En mettant à la place de -, sa valcor c

les deux équations du mouvement deviennent

d'x , ds dx

L'intégrale de la première est

dx en observant quon a ^ = a ces a.

m point 0 on ^

dx dp

n'eu — "" 8^-

Je diyise cette valeur par le carré de ^ ou de sa valeur précédente; il en résulte

dt ' dt a'cos'flc

En considérant^ et p comme des fonctions de x^ on

4fy ^ dx djr dp dx dp ^

P dt * dt dx' dt • dt ~ dx'^

si donc on fait toujours u* =s 2ghj l'équation précédente deviendra

dx 2A cos* tt '

et ce sera Téquation difTérentielle de la trajectoire. On a identiquement

\/l H- p^dx = ds;

en multipliant membre à membre ces deux dernières équations^ on aura donc

d'où il suit y en intégrant et désignant par y la constante arbitraire ,

Pour déterminer 7, on fera, à la fois, js=so et

4o.î TUAIIÉ Dh MÉLANiyUE.

p = tang a. ; ce qui donne

maïs, pour abréger, je conserverai ^ à la place de cette valeur.

D'après les equatioRs précédentes, on a

rir= — •jhcos'ae~*"dpf dj=pda:, Qdt*:=. — dxdp;

en eliminatit l'exponentielle au moyeu de l'équ*tioa ^3) , nous aurons donc

cdr ;

/ï V^ !+/'•+ logt;'+V^i4-/>')-

^dj= £^

P V 1 +/^+ W.(i>+ V 1 +p')— V \/^dt = ^'^P ,

formules qui ne sont point inicgrables sous fonne finie : dans la dernière, on regardera le radical comme une quantité posilive, parce que l'angle dont p esl

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 4o5

On calculera ces trois valeurs , pour chaque pioûit M, par la méthode des quadratures (n^ i5). De cette manière , on pourra coofitmire la trajectoire par points , et Ton connaîtra le temps t que le mobile emploiera à décrire chaque arc OM, dont k lon^ gueur s sera donnée par r^uatioh (5). Quant à la vitesse du mobile au point M, on aura

et y par conséquent^

cv^ = ^.£(Lf£2 ^^ . (5)

En étendant ces intégrales jusqu'à C0=s:o, on dé^ Terminera l'abscisse et Fordonnée du point C, le plus élevé de la trajectoire. Si l'on donne ensuite à &> des valeurs négatives , on déterminera les points de la branche descendante CBD de la trajectoire. Quand on sera parvenu à une valeur — a! de û), pour laquelle l'ordonnée j de la trajectoire sera nulle , la valeur correspondante de x exprimera l'amplitude du jet OB, qui ne sera plus double de l'abscisse du point C^ comme dans le cas du vide, et dont le maximum j par rapport à a^ répondra à un angle moindre que 4^*" et dépendant de la grandeur de la. vitesse initiale. L'angle aJ ou EBx et la vitesse au point B différeront aussi de a et /z.

Ainsi, toutes les circonstances du mouvement seront connues, et la solution du problème est complète, sauf la longueur des calculs. numériques qu'il faudra exécuter dan^ chaque cas, lorsque les valeurs

an.s lits foi^B

406 TRAITÉ DE MÉCANIQDE,

des ti-oîs constantes h, a-, c, contenues dan.s

mules précédentes, seront données.

2i3. Le mouvement du projectile sur la branche descendante de la trajectoire, approche de plos en plus d'êlre vertical et uniforme.

En effet, soient Jc,, j-,, t,, les valeurs àe j^,j; t, qui répondent au sommet C; Iransportous roâvj gine des coordonnées en ce point, et faisons

iffl

J7 = a:. + JC', J = jr, ~ f, t =i t,

en sorte que x' et y soient l'ahscisse et l'ordonnée du point quelconque M' (iig. 5o)de la branche descendante, rapporlées à l'axe horizontal Cr' et à l'axe Cy qui est dirigé dans le sens de la pesanteur, et que t représente le temps employé à parcourir l'arc CM'. Soit aussi p' la tangente de l'angle M'T'x' que fait la tangente à la courbe en M' avec l'axu Cx'. Nous aurons

ment; mais il n'en sera pas de même à l'égard de a/.Pour de très grandes valeurs de p\ on pourra mettre p' à la

place de V^iH-p'*; et en négligeant 7 + log 2 par rapport à p'% on aura

ou simplement V = />'*, en observant que le logarithme d'une quantité très grande p'% et, à plus forte raison, ^log/)'*, est très petit relativement à cette quantité : on aura donc, pour ces valeurs de p',

dx' = K;

cp* '

en intégrant et désignant par C une quantité constante, et il en résultera

ce qui montre que les valeurs de jc' ne croîtront pas indéfiniment avec celles de p'. Cela étant, soit

Cj o

q sera une ligne de grandeur finie, qu'on pourra calculer par la méthode des quadratures; et si l'on prend sur Cx' une partie CÂ égale à cette ligne, la verticale ÂB menée par ce point sera une asymptote de la partie CD de la trajectoire ; en sorte que le mouvement du projectile sur cette branche descendante, approchera indéfiniment de la direction verticale.

Observons, de plus, que pour les très grandes

4oS TKAITÉ DE HfiCAttIQCE. ■

valeurs de p', les deux dernière» équalions (,J) se réduiront à

yjcgilt = % ;

d'où il résultera

par oonséquenl , le mouvement fiual et vertical dn projectile sera uniforme; ce qu'il s'agissait de démontrer. La vitesse de ce moUTement sera celte qu'on corps pesant acquiert en tombant dans le vide, d'une

hauteur égale à — ; et c'est aussi ce que l'on conclut de la formule (5), en mettant — p' au lieu de p, et considérant ensuite p' comme une très grande quaa*

En faisant, dans la première équation (4),

p ^ tane a , ap = ,

f^ a ' r cos"*'

t, pour abréger.

DYNAMIQUE, PREMIÈRB PARTIE. J^

3 1 4. Soit ON le prolongement de la trajectoite OCD; le point de départ du mobile étant 0, lé mouvement n aura pas lieu sur cette partie de la courbe; mais on peut, néanmoins, désirer d'en connaître la forme. Or, on la construit par points, au moyen des deux premières formules (4), en y donnant a p des valeurs positives et plus grandes que tang a ; et il est aisé de s'assurer qu'elle a aussi une asymptote , mais qui n'est pas verticale, comme celle de la branche descendante*

Pour cela, j'observe que, d'après la valeur de 7 du n"" 3 1 1 ^ il y a toujours un angle S aigu , et > a, qui est tel que p = tangf rend nul le dénominateur commun de ces deux formules, c'est-à-dire, un angle 6 qui satisfait à Téquation

^— tangC V/ « + tang*C— log (tangC-f- \/ 1 -f tang^C) = o. (6)

Cela étant, on voit par la valeur de dp^ tirée de l'une ou l'autre des deux premières équations (4) 9 que Tabscisse x et l'ordonnée jf croissant indéfiniment , abstraction faite du signe , dans cette partie ON de la courbe , la quantité p cesse de croître, lorsqu'elle difiere infiniment peu de tang^; en sorte que p ne peut jamais dépasser ni même atteindre rigoureusement cette valeur />=:tang^; ce qui signifie que la branche de courbe ON a une asymptote qui coupe le prolongement de l'axe Ox sous l'angle S. On déterminera sa distance au point 0 de la manière suivante.

Je mène par le point 0 un axe qui fasse, avec le prolongement de Ojc, un angle égal au complément de €f et qui soit, par conséquent, perpendiculaire à

4io TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

l'asymptote de ON. J'appelle u l'iibscisse d'an point quelconque de la courbe , comptée sur cet aie à partir du point 0; les coordonnées de ce )>oiat, par rapport aux axesOa: et O7, étant toujours a- et f, on aura

w ^ ^ cos S ■

■ X sii) Ç.

En diflérentiant et mettant pour da: et dj^ leors valeurs données par les deux premières équalïODS (4]) il vient

cdu = -

(tangg— j))dp

lea^

formule dans laquelle on donnera à p des val» plus grandes on plus petites que tanga, seloo qu'il s'agira d'un point de la partie ON ou de la partie OM de la courbe. On peut retrancher de son de'oominateur le premier membre de l'équation (G) , multiplié par cus€; et si l'on fait, en outre,

p 1= tang 0) , dp = — ;-

r sera une ligne de grandeur finie, que l'on calculera par la méthode des quadratures, et qui exprimera la valeur de u relative à Tasymptote de ON, c'està-dire, la longueur de la perpendiculaire abaissée du point 0 sur celte droite , qu'il s'agissait de déterminer.

Cette droite asymptotique aura pour équation

^cos^ — orsinff = rj

en sorte que si Ton prend sur le prolongement de Ox un point H tel que Ton ait

OH = r,

Fasymptote de la branche 01^ sera la droite HK,menée par le point H, et faisant avec le prolongement de O^er un angle KHO supplément de C, Les deux asymptotes FGet HK, prolongées au-dessus de Taxe Ox, se rencontreront en un point L , de manière que la courbe entière sera comprise dans l'angle KLG, dont le complément est l'angle C déterminé par l'équation (6).

21 5. Lorsque l'angle de projection AOo: ou et est très petit (fig. 5t), le projectile ne s'élève qu'à une petite hauteur au-dessus de l'axe horizontal Ox , mené par son point de départ. Or, dans ce cas, on peut obtenir, avec une approximation suffisante , l'équation en x e\ jr de la partie OCB de la trajectoire, située au-dessus de Oxj et même on peut étendre cette équation jusqu'à un point D, dont la distance à cet axe n'est pas très considérable.

En effet, dans toute cette partie OCB, ou même OCD de la trajectoire, la tangente à cette courbe sera presque horizontale^i et la quantité p très petite ;

4i9 TKAITÉ DE MÉCAKigUE.

en négligeant le carré de/7, on aura donc

(Is = dx , s ^ j: , et l'équation (a) deviendra

dx dx' aA cob' a

En iutégrant deux fois de suite , et dctermîn. constantes arbitraires de maaière qu'on uit^ = tanga et^ = o, quaad x = o, il vient m

■ tang a

2CX ■ — i)^'

pour 1 équation approchée de la trajectoire , qu'il s'agissait d'obtenir. En développant l'exponentielle qu'elle renferme, réduisant et faisant ensuite r^o, elle devient l'équation exacte de cette courbe dans le vide.

D'après l'équation gdt* = — eùcdp du n' ai a, et la valeur précédente de ^ , on aura ii^i^^^^

sur le teiTein en un point D ; représentons par A Ta** baissement de ce point au-dessous du plan horizontal , meué par le point O» ou la perpendiculaire DQ à Taxe Ox; soient aussi / la distance OQ^ et r le temps employé à aller du point 0 au point D ; nous aurons, à la fois,

et en remplaçant, pour plus de simplicité, cos* a par Tunîtc dans les formules précédentes, il en résultera

8c^h ( A 4- / tang * ) = e^*-»- 2cl

l tang * ) = e^*-»^ ac/^^ r , j

Lors donc que les de.ux constaQte3 A et c seront données , et qu'on aura mesuré Tangle a et Télévation A du point 0 au-dessus Au terrein, ces équations feront connaître la portée horizontale /, et la durée r du trajet du projectile. Réciproquement, quand on connaîtra ee, A ^i, r, par des mesurer directes, ces équations pourront senrir à déterminer le coefficient c de la résistance, et la hauteur h due à la

vitesse initiale. En éliminant A , on a

équation d'où l'on tirera la valeur de c : Tune des deux précédentes donnera ensuite immédiatement la valeur de h.

Il exh\e encore de l'incertitude sur. les grandeurs des portées et desvîtesses initiales;:Di'aprts Lombard, pour un canon de 24 chargé au tiers. dû poids dû. boulet, la vitesse initiale est de \6$ mètres» par se-»

^■4 TRAITÉ "bE MÉCAÏftQCTÉ.

coude; et pour un canon de la, dont la charge est aussi Ife tiers du poids du projectile, cette vitesse s'élève à 4q4 niiïlres. Suivant le même auteur, les portées correspondantes et relatives à X = o, sont 700 mètres dans le premier cas , en supposant *= i" i5'6", et 660 mètre-t dans le second cas , en supposant tt = 1° 5' 5G".

Au lieu du temps t, on pourrait employer a la détermination de h et ^e c, une seconde portée du même canon à une élévation différente au-dessus du terreiii. Ainsi , en supposant que le poids du projectile, celui de la charge et l'angle a. ne soient pas changés, les quantités h et c resteront aussi les mêmes; et si A et / deviennent A' et t, on aura

8c*h ( à' -+- /' tang «) = e"'' — ac/' d'où il résultera

[X + / tang a) (e"'' — ac/' — l)

= (À'4-/'lang«) (e"'— ac; — i), («)

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 4i5

ceptible de précision pour la détermination de c , en supposant bien connu et invariable , Tangle de projection a.

§ II. Mousfement des planètes.

217. Les lois du mouvement des planètes autour du soleil soot connues sous la dénomination de Lois de Kepler^ parce qu elles ont été découvertes par cet astronome , qui les a déduites de l'observation. Elles sont au nombre de trois , dont voici les énoncés :

10. Les planètes se meuvent dans des courbes planes y et leurs rayons vecteurs décrivent ^ autour du centre du soleil ^ des aires proportionnelles au temps.

2!*. Les orbites, c'est-à-dire, les U*ajectoires des planètes j sont des ellipses dont le soleil occupe un des foyers.

3*. Les carrés du temps deis révolutions des pla^ nètes autour du soleil sont entre eux comme les cubes des grands axes de leurs orbites.

Toute leur importance n'avait pas d abord été com* prise ; c-est Nev^on qui en a montté l'usage pour déterminer la force qfai retient chacpie planète danis son orbite, c'est-à-dire, la direction de cette force et les variations de son intensité, soit d'une position à une autre d'une même planète , soit d'une ptanètè à une autre. Ou verra, en effet, dans ce paragraphe, que chacune de ces trois choses est une conséquence nécessaire des trois lois du mouvement planétaire que l'on vient d'énoncer.

4i6 TRAITÉ IIE MÉCANIQUE. ^

Ces lois se rapportent au mouvenienl da contre de gravité de chaque planète; c'est le mouTeiDent dec« point que nous allons considérer; et quand îl sera question de la position uu de la vitesse d'uue plauéte, i! faudra entendre la position ou la vitesse de sou centre de gravité.

ai 8. Soient AMBD ( fig. Sa) l'ellipse décrite par une planète, AB son grand axe, C son centre , 0 el 0' ses deux fojers, 0 celui qui csl occupé par le centre du soleil , B le périhélie ou le potot de l'orbite le plus rapproché de 0 , A l'aphélie ou le point le pins éloigné du soleil.

Au bout du temps i qui sera compté à partir do passage de In planète à soq périhélie, soil M sa position sur l'orbite. Désignons par r son ra^^'On vecteur OM, et par 0 l'angle MOBque l'on appelle, en Astronomie, Vanomalîfi vraie. Le secteur décrit par ce rajon pendant l'instaut (// sera ~ r" c/Û ( n* i56Jj d'après la première loi de Kepler, oQ aura donc

,■•^6= cdt;

et si Ton élimine r^ entre ces deux équations ^ il vient