CHAPITRE VIL

DIGRESSION 8€R L^ATTRAGTIOIV UNIVERSELLE-

241 * Les points matériels de tous les corps s'attirent mutuellement y en raison directe des masses ^ et inverse du carré des distances.

Cette grande loi de la nature , que Newton a découverte, est une conséquence nécessaire de l'observation et du calcul. On peut voir, en effet, dans TjE'xposition du Sjstème du Monde j comment, en partant de Texpérience, on est conduit, sans aucune hypothèse et par une suite de raisonnemens rigoureux , au principe.de ï attraction universelle. Les développemens de ce principe sont l'objet spécial de la Méca^ nique céleste. Dans ce chapitre , nous nous bornerons à en exposer succinctement les principales conséquences;

. 242. La force qui relient les planètes dans leurs orbites, est la résultante de lattraction exercée par tous les points matériels du soleil sur tous ceux de chaque planète. Vu la petitesse des dimensions du soleil et des planètes par rapport aux distances qui les séparent, on conçoit que ces attractions peuvent être regardées, avec une approximation suffisante, comme des forces parallèles et égales dans toute l'étendue d'une même planète ; leur résultante est alors égale à leur somme, et la distance restant la même, la

force motrice de chaque planète est proportionnelle

au produit de sa masse et de celte du soleil; or qui

devient encore plus exact , à cause de la forme à peu

près spliërique de ces deux corps, lorsqu'on prend

pour leur distance celle de leurs centres de gravité

(n-gg).

Supposons donc , pour exprimer nume'riqucmenl rintcnsîle de cette force, que l'on prenne une certaine distance, par exemple, celle du soleil à la lerre, pour unité linéaire; choisissons une masse et un îolervalle de fenips déterminés pour unités de ces deux sortes de quantités ; et prenons enfin pourunitcde force, comme dans le n* it8, la force accélératrice constante qui produit dans l'unité de temps une vitesse égale à l'unité de longueur. Concevons maintenant deux corps dont les masses soient égales à celle qa'on 3 prise pour unité, et qui soient placés à nue distance l'un de l'autre é^ale à l'unité linéaire ; soit /"lu force attractive de l'nn des deux corps Kur l'autre, c'està-dire , le rapport numérique de son ïnlegghrf j *P^||p^i

penser qu'il a été et qu'il restera constamment le même.

243* La force motrice de la masse M, due a Fat*

traction de m , est aussi représentée par*^^ , de manière que la réaction de chaque planète sur le soleil est égale et contraire à 1 action de cet astre sur la planète; mais la force motrice "—i^ , agissant sur les

deux masses M et m, leur imprimera à chaque instant des vitesses inHniment petites qui sont réciproquement proportionnelles à ces masses^ Ou , autre-

metit dit, leurs forces accélératrices sont — et - — .

Il en résulte que si ces deux corps sont abandonnés, sans aucune vitesse initiale^ à leur attraction mutuelle , ils s'avanceront l'un vers l'autre en parcourant , dans le même temps , des espaces qui seront en raison inverse de leurs niasses; ils se joindront au centre de gravité de M et m, qui partage leur distance primitive en deux parties réciproquement propor^ tiounelles au)c masses.

En général, si la planète est projetée dans l'espace suivant une direction quelconque , et qu'on propose de déterminer sou mouvement apparent autour du centre du soleil , regardé comme un point fixe , il faudra concevoir que l'on imprime à chaque instant il cet astre, une vitesse infiniment petite, égale et contraire à «elle qu'il reçoit de l'attraction de la pUr nète ; mais , afin de ne point altérer le mouvem/eat relatif de ces deux corps , il faudra, en même temps ^ imprimer cette vitesse à la planète; ce qui revient à I. 3o

466 TAAITÉ'DE MÉCANIQUE,

loi appliquer une force acoâératrioe égaie et oon«traire à celle du soleil; donc^ dans le moaYement dont il est «{oestion , la force accélératrice de la planète m sera constamment dirigée vers le soleil M , et

^A fin

égale k la somme des deux forces "^ ^ "^ ; ^ donc

on veut Texprimer par ^ , comme dans le n* ^^5, il faudra prendre

Ainsi p Ton devra substituer cette valeur dans les différentes équations du mouvement elliptique qu'on a données précédemment; par conséquent, l'équation

du n^ cité donnera

/(M + my (0

T étant toujours le temps de la révolution de la planète , et a le demi-grand axe de son orbite.

Le rapport -^ qui dépend , comme on voit , de la

quantité m , différera donc, pour ^eux planètes dont les masses sont inégales; en sorte qu'on ne peut pas supposer qu'il soit rigoureusement le même pour toutes les planètes. Cependant les observations qui conduisent à la troisième loi de Kepler, prouvent que ce rapport est sinon exactement , du moins à très peu près constant; il en faut donc conclure que les masses des planètes sont très petites par rapport à celle du soleil ;

Ce qui fait que le rapport -j du carré du temps au

cube de la distance moyenne varie très peu en passant d'une planète à une autre. La masse de Jupiter^ la plus considérable de toutes, est efTectivement moindre qu^un millième de la masse du soleil.

244' C'est pour cette raison que l'attraction mutuelle des planètes ne produit que des perturbations^ ou très lentes, ou très peu considérables, dans le mouvement elliptique dû à l'attraction du soleil. En effet, les masses de deux planètes étant m et m^, la force motrice dirigée de Tune vers l'autre , est exprimée

par '^^ , à la distance p ; la foixre accélératrice de m

provenant de l'attraction de m^ , sera donc "^'j et

comme la distance p ne devient jamais très petite par rapport à la distance r de m au soleil , il s'ensuit que si m^ est une très petite fraction de M , le mouvement de m produit par l'attraction solaire devra être fort peu modifié par l'attraction de m^.

Les perturbations planétaires peuvent donc être . déterminées par la méthode de la variation des constantes arbitraires, que nous avons expliquée précédemment (n** 229). Elles sont de deux espèces. Les unes consistent en des inégalités périodiques généralement très petites , dont les périodes comprennent des multiples peu considérables, en général , des révolutions de la planète troublée et de la planète perturbatrice. Cependant, lorsque leurs moyens mouvemens approchent d être commensurables , ces périodes peuvent devenir beaucoup plus longues, et

j68 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

i<s int'galitiis Itcoucoup plus sensibles. Ainsi, les moyens nioiivcdicns de Saturne «t de Jupiter étaot à peu près ciitie t^ux comme a el 5 , Laplace a trouvé qu'il résulte de l'altraction niuluelle de ces deux planètes, une inégalité dont la période est de gag ans, et ilont le majciiiiwn est d'environ ^f*' dans la longitude (le Saturne , cl d'il peu près 20' dans celle de Jupiler.

Les autres perturbations des planètes sont : i". les nmuveinens progressifs du périhélie et des nœuds de loiii-s orl)iles, dans lesquels ces points parcourent la circonférence entière, en des temps extrêmement longs i|ui peuvent surpasser un millier de siècles; 3'. les variations séculaires qui afl'ecteut les excentricités pt les inclinaifions de ces orbites, ainsi que les loni>itndcs moyennes des planètes , dont les périodes sont semblables aux précédentes, et dont les amfJitudes , |h;u considérables , ne sont pas encore bien connues.

!\lais tandis (jue ces divers élémens du mouvement elliptique varient simultanément en vertu de l'attracilun planétaire, il est très remarquable que cette force

La force accélératrice qui provient de rattraction d'une planète m^ sur une autre planète m, étant indépendante de la masse m et proportionnelle à la masse Tn^y on conçoit que les perturbations dues à cette force et observées dans le mouvement de m autour du soleil, peuvent servir à déterminer le rapport de la masse m^ à celle de cet astre. Ainsi, par exemple, d'après la grande inégalité de Saturne, produite par l'action de Jupiter , on a trouvé la masse de cette dernière planète égale à -^0 de celle du soleil. Nous indiquerons tout à l'heure un autre moyen de cal*culer la masse des planètes , quand elles sont acconhpagnées d'un ou plusieurs satellites.

Les comètes, à cause de la petitesse de leurs masses, ne produisent aucun effet appréciable sur les planètes; mais leurs mouvemens sont troublés par les attractions planétaires, et l'on détermine aussi par la méthode du n"* 229, leurs perturbations, qui influent considérablement sur les époques de la réapparition de chaque comète, c'est-à-dire, sur l'intei'valle de temps compris entre deux passages consécutifs à son périhélie.

245. Soient ml et m les masses d'un satellite et de sa planète, et r' la distance de leurs centres; la force motrice du satellite , dirigée vers le centie de la planète, sera aussi exprimée par*^^ à cette distance

r'; le coefficient y étant le même que précédemment. Dans son mouvement apparent autour de la planète, la force accélératrice du satellite aura pour expression

^, , en faisant

4jo traité de mécanique.

Je représenterai par a le demi-grand axe de l'orbite du satellite, et par T' le temps de sa rcvolatitm; en appliquant 1 équation (i) ^ son mouvement, on aura

«""/(»' + '"')' et si l'ou divise ces deux équations membre à membre, aliu d'éliminer le coelGcleoiy', il e» résultera

Or, si l'on excepte la luue, les ma»^s des s»telliles Bont très petites par rapport à celles de leurs planètes vespeclives : la niasse d'un sateltitc de Jupiter, par exemple , n'est pas uu dix-millième de celle de celle planète; on peut donc mettre mk la place dem-(-m' dans celle dernière équation ; et comme a , a', T, f, sont des données de l'observation , elle pourra servir à déterminer le rapport de m h M. C'est de celle manière que Newton a trouve' pour la masse de Jupiter, y-^j de celle du soleil ; ce qui dtQcrc peu de la frac-

pour la lune , on y supplée par d'autres considérations y parmi lesquelles je vais indiquer Faction de ce satellite sur les eaux de la mer.

Soient C ( fig. 56) le centre de la terre, A celui de la lune, M un point quelconque du sphéroïde terrestre; faisons

CA = a, AM = p, CM = r,

et appelons A Fangle ACM; nous aurons

p* = a* — aarcosA + r';

et si nous abaissons du point M la perpendiculaire MR sur la droite AC , nous aurons aussi

MB = rsinA, AB =e= a — rcosA.

Au point M , la force accélératrice provenant de l'attraction de la lune et dirigée suivant MA, aura

pour valeur •^-;-, en désignant par m! la masse du

satellite , et parole même coefficient que précédemment. Ijcs composantes de cette force suivant la perpendiculaire MB et la parallèle MD à la droite AC , seront donc

fm'rsMïX fin a fm'r cos.X

Je substitue la valeur de p dans ces quantités; et la plus grande valeur de r, c'est-a-dîre, le rayon du globe terrestre, étant, à peu près, un soixantième de ^t , je néglige le carré de r; en faisant alors

fnir 8În A ^ a/mV co» A #

—?— = '?' ir— = <P.

les deux composantes de l'attraction lunaire seront

472 TRAITÉ DE MÉCANIQim.

0 L't + tp'. Tous les points de la terre sont donc

sollicités parallèlement à CApar une force constante et égale h' — -, et, en ootre, par des forces ip et (p' (loril 1.1 iL-sullanle varie en grandeur et en direclîoo, il'iiii point i\l li un antre, et est nulle au centre C.

Or, il est évident qu'en vertu de la force— ^, la masse

entière de la tcirese portera vers la lune, d'un mouvement commun à toutes ses parties, sans que les points de la partie fluide changent de position relative; c'est donc aux forces Ç et tp' appliquées aux différens points de la mur, que seront dus \e JIux et le reflux produits par l'action du la lune.

La masse du soleil étant M, et (Z sa distance à la terre, si l'on désigne, en outre, par jj., -^ , ij.', ce que deviennent 7^, ip , ^', relativement à cet astre, on aura de mérae

ces oscillations doivent être entre elles comme les forces correspondantes; si donc on désigne par m le rapport de la marée lunaire a la marée solaire, dans un même lieu de la terre et pour des positions semblables des deux astres, on aura

équation dans laquelle on prendra pour a et a les distances moyennes de la lune et du soleil à la terre^ et d'où Ton tire

rn d? M

en appelant m la masse de la terre.

D'après les lois différentes que suivent les marées lunaire et solaire, on peut, effectivement, distinguer les unes des autres, et déterminer leur rapport en chaque lieu de la terre. La moyenne d'un grand nombre d'observations , faites dans le port de Brest , donne (*)

co = a,3533,

pour la valeur de ce rapport. La distance a est, à très peu près, 4^^ ^^^^ ^ distance ce, et la masse M, comme on le verra tout à l'heure, aussi à très peu près , 355ooo fois la masse m. Au moyen de ces valeurs, on trouve, d'après la formule précédente, la masse de la lune égale à ^ de celle de la terre. Indépendamment des oscillations de la partie fluide

(*) Mécanique céleste, tome V, page 206.

474 TRAITÉ DE MÉCAMQUE.

de la terrt!, les actions du soleil et de la lune prodnisent encore, dans le mouvemetit du splicroîde terrestre autour de son centre de gravite , à raison de sa non-sphcricilc, des perturbations que nous ferons connaître lorsqu'il sera question du mouvement de rotation d'un corps solide.

247- On peut remarquer que la composante des forces (p et ^', suivant le prolongement MB du rayon CM, est ^'cosA — (p sin A; eu sorte que sa valeur est

(acos'A — sm'Xl'i^,.

C'est la diminution de la pesanteur au point M, prodnitc par l'acliun de la lune. Or, en supposant que M appartienne à la surface de la terre , et désignant par g la ffravite en ce point, on a aussi /m ^ gr*, à Irîs peu près; d'ailleurs, le maximum de scos'A — sïn*A répond à K:=:o, et est e'i^al à 1. lia plus grande valeur de cette diminution de pesanteur sera donc

-~-j ; quantité à peu près égale à un huit-mîUii

248- Abstraction faite de la force centrifuge due à la rotation de la terre ^ la pesanteur que nous observons à sa surface est la résultante des attractions exercées par tous les points du sphéroïde sur chaque point matériel, laquelle résultante ne dépend que de la position et de la masse de ce point, et nullement de la nature du corps auquel il appartient; c'est, en effet, ce que l'expérience a pleinement confirmé. L'intensité de cette force doit diminuer à mesure qu'on s'élève au-dessus de la surface de la terre; et c'est aussi ce qui résulte des observations du pendule, faites à différentes hauteurs. De plus, la pesanteur terrestre , diminuée dans le rapport du carré du rajon de la terre au carré du rayon de l'orbite lunaire, doit être la force accélératrice qui retient la lune dans son orbite. Or , la distance du satellite étant, à peu près, 60 fois le rayon de la terre, il s'ensuit que la lune, si elle n'avait aucune vitesse, devrait tomber vers la terre, de la môme quantité en une minute qu'un corps quelconque , dans le vide , en une seconde à la surface de la terre. Cette quantité n'est autre chose que le sinus verse de l'arc que la lune décrit sur son orbite en une minute , ou , à très peu près , le carré de cet arc divisé par le diamètre de cette courbe; et comme la circonférence de l'orbite est 60 fois celle de la terre, on en conclut que la quantité dont il s'agit est égale à

40 millions de mètres, multipliés par — ^, en désignant par n le nombre de minutes que contient une révolution lunaire. Il faut donc^ d'après la va-

leur de la gravité g qu'on a trouvée par l'expérience du pcutlule, que ce produit soit à très peu près égal h 4°'i90; ou trouve, effectivement, 4" ,88 pour sa valeur, en observant que n ^ 5c)345. La diffèreiice serait encore moindre , en ayant égard à diverses circonstances dont nous avons fait abstraction pour simplifier \a démonstration.

I,n pesanteur terrestre est donc im cas particulier de i'attraclion universelle; et, pour cette raison, Ton appelle aussi cette force générale la pesanteur ou la 'gravitation universelle.

■>. îç). A cauf^e que la terre s'écarte peu de la forme spliérique , l'attraclion qu'elle exerce sur un point

irfat

est i

comme celle d'une

peu près

^pliiTe, en désignant par m sa masse, par r son rayon, et par / le coefficient de l'attraction universelle. Celle valeur approchée doit être tout-à-fait exacte pour les points appartenant à un certain pa- ■alll-lc; et, d'après la théorie de l'attraction des sphé-

on pourra regarder cette valeur de la gravité^ ainn modifiée, comme égale à lattraction de la terre ^ et poser réquatîoD

En la multipliant membre à membre par l'équation (i) du n° 243, appliquée au mouvement de la terre autour du soleil , on en conclut

m ê'TV

formule qui va servir à déterminer le rapport de la masse de la terre à celle du soleil.

Si Ton conçoit un triangle rectangle qui ait pour base le rayon de la terre , et pour hauteur sa distance au soleil, le petit angle opposé à la base est la paraUlaxe du soleil, que Ton détermine directement par des observations astronomiques, et que l'on peut aussi déduire d'une certaine inégalité produite dans le mouvement de la lune par l'action du soleil , que l'on appelle l'inégalité parallactique. La grandeur de la parallaxe varie avec le rayon de la terre et son éloignement du soleil auxquels elle répond; pour la distance moyenne a et pour le rayon r qui aboutit

au parallèle dont le sinus de la latitude est V^j , sa valeur est 8", 60. On a, par conséquent,

- = tang 8",6o , a = (23984) r.

Sous ce même parallèle, et en prenant j^ pour Faplatissement de la terre , on a

478 TRAITÉ DE MÉCAMIQUE.

pour son rayon. Le temps de sa réTolution anrnur

du soleil, CKprirac en secondes, est

Au moyen de ces valeurs et de celle de g, qui suppose aussi qu'on a pris la seconde pour unité de temps, on trouve

25o. l'C soleil est nne sphère d'un rayon égal à 110 fois celui de la terre; on connaît donc le rapport des volumes de ces deux corps cl celui de leurs nias-ses ; d'où l'on conclut immédiatement le rapport de leors densités moyennes : celle du soleil est, à peu près» le quart de la densité de la terre.

A la surface de cet astre, l'aHraclion est exprimée par

en appelant R son rayon. Â cause de

terre. En négligeant donc la diminution qu'elle pro«duit dans la pesanteur à la surface du soleil, on voit que le poids d'un corps à cette surface est 2g fois et demie le poids du même corps à la surface de la terre , et que les corps y parcourent à peu près 145 mètres dans la première seconde de leur chute. Eu appliquant successivement 1 équation (i) du n"" 243 à la terre et à une autre planète, et supposant que les quantités m, a, T, relatives à la terre, deviennent m, , a, , T, , par rapport à la planète, on en

conclura

^ M + m. IV

par 1 élimination de f. Connaissant la valeur de a par l'observation de la parallaxe solaire, ou autrement, ainsi que la masse m de la terre et la durée T de l'année sydérale, cette équation servira à déterminer la valeur du demi-grand axe a, d'une planète quelconque, lorsque sa masse m, et le temps T, de sa révolution seront donnés. Le procédé du n^ ^45 pour déterminer cette masse, suppose seulement qu'on connaisse une valeur approchée du demi-grand axe. aSi. L'attraction exercée à la surface de la terre par une masse considérable, telle qu'une haute montagne, fera dévier les corps pesans de la direction verticale, et le prolongement du ^Z à plomb n'ira plus rencontrer le ciel au zénith. Il s'en écartera en sens contraire des deux côtés opposés de la mon-* tagne ; en sorte que si tout est semblable de part et d'autre , pour la forme de la montagne et pour Féloignement du (il à plomb, la distance angulaire des

lieux étoiles par lesquelles son prolougement ira passer, SEsra double de sa déviation. Cet effet a ë(é observe, par les astronomes, au Pérou et en Ecosse; mais, k cause que les masses des plus hautes monla- ^nes sont encore très petites, eu égard à la masse de la terre, les déviations dont il s'agit sont aussi très peu considéiables, et ne s'élèvent qu'à de petits nombres d(5 secondes. Voici un exemple du calcul de la déviation du til â plomb, due à l'atiraction d'une masse donnée.

Soit A (tii^. "iyj le centre d'une sphère homogène, suspendue à l'extrémité d'un Hl inextensible et îaflexible, dont l'autre bout est attaché au point fixe C; soit aussi 0 le centre fixe d'une autre sphère honioj-ène qui a^ît sur la première. Le fil CA s'écarlera de la verticale CB sans sortir du plan passant par cette droite et la W^ne CO ; et, dans sa position d'équilibre, il faudni que la résultante du poids de la première sphère et de l'allraotion de la seconde vienne passer par le point lïxe C, Or, ces deux forces se-

pour réquatioQ d'cquilibrc qui devra servir à déterminer la déviation inconnue BCÂ.

J'appelle «r cet angle , y Fangle donné BCO , a et c les distances aussi données CA et CO , et ^ la distance inconnue ÂO; nous aurons

^* = a* + c* — :iaccos{y — x),

et, en outre,

• nn. k as\n{y — x) ac sm(y - x)

sinCOA= £ , a= z f p=asma:.

Appelons aussi m la masse de la terre, m, celle de la sphère mobile, m! celle de la sphère attirante. En désignant toujours par f le coefficient de l'attraction universelle, et représentant par r le rayon de la terre , les forces motrices P et Q auront pour valeurs

et si f est la densité moyenne de la terre , f ' celle de la sphère attirante, et / son rayon, on aura aussi

Au moyen de ces diflerentes valeurs, l'équation P^ = Q^ se changera en celle-ci :

p/^sinx = fV'csin(j. — jc),

où il ne restera plus qu'à mettre la valeur de^ pour en déduire ensuite celle de a:. . ,

48î! TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

Je supposerai , ce qui a lieu généralenieut , la Iodgueur CA du fil à plomb très petite par rapport à la distance CO. En négligeant a par rapport à c dans les valeurs de ;-, on aura simplement ^ = c ; d'où il résultera

sju{>ar)

La densité p' et le rayon r* de la sphère attirante restant les mêmes, la valeur de .r que l'on lïrera de celte équation sera d'autant plus grande que la distance c sera plus petite, et que l'angle y approchera davantage d'être un angle droit; et comme c ne peut pas être moindre que le rayon /■', il s'ensuit qu'on aura le maximum de déviation du fil à plomb que puisse produire l'attraction d'une sphère donnée , en prenant r = z'' et 5- ^go"; ce qui réduit 1 équation précédente à

tane a: = — .

DYNAMIQUE, PREinÈRE PARTIE. 483

sitné dans le plan horizontal passant par cette extrémité.

252. Cette moyenne densité de la terre, conclue de la déviation du fil à plomb que produit l'attraction des montagnes , a été évaluée à quatre ou cinq fois la densité de Teau. Cavendish l'a trouvée égale k cinq fois et demie cette densité , en la déduisant de l'attraction exercée par deux globes de plomb de huit pouces anglais de diamètre, qu'il a su rendre sensible par le moyen de la balance de torsion. Sans entrer ici dans tous les détails de cette belle expérience, des diverses précautions qu'elle exige , et des calculs qu'il faut faire pour en déduire un résultat exact , je vais seulement indiquer les points principaux de ces calculs (*).

La balance de torsion est l'instrument le plus exact que nous ayons pour servir à la mesure des forces très petites. Coulomb , à qui Tinvention en est due , l'a surtout employée à mesurer les forces d'attraction et de répulsion des corps électrisés; et, pour cette raison , elle est aussi connue , en Physique , sous le nom de balance électrique. Elle consiste principalement en un fil métallique très délié, vertical, attaché à un point fixe , et à l'extrémité duquel est suspendu un levier horizontal. Supposons ce levier formé d'une tige très mince ACA' ( fig. 58 ) , partagée en deux parties égales à son point d'attache C, et termina

(*) On trouve dans le 17* cahier du Journal de l'École Polytechnique une traduction exacte du mémoire de Cavendish.

48, TIIAITÉ DE MÉCAHiyUE.

par deux splicres d'un petit diamètre, dont les centres sont A ut A'. Du point C comme centre, et d'un rayon égal à CA, décrivons le cercle horizontal BAU'A', dont nous diviserons la circonférence en uq jirand nombre de parties égales. Lorsque le levier tournera auloui- du point C, ses extrémités A et A' parcoutroiil cette circonférence, et les points de division auxquels ils répondront à chaque instant feront connaître les arcs qu'ils auront décrits. Tant que le fil de suspension qui aboutit au point C n'est pas tordu , le l<;vic'r reste en repos dans une certaine position. Je suppose qu'il réponde alors à la ligne BCB*; si l'on vient à l'écarter de cette ligne, pour le mettre dans une autre position quelconque ACA', le fil de suspension sera tordu sur lui-même, et cette torsion tendra à ramener ce levier vers la ligne BCB'. Pour le retenir dons la direction ACA', supposons que l'on applique à ses deux extrémités (les forces égales e( contraires , dirigées dans le plan horizontal , et perpendiculaires h sa longueur; la valeur commune de s deux FurCL's sera la mesure c

uux points A et A% et tendantes h ramener le levier à la ligne de repos BCB".

Cela posé, approchons du levier deux sphères homogènes d'une même matière , d'un même diamètre, et symétriquement placées de part et d'autre de la ligne BCB'. Soient 0 et 0' leurs centres situés dans le plan horizontal qui contient le levier, a égale distance de C , et sur une droite 0.C0' menée par ce point. L'attraction de ces deux corps va écar-« ter le levier de la ligne BCB"; et, à cause que tout est semblable autour du centre C , la droite ACA' tournera autour de ce point, qui restera immobile. A mesure que le levier s'écarlera de la ligne de repos, la force de torsion augmentera. Il existe une position dans laquelle cette force ferait équilibre à l'attraction des deux sphères; mais comm/e. le levier atteint cette position avec une vitesse acquise, il la dépasse , et il oscille , de part et d'autre , à la manière d'un pendule horizontal. L'observation fait connaître la durée d'une oscillation entière. En comparant la longueur de ce pendule à celle d'un pendule ordinaire qui oscillerait dans le même temps ^ on en conclut le rapport de la force d'attraction dé chaque sphère à la pesanteur; et, par suite, on a le rapport de la masse de cette sphère à celle de la terre. L'équation qui sert à déterminer ce rapport est facile à former, ainsi qu'on va le voir.

2.55. Les deux sphères mobiles dont les centres sont en A et A', étant sollicitées par les mêmes forces, et ayant le même mouvement autour du point fixe C^ il suffira de considérer le mouvement du centre de

486 TiUlTÉ DE MÉCANIQUE.

l'une d'elles, du polat A, par exemple; soient donc

comme dyiis le problème précédent.

ex :

CO = c, BCO = •

appelons in la masse de la sphère attirante dont le centre est en 0 , cty le coefBcient de l'attraction universelle; au bout d'un temps quelconque t, désignons par 6 l'angle ACB, et par z la distance AO, nous aurons

■ 2ac cos ( j' — ô ) ;

et la force accélératrice provenant de l'attractiou di-

rigée suivant AO sera — -. Je la décompose en deux

autres forces , l'une dirigée suivant le prolongement de CA, et l'autre perpendiculaire à CA. Cette dernière

composaiile sera égale à~- sin CAO, c'est-à-dire, il -^;— sîii (2 — â ) , en y mettant pour sin CAO sa

ligne de repos sera très petit. En appelant h la dia* tance BO ^ ou la valeur de z qui répond à 0 s= o ^ de sorte qu'on ait

ô* = a* + ^* — 2accos5^, et développant suivant les puissance de 0 , il vient

sin(> — 9) 8in> -, ^ , „ • • n ^ • ^

— i^^ — - = —rf- — [(^ + C) co^y — ^ac — œsinVj i\ +etc.

Si donc , on fait , pour abréger , [(a*+ C) cos y — tiac — ac sin*>] -^-^ + h =g',

fm'c sin > ^ , 55 — *>6^

et qu on néglige les puissances de 0 supérieures à la première , l'équation du mouvement deviendra

d'où Ton tire , en intégrant ,

ô = ^ + ^ cos (^ y/? + *0 ^

k et k' étant les deux constantes arbitraires.

D'après cette valeur de 0, le plus petit et le plus grand écart du levier ACA^ à partir de la ligne BCB'^ seront ^ + ^ et ^ — k; et , si l'on tîre la ligne DCD', telle que l'angle BCD soit égal à ^ , le levier fera ^ de part et d'autre de cette droite , des oscillations égales et isochrones dont l'amplitude sera la constante k ;

OU déterminera l'angle S par l'expérience , en mesuraot le plus petit et le plus grand écart du levier, et prenant , pour cet angle , la demi-somnie de ces valeurs extrêmes de 6- La droite DCD' qui répond à Qi^f est la position du levier dans laquelle il demeurerait en équilibre , s'il y parvenait sans vitesse acquise. La durée de chaque oscillation entière du levier, de part et d'autre de cette ligne , sera le temps pendant lequel l'angle t l/— -J- A' augmentera de i8o*;enIe désignant par T, on aura donc

et cette durée T sera aussi donnée par l'observation.

Maintenant, si l'on appelle g la gravité, et / la

longueur du pendule simple qui fait ses oscillations

inKniment petites dans le temps T, on a ( n" 182 ) ,

■Vh

on aura donc

ga = S'I;

par conséquent , à cause de

nous aurons, finalement.

m cil* sin y '

m élaal la masse de la terre et r son rayon .

Toutes les quantités contenues dans cette formule sont connues dans chaque expérience; elle servira donc à calculer le rapport de la masse wl à celle de la terre ; et connaissant , en outre , les volumes de ces deux corps et la densité de wl^ on en conclura la densité moyenne de la terre.

254* On démontre j dans la Mécanique céleste ^ que pour la stabilité de lequilibre de la mer, il est nécessaire et il suffit que la densité moyenne de la terre surpasse celle de l'eau. C'est parce que cette condition est remplie , que les forces provenant des actions simultanées du soleil et de la lune ne produisent que de petites oscillations : si elle ne Tétait pas, et que la terre , par exemple , en conservant sa densité moyenne , fût recouverte par une mer de mercure y l'action des moindres forces étrangères au sphéroïde terrestre, produirait, dans ce fluide, un mouvement prc^ressif, de sorte que la mer, au lieu d'osciller, parcourrait la surface entière de la terre.

On prouve aussi , par diverses considérations , que la densité des couches concentriques du sphéroïde terrestre doit croître en allant de la surface au centre ; d'où il résulte que sa densité moyenne doit surpasser celle de la .couche superficielle; condition qui se trouve effectivement remplie ; car si Ton excepte les métaux, qui sont en petite quantité dans cette couche, les densités des autres matières dont elle est formée , sont toutes beaucoup moindres que cinq fois et demie la densité de l'eau. Mais il importe d'observer que cet accroissement de densité ne suppose pas l'exis-

49i> TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

tence de matières entièrement difierentes de celles qiic nous voyons à la surface , et dont la densité propre serait excessivement grande : on peut admettre que toutes les couches de la terre sont formées d'une même matière , un peu compressible, on d'un mélanf^e de tlinërcntes matières, comme à sa surface; et dans celte hypothèse , qui paraît la plus naturelle , leur accroissement de densité serait dû a la condensation produîfe, dans chaque couche, par la pression des couches supérieures, qui va eu augmentant de la surface ;iu centre.

Dans l'intérieur de la terre, la loi de l'attraction dépend de la loi inconnue des densités; en dehors, elle varie sur le prolongement de chaque rayon , à peu près en raison inverse du carré de la distance au centre; et d un rayon à un autre, elle éprouve eo même temps une variation proportionnelle au carré du cosinus de l'angle que chaque rayon fait avec Taxe de (îgure (lu sphéroïde terrestre. Il résulte de cette dernière variation qu'à égale distance du centre de la

produit dans le mouvement de la lune ; on conçoit que sa grandeur doit dépendre de Tapplatissement de la terre; et en la comparant à celle que Tobservatîon a donnée , on en conclut un applatissement j~j9 peu différent de celui qui résulte de l'en* semble des mesures du pendule et des degrés du méridien.

A la surface de la terre , la variation de la pesanteur provenant de celle de lattraction et de la force centrifuge, suit la même loi qu'à une distance quelconque du centre , c'est-à-dire qu'elle est proportionnelle , comme nous lavons déjà dit ( n"" 178 ), au carré du cosinus de la latitude. Mais pour vérifier cette loi par les mesures du pendule à secondes , il faut que les oscillations ne soient pas observées près d'une montagne ; car , en même temps que la composante horizontale de son attraction écarle le pendule de la verticale , dans sa position d'équilibre , la composante verticale de cette force diminue la pesanteur, et, conséquemment, la longueur du pendule simple. En évitant cette cause d'anomalie, on trouve encore qu'en certains lieux la longueur du pendule à se-* condes s'écarte de la loi de variation donnée par la théorie ; ce qu'on doit attribuer à ce qu'en ces lieux , la densité du terrein , dans une étendue et une profondeur considérables , est plus grande ou plus petite que la densité générale de la couche superficielle; d'où il résulte une augmentation ou une diminution de la pesanteur totale, et, par conséquent, de la longueur du pendule simple, qui est proportionnelle ù son intensité. Le pendule est donc aussi un instru-

ment de Géologie, qui annonce, par ses anomalies ^ des variations d'une grande étendue dans la nature du sol.

Au reste, il faut observer que la loi du décroissement de la pesanteur, proportionnel au carré du cosinus de la latitude , en allant du pôle à l'érpiateur , suppose qu'on prend pour la surface de la terre le prolongement du niveau des mers; et comme les lieux des continens où se font les observations s'élèvenl à des hauteurs diflerenles au-dessus de ce niveau, il est nécessaire de réduire les longueurs observées, à celles qui auraient lieu à ce nivcau-méme sur chaque verticale. Cette réduction se fait ordinairement en augmentant la pesanteur et la longueur du pendule à secondes , dans le rapport du carré de la distance du lieu de rol)servalion au centre de la terre, au carré de cette même dislance diminuée de la hanleur de ce lien au-dessus du niveau des mers; ce qui revient à négliger l'attraction de la coucbe de terre comprise entre la surface du continent et le prolongement de la surface des mers. On va voir, dans le naméro suivant , que cette correclion est trop graude de près de moitié. . .

a55. Soient AM'B ( fig. Sg ) la surlâce d'un continent,DAMBE le niveau des mers et son prolongement, et C le centre de la terre ; soient aussi M' le lien de l'observation, et M le point où le rayon CM' rencontre ce prolongement; M'M sera la hauteur du point M au-dessus de la surface des mers , que je représenterai par h, et qui sera donnée par un nivellement ou par des mesures barométriques. Si M' était

très voisin de la mer» la pesanteur pourrait être un peu diminuée et sa direction un peu dérangée , à cause que la densité de Feau est moindre que celle du terrein; mais je supposerai que cela n'ait pas lieu, et je supposerai aussi qu'autour du point M' la surface du terrein soit horizontale ou sensiblement perpendiculaire au rayon CM'^ et que sa densité soit uniforme. Il s'agira de calculer l'attraction exercée au point M^, par la couche AM'BM, élevée au-dessus du niveau des mers. Dans ce calcul , on poura faire abstraction de la courbure de cette couche et de la variation de son épaisseur, ou, autrement dit, on pourra considérer l'épaisseur de cette couche comme constante et égale à A, dans toute l'étendue où son attraction peut être sensible. Je représenterai par c le rayon de cette étendue, et par ^ la densité de la couche.

Cela posé, soit K un point quelconque de la couche attirante ; désignons par zeX j ses distances à la surface du terrein et au rayon CM'; et décrivons deux surfaces cylindriques qui aient MM' pour axe commun, et dont les rayons soient j'- et^-+-^- Le volume compris entre ces deux surfaces aura Trjrydjf pour base et dz pour hauteur; et si on le décompose en anneaux horizontaux d'une épaisseur infiniment petite, le volume de l'anneau qui répondra au point K sera nicydydzy et sa masse iir^ydydz. L'attraction de cet anneau sur un point matériel situé en M' se réduira à une force dirigée suivant MM', qui sera égale à la somme des composantes verticales des attractions de tous ses points; et comme ^ pour le

point quelconque fi., on a

KM' = v!r'

]a force accélératrice provenant de l'attraction de l'anneau entier, aura pour valeur

f étant toujours le coefficient de l'attraction universelle. Par conséquent, pour avoir l'attraction de la couche que nous conside'rons , il faudra intégrer cette formule depuis z ^ o jusqu'à s = A , el depuis J = o jusqu'à ^ = c ; ce qui donne

en désignant cette force par II. Mais , en géaéral , l'épaisseur verticale de la couche attirante est petite, eu égard à son rajon horizontal ; si donc on néglige h' par rapport à c*, on aura simplement

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 4g5

par g' et y^ au point M', on aura donc

g=.k^y, g'=.jJ^ + k'^y'.

Je développe le premier terme de ^ snivant les paissances de A ^ puis je retranche ^ de g ^ et je néglige le carré de h et la petite différence >' — > ; il vient

A cause de la petitesse du facteur -, on peut faire

kz=z g' dans le premier terme de cette formule; dans la petite quantité k!^ on peut aussi supposer

en désignant par p la densité moyenne de la terre, et prenant -^^ pour son volume ; il en résultera alors

et, par conséquent ,

Cest donc par le facteur compris entre les paren-

thèses, et non par le facteur i H , comme on a

coutume de le faire , qu'on devra multiplier la pesanteur g^ qui a lieu sur un continent, à une hauteur h au-dessus du niveau des mers , pour la réduire à ce

niveau. Ou |>eut, en géoéral, évaluer p' à la moitié

de p, et preDtire, eu conséquence, i + 7- pour ce

fadeur. A Paris, l'élévatioB h du poiat de l'Observaloire où se trouve le baromètre, est de 63 mètres; d'où il résulte que la gravité et la longueur du peudule à secoodes y sont moindres qu'au niveau des mers, dans le rapport de l'unité à i,ooooi25.

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