C08 X ' COS X

3o4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

Si l'on siilistitue ces valeurs dans la quantité ny-\- n'y^ il eu résultera une fonction de z, x , x', qui devra cire un minimum par rapport à ces trois variables , dont les deux dernières sont liées entre elles par l'équation («). Il faudra donc d'abord que la différentielle de celte fonction, prise par rapport à z, soit égale à zéro; d'où l'on conclut

dz ' dt y X Or, on ne peut satisfaire à celte condition qu'en prenant z = o; ce qui nous apprend que le rayon lumineux Iravci'se au point E la surface de séparation des deux milieux, et, par conséquent, qu'il ne aorl pas du plan perpendiculaire à cette surface, mené par les points A et B.

En faisant donc 3:^0, on aura simplement

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 3o5

et SI Ton élimine ^- entre ces deux équations , on

trouve

n s\n oc = n' sin a:'. (b)

Celle-ci et Féquation (a) déterraineront les valeurs de a: et a:' qui répondent au minimum de nj' + ny . Après avoir calculé la valeur de a*, on construira le point E 9 en prenant EF = a tangx; ensuite on tirera les droites AE et BE , et la ligne brisée AEB sera la route que suit le rayon lumineux pour aller du point A au point B.

L angle AEH compris entre la normale EH à la surface de séparation des deux milieux , et le rayon incident AE, est ce qu'on appelle Yangle dincidenee; Tàngle BEK, compris entre le prolongement EK de cette normale et le rayon réfracté BE, se nomme Yangle de réfraction. Ces deux angles ont été désignés par X elx' . Ainsi Féquation {b) fera connaître Tangle de réfraction quand langle d'incidence sera donné; et l'on voit, d'après cette équation, que le sinus de l'angle de réfraction est au srnus de l'angle d'încîdence dans un rapport constant.

C'est, en effet, la loi connue de la réfraction ordinaire, dont la découverte est due à Descartes. Le rapport des deux sinus dépend de celui des vitesses n et n relatives aux milieux que l'on considère, et, pour cette raison , il varie avec les différentes sortes de milieux transparens.

i64- Si le rayon lumineux, au lieu de pénétrer dans le second milieu , est réfléchi à la surface de se-

ao6 TRAITÉ DE HÉCANIQUE.

paratloa^ sa Titosst sera coastaiite dans toute Tëtendae de la trajectoire, qui est alors comprise ea entier dans un même milieu. L'intégrale fwis sera donc égale à la longueur totale de la trajectoire, multipliée par cette vitesse constante ; par conséquent, cettQ longueur deyra étrç un mimnusm, en vertu du priur cipe de la moindre action.

Supposon9 donc , comnfe dans le numéro précédent , que la surface de séparatioa soit plane. Soient A et B ( fîg. 4i) 1^ deux points extrêmes de la trajectoire ; menons par ces points un plan perpendiculaire à cette sur&ce, qui la coupe suivant CD : chaque particule de lumière ira du point A au point B, en anttant une Ugne brisée AEB, la plus courte de toutes celles qui se réfléchissent sur la surface de s^mration. Or, il est d'abord évident que cette ligne sera comprise dans le plan perpendiculaire à cette sur&ce ; car toute autre trajectoire serait plus longue que sa projection sur ce plan. De plus, il est aise de prouver, sans aucun calcul, que la plus courte ligne brisée est celle qui fait deux angles égaux avec la droite CD , c'est-4i-dire que si Ton a

AEC = BED,

la ligne AEB sera plus courte que toute autre ligne brisée AE'B, dont le point E' appartient, ainsi que E, a la droite CD.

En effet , abaissons de A la perpendiculaire AF sur cette droite ; prolongeons-la d'une quantité AT égale à AF, et tirons ensuite les droites A'E et A'E'. Les deux aneles AEC et A'EC seront égaux: donc les

deux angles ATC et BED le seront aussi ^ à cause de réquatîon précédente ; par conséquent , la ligne Â'EB sera droite : on aura donc