Quaud le mobile sera seulement assujetti k

La force N agira suivant cette partie de la normale ou suivant son prolongement , selon que la quantité comprise entre les parenthèses sera positive ou négative ; et pour que N soit toujours une quantité positive f on prendra le signe supérieur dans le premier cas 9 et le signe inférieur dans le second. Cette force accélératrice N devra être égale et contraire à celle qui entre dans les équations (3) du n* i5i ; et, en effet , celles-ci ne différant des équations (5) du n* 1 5a qu'en ce qu'elles contiennent N, A, u, v^ au lieu de — P,/Z2r, ^\ (tsr'y on en déduira , par l'analyse précé-dente ^ des composantes de la force N , qui seront égales et contraires à celles que Ion a trouvées pour la force P.

Dans ce même cas d'une surface donnée ^ si Ton désigne par Où' et -i/ les angles que les forces mQ et

mv

— font avec un axe mené par le point où se trouve

le mobile y tangent à cette surface et perpendiculaire à la trajectoire y de sorte qu'on ait

COS* (à + COS* û)' = I , cos*4 + cos*4' = I ^

il faudra que la somme des composantes de ces deux forces suivant cet axe tangent, soit égale à zéro, puisque leur résultante est normale au même point de la surface; on aura donc

Q cos û>' H cos >|/' = o ;

équation qui pourra servir à déterminer l'inclinaison -\! du plan osculate^ur de la trajectoire sur le plan tangent à la surface donnée.

326 TRAITÉ DE BIÉGANIQUE.

Lorsque le mobile ne sera soumis à aucune force donnée y ou, plus généralement ^ lorsqu'il ne sera soumis qu'à une force tangente à sa trajectoire, on aura Q = o ; il en résultera donc cos •4/'= o e t '>|/'=r90*; en sorte que le plan oscnlateur de cette courbe sera constamment perpendiculaire à la surface donnée. Cette propriété étant, en général, celle de la ligne la plus courte entre deux points donnés sur cette surface , c'est cette ligne que le mobile décrira , ainsi qu'onl'adit précédemment (n* i6i); mais maintenant nous voyons, en outre, qu'une force tangente à la trajectoire, telle qu'un frottement contre la surface donnée, ou la résistance d'un milieu, ne fera pas dévier le mobile, de la ligne la plus courte entre son point de départ et son point d'arrivée.

173. Enfin, si le mobile est entièrement libre, il faudra que la composante normale à la trajectoire , de la force motrice mK qui le sollicite, fasse équilibre à sa force centrifuge — , puisque dans ce cas il

n'y a pas de courbe ou de surface donnée qui puisse détruire la résultante normale de ces deux forces. Il faudra donc, en premier lieu, que le plan osculateur de la trajectoire soit celui qui passe par la tangente et par la direction donnée de la force mK; en appelant 6 l'angle que cette direction , en un point quelconque , fait avec le rayon de courbure MO , il faudra, en outre, que cet angle soit aigu pour que la composante normale de la force mK agisse en sens contraire de la force centrifuge qui est dirigée suivant MN ; et cela étant , on devra avoir

R cos ô = — . (a)

Quand la force accélératrice R, à laquelle le mobile est soumis, sera une force centrale dirigée vers un point connu, et que l'observation aura fait connaître la courbe qu'il décrit autour de ce centre fixe, on pourra déduire de l'équation de cette courbe, le rayon de courbure / et l'angle 6 qu'il fait avec la direction de la force R ; on déduira aussi , de cette équation et de la proportionnalité des aires aux temps ( n"* i55 ), l'expression de la vitesse i^ en un point quelconque de la trajectoire; par conséquent, l'équation (à) déterminera la valeur de R, ou la loi de la force centrale qui fait décrire au mobile la courbe donnée. C'est de cette manière que Newton a découvert la loi de la force dirigée vers le centre du soleil , qui fait décrire à chaque planète une ellipse dont ce point occupe un des foyers; mais on verra, dans la suite, qu'en partant des mêmes données, cette détermination peut s'effectuer par un calcul plus simple.

174^ Huyghens, à qui l'on doit la mesure de la force centrifuge , l'a déduite de la considération du mouvement circulaire; et quoique cette méthode soit moins directe que la précédente , je crois cependant utile de l'exposer ici en peu de mots.

Soit M ( fig. 44 ) ^'^ point matériel attaché à un point fixe C par un fil inextensible CM ; supposons qu'une percussion lui imprime une vitesse a, dans une direction perpendiculaire à la longueur du fil; et, pour simplifier la question, supposons aussi qu'aucune

3a8 TRAITÉ DE BfÉCANIQUE.

force motrice donnée n'agisse sar le mobile. Ce point matériel va décrire nn cercle AMB , dont le centre et le rayon seront le point fixe et la longueur dn fil. Pendant ce monyement, le fil qui retient le mobile éprouvera, dans le sens de sa longueur , une certaine iefision qui n'est autre chose que la force centrifuge. En appliquant au mobile une force égale à cette tension et constamment dirigée vers le centre fixe, on pourra faire abstraction du fil , et considérer le mobile comme entièrement libre. Cest donc en vertu de cette force centrale, dont la grandeur est inconnue, combinée avec la vitesse a, que le cercle sera décrit.

Il s'ensuit d'abord que les secteurs circulaires décrits par le rayon du mobile , seront proportionnels au temps (n* i55); ce qui exige que les arcs de cercle parcourus le soient aussi. Le mouvement circulaire sera donc uniforme ; et si Ton désigne par s l'arc décrit dans le temps f , on aura ^ = at.

Soient m la masse du mobile , ma la force centrale, et, cOQséquemment, a la force accélératrice qu'il s'agira de déterminer. Quelle que soit cette force, on peut la regarder comme constante en grandeur et en direction pendant un intervalle de temps infiniment petit ; ainsi , pendant que le mobile décrit l'arc de cercle infiniment petit MM', la force a sera supposée constante , et parallèle au rayon CM qui aboutit à l'origine de cet arc; d'où nous concluons que si le mobile n'était pas animé de la vitesse a, la force centrale lui ferait parcourir , dans un temps infiniment petit, le sinus verse MN, ou la projection sur CM de l'arc MM' qu'il décrit réellement. Or,

tonte force accélératrice a pour mesure le double de l'espace infiniment petit qu'elle est capable de faire parcourir à un mobile dans un temps infiniment petit, divisé par le carré de ce temps (n*> 118 ) ; si donc on appelle s le sinus verse MN , et t le temps employé à décrire l'arc MM', on aura

mais en désignant cet arc par o", et le rayon CM par r, on a

en prenant l'arc au lieu de la corde ; donc à cause de 0- = ar, on aura

tt

Cette valeur de tt est donc celle de la force centrifuge rapportée à l'unité de masse, dans un cercle décrit d'un mouvement uniforme. On en conclut immédiatement que cette force , dans une courbe quelconque, aura pour mesure le carré de la vitesse divisé par le rayon dé courbure; caria trajectoire ayant deux élémens consécutifs communs avec son cercle osculateur, on peut supposer que, pendant un temps infiniment petit , le mobile se meut circulairement autour du centre de courbure, et qu'il a conséquerament la force centrifuge qui convient à ce mouvement. En multipliant par m cette force accélératrice , on aura la même valeur que pour la force désignée par y dans le n* 169.

33o TRAITÉ DE MÊCASIQUK.

175. Pour comparer la ibrct* centrifuge daas le cercle à la pesanteur, supposons que la vitesse a soît celle qui serait due à une hauteur H , de sorte qu'on ait a' = 2gh (n° i5o) , en désignant par g la gravité ; il en résultera

ce qui montre que la force ceatrifiige est à ta pesanteur, comme le double de la hauteur due à la vitesse du mobile est aura^on.

Si le mobile est un corps dont les dimensions soient très petites par rapport a sa distance au point C, on pourra considérer, dans toute son étendue , la valeur de a comme à très peu près constante , et prendre le rapport - pour celui de la force centrifuge

provenant du mouvement circulaire, au poids du corps sur lequel elle agit.

Quand le mouvement n'aura pas lieu dans un pian horizontal, la vitesse du mobile, la force centrifuee et la tension du fil attaché au ooint C. seront

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 33f

ter à cette force la composante du poids du mobile dirigé suivant le prolongement de son rayon, laquelle composante est égale à — ^, comme il est aisé

de le voir. Donc, en appelant 6 la tension totale du fil à un instant quelconque , nous aurons

Cette force exprimera aussi la pression que le point C éprouvera à chaque instant, suivant la direction du rayon qui aboutit au mobile* Elle atteindra son maximum y lorsque le mobile sera au point le plus bas du cercle, où l'on a z = r, et son minimum^ lorsqu'il sera au point le plus élevé, où l'on az — r.

Si h est moindre que —, la tension deviendra négative

et se changera en une contraction pendant une partie du mouvement : il faudra alors que le fil soit inflexible pour que le mouvement circulaire ait lieu* On néglige , dans ce calcul , le poids et la force centrifuge du fil; ce qui suppose sa masse très petite par rapport à celle du mobile. On verra , par la suite ^ comment on y devrait avoir égard si cela était nécessaire.

176. Revenons au mouvement circulaire et uniforme, et désignons par T le temps que le mobile emploie à parcourir la circonférence entière. On aura

et, par conséquent.

333 TRAITÉ DE SrÉCAKIQUE.

ce qui monlre que la force centrifuge est en raison directe du rayon du cercle, et en raison inverse du carré du temps d'une révolution entière.

Lorsqu'un corps solide tourne aulour d'un axe fixe, tous ses points décrivent, dans le même temps, des cercles dont les plans sont perpendiculaires à l'axe, qui ont leurs centres dans cet axe, et pour rayons les perpendiculaires abaissées (le chaque point sur ce même axe; par conséquent, les forces centrifuges de ces diflërens points sont entre elles comme ces perpendiculaires. Ainsi, par exemple, la force centrifuge des corps placés à la surface de la terre, et qui tournent avec elle autour de l'axe îles pôles, est proportionnelle aux rayons des parallèles qu'ils décrivent; et, de plus, cette force est dirigée en chaque lieu de la terre suivant le prolongement du rayon du parallèle qui aboutit en ce point.

]*excès de rattractioo de la terre sur la force centrifuge ; par conséquent, on a

g étant celte pesanteur, G l'attraction terrestre , ou ]a pesanteur qui aurait lieu si la terre était immobile^ r le rayon de Téquateur , et T le temps de la rotation de la terre.

Le second terme de cette formule étant très petit par rapport au premier, on a, à très peu près.

Pour convertir en nombre la fraction -^pj-, on pourra

prendre le rayon du méridien au lieu du rayon r de l'équateur, dont il est peu différent; on aura alors

27rr = 40000000".

En prenant la seconde pour unité, et négligeant, dans ce calcul, la petite variation de la pesanteur à la surface de la terre , on a aussi ( n^ 1 15 )

On a d'ailleurs ( n° 1 1 ^ )

T = 86164; et de là on conclut, à très peu près,

4irV i

334 TRAITÉ DE MÉGANIQUE.

Ainsi , à Véqaateur, la pesanteur est diminuée de -g-

par le mouyement de rotation de la terre autour de son axe. Si ce mouyement derenait plus rapide , le temps T diminuerait^ et la force centrifuge différerait moins de la gravité. En observant que 289' est le carré de ij , on voit qu*il suffirait que la rotation eût lieu en un dix-septième de jour, pour que la force centrifage à Féquateur fût égale & la gravité; alors la pesanteur j serait ^ale à zéro , et les corps abandonnés à eux-mêmes y demeureraient en équilibre.

Dans ce calcul, nous avons seulement eu égard à la force centrifuge provenant du mouvement de rotation des corps pesans autour de Taxe de la terre ; et, ei|. effet, on conçoit que Ip mouvement de truislatioA autour du soleil, qui est commun à tous ces corps, à la terre et à son axe, ne saurait influer sur leur tendance à s'écarter de cette droite mobile. En imaginant, par exemple, un fil parallèle à l'équateur, attaché à cet axe et aboutissant à un corps situé à la surface, il est évident que sa tension ne changera aucunement par l'effet d'un mouvement qui emportera, k la fois. Taxe, le fil et le corps, sans changer leurs positions relatives.

178. La force centrifoge diminue la pesanteur en tous les points de la surface de la terre ; mais d'une quantité moindre qu'à l'équateur , soit parce qu'en allant de l'équateur au pôle la force centrifoge décroit , soit parce que l'angle qu'elle fait avec la verticale augmente. En appelant toujours r le rayon de

l'ëqaateur, et désignant par fA la latitude d'un lieu quelconque de la terre ^ et par i^le rayon du parallèle correspondant y on aura

u = rcosft;

en négligeant la non-sphéricité du globe terrestre ^ Tangle/i sera celui que le prolongement de u^ ou la direction de la force centrifuge; fait avec la verticale; la composante verticale de la force centrifuge s'obtiendra donc en multipliant son intensité %=:^ par cos ft; ce qui donne

pour la diminution de la pesanteur due à la rotation de la terre ; et , d'après ce qui précède , cette quantité aura pour valeur

cos* fA

Ce serait là toute la diminution que la pesanteur éprouverait, si la terre était une sphère homogène : elle serait proportionnelle au carré du cosinus de la latitude; et la diminution totale du pôle où l'on a fA === 90®, à l'équateur où l'on a /^ = o , s'élèverait à

-i-. Mais la terre est un sphéroïde aplati à ses pôles ;

l'attraction qu'elle exerce sur les corps placés à sa surface diminue y pour cette raison, en allant du pôle à l'équateur; cette diminution, en chaque point de la surface, est aussi proportionnelle au carré du cosinus de la latitude; elle s'ajoute à celle qui est produite

336 TRAITÉ DE MÉCASIQCE.

par la force centrifuge, et par cette addilioD le

coefficient -5- augmente et devient — à peu près.

C'est donc cette fraction — qui exprimera, comme nous l'avons déjà dit (n" 117J, l'accroissemeDt total du poids d'un corps transporté de l'équateur au pôle.

DYNAMIQUE, PRRMÎÈUE PARTIE. 33-;