AE -H BE < AE' + BE
ce qu il s'agissait de prouver.
Si Ton élève au point E la perpendiculaire EH sur la droite CD, AEH et BEH seront les angles d'incidence et de réflexion du rayon lomineux qui va du point A au point B. Ces angles seront égaux , puisqu'ils sont conipléniens des angles égaux AEC et BED 3 d'où il résulte la loi connue de la réflexion de la lumière , qui consiste en ce que l'angle de réflexion est toujours égal à l'angle d'incidence.
166-. Lorsque l'on admet la théorie de l'émission de la lumière , les lois de la réflexion et de la n^fraction se déduisent de l'expression du carré de la vitesse d'un point soumis à des forces d'attraction (n"" i58), d'une manière plus directe qu'en faisavt usage du principe de la moindre action. Cette ques^ lion aous offrant un exemple du mouvement d'uni point matériel , intéressant par la nature des forces que l'on y considère, et par son application à la Physique , nous allons en exposer la solution dans le cas ordiriaire, où les deux milieux que traverse la lumière ne sont pas eristalUsés.
P^m cette théorie , oa suj^pose chaque particule
3o8 THAITÉ DE MÉCANIQUE,
lumineuse soumise à ratlraction de tous les poîofs mate'i-iels du milieu qu'elle traverse, et l'on regarde cette force comme uae fonction inconnue de la distance , dont on snit seulement qu'elle décroît avec une exlrt^me rapidité quand la distance augmente, do sorte qu'elle devient tout-à-fait insensible dès que la distance a une grandeur sensible. Ainsi , par exemple , désignons par r la distance du point attiré au point attirant, par a. une ligne de grandeur finie, mais insensible, et par e la base des logarithmes népériens. Une force de cette nature
pourra être représentée par Ae "; A étant son intensité relative à nne distance r infiniment petite. Dés que cette distance aura une grandeur sensible, et sera, conséquemraent , un très grand multiple (le a., cette Coactlon n'aura plus aucune valeur sensible.
Tant qu'un rayon lumineux se meut dans un milieu homogène et d'une densité constante, les at-
exercées sur le rayon lumineux au point M ^ par les deux couches du milieu supérieur^ qui sont corn-' prises^ lune entre CD -et CD', l'autre entre CD' et CD'', seront égales et contraires; elles se détrui-^ ront donc, et le mobile ne sera sollicité que par lattractiôn de la partie du milieu qu'il traverse, supérieure à CD'', et par lattractiôn totale du milieu inférieur. Ces deux forces seront perpeudicu-* laires à CD ; elles varieront avec la distance MP suivant des lois inconnues, mais telles que chacune de ces forces sera insensible quand; MP ne le sera pas, et quelles atteindront leurs maxima lorsque cette distance sera nulle, ou que le mobile sera parvenu à la surface de séparation dç& deux mi-* lieux»
Au bout du temps ^, je représente par z la dis-« tance MP, et par Z et Z' des fonctioos inconnues de z, qui expriment les forces accélératrices provenant des attractions du milieu inférieur et de la partie de l'autre milieu, supérieure à CD\ La force accélératrice totale , tendante à diminuer z , sera la différence Z— *Z'; par conséquent, on aura,. dan« le milieu supérieur,
pour réquation du mouvement vertical d'une particule lumineuse.
Lorsque ce mobile aura traversé la' surface CD en un point E,. et qu'il aura pénétré dans le milieu inférieur jusqu'en un point M", tel que la perpendicu-
laire IM'P' à CD soit aussi représentée par z, il L'staisti de voir que Ja force accélératrice qui tendra à diminuer cette variable sera alors la différeoce Z' — Z; en sorte que l'on aura
pour l'équation du monvemenl vertical dans le milieu inférieur.
Quant au mouvetnent horizoatal oq parallèle à CD, il sera uniforme , et la vitesse boriEOntale ne changera pas en passant d'un mtlien dans l'autre ; car les forces attractives de chaque milieu se détruisent parallèlement à CD, et, dans ce sens, un rayon lumineux n'est soumis à aucune force accélératrice. Ainsi, eu appelant k la vitesse de la lumière en un point A du milieu supérieur, situé a une dislance sensible de CD, et a l'angle aigu que la direction de cette vitesse fait avec la verticale, on aura, k un instant quelconque, k sin a. pour la vitesse parallèle à CD. Si le rayon lumineux pénètre, d'une quantité sensible, dans le mi-
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. Su
lieu inférieur, à une distance quelconque z de cette surface CD. -
i66. Je désigne cette yitesse pet u, de sorte qu'ôtf
ait — =: u^ pour les deux milieux. En multipliant
réquation (i) par 2dz, intégrant et désignant par c la constante arbitraire, on aura, dàus le milieu supérieur,
tt' = c + afZ'dz — 2/Zdz.
Je supposerai que ces deux intégrales s'éyanouissent avec z, et je représenterai par h et h' leurs valeurs à une distance sensible de CD. U sera permis d^étendre ces intégrales h et V depuis zéro jusqu'à l^nfini; ca^^ au-delà d'une valeur sensible, les fonctiôûâ Z et Z% et par conséquent les parties correspondantes de fZdz et /ZW, sont nulles ou insensibles par hypothèse. On pourra donc écrire, si l'on veut.
A = r Zdz, h!^f Z'dA.
D'ailleurs, pour une valeur sensible de z, on e u* = k^ cos* et ; on aura donc alors
A:*cos*«t = c + 3A' — 2A; *■
et en éliminant c de la valeur générale de »*, il en résultera
i^ = f cos» <tH- !iA — 2*'+ a/Z'cfe — a/Zûfe,
en un point quelconque M*
Je représente par k^ la vitesse du mobile ta point £ de la sur&ce CD, et par oti l'angle que fait sa
TRAITÉ DE MÉCANIQUE, soit réfracté. D'après l'équation (5), on
cl en ajoutant membre à membre l'équation (5J et celle-ci , il en résultera
ce qui montre que l'augmentation du carr^ de la vitesse du mobile, en allant du point A du milieu supérieur au point A' du milieu inférieur, sera indépendante , comme cela devait être (n" iSy) , du chemin qu'il aura suivi. .
On tire aussi des équations (5J et (6) <Oià*Hu>
formule qui renferme la loi du rapport constant du i^inus de réfraction au sinus d'incidence, et qui donne la valeur de ce rapport en fonction de la vitesse k de
DYNAMIQUE, PJ&ËMIÈRE PAATIE. 3i5
milieu intermédiaire^ il Êmdra, poor détermioer sia a^'p échanger entre elles ^ dans cette écpoatÎQp^ les quantilés h ^i h\ et y m^re k', a\ a!'^ au lien àe k, a, a/» On aura donc
sin et k
ou bien ^ en vertu ^ei éqqjatjoiis (6) «t (7) ,
sin oT t^>> + 4 (A -TF) sin «
8in «t it sin et' *
ce qui donne ^ effectivement^
CL ^iS^ tt«
Le phénomène de la dispersion^ <!^ praviirot 4'iino valeur différente de l'angle de réfraction. ^'^ pour ks rayons diversement colorés dont se compose un même rayon de lumière incidente , pent être attribué , d'a«« près.la formule (7)^ soit k une* inégalité de. leur 'vitesse k 'f soit à une action différente dq chaque milieu sur ce^dîfférens rayons j d'où il résulterait des valeurs inégales de A — h'. • . .i;>
i68.: Toutes choses d'ailleurs égales , cette éq«ia*lion (7) montre que le rapport du fiants -de réfracf iota au sinus d'incidence doit changer avec la vitesse dé la lumière. Or 9 si Ton considère une étoile située dans le plan de l'écliptique, il y a une époque dans Tainnée où la vitesse de la terre s'ajoute k celle de Isi lumière, et une autre époque où la première vitesse se retranche de la seconde ; oe qui iiend la vileidse de la lumière, relativement à un milieu qui se meut
3i6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
avec la terre, sensiblement plus grande dans l« premier cas que dans le second. Le rapport dont il s'agit devrait donc aussi être différent à ces deux époques; mais des expériences très précises de M. Arago ont prouvé qu'au contraire ce rapport ne varie pas d'une manière sensible pendant toute l'année, et, de plus, que sa grandeur est la même pour le soleil et pour les diverses étoiles d'où la lumière est partie.
Quelle que soit la théorie de la lumière que l'on adopte, c'est toujours un fait très remarquable, que la composition de la vitesse propre de la lumière avec celle de la terre, qui se manifeste dans le raouvemcut apparent des étoiles, connu sous le nom ôî aberration, n'ait cependant aucune influence appréciable sur la réfraction de ta lumière qu'elles nous envoient à différens jours de l'année.
Dans le vide, le mouvement de la lumière directe ou réfléchie est uniforme, et sa vitesse indépendante de la source dont elle émane. La grandeur de cette vitesse est telle, que la lumière parcourt en 493,54 se-
isurface du soleil étant vingt-sept fois et demi Tintensité de la pesanteur terrestre , comme on le verra par la suite 9 et le rayon du soleil étant égal à 1 10 rayons de la terre^ on conclut de ce qu'on a vu dans le n** i43> que la vitesse de la lumière , pour être de SogSo myriamètres par seconde à une grande distance du soleil , a dû être plus grande d un peu moins de deux millionièmes seulement^ en partant de sa surface.
TRAITÉ DE MÊCANri,llJE.
