Je fais
r=Ao-f-A,cos7i^-|-A.cos2w^+. . .-f-A|COsm/-|-etc., fl — /)^=B, sin n^-f-B^sin 2/2^-1-. . .-f-Bisin/nf+etc;
Ao, A, , A«, etc., B,, B«, etc., et généralement A| et B| , étant les coefficiens qu'il s'agit de déterminer. Si i et i' sont deux nombres entiers positifs et dif^ férens , on aura , en effectuant les intégrations ,
/ cos int cos i'nt £? . /if = o ,
/sin int sin i'nt d.nt ^=20;
4as TRAITÉ DE UfiCANIQVB.
et dans le cas de i ^ ^, on trouvera
/ cos' int d .Ttt := -ît,
r- ■ .-. fl
/ sid' int a . nf. =: -TT. -^
Ces dernières formules ne s'appliquent point à 1 = 0; dans ce cas, la première inlégrale est égale à -x, et la seconde à zéro.
Cela étant, je multiplie le développement de r par cosintd.fit, et celui de 6 — nt par sinintd.ni; puis j'intègre depuis nt = o jusqu'à nt =w. Tou-i les termes s'évanouissent, excepté ceux qui ont A| ou B, pour coeOlcieat , et l'on en conclut
A, = - f r cQs int d.nt.
B; = ^ r'(6 — nt)siaintd.nt.
Daus le[cas de 1 = 0, on aura, en particulier,
A„ = - f rd.nt.
rJ
en fonctions de u , tirées des équations (a), (i), (c); à cause de
di l/i — tf' d nt
-y = , -1— =1 — e cos w ,
oa I — c cos u' au '
et parce que i^ = o et m = 'TT répondent à n^ = o et ntz=z^ ^ il en résultera
kiss,^ ( (i — e cos m)* cos (/« — /esintt)^,
B,= ?- / Ivi— e'— (i— ecosw)*! — ^^^^ ^diii
formules qui feront connaître les valeurs numériques des coefEciens A| et B^, soit par la méthode des quadratures y soit par la réduction en séries. Pour cette réduction, on aura, par le théorème de Taylor,
I — — sin'tt+— 37sîn^« — etc. Jcosm
iiesintt ^ sin'w + etc.Jsin/tt;
et il en résultera pour A| et B| des séries d'intégrales relatives h u, dont les valeurs exactes s'bbtiendront toutes, soit immédiatement, soit par des^ formules connues: en sorte que Ton pourra prolonger ces développemens de A| et B, aussi loin qu^on voudra. On pourra même obtenir leurs termes généraux en fonctions de i et de e ; mais ce n'est point ici le lieu d'insister davantage sur ce sujet, qui appartient spécialement à TAatrQWmie.
Relativemient, à i^=:o, oâ' a
4a4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
en tiL- prenant que la moitié de la valeur de A, , c]ui répond à i ^ o : c'est le seul des coefficïens Aq, a, , A,, etc. , B, , B,, etc., doot on pai&se obtenir la valeur exacte.
1-^-i. Si l'on appelle V la vitesse de la planète au bout du temps t, et S' l'angle que fait sa direction avec le prolongement de son rayon vecteur r ou OM, on aura (n" i56)
dr' + r'db' , di
!'■ = — ,; - , V COS d = r 37.
En éliminant clt au moyen de lequation (i), on s
En verlu de 1 équation (a), on a aussi
I 4- '"■'OS fl
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 4!i5
))oiDt se déterminent au moyen de son rayon vecteur. D'après la valeur de c du n* 220^ celle de i^ peut aussi être écrite ainsi :
Ces formules^ jointes à celles des numéros précédens, font connaître complètement le mouvement d'une planète dans le plan de son orbite ; mais quand on veut considérer à la fois les mouvemens de deux ou de plusieurs planètes , il est nécessaire de rapporter la position de chacune d'elles à un autre plan , qui est ordinairement le plan de Vécliptîque ou de l'orbite de la terre.
2ii3. Soient NON' (fig. 55) l'intersection du plan de l'orbite d'une planète avec un plan passant par le centre 0 du soleil , OE une droite menée dans ce second plan , OM' la projection du rayon vecteur OM de la planète sur ce même plan. Désignons par y rinclinaison des deux plans, par <t l'angle NOE, par €ù l'angle BON que fait le rayon vecteur OB aboutissant au périhélie avec la droite ON. Ces trois angles Ay y^ cùy devront être donnés , et ils détermineront le plan de Torbite et la position de l'ellipse dans ce plan. Soient aussi ^ et 4 les angles variables MOM' et M'OE , que fait le rayon vecteur OM avec sa projection OM', et cette projection avec la droite OE, lesquels angles détermineront , à chaque instant , la direction du rayon OM aboutissant à la planète.
Cela posé, considérons l'angle trièdre qui a son sommet au point 0 , et dont les trois arêtes sont OM, OM', ON. L'anomalie vraie, ou l'angle MOB, étant
toujours 9, les trois faces de cet angle Iricdrc seront
MON = MOB + BON = fl + û».
MON = M'OE — NOE = 4 — a, MOM'= <p;
la première sera opposée à un angle droit , ei la Iroisième à l'augle y. D'après les premières règles de la Trigonométrie sphërîq'ie, on aura donc
sin (p = sin ^ sîn(â + »), iang(4' — a) = cos ^ tang{9 + a>) ;
et l'angle 6 étant connu en fonction de /, par ce qui précède, chacun des angles Ç et -«^ le sera aussi, au moyen de ces formules.
Lorsque le plan donné sur lequel on compte l'angle "4/ est lecliplique, et que la droite OE, à partir de laquelle on compte cet angle, dans le s«ns du mouvement de la terre, est celle qui va du solcîl à l'éqtiinoxe du printemps, les angles -^ et ip s'appellent la
Si Ton remplace le point 0 par le centre de la terre , qae Ton prenne 1 equateur pour le plan donné sur lequel on compte l'angle '^, et pour origine de cet angle la droite OE qui va de ce centre au premier point du signe arieSj les angles ^p et ^ seront alors Vascension droite et la déclinaison de la planète. En appliquant les formules précédentes au mouyement apparent du soleil autour de la terre, on aura et=o, y exprimera V obliquité de l'écliptique, et Ton devra prendre pour d -{- a» la longitude de cet astre ; d'où il résulte qu'en la désignant par A , on aura
sin (p r= sin 7^ sin A , tang >[/ = cos y tang X , et, en même temps,
sm^ = —7— ^ .^-r- — .
ycos^y + tang* 4^
Les plus grandes déclinaisons boréale et australe répondent à A = 9o<> et A = :î70', et sont ± y. Cet angle y est aussi celui que fait l'axe de rotation de la terre avec la perpendiculaire au plan de Técliptique; il est soumis à une petite inégalité qu'on appelle la natation^ dont la période est d'environ 18 ans, et le maximum de 9'',4 seulement. Sa valeur moyenne, an commencement de 1800, était
elle diminue de 0^,4^692 par année.
224* Dans tout ce qui précède, on n'a point eu égard à la force qui agit sur chaque planète , dont le mouvement a été déterminé d'après les données de
438 TRAITÉ DE HËCAMQUIÎ.
l'observalioii , et sans recourir aux principes de la Dynamique; il s'agit matnteDant de délerminer lois de cette force , ainsi qu'il a éle dit précédei nient (n* 217).
(1 suit de la première loi de Kepler que la Cofce qui retient chaque planète dans son orbite est constamment dirigée vers le centre du soleil ; quoique celle conséquence nécessaire de la proportionnalité des aires au temps ait été déduite des équations du mouvement dans le n" i55, il ne sera pas superflu d'en donner ici une déntonstration synthétique.
Soit M,M (iig. 54} le côté de la trajectoire que le mobile décrit pendant un temps r infiniment petit. Arrivé au point M, si aucuae force n'agissait sar ce mobile, il décrirait, dans un antre temp t, une parlie Mm du prolongement MT de Sl.M, égale à M, M ; mais , k cause de la force à laquelle il est soumis, il se transporte, dans ce second instant, en un autre point M'. Soit MK la direction de cette force au point M; pendant le temps t, on pourra
: la
MCy il faut que la droite mW qui joint leurs sommets soit parallèle à cette base; par conséquent^ la droite MK , parallèle à ntW, coïncide ayec MC. Donc, en chaque point M de la trajectoire, la direction MK de la force sera celle du nyou vecteur MC; ce qu'il s'agissait de démontrer.
Réciproquement, si la force qui agit sur le mobile, au point quelconque M, est dirigée suivant MC f la droite mW sera parallèle à ce rayon vecteur, les deux triangles M'CM et MCm seront équivalens, et , par conséquent aussi , les deux triangles M'CM et M.CM. Les aires décrites par le rayon vecteur autour du point C, en deux instans consécutifs et égaux, étant égales, et cela ayant lieu dans toute rétendue de la trajectoire , si la force qui agit sur le mobile est constamment dirigée vers ce point, il s'ensuit que les aires décrites en temps égaux seront égales, et, en des temps quelconques, proportionnelles à ces temps.
2a5. Soit, comme dans le n^ 218, M la position de la planète au bout du temps t ( fig. 5:2 )• Conservons toutes les notations de ce numéro, de sorte que r et 9 soient le rayon vecteur OM et langle MOB; désignons, en outre, par x et ^ les deux coordonnées rectangulaires OP et PM , rapportées à des axes Ox et Ojr , dont le premier passe par le périhélie B; nous aurons
ir = rcosfl, ^=rsinfl, a:»+^*=z=r*.
Soit aussi R la force accélératrice, inconnue en grandeur, qui agit sur la planète. Cette force est diri-
43d traité de Mécanique.
gée, comme on vient de le voir, suivant le nyi vecteur, et elle agit du point M vers le point O^ à cause que la trajectoire tourne sa concavité da côté du soleil ; les cosinus des angles qu'elle fait stcc les prolongenieus de x et j sont donc — - cl — -; par conséquent, les équations du moavemeot . seront
r ' dp
■Ri.
En appelant toujours v la vîteS9e au point '. nous aurons
dr
df
dr •
et, en diScrenttant ,
Id- + '-i^r,
par conséquent , si l'on ajoute les équations ( i ) après les avoir multipliées par dx et dj^, et si l'oo^^
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 43i
ce qui montre que la force qui agit sur chaque planète suit la raison inverse du carré de la distance au centre du soleil.
La grandeur de cette force est fc à l'unité de dis^ tance ; soit ft' ce qu'elle devient pour une autre planète , dont le demi-grand axe et le temps de la révolution seront représentés par a! et T'j on aura de même
Or, d'après la troisième loi de Kepler, on a
d'où il résulte
par conséquent, à l'unité de distance, et, généralement , à la même distance du soleil , la force accélératrice R est la même pour deux planètes différentes.
La force motrice de chaque planète est donc indé* pendante de sa nature particulière, et proportionnelle à sa masse, comme les poids à la surface de la terre. Elle varie d'une planète à une autre suivant la même loi que d'une position à une autre de* la même planète ; et si deux planètes étaient situées a la même distance du soleil et abandonnées à elles-mêmes^ sans vitesse initiale, elles tomberaient d'un même mouvement vers cet astre , et l'atteindraient dans le même intervalle de temps.
43a TRAITÉ DE MÉCAWIQDE.
Ainsi, les trois lois de Kepler nous font connnttrc complètement la force qni relient les planètes dans leurs orbites : la loi des aires proportionnelles au temps nous fait voir que cette force est conslamment dirigée vers le centre du soleil ; celte du mouvement elliptique, ou l'expression de la vitesse qui se déduit de cette loi et de la précédente , nous montre que son intensité varie, pour une roème planète, en raison inverse du carré des distances au soleil ; enfin , nous concluons de la loi descarrésdes temps des révolutions proportionnels aux cubes des grands axes , qu'à égalité de distance au centre de cet astre, l'inlensilé de la force motrice est proportionnelle aux masses de chaque planète , et indépendante de sa nature particulière.
aa6. Newton a étendu aux comètes, dans leur mouvement autour du soleil , et aux sateUiles autour de leurs planètes respectives , les lois de Kepler et les conséquences qui s'en déduisent relativement à la force qui agît sur ces mobiles.
centre du soleil , et supposant toujours les aires décrites par le rayon vecteur autour de ce point , proportionnelles au temps pour chaque comète. Ce cas est compris dans les formules précédentes du mouvement elliptique , en y faisant
a = co , a(i — e) z=i b;
b désignant la distance périhélie OB, qui est une quantité finie.
Les masses des comètes sont très petites par rapport à celles des planètes et paraissent d'une tout autre nature. En vertu de la troisième loi de Kepler, les forces motrices de deux comètes, ou d'une comète et d'une planète, à la même distance du soleil, sont entre elles comme leurs masses respectives, et leurs forces accélératrices sont égales ; il en est de même à l'égard de plusieurs satellites d'une même planète , mais non pas relativement aux satellites de deux planètes différentes, ou à un satellite et une planète; car la loi des carrés du temps des révolutions proportionnels aux cubes des grands axes n'a lieu que pour les corps qui tournent autour d'un même centre: nous ferons connaître par la suite le rapport qui existe entre les forces motrices de deux satellites appartenant à des planètes différentes, et entre celles d'une planète et d'un satellite.
Ajoutons encore que dans ces derniers temps on a étendu les lois du mouvement elliptique aux étoiles doubles, dans lesquelles un mouvement révolutif de l'une des étoiles autour de l'autre a été reconnu , et que leurs positions relatives, calculées d'après ces
lois , se sont accordées aussi bien qu'on pouvait l'espérer avec leurs positions observées.
227. ExaminODS actuellement les altérations que la résislarice d'un éther très rare répandu autour du soleil, produirait dans le mouvement elliptique des planètes. Leur non-sphéricité parfaite et le frottement du fluide contre leur surface, pourraient faire sortir le centre de gravité du plan de son orbite : on fera abstraction de ces deux circonstances; et il ne s'agita que de former les équations du mouvement de ce point, eu ayant égard, à la fois, à la force centrale en raison inverse du carré de la distance, et à une force tangentielle provenant de la résistance du milieu.
Je supposerai , comme dans le mouvement des projectiles dans l'air, cette résistance proportionnelle au carré de la vitesse , à ta densité du milieu et à la surface de chaque planète ; la force accélératrice qui en résultera sera , en outre, en raison inverse de la
<f*x j^ fx ds dx \
1[F "^ 'P ~~ ~' ^ It di * (
<//• "*" r» "~ f^ dt dt' J
En employant les coordonnées polaires , on en déduit, sans difficulté y ces autres équations
qui en sont une transformation.
228. Lorsqu'on néglige leurs seconds membres, les équations (2) se réduisent à '
et les équations (5) à celles-ci :
-^^ — ^5 — 2fid.- = o, d.r*M = o. (5)
On satisfait à ces équations (5) au moyen des formules (à) , (b) , (c) , du n* 220 ; ces formules n'en sont pas les intégrales complètes , parce qu'elles ne contiennent que deux constantes arbitraires aet e; mais si l'on fait attention que les équations (5) ne renferment pas explicitement les variables 8 et ^, et qu'elles contiennent seulement leurs différentielles dB eidt , on en conclut que les formules du numéro cité devront encore satisfaire à ces équations^ en ajoutait des constantes quelconques à ^ et 8. De cette manière, les intégrales complètes des équations (5)^ et, par
TKAITÉ DE MÉCANIQUE, conséquent, des équations (4) » seront exprimées p^r ce système de formales :
r = a[i — e cos tt) , \
Ht + E = u — e sîu u ,
langue — <») :
«, e, 6, f«, étant ies quatre constantes arbitraires, et n une constante liée à a par Véquatioa
a*n* = /* , qui résulte de tït ^ n, -f^ = fj., par l'e'limiaation de T.
Le zéro de la variable u répondra toujours à la plus pelite valeur de r, ou au périhélie B {fig. 5a). Pour K =: o , on aura 6 = w ; de sorte que S représentera myintenaul l'angle MOE, compté à partir d'une droite OE , qui fait un angle BOE = a, avec OB. La valeur de 6 en série sera de la forme e = ni 4- 6 + 6.,
que les équations (2), qui ne différent des premières que par de très petits termes, au moyen d*ane méthode dont les géomètres ont fait les plus heureuses applications à la Mécanique céleste^ et que je vais exposer à l'occasion du problème qui nous occupe.
Les valeurs de x et j*, qui satisfont aux équations (4), sont de la forme :
X = f{ty a, e, €, û)), jr = F(^ a, e, s eo) ; /
J' et F indiquant des fonctions adonnées.. Pour que ce$ valeurs satisfassent encore aux équations (^), jV coijsidère^y e, €, a>, comme de nouvelles variables qu'il s'agira de déterminer. Mais ces inconnues étant au nombre de quatre, et les équations (3) seulement au nombre de deux, je peux prendre à volonté deux équations auxiliaires ; et je fais, ea cojo^quence,
fda + fde+fdi + fiJié-o:,
da 'de dt dm . . . ' . ,,.
ou, autrement dit, j'égale à zéro les parties de dx et djf provenant des variations de a^ e, £, œ De cette
dx , ' .djr ;d Ycticuro lAjiiiuicica uc ^
simplement
manière, les valeurs complètes de -r ' et -j- sont
àx df '4r J JF dt dt* dt ^^ 'Si'
£n différentiant de nouveau , on a
dt' dt^ '^dlda dt '^ dtde dt '^'dtdi dt; dtdmdt * df''^ dt^'^ dtdadt '^didedi'^'did^dt^didmdl'
Or, par h^-potlièse, les valeurs précéiicnlcs du cr et y satisfont aux équations (/J). eu y regardant o, C, i, a, comme des constantes arbitraires, ou a donc
par conséquent, si Ton substitue les valeurs complètes de -j- et —■ dans les équations (a), on aura
dida dida
'^dlde d-F
-ird^"
"■dJd."
^J"==-'d,di
dt;
et ce système des quatre équalîoas (ft) et (c) serrira à déterminer a, e, t, ta, en fonctions de t.
25o. Cette substitution de quatre équations diflërentiellcs du premier ordre , aux deux équations (a), qui sont du second ordre, n'aurait, eu général, aucun avantage. Mais les valeurs de da, de, dt, da,
Les équations (à), après quon y aura substitué les valeurs variables de a, e, €, cj, feront connaître, comme dans le cas du mouvement elliptique, les valeurs de r et S en fonctions du temps. La trajectoire sera encore une ellipse, mais dont les éléosens varier ront continuellement. Si l'on suppose que l'on consr truise à chaque instant Tellipse constante qui répond aux valeurs des ëlémens à ce même instant, les or* données xetjr^ et leurs différentielles dx et d/-^ seront communes, en vertu des équations (b), k c^ts ellipse et à la trajectoire, qui sera, par conséquent, la courbe de contact de toutes les ellipses constantes. Par la même raison, la vitesse du mobile et ses corn* posantes auront les mêmes expressions, et s^roat. déterminées par les formules (d) du n? ^22 ^ dans le mouvement elliptique et dans le mouvement altéjcé par la rÀistance du milieu.
23i. Observons qu'on a identiquement
nt == fndt -f- ftdni
en comprenant ftdn dans l'inconnue e , on pourra donc écrire ainsi :
fndt + i*-G>ss5W-*-e sîni^, (d)
la seconde équation (a). Alors, en même temps qu'on changera, dans les équations du mouvement elliptique, les constantes a, e, i, co, dans leurs valeurs variables , il y faudra remplacer nt par l'intégrale fndt, que no93 i^upposergg^s nulle quand tz;;sQ. La quantité n qu'elle ipenferme se déduira de a^^ au
44o TRAITÉ DE Mf.C4(fIQfTK.
mo^en de la formule
donnée par lequation a'n' = ;w du a" aaS. Cette intégrale fndt exprimera le moyen mouvement de la planète (n° ^.ig), altéré parla résistance du milieu; et, de cette manière, la diATérenlielle du moyeu mouvement sera ndt, dans le mouvement trouble comme dans le mouvement elliptique.
Au périhélie, l'angle 6 — a? est égal à zéro ou à nn multiple de SGo"; eu vertu de la première équation (a), il en sera de même k l'égard de l'angle u; donc, pendant l'intei-valle de temps compris entre deui:p;issages consécutifs de la planète à son périhélie, la quantité fndt + É — a augmentera de SGo"; ce qui servira à déterminer cet intervalle, quand on connaîtra n, e^ » en fonctions de t. Le temps de la révolution, on I'idtervalle compris entre deux retours consécutifs de U planète au même point fixe, sera celui qui répondra à
milieu , en y regardant a, e, e, ù?, comme des variables de'termînées par les équations (b) et (c) , et y mettant yh^^ à la place dent. La diiTérentlelle de la fonction (p sera donc nulle, soit qu^onla prenne, dans le premier cas, par rapport à Tif, r, 6; soit quon la prenne, dans le second cas, par rapport à /ndt, r, 6, a, e, €, c?; or, r et 6 étant des fonctions de jc eX y y leurs différentielles sont les mêmes dans les deux cas, en vertu des équations (A); par con-' séquent, en supprimant, dans la différentielle complète de ^, la partie -j^ d.ni^^dr-^r-^d^f qui est séparément nulle, on aura
-j-da "^ -^de ^4^ -^ de + -^ dcû = o.
da 'de ' dt dm
Cela posé, après avoir mis dans lequalion (2) du n° 218, 6 — cj à la place de 0, on en déduit
r + rôcos(fl — co) = a{i — e^);
en différentiant , comme il vient d'être dît, on aura donc
r cos ^d.e coso + rsin 0^. e sin c? = d.aJ(^\ — e^). (e)
Je différentie de même la première équation (a) et réquation (d); ce qui donne
(i — ecosu)da — a cos iide + ne smudu = o, di — dcû + sinude — (i — e cos u)du = o,
en considérant u comme une fonction de a, e, 6, c?. J'élimine du entre ces deux équations; il vient
44a TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
( r — c cosuyda-{-a[e — cos u)de-i-ae sin u (dt — iiû?y=o .
Mais, en mettant dans les formules
ataiigîu
I 4- tang' i u '
- lao|i" ;
h la place de tang-^u sa valeur donnée par la troisième équation {a), on a
COS u = -^ — -; , sin u = -î-i-; i— jpi — --; ;
au moyen de quoi l'équation précédenle devient
Ce que m
-«cos(8--)rfe+:
Hic<f.-<£.)=o. en
]us disons relativement à l'équalion fi^o, s'applique également an cas oii la fonction (p renferme les ditVérenliclles premières de r et ô. Ainsi , l'on a, (1.1MS le mouvement elliptique,
Maintenant ^ on tirera facilement des quatre équations (e), {f)j (g), les valeurs de da, de, déydœ} eu y mettant pour r sa valeur, savoir,
a( I — e*) I + e CO8 (ô — â») '
afin de les exprimer en fonctions de Fangle 6 seule^ ment , on trouve
da =z îf^ [i -f- ae cos ( 9 — û> ) + e^]ds,
de = — 20 [^ + cos ( fl — a )']ds,
€dcjz=i — 2psin(0 — fo)ds, '^^
, . apesin (9— •) [v/i— e«— <?•— ecos(9— â»)]
ae = + —7 y \ ,
[i+e cos (9 — â»)] (i+V/i — «V
La valeur de ds qu'on devra substituer dans ces formules, est
ds = \/r^+ ^ ^;
et en y substituant celle de r, elle devient
jg —. fl(i — g*) j/i 4- ^g cos ( e — i> ) -f- e* ^
[i+ecos(6 — tÊ)y
On intégrera les seconds membres des équations (Jk)^ en y considérant a^ e , £, 6?, comme.des constantes, ainsi qu'il a été dit précédemment ; et quand le coef-« ficient p sera donné en fonction de r, et conséquem-*ment de 8 » on en déduira , par la méthode des quadratures ou par la réduction en série, les valeurs variables de a , e , € , â? , qui devront être substituées dans les équations du mouvement elliptique.
m TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
25t, Si l'exceiilricité e est une très petite fradîoii, les formules (//), réduites à leur partie principale,
deviendront
tla = — --îp aVâ , rfe = — 2pa cos f 6 — « "y^, rdo) = — 2fa siri (6 — cj)d&, di^zpae sin (6 — ûJ^rfâ;
et l'on y pourra considérer le coefficient p comme constant. En intégrant et désignant par Sa, Se, Scj, Se, les parties variables de a, e, s, ci, on aura donc
Su = — îpfl'S, Se = — 2pa sin ^ 9 — a), cSro = 2pacos(ô — a), Si = — 2/»(iecos(9 — (u).
Si l'on exprime par Sn la partie correspondante de n,
on de -^^, de sorte qu'on ait
égale a an; son accroissement est donc aj^n-^ nJ^a; quantité positive et e'gale à ça*n&.
En ne'glîgeant tout-à-fait Texcentricité, on a
r z=: a, ô = fndt + e;
si donc on désigne par J'r et cTfl , les parties du rayon vecteur et de la longitude qui proviennent de la résistance du milieu, on aura, au même degré d'approximation ,
Sr = — 2pa*Q, cTÔ = ipaB\
En vertu de cette diminution continuelle du rayon vecteur, qui s'élèverait à 4'^fa* à chaque révolution de la planète, elle finirait nécessairement par atteindre la surface du soleil.
Au reste , s'il existe dans Tespace un éther qui influe sur le mouvement des astres, c'est sur les comètes que cette influence peut être sensible, à cause delà petitesse de leur masse, et parce que, toutes choses d'ailleurs égales y le coefficient p est en raison inverse de la masse du mobile. Et , en efiet , on n'a reconnu jusqu'à présent aucune trace d'une résistance de l'éther dans le mouvement des planètes et des satellites; mais d'après les calculs de M. Enke, cette résistance parait influer d'une manière appréciable sur le mouvement de la comète récemment découverte, dont la révolution est d'environ 1200 jours.
S lïl. Mouvement dun point matériel soumis h une force ceniraie.
254- Le problème que nous allons résoudre est rinvei-se de celui du paragraphe précédent : on supposait alors la trajectoire et la loi du mouvement données par l'observation , et il s'agissait de déterminer en grandeur et en direction, la force à laquelle ce mouvement était dû; maintenant, on suppose qu'une force constante dirigée vers un centre fixe, et donnée en fonction de la distance du moTiile à ce point, est appliquéeàce mobile, et l'on propose dea conclure la trajectoire et la loi du mouvement.
Celte courbe DMB ( fig. 55 ) sera comprise dans le plan passant par le centre fixe C, et par la direction DA de la vitesse initiale. Je mène dans ce plan et jwr le point C, deux axes rectangulaires Cj- et C^, dont le premier passe par le point de dépari D du mobile, et qui seront les axes des coordonnées. Au bout du
On en déduit îmmédiatenieiit let deux intégrales premières
dans lesquelles & et c sont les constantes arbitraires ; et si Ton appelle 0 l'angle MCr, de sorte qu'on ait
X = rcosfl, / = rsinO,
ces intégrales deviendront
r-d6 = cdt, ^!l±^ = ^ 2fKdr+ b ; (2)
d'où Ton déduira des valeurs de dû et d^ , de la forme
de = Jrdr, d6 = Frdr,
qu'il ne s agira plus que d'intégrer exactement ou par approximation •
En éliminant dt entre les équations (2) , on a
- ej- .' -
2fRdr=b, (3)
pour l'équation différentielle de la trajectoire. Si l'on appelle s^ la vitesse du mobile au point M ^ on aura
i^* = ô -— 2fRdr; (4)
et en représentant par cT l'angle que sa direction fait avec MC , ses composantes seront
ycos d^ = — 3-, i^sm^T = r-r ,
suivant MC et suivant MH perpendiculaire à ce rayon vecteur.
Les deux constantes b et c , et celles qui seront introduites par l'intégratioii des valeurs de t/t eld^^ se détermineront d'après la position et la vitcwe initiales dn mobile. Pour cela, je représenterai par j- la distance initiale CD, par a, l'angle CDA qui pourra être aïgu ou obtus, et par h la liauteur due à la vitesse initiale^ de sorte que cette vitesse soil \,^2gh, en appelartt g la gravité. Si l'on suppose que l'intégrale y"IWr, qui entre dans les formules précédentes , soit auUe quanti r^y, on aura d'abord
d'après la valeur de i^'. En vertu de l'équatioAn r»(/9 = cdi, la valeur de v sin «T est la même chose ^ que -; par conse'quent, nous aurons
c ^ y \/igh sin a.
Quant aux deux autres constantes arbitraires, on les déteiminera de manière qu'on ait ô = o et r = quand / = o, et le problème sera complètement
d*x kx étj kj ^
lïF y'* ~dF 'y^
et leurs intégrales complètes seront
j: = A cos t i/— + A' sin t v/— ,
jr = B cos / \/^ + B'sin t y/^;
A y A', B^ B', étant les quatre constantes arbitraires. Pour les déterminer^ on a, d'après les suppositions précédentes,
•^=7^ r=^y -£='^ N/agAcosa, ^= s/aghsina, quand ^ = o ; d'où il résulte
A = >, A'y^— = — V^gh cos a ,
B = o, B'i/ — -- y/agAsina, et , par conséquent,
X = >(cos ^ y/^ — ^^ cos a sin t ^A),
(]es formules nous montrent que les révolutions du mobile autour du point C seront isochrones, et leur
durée commune égale hL27r Wj-. On en déduit
>sinasin^y/;=^\/$ii'
^ sm a cos t y - ^= ocsxn et -^ jr cos et ;
45o TRAITfi DE MÉCANIQUE,
d'où il résulte
poar l équation de la trajectoire , qui est , comme od volt, une ellipse dont le centre est au point C. Poor que celte ellipse soit un cercle, il faut qu'on ait a^go' et A";=2g/j.Dansce cas, le ntouveinent est uniforme; car, d'après les valeuvs de x ety , ou a
ce qui donne \'yk pour la vitesse v. La force centrale Il et la force centrifuge — sont constantes et toutes deux égales à k.
Si la force R est répulsive au lieu d'être attractive, comme on l'a supposé , il faudra changer k en — K dans les formules précédentes. La trajectoire sera alors iiQC hyperbole , et le mouvement cessera d'être révolatif.
a56. Prenons actùellemfent la force R en raisoo inverse du cube des distances , et représentons-la par
k étant toujourà sa valeur au point D. Nous aurons , dans cette hypothèse ,
.3/FW/ = A>(i — ^;),
à cause que l'intégrale doit s'évanoair quand r = y.
En ayant égard aux valeurs debeic, et fàitont
yd. y r dz
7 — ^' "IT'^Jâ'
réquation (5) deviendra
^ + (j JîL- V = — ! ^^
t^^ sin* « / sin* « 2gh sin' «
Le Goefficient de z* pourra être positif ou négatif; j^' fais donc
ky
2^A sin* «
d'où il résulte
et , par conséquent ,
Dans le cas des signes supérletfr^^, On aura
^^9 = arcfsîn = ,/ ^^ 1 ' a) — arq sîn = ';>' '>, !' ^ » et , dans le caLS* dfes signes inférieurs ,
nz + l/cot*« — /i^ 4- /i*x*
/i9 = log
/i -f- COt m
en observant qu'on a r = j^ et z = i quand 6 = 0. De la prenaière valeur de «9 , on tire
nz :i=* cot a sin /ifl + 71 cps nô.
45a TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
Le maximum de z ou le minimum de r rapond à I»
valeur de S, tirée de l'équalion fiz = o, ou
tang «fl ^ - cot a , pour laquelle on aura
s = 7 = \/ï H- ;JiCOl'«.
Au-delà de celte valeur de 6 , le mobile s'éloignera indéfiniment du point C , et son rayon vecleur r sera infini , pour la plus petite valeur de 6 tirée de l'éauslion s = o, ou
lan}5 nô = — ntang»;
valeur que â ne pourra atteindre qu'après uq temps
infini. En mettant à la place de r, la valeur de - dans
la première équation (a), on eu déduira sausdifficullé, / en fonction de ff.
Dans le cas de la valeur logarithmique de tA, on
point C f et atteindra ce point après un nombre infini de révolutions.
Si Ton fiait a = 90*, pour simplifier , on aura.
ar
/16 — AÔ?"
pour l'équation de cette spirale. La première équa-^ lion (2) devient
S/Iighdt = ^^^t, ;
tiy en intégrant, on a
y — ï" y\* — ^ J nt\/agh= „a .«a^
237. Pour dernier exemple, supposons, comme dans la nature , la force R en raison inverse du carre des distances ; de sorte qu'on ait
k étant l'intensité de cette force au point D, pour, lequel Tintégrale est supposée nulle.
Si l'on fait l'équation (3) de la trajectoire deviendra d'où l'on tire
TRAITÉ Dg HfiCANlQUE.
'■Il
En iatégi'aut et désignant par gj la constante arbitraire, on aura donc
â = oj + arc ( cos = --" -^— •— ^ ;
ce qui donne
fcy'r :
• r\/A*>-*— c»Ccos(Ô— «), (a)
en mettant a> -f-T à la place de m, aCa qoe €« soit la valeur de 6 qui repond à la plus petite valeur de r, c'est-à-dire, au point de la trajectoire ou le mobile est le plus rapproché de C.
Pour en déduire l'équation de celte courbe eu coordonnées rectangulaires, je fais
x' = r cos(fl — 6»), y ^ rsin(6 — &);
x' et y seront les coordonnées du mobile rapportées
« rlc« .ivpii C.y Pt f1v' IpU niM> l'nn nil y'C^ ~ ^ .
tous les cas, le point C sera un foyer de cette courbe ; car, d'après Téquation (a), le rayon vecteur r est une fonction linéaire de labscisse x'\ ce qui n'a lieu, dans les trois sections coniques, que quand l'origine des coordonnées est un de leurs foyers.
A cause de è = 2gA, on aura
il s'ensuit donc que le signe de S, et, par conséquent , la nature de la section conique qui sera décrite par le mobile , ne dépendra que de sa distance et de sa vitesse initiales, et nullement de la direction de cette vitesse; en sorte que difTérens points matériels partant d'un même point D, avec des vitesses égales , décriront tous des sections coniques de même nature, quelles que soient leurs directions initiales. Si Ton a, par exemple. A: = g, la courbe décrite sera une ellipse, une parabole ou une hyperbole , selon que la hauteur due à la vitesse initiale sera moindre que CD, égale à cette distance, ou plus grande.
238. Dans le cas de l'ellipse , Téquation (a) montre que la plus grande et la plus petite valeur de r, répondent à 0=fi7-l-'^ et ô=r«7; en les désignant par a(i + e) et a(i — e), de sorte que a soit le demi-grand axe et e l'excentricité , on aura donc
ou, ce qui est la même chose.
Ca{i—e) = ky' — S/^^ — c^^.
/i'A\ THAITÉ DE MÉCANIQUE.
Eu ajoutant ces équatîoas elles multipliant membre
à membre, il vient
€a = ky', €'a*(i — e') = c*.
Si l'on y met pour C et c leui-s valeurs
C = 2(^j- — gh) , c =i y \/agh sio a, on cil d^;diiil
2(A> — ^A)« = ky',
yk \'\ — e' = 3 \/gh(ky — gA)sina;
ce qui fait comiaitre le demi-grand axe et l'excentri- L'ilé. On delcrmloera l'angle a en faisant, à la fois, 6 :^ o et 1:=^ y dans l'équation (a). Ainsi, les dimensions de l'ellipse et la position de son grand axe seront complètement déterminées, d'après la position, la vitesse et la direction initiales du mobile. Quant à son mouvement sur cette courbe, il est connu par les formules («), {h), {c), du n" 220.
Le carré de la vitesse à un instant (juelconque est ,
239. Il ne sera pas inutile de considérer en particulier le mouvement parabolique que Ton prend, par approximation , pour celui des comètes pendant la durée de leur apparition.
A cause que l'on a , dans ce cas , ^=0 ou kyz=:gh , les équations (b) donnent ^ = 00 et e = i ; ce qui a effectivement lieu dans la parabole. La formule (c) se réduit à
en appelant u la vitesse dans un cercle du rayon r, on aurait, en vertu de la même formule,
par conséquent , à distance égale du soleil , la vitesse d'une comète est à celle d'une planète qui décrirait un
cercle , comme \/2 est à i •
En général , les équations {b) donnent
kya(i — e) (i + e) = 2gh'^ sin*cL,
en élevant au carré les deux membres de la dernière , et les multipliant ensuite par ceux de la première. Si donc on appelle p la plus courte distance de la comète au soleil , de sorte qu'on ait
et qu'on fasse kyz=zghete= i , on aura
p := y sin'a;
ce qui détermine la distance périhélie , au moyen de
la distance et de la directioa initiales du mobile, que
Ton suppose connues.
Je fais € =: o et ky = gk dans l'équation (a) , et j'y mets pour c* sa valeur agA^'sin' a ; elle devient
r = aj- sin' a — r ces ( 6 — wj ;
d'où il résulte
pour l'équation de la trajectoire. Si l'on y fait 6 = 0 et r ^ ^, ou en déduit
7(1 + cos«) = 2p, cosjta = sin a;
ce qui détermine l'angle » que fait le rayon vecteur du périhélie avec celui qui aboutît au point de départ du mobile.
Je substitue les valeurs de c et de r, dans la première équation (3) du a? aSffi et je ffîs» pour abréger,
y y^gh ein /t
il en résulte
yr, — n V^dt.
[i 4- cosCS — «Jp En observant que
1 + COS ( ô — fiï ) = 2 CCS* ; ( 9 — «y ) , «t faisant
OQ aura donc
d^ ndt ^
d'où l'on tire , en intégrant et désignant par € la constante arbitraire ,
(5 + tang* 4 ) tang 4 + € = --^,
Pour déterminer cette constante, on a, en même temps ,
et à cause de cos j coz=:sin(t^ il en résulte
« = (5 + cot* a) cot a.
En appelant t' le temps écoulé depuis le départ du mobile jusqu'à son passage au périhélie, on aura à la fois
et, par conséquent,
Cela étant , désignons par r le temps compté à partir de l'instant de ce passage, de sorte qu'on ait tsszt'+r, nous aurons
[5 + tang*î(ô-«)]tangi(fl-û,)= ^j (e)
en résolvant cette équation du troisiènie degré , on aura donc tang 5 ( fl — r»? ) en fonction de r, et ^
46o TRAITÉ DE MfiCANIQCE.
suitf: , r et 6 à un instaut quelconque : le temps r sura
positif après le passage an périhélie, et négatif avaat
ce passage.
A cause de
ghy = A-j-" ^ fà, y'y sin a = V'p>
la valeur précédente de n est la même que
elle est donc, d'après l'équation a^n* ^= ^ du n' 2a8, la vitesse moyeune aagulaii-e d'une planète dont 1? demi-grand axe serait égal à^j et si l'on appelle i celle de la terre et / son demi-grand axe, de sorte qu'on ait
ou en conclura
ensuite connaître la vitesse de la comète et sa position sur sa trajectoire à un instant quelconque; et comme le plan de cette courbe est celui qui passe par le centre du soleil et par la direction de la vitesse initiale^ il s'ensuit que le mouvement est complètement déterminé. Mais le problème astronomique est différent. Lorsqu'on découvre une comète , les observations ne donnent pas immédiatement le plan de son orbite, sa distance au soleil, sa vitesse et sa direction, à TinstaHt où elle apparaît; en sorte qu'en prenant sa position à cet instant, pour son point de départ, les constantes y, h, a, ne sont pas données comme dans le problème précédent. La question consiste alors à déduire des observations, les valeurs de cinq quantités , savoir : l'inclinaison de l'orbite et la longitude de son nœud ascendant sur le plan de Técliptique, ce qui déterminera le plan de l'orbite ; la longitude du périhélie et sa distance au soleil , d'où il résultera la position de l'orbite dans son plan ; et , enfin , le temps correspondant au passage de la comète par son périhélie. Lorsque ces cinq inconnues sont déterminées , les équations (c), (rf), (e), représentent, comme précédemment, le mouvement de la comète dans son plan. Or, chaque observation de la comète donne son ascension droite et sa déclinaison; trois observations fournissent donc six données, et, par conséquent, six équations qui sont plus que suffisantes pour déterminer les cinq inconnues; et cela permet de remplacer deux de ces équations par leur combinaison la plus propre a diminuer l'influence des erreurs des observations. Les valeurs approchées des
cinq élëmens qu'on vient d'énumérer dtâtit ainsi c dues de trois observations faîtes à l'époque de l'a^iïn parition , les observations subséquentes servent ensuite à corriger ces premières valeurs et à vérifier les formules (d) et (e).
Nous ne pouvons qu'indiquer ici ce problème C tronomie , dont il existe différentes solutions.
