TT

En rabatituant les valeurs de A« ^ A« , A. , etc. , dans celle de T, il en rÀnlte

pour la série qu'il s'agissait d'obtenir , et qui est essentiellement convergente , puisque 7 ^ est toujours moindre que l'onité.

Si Ton néglige la quatrième puissance de a, on aura ^ = 7 a ; il faudra réduire la série k ses deux premiers termes , et la valeur de T coïncidera avec celle du numéro précédent.

i86. Considérons actuellement le mouvement du pendule simple dans un milieu i*ésistant. En conservant toutes les notations précédentes , la composante de

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 34g

la pesanteur suivant la tangente MT sera gsinO, à cause que Tangle que cette droite fait avec la verti<^ cale MN est complément de l'angle MCB ou 6. Désignons par V la force accélératrice provenant de la résistance^ laquelle est dirigée en sens contraire de cette composante g sin 0 ^ et appelons s Tare AM ; réquation du mouvement sera ( n"* iSs )

^:=:g8ine-V. (5)

On pourra faire différentes hypothèses ^ur la valeur de V en fonction de la vitesse du mobile ; le plus simple est de la supposer proportionnelle à cette vitesse , de sorte que Ton ait

en désignant par k une vitesse constante et donnée. On a aussi

s ^=i a (a — fl), sin fl =s fl — s + etc. ;

si donc 0 est , comme précédemment , un très petit angle 9 et que l'on néglige sa troisième puissance ^ l'équation (3) deyiendra

Son intégrale complète est

en représentant par c et c' les deux constantes arbi-

3$# IfEAlTÉ DE MfiCANIQUE.

— râ ^ /••■ . .

rmine c et p^pu |^ C9p4îtioiis 0'=» « et ^^^i quand ^ = 0 ; ca qni' downe I *

Par ooii8é{aeDt ^ oi

et 9 en differentiant,

pbiir lés 'forn&[iilés qui JPoiit ii^idnàltte'^ k im îniÉtan^ quelconque y la position du pendule et sa' Vitesse

angiilair^a

A la fin de chaque oscillation , on a ^ r= o; ce qui

a lieu totrtes- Hés fibis que l>ii/^ est un multiple de or.

II s'ensuit donc que les oscillations sont isochrones , conMne dans le yide , et qu'on a

pour la durée d'une oscillation entière; ^ sorte qu'elle est augmentée, par la résistance du milieu , dans le rapport de Tunité à la fraction y.

Quant aux amplitudes des oscillatioiis ^ dàes di* minuent continueUemeiit à cause de l'exponentielle

e ^. En appelant ot. Famplitude de la /z''"' oscillation, c'est-à-dire, en supposant qu'on ait 6 = ( — i)"»,^ quand t = /iT^ il en résultera

a, = ae ^>* ;

ce qui montre que les amplitudes successives forment une progression géométrique décroissante , dont le

r Vga

rapport est e ^ .

Toutefois, ce mouvement oscilla loi i*e suppose que y soit une quantité réelle; et , en effet, c'est ce qui a lieu dans les expériences du pendule, qui n'a jamais une longueur extrêmement considérable, et dont la densité est toujours très grande eu égard à celle de Fair où il se meut : la vitesse k étant proportionnelle au rapport de la première densité à la seconde^ ellp est

très grande par rapport à \ \/^^ /• et , conséquem-

ment, y est une quantité réelle cpi diffère peu de

l'unité. Si, au contraire, on avait 3Ar< Vg^? > serait

imaginaire et de la forme £ V -^ i , en désignant

par C une quantité réelle ; par les formules connues , les sinus et cosinus qui entrent dans l'expression de 6 se changeraient en exponentielles; et cette transformation faite , on verrait que l'angle A ne pourrait de* venir nul qu'après un intervalle de temps infini ; en sorte que le pendule approcherait indéfiniment de la

35» TRAITÉ DE MÉGANIQUE.

verticale CB , sans pouvoir la dépasser * ni * même Fattêindre rigonrensemeot.

187. A mesure que les amplitudes des oscillations diminuent, Texpërience prouve qu'elles approchent de plus en plus de décroître dans Tair en progresrion géométrique: elles s'en écartent peu, par exem|de, lorsque l'angle cl est d'un tiers de degré ou au-dessous. L'expérience montre, de plus, que ce décroissèment est très lent ; ainsi , dans une expérience de Borda, où il avait lieu sensiblement en progression géométrique^ l'amplitude ne se réduisait qu'aux deux tiers environ , après 1800 oscillations. En appliquant l'expression de 01. k cet exemi^e, on aura donc

et, pa^ conséquent,

mais on «

il en résultera donc

(i8oo)^r*(i — >•) ss >"(o,4o546)*; d'oii l'on tire

ou k très peu près > = 1 ; ce qui permet de n^Iiger

la résistance de Tair dans le calcul de la valeur de T.

On peut donc admettre que quand les osciUatioas

t)TNAMiQU£, PREMIÈRE PARTIE. 353

sont très petites , la résistance de Fair est proportionnelle à la vitesse y comme nous venons de le supposer , et que cette r&istance n'influe pas sensiblement sur leur durée. Mais lorsque les amplitudes sont un peu considérables , l'observation montre qu'elles ne décroissent plus en progression géoDiétrique ; en sorte qu'il devient nécessaire de faire une autre hypothèse sur la loi de la résistance.

i88. Supposons cette force proportionnelle an •carré de la vitesse , et prenons

■k étant une vitesse constante et donnée qui sera tonjours très grande ; en sorte que si 1 on fait

fz sera une très petite fraction. A cause de dK^z^^^-acK , lequation (3) deviendra

-^ + |smfl = iA*^, (4)

en la multipliant par 2d& , intégrant et faisant

nous aurons

équation linéinitré dti premier ordre, dont llilt^prale complète est- ■ . ;. • Mfi- -

-7nif.«tti .

TRAITÉ DE KÉCANIQUE.

-il"*!. ^Si BÏn S — . ^ coa fl) ^

c étant la constante arbitraire et e la hase des logarithmetf népériens. Je la dill'éreulîe par rapport à 0^

-et je remets -j^ as lieu de ^', il vient

— = ;tce''''+ ^^^^^^^-±-^

ce qui est une intégrale première sons forme finie de l'équation (4).

Pour déterminer c , je suppose qu'on ait, comme précédemment, -%; =<> quand â = a; il en résultera

„„ 3g[cosa + ftsiamj ~ f^

Par coriséqueotj,on a,ura,, à un instant quelconque, ^

( cos a, — iJL sia a, )5'**' =: (cos a +/x sin a )e"''** ;

et si Ton développe les exponentielles suivant les puissances de ytt , et qu'on néglige le carré de cette fraction très petite, on aura

cosflt, — jEA(sinât| — a,cosflt,)=cosa+yx(sina — acos^e).

La valeur de et, que Ion tirera de cette équation , différera très peu de a ; je fais donc et, rz: ce *- / , et je néglige le carré de «T et le produit /aS" ; il vient

cTsina = 2^(sina -— a cos a); ea sorte que Ton aura