et ^ les longueurs de ces droites , n la vitesse de la lumière dans le premier milieu 1 n' sa vitesse dans le second , on aura njr pour la valeur de l'intégrale fvdSf prise depuis le point de départ de la particule jusqu'à son entrée dans le second milieu, et n'y pour la partie de cette intégrale relative au second milieu ; par conséquent cette intégrale, prise dans toute l'étendue de la trajectoire, sera exprimée par /y^ + /»yj et c'est cette somme qui doit

3o2 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

être un minimum , d'après le principe de la Trioindre

action.

Avant d'aller plus loin, observons que, si le second milieu est une substance diaphane et cristallisée » la vitesse de la lumière , dans cette substance, dépendra, en général, de la direction du rayon lumineux; en sorte qu'elle sera constante pour un même rayon, mais variable d'un rayon à un autre. Le phénomène de la double réfraction que présentent le spath tf Islande et la plupart des cristaux transparens, tient à la différence de vitesse des dlfférens rayons lumiuenx qui les traversent. On doit alors regarder la vitesse n' comme une fonction des angles qui déterminent la direction de cljaque rayon ; et la loi de la réfraction dépend de la forme que l'on suppose à cette fonction. En faisant une hypothèse convenable sur cette forme, Laplace est parvenu à déduire du principe de la moindre action (*) , la loi de la double réfraction, découverte par Huygbens et confirmée par Malus; mais ce n'est point ici le lieu d'exposer cette théorie :

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 3od

points extrêmes de la trajectoire. Supposons que U surface de séparation des deux milieux soit plane ^ et menons par ces deux points un plan qui la coupe suivant la droite CD. Soit encore AEB une ligne brisée au point £, qui représente la projection de la trajectoire sur ce plan. Menons par les points A , B, £, les perpendiculaires AF^ BG^ HEK^ à la droite CD. Puisque la position des points A et B est donnée^ les trois droites AF, BG, FG, sont connues; mais la position du point E^ et les angles AEH et B£K sont inconnus, et doivent être déterminés par la condition du minimum. Nous supposerons dope

AF=a, BG = b, FG=c, AEH=a:, BFJt = a:'

les triangles rectangles AFE et BGE donneront

EE = a tang «r , EG = b tang x' ;

par conséquent , on aura

a tang ûc + b tang x^ z=i c. (a)

Le rayon lumineux traverse la sur&ce de séparation des deux milieux en un point dont E est la projection sur le plan de la ligure. Si nous appelons z la distance de ce point inconnu au point E,^ sera l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont z et AE seront les deux petits côtés, et y' l'hypoténuse d'un autre triangle qui aura z et BE pour ses deux petits côtés; mais en considérant les triangles AEF et BEG, on a