I -|- cos 34 =^ 3COS

OD a alors

V g cos-f

rintègre, je détermine la constante arbitraire de sorte qu'on ait -^ = 7* quand i = o , et je mets ^ 6 à la place de 4 > il vient

84o TRAITÉ HE MÉCAHIQDE.

a V g^ *> (i ->- ain iO (i— sin : a)

Si le point A coïncidait avec le point E, on aarait tt = -jt ; ce qui rendrait iaBnie celte valeur de t, quel que fût l'angle S. Cela signiGe qoe le mo- i bile lie quitterait pas le point E; et en effet, dans ce cas, sa vitesse initiale serait nnlle, et la tangente au point E étant horizontale, il y demeurerait en équilibre.

Le point B répondant à 6 ^ o, on anra, daoï tout autre cas ,

pour le temps que le mobile emploiera à parcourir l'arc AB. Avec sa vitesse acquise en ce point, il selevera sur la demi-circonference BA'E ; maïs , d'après ce qu'on a vu daus le n* i5ç), il devra employer un temps infini pour atteindre le point E : c'est ce qui a

oscillations de part et d'aatre de la verticale CB , il faudra qae l'angle et et la vitesse k soient peu consi-* dérables; on pourra toujours rendre cette vitesse tout-à-fait nulle, en faisant partir le mobile d'un point un peu plus élevé que A, c'est-à-<lirey en augmentant convenabletoent l'angle a; on ne nuira donc pas à la généralité de la question en supposant A: =0; ce qui réduit 1 équation (i) à

dt^-JÏ . ^. (a).

^ 6 K acosi — acosd

P^r les formules connues , on a

cos fl = I — — -J ç-y — etc. ,

cos a = 1 + 5-7 — etc.

Les angles a et 6 étant très petits , par hypothèse ^^ je néglige leurs quatrièmes puissances ; il en résulte simplement

dt ^ -. Jl -y£==.

En intégrant et observant que 6=: a quand ^==0^ on en déduit

^ ç= ^^ arc (cos = 1) j d où Ton tire

Ces formules montrent, conformément à ce qu'on a déjà vu (n" i5g), que le pendule fera une suite iur

34* TRAITÉ DE MÉrAMQUE.

définie d'oscillations égales et isoctironcs de part et d'autre de la verticale CB: il reviendra, avec une vitesse ouUe, au point A où Ton a 9 = i», tontes les

fois que t v/- sera un multiple de aw, et au point

A', situé à la niénie hauteur que A et oii l*ou a Ô = — fit , toutes les fois que 6 sera un multiple impair de T. En appelant T le temps qu'il emploierais aller de l'un de tes points extrêmes à l'autre , c'est-àdire, le temps d'une oscillation entière, on a ^

Les durées des deux demi-^scitlations, l'une descendante et l'autre ascendante, seront égales entre elles ctà^T.

En général, à deux instans séparés par un temps égal à T, le pendule occupera, des deux c6té8 de la verticale CB , des positions égalemeot éloignées de cette droite, et sera animé de vitesses égales et contraires : car si l'on met ( 4- T à la nlace de ( . dans les

pour la vitesse du mobile au point B. En appelant b la hauteur DB de son point de départ au-dessus de B^ on aura

b =z a{i — cos cl) =s joct',

à cause que l'on néglige la quatrième puissance de et. Abstraction faite du signe , la vitesse acquise au point le plus bas sera donc

if = \/2gb ;

ce qui est, comme eela devait être, la vitesse due à la hauteur b.

i83. La valeur de T est, comme on voit, indépendante de l'angle a ; elle subsistera encore , et sera rigoureusement exacte, quand cette amplitude ol sera infiniment petite. Si donc on écartait le pendule iufiniment peu de la verticale, il emploierait pour y

i-evenir un temps fini et égal a - tt w -. Da

mouvement, le mobile décrirait un espace infini* ment petit dans un temps fini : ce qui vient de ce que l'intensité de sa force accélératrice serait infiniment petite. En effet, cette force est la pesanteur décomposée suivant la tangente à la trajectoire; or, dans l'étendue de l'arc infiniment petit qui aboutit au point le plus bas de cette courbe, la tangente fait avec la verticale un angle qui diffère d'un droit d'une quantité infiniment petite ; le cosinus de cet angle , par lequel il faut multiplier la pesanteur pour obtenir sa composante, est donc infiniment petit; par conséquent, cette composante est aussi infiniment petite.

ns ce

3^,^ TKAIllï DE MÉCANIQUE.

Oq peut (itendrc ce résultat aux'i)scin.itioas d'i [laint matériel pesant sur uoe courbe f]u<:lcon<niftj ilont le plan oscillateur au point le plus bas B eut vertical ; car daas une étendue lufiaiment petite l:i courbe coïncide avec son cercle osculalcur, el, dans une étendue seulement très petite, elle s'en ecarle très peu; d'où il suit que C étant le centre de ce cercle, la durée des oscillations très petites sur la courbe, de part et d'autre de son point H, est la même que pour un pendule simple dont C serait le point de suspension, et qui aurait pour loni'ueur le rayon de courbure Clî correspondant à ce point B. Les oscillations très petites ont donc une même durée indépendante de leur amplitude , sur toutes les courbes verticales qui ont la même courbure à leur point le plus bas. Lorsque le plau osculatcur en ce point n'est pas vertical, il faut remplacer dans ta valeur de T la gravité g par sa composante dans ce plan, laquelle est égale à ^sin /, eu appelant / l'inclinaison du plan donné sur un plan liorîzontaL

DYNAMIQUE, PRlilMIÈRE PARTIE. 545

on aura donc

turmule qui s'intègre par les règles connues. En intégrant depuis fl=:a jusqu'à 6= — a, pour avoir la durée T d'une oscillation entière, on trouve •

ce qui montre que cette durée est un peu augmentée par la grandeur de l'amplitude.

Il en résulte que si l'on appelle n le nombre des oscillations infiniment petites d'un pendule quelconque dans un temps donné, et n' le nombre des oscillations du même pendule et dans le même temps, quand leur amplitude a est seulement très petite, on aura

car le nombre n' doit diminuer dans le même rapport que la durée de chaque oscillation est augmentée par la grandeur de cette amplitude.

i85. Quoiqu'on ait soin, dans les différens usages du pendule, de faire en sorte que l'amplitude des oscillations soit très petite, ce qui rend toujours suffisante la correction relative à la grandeur de a qu'on vient de déterminer, il est bon , néanmoins, de connaître la série convergente par laquelle on peut exprimer la durée d'une oscillation, quelle que soit son amplitude.

348 TRAITÉ DE MÉCàMlQUË.

Si Ton fkit suGoessivement nsi^ =2, =3, etc., dans cette fonniile, on en dédoit

4 *'*•'=' il

A, = g C A, = Îtt^ 6* A.,

etc.; par conséquent, nous aurons^ généralement,

et quant à la valeur de A«, on aura