fcos(v^ + i|t + ^Atcosa//f

pour son intégrale assujettie aux conditions â,= ^ = 0 , quaud i= o.

-aA

Au moyen de ces exjHïssions de 6, et fi., de 6 dei-ient S]

celle

par 2sin/ ^ - cos t y- , réquatîon i^ =o, qui à lifeu à la fîu de chaque oscilladôD, prendra la forme

L'angle et étant très petit, le premier facteur ne,

peut être nul ; le second est zéro toutes les fois que'

ty- est un multiplie de ^. Il s'ensuit donc que rin*%

tervalle de temps qui s'écoule entre deux intèsses^ nulles et consécutives, -ou la dvrée T-d'iitie osoillation entière, est

en sorte que la résistance de l'air, proportionnelle au carré de la vitesse, n'influe aucunement sur cette' durée.

Cependant, elle augmente le temps que le mobile! emploie à atteindre le point B. En effet, en le désignant par ^, et faisant 0 = o^ on a

La plus petite valeur de t W^ qui satisfasse à cette équation diffère très peu de ^ '^k*; soit donc

en négligeant lé carré de S" et lé produit «tcT, ôh'âùrà

Oé*

36o TRAITÉ DE MÉCANrQDBr- '^ ^'I

et, par conséquent, ^\ 4.

La résistance de l'air augmente donc la durée de la première demï-osclllalion descendante, dans le rapport de 1 + 5- à l'unité ; et puisqu'elle n'influe pas sur la durée de l'oscillation entière, il faut qu'elle diminue, dans le même rapport, la durée de la demioscillatïon ascendante.

Eu substituant cette valeui' de t' dans celle de v^ et négllgeaut le cube de a, il vient

d'où l'on conclut que la vitesse acquise au point Iç plus bas est diminuée par la résistance de l'air, dans

le rapport de i — ^ * l'unité.

Si l'on désigne par — a, la valeur de 9 quî a lieu

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 36i

fi soit déterminé pour chaque milieu en particulier. Dans le cas de a très petite il est inutile d'examiner l'hypothèse d'une résistance proportionnelle au cube ou à une puissance supérieure de la vitesse ; car il n'en pourrait résulter^ dans les valeurs de 8 et Vf que des termes dépendans des puissances de a supérieures au carré ^ que l'on a regardés comme négligeables dans les calculs précédens. En rapprochant ce qu'on vient de trouver de ce qui a été dit dans le n^ 187^ ou en conclut donc que la résistance de Tair n'influe pas sur la durée des très petites oscillations du pendule , pour lesquelles on néglige la correction relative à la grandeur de l'amplitude (n"" 184)* Quand on tient compte de celte correction, la résistance a une petite influence, à cause qu'elle fait varier les amplitudes pendant la durée du mouvement.

191. Il ne suit pas de là que la durée des oscillations d'un corps pesant , quelque petite qu'on la suppose y soit la même dans l'air (jue dans le vide ; car ce fluide , par la pression qu'il exerce sur le mobile , augmente cette durée en diminuant la pesanteur. D'abord, on sait par l'expérience, et nous démontrerons dans V Hydrostatique^ qu'un corps en repos , plongé dans un fluide, y perd une partie de son poids, égale au poids du fluide dont il occupe la placé. Ainsi, P étant* le poids de Ce corps dans le vide , P' son poids dans l*air. Il le poids d'un volume d'air égal à celui du corps, on a

En appelant f le rapport de la densité de l'air à celle

36a TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

du corps, g la gravité dans le vide, g' ce que celle force

devieDtdaos l'air, et m la masse du corps, oa aaoasi

n = Pf, P = nig, P' = mg'i on aura donc

s' = g(' — P)- Or, si l'on désigne par T et T' les durées des petîtâ oscillations d'un méine pendule qui répondent aux deux forces accélératrices g et g', on ;

et , par conséquent ,

ce

ux

Soit aussi a' la longueur du pendule soumis à la gravité g', qui fait ses oscillations dans le même temps que le pendule soumis à la gravité g et dont la longueur est a ; il faudra qu'on ait

De plus y M. Bessel a fait voir^ par rexpérience^ que la perte de poids qu'un même corps éprouve dans l'air n'est pas la méme^ quand il est en repos et lorsqu'il a un mouvement oscillatoire. Elle augmente dans le second cas; et il en résulte qu'il faut, dans les formules précédentes, multiplier p par un facteur f plus gi*and que lunité , et dépendant de la forme du mobile. Je suis parvenu à ce même résultat dans un Mémoire sur les Mouifemens simultanés d'un pendule et de F air environnant (*) ; et , d'après mon analyse, on 2if=:z\ quand le pendule consiste, comme celui de Borda , en une sphère suspendue à l'extrémité d'un fil très mince^ dont la longueur est très considérable par rapport au diamètre de cette sphère; en sorte qu'alors il faut augmenter de moitié la correction relative à la densité de l'air, que l'on faisait subir, avant l'observation de M. Bessel, à la durée des petites oscillations et à la longueur du pendule simple. Dans tous les cas, le coefHcienty*est toujours indépendant de la densité du pendule, ainsi que de la densité et de la nature du fluide dans le* quel il oscille, de manière qu'on peut toujours le déterminer par l'expérience, en comparant les durées des oscillations de deux pendules de même forme et de densités différentes, dans un même fluide, ou bien d'un même pendule dans deux fluides différens, tels que l'air et l'eau, par exemple.

192. Maintenant, soit n le nombre des oscillations infiniment petites qu'un pendule quelconque

I > I ■■■llll ■■■■l«l«M ■■■ ■

(^) Mémoires de V Académie des Scf'tnces, tome XI.

3(S4 TRAITÉ DE UTÉCABIQUR.

ferait dans le vide pendant un temps donné t. Four déduire ce nombre, par la règle du u' 184, de celui des oscillations très petites qui est donné par l'observation , et afin d'avoir égard à la variation des amplitudes pendant ce temps t, ou a coutume de prendre pour l'angle a la moyenne des amplitudes extrêmes qui sont aussi données par l' observation . Cela étant, la durée T d'une oscillation infinimeat petite de ce pendule sera

et l'erreur que l'on pourra commettre sur la mesure du temps T aura d'autant raolus d'influence sur cette valeur de T, que le nombre n sera plus considérable. D'après la forme et les dimensions du corps oscillant, on déterminera, par la formule (fui sera donnée dans un autre cbapitre, la longueur du pendule simple , dont le mouvement est le même que celui de ce corps; on réduira cette longueur, comme on vient de l'expliquer tout a Tlieurc, â ce qu'elle

de la teire , la mesure de la pesanteur, ou la yitesse g que les corps pesaos acquièrent en tombant verticalement dans le vide, pendant une unité de temps. D'après Texpérience faite par Borda , à l'Observatoire de Paris, avec un pendule d'environ 2 mètres de longueur, on a

en prenant la seconde pour unité; et Ton en conclut

en ce lieu de la terre, c'est-à-dire, à une latitude de 48^5o'i4".

M. Bessel ayant fait osciller successivement des corps de toutes sortes de matières, tels qtie des métaux, de l'ivoire, du mairbre, des pierres météoriques , etc. , a constamment trouvé des valeurs de g sensiblement égales; les plus grandes différences, de part et d'autre de la valeur moyetf né, s*élevan€ à peine à un cent-millième de cette valeur, et pouvant être attribuées aux erreurs inévitables de l'observation. Il ne peut donc rester aucun doute sur la parfaite égalité de l'attraction exercée^ par, la terre sur tou$ les corps, ^^fUfiUe cpi!êa soit la n|ituve,qtti sont situés en un ménniç lieu de sa wrffoej; ear tejtte égalité résulte de celle deavalwra dé! la. pesanteur g , puisque cette force est l'excès de l'attraction ter* restre sur la composante verticale deJa force cca^ trifuge, commune à tous ces corps.

195. En considérant là surface de la terre comme le prolongement du niv«au des mers en équiUbre^

3fi6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

on démontre, dans la Mécaniqiw céleste, que U variation, à cette surface, de la longueur du pendule simple qui fait chaque oscillation dans une nnité de temps, est proportionnelle au cosinus du double de la latitude ; en sorte qu'en désignant par A celle longueur en un lieu dont la latitude est -^ , on doît avoir

A = Z(i — acosa^); {h)

/ et o) étant des constantes déterminées par t'obser- Tation. On démontre aussi que le cociUdeat » est lié à l'aplatissement du sphéroïde terrestre par l'équation

dans laquelle ou appelle iT cet apUtîssenient , de sorte que le rayon de l'Equateur et celui du pf»le soient entre eux comme i + tT el l'unité, et ou Ton désigne par /' le rapport de la force centrifuge à l« pe-santeur, qui a lieu à l'équateur, et dont la valeur est (n" 177 )

tante l est la valeur de A correspondante à 4 =^5 éfi""; elle diflere peu de celle qui répond à la latitude de Paris; et^ d après celle-ci, on a

o°,993855 = Z [i + o,oo2588-sin (7° 40' aS'O] ;

d'où l'on tire

Si l'on fait w = i et r = i dans la formule {a) ; que l'on y mette successivement Z et A à la place de a , et qu'on désigne par ptt^ les valeurs correspondantes de g, on aura

on aura donc

et , à une latitude quelconque ,

^ =: p(i — o,oo2588 cosa^)' En observant que

cos 2>[/ =s 2 cos* 4 — I ,

on voit que la diminution de la pesjs^qteur , en allant 4u pôle à l'équateur, sera proportionnelle au carré du cosinus de la latitude ^ contbrmémenl à l'énoucé du n** 178.

En transportant un même pendule en différens lieux de la terre, on voit, par l'équation (a), que les nombres n de ses oscillations, dans un même temps r, varieront ^proportionnellement à là racine carrée de la gravité. Ainsi, par exemple, une horloge réglée,

il Paris, sur le mouvement diurne de la terre, et transportée ensuile à lecjualeur, retardera sur ce mouvement. En appelant n et n' les nombres des oscillations de son pendule en un jour sidéral dans ces deux lieux de la terre , on aura

j + o,ooa588 siu (7* 4^^l8^ et , par conséquent ,

en sorte que le retard sera d'environ 137 secondes en a4 heures. C est l'observation de ce retard qni a mis en évidence, pour la première fois, la variation àOum la pesanteur à la sarface de la terre. J^M

g II. Mouwment sur la cycloîde.

i()j. Soit ABC(fîg. 46) la trajectoire d'un point matériel pesant, dont le plan est vertical. Sopposoiu que ce mobile parle du point quelconque D, saos vitesse initiale, et qu'il soit eo M au bout du temps <;

di

et si Ton fait

EB = A, PB = j:=â — z,

il ea résultera

quelle que soit la courbe donnée.

Cette courbe étante par hypothèse, une cycloide, on aura (n* 75)

en désignant par a le diamètre BF de son cercle générateur. On aura donc

dx

et, en intégrant,

<y/M = arc(cos = 2f Il*):

on n'ajoute pas de constante arbitraire, afin qu'on ait ^ = o à Torigine du mouvement, ou quand x = A. Si Ton appelle t' le temps que le mobile emploie à atteindre le point B qui répond à j: s= o, on aura

t' i/^ = arc (cos = — i) = ît, et y par conséquent,

V lïg 1. a4

Ce temps est, connue on voit, indépendant de la hauteur h du point de départ D du mobile, au-dessus du point le plus bas B; en sorte que cette propriété, qui a lieu par approximation dans toutes les courbes pour une hauteur h très petite , est rigoureusement vraie dans la cycloïde, quelle que soit cette hauteur, toujours moindre que a ou BF. Il en résulte que tous les mobiles, partis en même temps de difTérens points de la cjcloïde, arriveront en même temps à son point le plus bas.

On aura tt Kf — pour le temps d'une oscillation entière de part et d'autre du point B; or, on voit que ce temps est celui des oscillations très petites du pen^dule dont la longueur 2a est le rayon de courbure de la cycloide en ce point ( n^ 72) ; ce qui s'accorde avec le résultat du n* i83, relatif à la durée des petites oscillations sur une courbe quelconque, laquelle durée est la même , dans le cas de la cycloïde , que celles des oscillations d'une amplitude quelconque.

195. Le temps que le mobile emploie à parcourir lare DB de la cycloïde est encore indépendant de la longueur de cet arc, quand le mouvement a lieu dans un milieu résistant, et que la résistance est supposée proportionnelle à la première puissance de la vitesse.

En efïet, représentons cette force par Ç- , comme dans le n* 186; la composante de la pesanteur suivant la tangente MT est g-j-f en observant que -jcst le cosinus de l'angle TMN que fait cette droite

avec la verticale MN ; la force qui agit au point M , et qui tend à diminuer l'arc BM ou s, sera donc la

différence g^: — gx; par conséquent, on aura pour

réquation du raouvement

d^s /dx if\

d? ~ '^ S \di ~' k) ^ ou , ce qui est la même chose ,

d^ ^ k dt ^ na ^ ^^

à cause de

ds dx ^___ s ^

'S^ ds atf

Je suppose qu'à Forigine du mouvement, ou quand f = 0, la vitesse if soit nulle, et qu'on ait ^ = a; en déterminant les deux constantes arbi* traires d'après ces conditions , et faisant , pour abréger ,

l'intégrale de l'équation précédente sera (n* 186)

Si donc on appelle t' le temps qui répond au point B ou à ^ = o, on aura

équation d'où l'on tirera une valeur de € indépendante de a; ce qu'il s'agissait de trouver.

3;a TRAITÉ DE HÉCAMQUE.

Si la résistance est très petite , ou la vitesse k graodt; , on aura ^ = i , à très peu près; et \'t tion précédenle donnera

V^ag".

ce qui montre que le temps t' est no peu lagmenté par cette résistance.

ig6. Pi-olongeons la droite BF jusqu'ea 0, d'une quantité égale à BF ; ce point 0 sera le centre de la cj^cloïde au point B ; et si l'on trace les deux deraicycloïdes O A et OC , tangentes aux droites 011 et AC , et ayant OF pour diamètre de leur cercle générateur, OA sera la développante de AB, et OC celle de BC (n" 73); par conséquent, un Hl d'une longueur constante OB ou aa, attaché au point 0, et qui s'enveloppera successivement sur les deux courbes OA el OC, tracera par son autre extrémité la cycloïdc ABC.

Cela fournit un moyen de construire on peadulç^

oscillations de ce pendule , dans le vide , sera rigou-* reusementy et constamment indépendante de leur amplitude. Mais ce moyen ne serait susceptible d'auciitie précision dans la pratique; et, d'ailleurs , nsocbronisme des grandes oscillations n'aurait plus lieu daiïS l'air y la résistance de ce fluide n'étant point alors proportionnelle à la simple vitesse.

197. On appelle tautochrone toute courbe sur laquelle un point matériel pesant parvient toujours dans un même temps au point le plus bas , quel que soit le point de cette courbe d'où il est parti. Ainsi , dans le vide, la cycloïde est une courbe tautochrone ; et y de plus , on va voir qu'elle est alors la seule courbe de cette espèce.

Si Ton appelle t' le temps que le mobile emploie à aller , sans vitesse initiale, du point D au point le plus bas B , sur une courbe quelconque ADB , la

valeur de tf^2g sera donnée par l'intégrale de la formule (i) , prise depuis x = A jusqu'à x=:o, ou , ce qui est la même chose, depuis a?=o jusqu'à a:=hf en changeant le signe de cette formule ; on aura donc

et pour trouver la courbe tautochrone , il s'agit de déterminer s en fonction de x, de manière que cette

valeur de tf s/^g soit indépendante de h.

Or y je suppose cette fonction inconnue dévelop* pée suivant les puissances ascendantes de Jtr , de sor te qu on ait

374 TRAITÉ DE MÉCAHIQUE.

v = A-r" + Rr* 4- Cx7 4- etc.;

A, B, C, etc., a, €, j-, etc., étant des coefliciens et des exposans indéterminés. Comme l'abscisse x et l'arc* ont leur origine au même point B, on devra avoir en même temps jc = o et i = o; il faut donc que tous les exposans a., S, y, etc., soient positifs, et qu'aucun d'eux ne soit zéro. On voit aussi, à priori, que le plus petit d'entre eux devra être moindre que l'unité ; car le point B étant, par hypothèse, le plus bas de la courbe demandée, la tangente y est horizontalu ou perpendiculaire à l'axe des X ; ce qui exige qu'on ait ■~ = iXi , quand X^O.

En prenant la différentielle de cette série, et la substituant à la place de ds dans la formule précédente , il vient

+elc.

DYNAMIQUE , PREMIÈRE PARTIE. SyS

Il est important d'observer qu'aucune de ces intégrales A', B% Cf, etc., ne peut être nulle; car les valeurs des difTe'rentielles dont elles sont les sommes ( n^ 1 3) ne changent pas de signe entre les limites des inté-^ grations : ces valeurs sont toutes positives , et par conséquent aussi celles des intégrales.

Maintenant, il est évident que la valeur de ^ ne peut être indépendante de h, k moins que tous les termes de la série précédente ne soient nuls , excepté celui dans lequel lexposant de h est zéro, ou qui

répond à un des exposans et , € , y, etc. , égal à -. Supposons que ce terme soit le premier, ou qu^on

ait £( =-. Pour que le second terme disparaisse, il

faudra que le produit ^B' soit nul; ce qui exige que B soit zéro, puisque f et B' ne le sont pas. On verra de même que les autres coefficiens C, D , etc. , sont aussi égaux à zéro; de sorte que l'équation dç la tautochrone se réduit à celle-ci :

s = Ax * , ou ^* = A^oc,

qui appartient à une cycloïde, dont la base est horizontale et dont le sommet est au point B que le mobile atteint toujours dans le même temps.

En désignant par a le diamètre du cercle généra-* teur, on aura A^ = 4^, et par conséquent

A cause de a 3= ^, on a d'ailleurs

, ri dx'

V xg'

comme dans le n" 194-

198. C'est encore la cydoïde que l'on tronv? on cberche la hrachystochrone dans le vide, c'est-àdire, la courbe AMB (fig. 4?) qu'un point matériel pesant doit suivre pour aller dans le temps le plus court, sans vitesse initiale, du point donné A au point fi aussi donné.

Pour déterminer cette courbe, soient x,j, z, les trois coordonnées rectangulaires du point M où se trouve le mobile au bout du temps t; soit aussi s l'arc AM qu'il a parcouru. En supposant que l'axe des X soit vertical et dirigé dans le sens de la pesanteur, et désignant par et la valeur de x au point A , la vitesse -7- , acquise en M , sera la vitesse due à la bau-

leur X — a.; en représentant la gravité par g, ou aura donc

le temps que le mobile emploiera à aller do point A au point B, nous aurons

J m Y X — ce

Ainsi, il s*agira de déterminer la courbe pour laquelle cette intégrale est un minimum^ mais, pour plus de généralité, je considérerai Tintégrale

U = f^^ Tiudx ,

dans laquelle X est une fonction donnée de x; ce qui nous servira , par la suite , à résoudre un autre problème du même genre : dans celui dont il s'agit

maintenant, on prendra Çx — «)" •^ pour X.

199. Désignons par i une quantité constante et infiniment petite, et par jy et ifz deux fonctions arbitraires de ûOf assujetties seulement à la condition d'être nulles pour jc = « et pour x = €, et de ne pas devenir infinies pour lès valeurs intermédiaires de X. Soient U' et u' ce que deviennent U et m lorsqu'on y met j- -f- /// et z + ij^z à la place de ^ et z^ de sorte qu'on ait

V'=:f^Xu'dx;

intégrale qui répondra à une autre courbe AM'B, passant, comme la courbe demandée AMB, par les points A et B, ets'écartant infiniment peu de celle-ci. Nous aurons aussi

U' — U == //X(tt' — u)dx;

et, d'après la propriété de la courbe AMB, il faudra que cette différence U' — U soit positive , quelles que soient les valeurs de jy et eTz , et quelque signe qu'on donne à i. Or, en développant la différence li — u suivant les puissances de i, et désignant par iSu le premier terme de son développement, le premier

terme de celui de U' — U sera il XJ'udx; d'où l'on conclut qu'on devra avoir

1 ILS'udx = 0, (a)

sans quoi la différence U' — U changerait de signe en même temps que i.

Cette condition est commune au nunimum et au maximum de 11. Quand elle sera remplie,, la différence U' — - U sera , en général , infiniment petite du second ordre ; elle aura le même signe que le coefficient de î* dans son développement; par conséquent, il y aura maximum ou minimum^ selon que ce coefficient sera négatif ou positif. Mais, comme il est évident que le temps t^ n'est pas susceptible d'un maximum^ ce coefficient sera certainement positif dans le problème de la brachjrstochrone , et il suffira de satisfaire à la condition exprimée par l'équation (a).

La quantité iSu n'est autre chose que la différentielle de u , prise par rapport à ^ et z , et dans laquelle leui's accroissemens soHt représentés par iS'jr et iS'z. En supprimant le facteur 1, commun à i<f w et à sa valeur, on aura donc

« I dy diy , 1 dz d^z

u dv dx u dx dx '

eo sorte que Féquation (a) deviendra

J g, u dx dx J ti u dx dx

Mais en intégrant par partie, et observant que les quantités jy et S'z sont nulles, par hypothèse^ aux deux b'mites :r = a et a: == ^, on a

J 0, u dx dx mJ ^ «^ •/'

ce qui change Féquation précédente en celle-ci :

Or, jy et S'z étant des fonctions arbitraires de a:, cette intégrale ne peut être nulle, à moins que la quantité comprise sous le signe /* ne le soit ellemême; par conséquent, on aura

200. Si la courbe demandée AMB et la courbe quelconque AM'B doivent être tracées sur une surface donnée dont l'équation soit L = o , il faudra que les valeurs de^ et z en fonctions de x, qu'il s'agit de déterminer, et ces valeurs augmentées de iSy et iS'z , satisfassent successivement à cette équation ; d'où Ton

38o conclut

au moyen de quot l'on éliminera, de l'équatioa (6), l'une des deux quantités Jy et /s; l'autre s'en ira en même lemps, et l'on aura

dz dx dy dx

Celte deruicre équation et L = o seront, dans ce cas , les deux équations de la courbe demandée , et pourront servir, par exemple , à déterminer la courbe de la plus vite descente sur une surface donnée.

Si, au contraire, le minimum de U doit avoir lieu entre toutes les courbes qui aboutissent aux points A et B, et ne sont assujetties à se trouver sur aucune surface particulière, les quantilés jy et J'z seroul arbitraires et indépendantes entre elles. Il faudra donc que leurs coeŒciens soient séparément nuls dans l'en nation fli\ . ouï se décnmnnsf^ra aîn^LÎ en

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 38i

et, par conséquent,

,^ dz

dx dx

Intégrant de nouveau, et désignant par y une troisième constante arbitraire , il vient

a' y —. az = y;

ce qui montre que la courbe demandée sera plane et comprise dans un plan perpendiculaire k celui des j- et z. Pour simplifier, je prends le plan de cette courbe pour celui des xetj'; on aura alors

et l'on aura seulement à considérer la première équation (c), qui deviendra

d'où Ton déduit

Il ne restera donc plus qu'à intégrer cette formule, ce qui dépendra de la forme de la fonction X, et ensuite à déterminer a et là nouvelle constante arbitraire, introduite par cette intégration, d*après la condition que la courbe demandée passe par les deux points donnés A et B.-

201. Avant d'aller plus loin, soit c une constante quelconque, et supposons qu'on mette X + c à la place de X dans les formules précédentes, L'inté-

38a TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

grale U deviendra

et la valeur de y, qi ne'e par l'équatioD

la i-end un minimum., sera don*

l/tX + O'-"' Or, cette somme d'intégrales que U représente étanl un minimum, en considérant toutes les courbes qui aboutlsseot aux points A et B, il est évident que U première intégrale '

sera ud minimum, en considérant seulement , parmi toutes ces courbes, celles qui répondent à une même valeur de la seconde intégrale.

Cette remarque fort simple permet d'étendre Immédiatement aux problèmes de maximum ou de minimum relatif, les solutions des problèmes de maximum ou de minimum absolu; nous en verrons une

condition a laquelle on satisfera au moyen de la constante indéterminée c, qu'on a introduite dans la formule (e).

202. Appliquons actuellement la formule {d) à la courbe de la plus vite descente.

A cause de

on aura alors

(x — et) dix

dr =

^ a{x — «e) — (x — et)*

en mettant — =. à la place de a. Or, cette équation

différentielle est celle d'une cycloïde (n* 72 ) dont la base est horizontale et passe par le point de départ A du mobile, et dont le cercle générateur a a pour dia-mètre; ce qu'il s'agissait de trouver.

En intégrant, on a

j.-^'^a.arc(cos=?=^)-V/<x-«; - (x-e)-;

(£ étant la constante arbitraire qui représente la valeur de y correspondante à x = «• Si Ton désigne par G celle qui répond à x=z€, on aura

Les coordonnées a et a% € et C\ des points A et B, sont données ; cette dernière équation déterminera la constante a; et la valeur précédente de^ ne renfermera plus rien d'inconnu.

Au moyen de la valeur de (fy, on a

TRAITÉ DE HiCANIQUE.

on aura donc {n" 198) et, par conséquent,

— aC + aa"

pour le temps le plas court que le mobile puisse employer à passer du point A au point B.

Si ces deux points sont situés dans une même vet^ ticale, on aura Q' = a'; condition à laquelle on satisfera en prenant a = «> ; car on a

arc ( cos = I = arc [ sin = — • — ^ • — i '- 1 ;

et , dans le cas de a = 00 , cet arc peut être remplacé par son sinus, ce qui réduit à zéro la valeur précédente de €' — a'. En même temps, la valeur de r se

cente étant un problème de pure Gurioftité, je me suis borné à en considérer le cas le plus simple , celui où le mouvement a lieu dans le yide^ et où les points extrêmes sont donnés. Si ces points A et B ne sont pas fixes et donnés , mais qu'ils soient seulement assujettis à se trouver sur des courbes données DAE et FBGy ou sur des surfaces aussi données , la brachystochrone , dans le vide, sera encore une cycloïde, etf d'après les règles du calcul des variations^ on pourra déterminer, dans fous les cas, les coordonnées de ces deux points. Dans un milieu résistant , cette ligne sera une autre courbe , dont on obtient , par les règles de ce calcul, Téquation différentielle, dépendante de la loi de la résistance par rapport k la vitesse du mobile. Pour tout ce qui concerne le calcul des variations, je renverrai au Mémoire sur ce sujet, que j ai inséré dans le XU* volume de l'Aca-* demie des Sciences.

§ III. Mouvement sur une surface donnée,

:2o5. Pour donner un exemple du mouvement d'un point matériel sur une surface donnée, je reprends le pendule simple du n* 179; mais je suppose qu'après l'avoir écarté de la verticale CB (fig. 45), et l'avoir transporté en CA, on lui imprime une vitesse qui ne soit pas dirigée dans le plan vertical ACB. Le pendule sortira alors de ce plan , et le point matériel qui le termine se mouvra sur la surface d'une sphère décrite du point C comme centre, avec un rayon égal à la longueur ^ de ce pendule. La

percussion qui sera exercée sur ce mobile, à l'origine du mouvement, se dccomposcra ea deux forces, l'une diriyce suivant AC ou suivant soq prolougeraetit, qui sera dtitruite par la résislaoce du poiot fixe C, l'autre perpendiculaire à AC, qui produira la vitesse initiale du pendule, que je représenterai par k. Je supposerai que le luouvcmeut a lieu dans le vide; en sorte que la gravité soit la seule force accélératiicc donnée qui agisse sur le mobile.

Cela posé, au bout du temps t, soit CM la position du pLtiduie: etdésignoos par oc , jr, z, les coordouncL's rectangulaires du point M. Soient aussi m la niasse du mobile, et ;;iN la tension inconnue du fil CM, dirigée suivant son prolongement. En prenant le point C pour l'origine des coordonnées ar , y, z, les composantes de la tbrce accélératrice N suivant leurs prolongemens seront

qui s'accordent avec les équations (3) du n® i5i. On les réduira à deux par rëlimination de Tinconnue N; et en j joignant l'équation de la sphère , savoir^

on aura les trois équations qui devront servir à dé^ terminer x^y^ z, en fonctions de t.

ao4* J'ajoute les équations (i)^ après les avoir multipliées par x, jr, z; il vient

xd^x +jrdy' + zd*z

de

+ Nfl — gz = o.

En diflférentiant Téquation de la sphère^ une première fois, on a

" xdx + ydy + zdz == o ^ (2)

et y une seconde fois^

xd^x H- jdy 4- zd^z = — dx^ — dj^ — cfe'.

Si donc on représente par c la vitesse du mobile au bout du temps ^^ de sorte qu'on ait

ébd^J^ dj^+ dz^

d^ il en résultera

et, en effet, la tension mN doit être la somme

de la force centrifuge — et de la composante — ^

du poids du mobile suivant le prolongement du rayon CM.

J'ajoute aussi les équations (i), après les avoir

multipliées par dx , dj, dz; l'iaconaue N disparaît

en vertu de l'équatioD (2), et l'on a

dxd-x -f- drd'r -t- dtd'z , j^ = ëdz.

En intégrant et désigoant par b la constante arbitraire , on aura donc

^t^i-^— = aj2 + *. (5)

La valeur initiale du premier membre est k' ; par conséquent, si l'on désigne pai' y celle de s, on aura

el, à un instant quelconque,

,.- = <- + 3g(= - y); ce que nons savions déjà.

Enfin, je multiplie la seconde équation (ij par or.

mière a déjà poar intégrale 1 équation de la sphère. On peut séparer les variables, et réduire la question aux quadratures par le calcul suivant.

jo5. L'équation (a) donne

xdx + jrdjr = — zdz;

en élevant au carré ses deux membres et ceux de Féquation (4)^ et ajoutant ensuite les équations résultantes, il vient

Je mets «• — 2' au lieu de x^ + J^> et j'élimine dx^ + dj^ au moyen de Téquation (5); il en résulte

(rt« z^) [(agz -I- b) dr — &•] = z*dz^ + c*dt^ ; d'où l'on tire

dt = ^ (5)

Désignons par r le rayon vecteur de la projection du mobile sur le plan horizontal des x et ^ , et par 4 1 angle que fait ce rayon avec Taxe des x ; nous aurons

à causé de r^ = a* — z", Féquation (4) deviendra

(a* — z*)rf4/ =z3 cdt', et en y mettant pour dt sa valeur précédente , on

en déduira

TRAITÉ DE MÉCANIQnE.

(a- - =') K (a- — z'i {-Kgz + A) Les intégrales de ces expressions de dt et d-^ feront connaître les expressions i\e t e\ -^ en fondions de r; elles se réduiront toujours aux fonctions elliptiques, et ne pourront s'obtenir sous forme finie que quand la quantité du troisième degré par rapport à z, renfermée sous le radical , aura un facteur double. La valeur de %}- et l'équation de la sphère détermineront la trajectoire du mobile; la valeur de ( en fonction de z, ou de s en fonction de t, fera ensuite connaître la position du mobile, à chaque instant, sur cette courbe,

La constante b est connue d'après les valeurs données de k et y. On déterminera les constantes arbitraires qui seront introduites par les inlcgrationsdedlf et d^, d'après les condi lions ï=;o et >|^=ro, quand z = y , dont la seconde suppose qu'on place l'axe des ûc dans le plan vertical ACB, d'où part le pen-.

dynamique; première partie. 391

ou bien^ en vertu de- l'érfthifîô;! (4)^^ '

donc 9 si l'on appelle € langle que la vitesse initiale k fait avec la perpendiculaire au* plan ÂCB^ de sorte qu'on ait u^c=skco^4 à l'oHgiïie du n^ouv6^lent;y il di pesu itéra - ■ • / ... 1 .[.'/.. f . . 1 ^ ^ . . . : , « 1 «

C = k V.a^ — y^ cos €.

Lorsque la vitesse Aîsera nulles on aura jas=pa^ ^ = -— ag^ ^ et y par . conséquent ^ .

ee qui coïncide avec la valeur.de dt du n* i85,.en observant que a — z et a — 5^ sont ce qu'on a appelé ax et a€ dans cette valeur,

2o6. Considérons spécialement le cas ou le pendule a ctc très peu écarté de la verticale CB, et a reçu une très petite vitesse initiale. Supposons cette vitesse horizontale;^ et^ par conséquent^ perpendiculaire au plan ACB, de sorte qu'on ait 6 = 0. Désignons par S une fraction très petite, ^et faisons

k = €\/ga.

Soient aussi « et 0 les angles ÂCB et MCB; en négligeant leurs quatrièmes puissances , on aura

bz= — 2ga -ir ga (ûL* + €^) , c* ^sz ga^et^^;

39» TRAITÉ DE HECADIQUE.

et les formules (5) et (6) deviendrunt

dl = — 1/2 .

l.'angle 4 fera counaltre la posîtioa du plan ver> lical MCB, dans lequel le pcadule se trouve à clinquv instant; il pourra croître indétioimeol. L'angle 6 déterminera, aussi a. chaque instant, la position du pendule dans ce plan variable; on le regardcrii comme une quantité positive , et les positions du pendule, également éloignées des deux eûtes de la verticale CB, répondront à un même angle ô et à des valeurs de ^ qui difTéreront entre elles de i8o'.

D'apris la valeur de -r- , tirée de la première équation (a), on voit que l'angle 6 sera toujours compris entre a. et £. Si l'on a f ;=:«, on aura constainnienl 9 = a; en divisant les équations {a) l'une par l'autre, on a , dans tous les cas , ^r~é^^G

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. SgS

le même que celui d'une double oscillation dans le plan vertical ÂGB. Ainsi , deux pendules de même longueur a, qui partiraient ensemble de la même droite G A , l'un sans vitesse initiale et l'autre avec une vitesse perpendiculaire au plan ACB et égale à a \^ga , reviendraient ensemble à cette droite CA. 207. On peut écrire la valeur dt sous la forme :

Je fais , pour simplifier^

le radical devient db (a* *— ff*) V^i — x*; et il en résulte

dt

^^__ I Ja dx

A cause de 6 = ^ et x= i , quand ^ = o, on tire de là

< = =4= '- y/| arc(cos = x), et, réciproquement,

a: = cos 2t y-'

On aura donc, à un instant quelconque,

e«=^ (*•+€•) +!(«•—€•) cos 3^ \/l;

ce qui montre que le pendule fera dans le plan variable MCB, des oscillations isochrones dont les ex-

trémitës répondront à Q=aet6 = Ç, et dont la dorée sera- îT \/-j ou moilié d'une oscillation dans le plan fixe ACB. ■,

Je substitue cette valeur de 6* dans l'e'quatioQ (b)f en observant que ^

cos 2( y^ = cos'ï \/^ — sia't y^ , il en résulte

■rf+=^i ^ ,. ,

a' cos'l i/| + C- sm'X \/?

tif ; i Cause de 4 ^ o qdand ï = o , on en cbndaC'

a tang -j. ^ C tang ( v/ -■

Cela étant, le moavement du plan MCp ne sera plus uniforme comme dans le cas de a^ Ç; mais on volt que ce plan effectuera successivement les quatre quarts de sa révolution entière , dans des temps égaux entre

eux et au temps - '^\J o» Pendant lequel le pendule fait une oscillation dans ce plan variable. Ou tire de cette dernière équation ' ' '

cos'4 = ,1 ,,.. ., ■- g=.

on a aussi

X* = (a* — z*)cos*4 = a*6*cos^>(/, j* = (ûf* — z*)sin»4 = a*fl*sia»4,

d'après la valeur approchée de z ; donc , à cause de

9* = a* ces» t ^/f + ^* sîn» t \J ^, nous aurons

x^ = rt*a* cos* 4 > ^* = ^*^* sin* 4 ^ e(^ par conséquent,

ce qui fait voir que la trajectoire de la projection du mobile sur le plan horizontal passant par le point C, est une ellipse qui a son centre en ce point, et Tun de ses axes dans le plan ÂGB , d*où part le pendule avec une vitesse perpendiculaire à ce plan.