SID

«, = « r^ ( siu a — « cos « ) ,

pour la grandeur de 6 f abstractiou faite du signe , à la fin de la première oscillation.

Ce résultat ne suppose pas les oscillations très pe^ tites; mais si elles sont assez petite» pour qu'on puisse négliger la quatrième puissance de a dans cette valeur de <t, , elle se réduira à

et, =5 a —

Parvenu au point A, , le mobile redescendra , et il continuera ainsi à osciller de part et d'autre du point B y jusqu'à ce que les amplitudes de se^ dscillatioBS soient devenues sensiblement nulles. Si Ton appelle a« Vamplîtade de la seconde demi*oscillatioii ascendante ^ il. est évident qu'elle se dMduira de a, ^ comme on a déduit a« de a ; en sorte que Ton aura

Et de même, si a^, a.^^ etc., sont les amplitudes successives des autres dcmï-oscillatioas asceodaDtes,

«3 = a. — -^ , a^ = Oj — -^ , etc. ; ^

ce qui montre qu'elles ne de'croltront plus en pro-^ grcsston géome'trique , comme dans le cas de la résistance proportionnelle à la vitesse.

189. Pour déterminer le temps qui répond à uo angle â , il faudra intégrer la valeur de dt tirée de 1 equatioa (5) ; ce qui sera toujours possible par la méthode des quadratures , quand les valeni'S numériques de or, jW , 6, serout donne'es. Mais dans le cas des petites oscillations, on peut obtenir, en série con' vergente , la valeur de G en fonction det, et réciproquement.

Je supposerai toajoars la vitesse initiale du mobile égale à zéro ; la valeur de 8 à un instant quelconque»

Dcr les inconnues 61 ^ 6^ ; 63 , etc. De plus , pour qu'on

ait 6 = â( et ^ = o, quand ^ = o et quel que soit a., il faudra que les valeurs initiales de 0. , Oj ; etc. , ^ , ~ ^ etc. , soient toutes nulles , et que celles de

fl, et -^ soient l'unité et zéro ; et c'est d'après ces con-*

ditions qu'on déterminera les constantes arbitraires qui seront contenues dans les intégrales complètes de cette suite d'équations. De cette manière ^ on calculera autant de- termes que l'on voudra de la série précédente. Nous bornerons l'approximation au carré de â(, et nous négligerons le cube et les puissances supérieures de cette quantité.

Alors ; on a simplement

sinS

'fi.,

df"

et en substituant ces valeurs dans l'équation (4) , et égalant les coefficiens de a et de ol* dans ses deux membres, il vient

^ ^^ fl — 1 a ^ TF + 2^^— If^ IF-

En intégrant la première de ces deux équations, et déterminant les deux constantes arbitraires , de sorte