CHAPITRE VI

EXEMPLES DU MOUVEHEirT D'UN MOBILE ElfTlÈBEMEKT

§ 1". Mouvement êtes projectiles.

208. Dans ce paragraphe, nous nous occupei*onfi pai'ticulièreinent des pi-ojectiles de l'artillerie, qui iioiit lances avec de grandes vitesses, et soumis à U pesanteur et à la résistance de l'air.

Faisons d'abord abstraction de celte res'istaace , et considérons un point matériel pesant qui part du point O ( lïg. 43 ), avec une vitesse a ditigëe suivant la droite OA. It est évident que le mobile ne sortira

et a siu a suivant Taxe Qjr : l'angle a serait négatif^ si la droite OÂ était située aunlessous de Ox.

D après ce qu'on a vu dans le n^ 1 4^ , les mouyemens des projections du mobile sur les deux axes Ox et Oy seront indépendans Tun de l'autre; le mouyement de sa projection horizontale sera donc uniforme et dû à la vitesse a cos a , et celui de sa projection verticale sera dû à la vitesse initiale a sin a et à la force constante g agissant en sens contraire de cette vitesse; par conséquent , on aura

X z= ta cos a , 7 = ^ a sin a — 7 g^ ;

et si l'on élimine t , et qu'on suppose la vitesse a due à

une hauteur h, de sorte qu'on ait a = \/2gh , il en résultera

Y =1 X tang a — 7^ — r- >

pour l'équation de la trajectoire.

Cette courbe est donc une parabole qui a son grand axe vertical ; son sommet , déterminé par l'équation

^ = o, répond à

X = sA cos ce sin A , y z=i h sin* a ;

et elle rencontre l'axe Ox en un second point B , tel qu'en appelant b la distance OB , on a

b ssz 4A sin a cos £t r= 2A sin 2a.

Cette distance b est ce qu'on appelle Yamplitude du jet. Dans le vide; son maximum répond^ comme on

voit, à a r= 45", et il est égal à aA, c'est-à-dire,

double de la hauteur due à la vitesse initiale.

En appelant v la vitesse du mobile au bout do temps t, et substituant tes différentielles des valeurs précédentes de x et r dans 1 équation

i) en résulte

di*

■ aagtûna. + g»i

Le temps que le mobile emploie à arriver au point B en décrivant la courbe OCB, est le même que s'il décrivait la droite OB avec la vitesse a ces a; il est

donc

___4fisi

et à cause de h = — , il en résulte ^ï = aa sln a; ^S o '

ce qui donne c* = a*. La vitesse en ce point B est

donc la même qu'au point 0 ; elle est dirigée suivant

la tangente BE, et l'augle de chute £Bx est aussi le

pour déterminer ce. En faisant

tanga = z, cos^ct = ^ ^ ^,,

cette équation devient

/^}iy + g* 4Aez + ^'z* = o;

d'où Ton tire

Cette double valeur de z ou de tang oc nous montre qu'on peut atteindre un but donnée en tirant sous deux directions dififérentes, tant que 4^* surpasse /^hy-^ë^; que ces deux directions se réduisent à une seule, lorsque ces deux quantités sont égales; et qu'on ne peut atteindre le but, sous aucune direction, quand 4^* est moindre que 4^0^ "H ^**

Ainsi , en traçant dans le plan vertical qui passe par la direction initiale du mobile, la parabole dont l'équation est

cette courbe divisera le plan en deux parties , telles que tous les points de la partie extérieure seront garantis de toute atteinte , que ceux de la partie intérieure pourront être atteints de deux manières différentes, et ceux de la ligne de séparation, d'une manière seulement.

:2io. La théorie du mouvement des projectiles

4oO TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

seraÎL donc très simple, si l'on poavaît négliger ta résistance que l'air oppose à leur mouvement: mais dans le cas des grandes vîlesses dont nous nous occupons spécialement, cette force est beaucoup trop considérable pour qu'on en puisse faire abstraction ; elle change entièrement la forme de la trajectoire et les lois du mouvement sur cette courbe, ainsi qu'on va le voir.

Quelles rjue soient la forme et les dîmeustons du projectile, on fera voir, dans un autre chapitre, que son centre de gravité aura le même mouvemeiitqu'un point matériel pesant, dont la masse serait celle du mobile,qiii aurait une vitesse initiale donnée en graadeur et en direction, et auquel on appliquerait eu outre, parallèlement à elles-même^, les forces provenant de la résistance et du frottement de l'air, qui s'excrcen t à la surface de ce corps solide. On verra aussi que la force motrice qui résultera de ces résistances transportées au centre de gravité , pourra quelquefois faire sortir ce point du plan vertical mené pr la dî-

partie MT de la tangente en M. lies cosinus des angles que fera cette droite MT avec des axes menés par le point M suivant les directions des «r et des^ po-

• • dx dy , ,

sitives , seront — ^ ^* "* J ' ^^ appelant m la masse du projectile et g la gravite^ nous aurons donc

d^x R <fx d*y R 4r

pour les équations du mouvement de son centre de gravité.

Je prendrai pour ce projectile une sphère homô^gène ou composée de couches concentriques dont chacune sera homogène ; en appelant D sa densité moyenne et r son rayon ^ on aura alors

4»Dr^ m = ^.

Je supposerai aussi , conformément aux hypothèses généralement admises ^ la force R proportionnelle au carré de la vitesse du centre de gravité ^ à la sur-* face du projectile^ et à la densité de l'air; il en résultera

R ^ fîL*.

m Dr J/»^

p étant cette densité, et n un facteur nuniérique qui devra être déterminé par lexpérience* Cette expression satisfait à la condition de l'homogénéité des

quantités j car — et le rapport de t-j à r sont deux

quantités de la même nature que la gravité g, et lea

facteurs n et — sont des nombres abstraits. Pour

plus de commodité, je ferai

de sorte que - soit ime ligne dont !a

longnenr sera 1

donnée, et que je regarderai comme

constante , en 1

faisant abstraction du changement de densité de la ]

masse d'air que traverse le projectile.