DE LA FORCE CENTIUFUGE
iGg. La pression qu'un point malériel exerce sur une rourbe qu'il est forcé de décrire, nesl pas la même que quand il est en équilibre sur cette courbe-. L'ét.it de mouvement dotine naissance à uue pression particulière qu'où appelle force centrifuge, parue qu'on l'a d'abord considérée dans le cercle où elle est dirigée suivant le prolongement du rayon, et tend continuellement à éloigner du centre le mobile sur lequel elle agit. C'est celte force que nous allons considéi'er dans une courbe quelconque.
Soient IVI,M et MM' (fig. 45) deux élémens consécutifs et égaux de la courbe donnée, H et II' leurs milieux , MT et M'T' leurs prolongeniens. Leur plan et l'angle TMT' seront le plan osculateur et l'angle
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. Stg
Cela posé 9 faisons d'abord abstraction des forces données qai peuvent agir sur le mobile , et supposons qu'au bout du temps t^ il arrive au point M avec une vitesse v. S'il était entièrement libre, il continuerait à se mouvoir sur MT avec la même vitesse ; mais, par hypothèse, il est forcé de décrire une courbe donnée ; ce qui change la direction de son mouvement , qui devient MT'. Or, si Ion élève sur MT^ la perpendiculaire MK , comprise dans le plan oâculateur et en dehors de la concavité de la courbe, on pourra substituer à la vitesse v, dirigée suivant MT, deux autres vitesses, Tune égale à pcos ^ et dirigée suivant MT', l'autre égale a v sm i" et di--> rigée suivant MK; et alors l'effet de la courbe sera de détruire la dernière de ces deux vitesses, pour ne laisser subsister que la première , ou , autrement dit, cet effet se réduira à imprimer au mobile une vitesse égale et contraire à (^ sin eT. La courbe donnée étant donc remplacée par un polygone infinitésimal , sa résistance consiste à imprimer au mobile, à chaque sommet M de ce polygone , une vitesse infiniment petite i^sin cT, dirigée en sens contraire de MK.
Pour assimiler complètement cette résistance à une force motrice f qui agit incessamment sur le oiobile I nous pouvons supposer que la vitesse p siia «T est produite pendant que ce point matériel va de H eu H", et prendre dt pour la durée de cette action. Nous pouvons aussi n^liger, dans cet inter» valle de temps , le changement dé direction de cette force , et la auppoeer , par exemple , parallèle à 1& droite MO. Alors la foice accélératrice- corresnon-
3ao TRAITÉ DE MÉCANIQDE.
danle aura pour mesure, comme chacune des forces U, U', U", etc., du ti" i/fj, la vitesse t'sïn J^ qu'elle produit pendant l'iostant dt, divisée par dt; et en appelant m la niasse du mobile, il en résultera
pour la valeur de J. Oodc , en remplaçant sin «T par eT, mettant pour eTsa valeur précédente , et observant que ds = vdt , on aura
j- mv*
■^ ~ f ■ La pression qae la courbe éprouve , et qui est uniquement due à l'état de mouvement du point matériel qui la décrit, ou la force centrifuge qui agît sur ce mobile, est égale et contraire à cette force J". Il s'ensuit donc qu'au point quelconque M , de la courbe donnée , la force centrifuge est comprise dans le plan osculateur, et dirigée en dehors de la concavité de cette courbe , suivant le prolongement MN de son rayon de courbure, et que son intensité est en raison ° de ce ravoQ. et en raison directe de la masse
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 3ai
force donnée. C'est ce qu'on a déjà vu dans le n? iS'j; mais nous voyons de plus que ce résultat tient à ce que l'angle de contingence est infiniment petit, et qu'en un point où deux courbes différentes se couperaient sous un angle fini, le mobile éprouverait une perte finie de vitesse, en passant d'une courbe à l'autre ; laquelle perte serait égale à sa vitesse primitive , multipliée par le sinus verse de cet angle.
Lorsque le mobile est sollicité par une ou plusieurs forces données , sa vitesse varie à raison des composantes de ces forces tangentes à la trajectoire , et leurs composantes normales exercent, comme dans l'état de repos, une pression sur cette courbe qu'il faut joindre à la force centrifuge.
Soit, en général, mK la résultante des forces données, qui agissent sur le mobile , quand il est parvenu au point M. Décomposons cette force motrice en deux autres, Tune tangente et l'autre normale à la trajectoire , que nous représenterons par mT et mQ; la première sera la force qui fera varier la vitesse, et la seconde produira la partie de la pression indépendante de l'état de mouvement du mobile. En prenant , par la règle du parallélogramme des forces , la
résultante de mQ et de la force centrifugeyou — , on
aura , en grandeur et en direction , la pression totale qui aura lieu au point M de la courbe donnée. Cette force , divisée par la masse du mobile, ou la résul-
tante des forces accélératrices Q et — , devra comci-
der avec la force P du n* iSa. C'est en effet ce que nous allons vérifier.
32a TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
I ^ I . Je remplace les équations (5) de ce numéro par celles-<:i ^ qui s'en déduisent immédiatement ,
dsde ds ds \ds ds /'
dzd'x—dxd'z ^dz dx ^dx ^x ^ \\
dydH-dzd^^^ ày__^^^fdr^,dz ^ A dsdi*^ ds ds \ds ds J
Quelle que soit la variable indépendante ^ on a
dxd'jr — djd'x __ dx^ dx , W «/<• dt "'»
on a y en même temps,
dx* dx* ds* * dx ^^ * dx ds
IF d? de* ~d~ "ST" Ji ^
à cause de f^ = -r . il en résultera
ai
dxd}j — djrd*x ^ dx^ dx v*{dxdy — dyd^x)
dsdt" ^ ~ds d? ^
et l'on trouvera de même ,
dzd^x — dxd'z v^* ( dzd^x — dxd*z )
dsdt^ 57^ '
djd^z — dzd^j v^* ( djd^z — dzdy )
dsdt* ds^ '
En désignant par q, q\ (f\ les angles que la force Q fait avec des parallèles aux axes des x y y^ z^ et observant que X, Y, Z, sont les composantes suivant ces parallèles de Q et de la force tangentielle T , on
aura ^ossi
X=Tg+Qco8y, Y=t|^+Qcos^', Z=T^ + Qcos^^
et au moyen de ces valeurs et des précédentes , les équations (i) deviendront
v\dxdr— drd'x) ^ /dx , dr \ ^dx , dr \ '
v^(dzd*X'—dxd'z) ^/dz dx A -Vdz dx A\.*
v*(Jrd'z — dsd'r) /dy , dt \ ^dj , dt ,\\
Or, si l'on appelle y^ y\ y' y les angles que la direction de la force centrifuge , c est-à-dîre le prolongement MN du rayon de courbure MO^ fait avec des parallèles aux axes des x, jr, z, menées par le point M, et x', y, z', les coordonnées du centre de courbure 0, on aura
JC — x'=: fCOSy, jr—y'=. p COS y, Z — z'=:p COS >^,
et en combinant les équations (2) avec les formules du n* 20 f on en déduira sans difficulté ,
V* r^r4r/dx , dr \ dzfdz dx A
v* , ^T'dzfdY m àz A dxfdx , dr V
V' • rS'dx/dz dx A drfdj „ dz A
ai.»
Mais à cause que tes forces P et Q sont perpendiculaires à la tangente de la trajectoire, od a
dx , dr , , dz ^^P
-r- cos 'O' -ir-j- cos lîr -4- t- cos itst^qi ^^" rf.t as as '
ce qui réduit les coefficiens de Q , dans les trois e'quxtions précédentes, à — cosj, — cosç', — cosç", et ceux de — P à — cos ot, — cos os-', — cosia^; on am-a donc enfin
— cos 3' -{- Q cos ^ ^ P cos tsr,
— cos y' + Q cos q' ^V cos ta', ^^mi
— cos 3-"+ Q cos q" = P cos la^, ^^W
où l'on voit, comme il s'agissait de le vérifier, que la force P est, eu grandeur et en direction, la résultante des deux forces — et Q.
