BE L9EQIJILIBBE D'UN CORPS SOLIDE

!256. n n'y a pas de corps solide, dans la nature, qui ne soit plus ou moins compressible, et qui ne change de forme lorsqu'il est soumis à des forces qui se font équilibre. Mais quand le corps solide que nous allons considérer aura pris la forme convenable, on pourra regarder les points d'application des forces qui le sollicitent comme un système de forme invariable ; et c'est à cet état que répondront les coordonnées de ces difTérens points, qu^on supposera connues, et qui entreront dans les équations d'équilibre.

Soient M , M', M'', etc. , ce système de points matériels. Pour chaque point on aura sept quantités à considérer, savoir, ses trois coordonnées, la force qui le sollicite, et les trois angles qui en détermi- I. 3a

4g3 TRAITÉ D» MÉCANIQUE.

neiit la dircclion. Je dcsignerai par P la force qui est ;ippliquéc au point M, et dont la direction sera la droite MD (fig. (io); par a:,jr, z, les trois coordon- TKJcs OG , GH , IIM , du point M , rapportées aux axes ruclanf^ulaiics Ox, Oj , Oz; et par a.,€,y , les angles aigus ou obtus que fait la droite MD, avec des parallèles à ces axes, menées par le point M. Re)ativenîiint aux autres points M', M", etc., je représenterai les quaiitîlés analogues par les mêmes lettres avec des acccus,

Cela posé, avant de cbercherles conditions d'équilibre des forces données P, P', P", etc., nous allons liansfornicr ce système de forces en trois autres, dont l'un sera composé de forces parallèles à l'axe Oz, un autre de forces parallèles à l'axe Oj et dirigées dans Io plan des x et ^, et te troisî^e de forces dirigées suivant l'axe Ox.

tS;. Décomposons chacune des forces P, P', P", etc. , .>^ans changer son point d'application , eu Irois forces p:irallèles aux axes des oc , y, z; P cos a.

pose la force g qui agit suivant MC , avec la force Pcos«t, dirigée suivant MA parallèle à Ox; soient ME la direction de leur résultante , et K le point ou son prolongement vient rencontrer le plan des x et jr. Je transporte son point d'application en ce point K , puis je la décompose en deux forces parallèles aux axes des x et z ; ce qui reproduit les forces P cos a et g ; mais la force P cos cl est maintenant dirigée suivant la projection sur le plan des x et jr, de sa première direction ; et la force g est appliquée ^ per*pendiculairement à ce plan, au point K de cette projection, dont les coordonnées sont faciles à déterminer.

En effet , H étant la projection du point M sur le plan des x etj^, ses coordonnées seront x elj', et l'on aura jr et x — KH pour celles du point K, puisque ces deux points appartiennent à une même parallèle à l'axe des x. Or, en considérant le rectangle KNMH^ dont la diagonale KM est la direction de la résultante des forces g et P cos a , qui agissent suivant les côtés KN et KH , on a la proportion

KH : HM :: P cos a : g;

d'où l'on tire

à cause de HM = z. Les coordonnées du point d application K de la force g, dans le plan des xeljr', sont donc

z9 cos ae

y et X •

5oo TRAITÉ DE MÉCANIQUE. '

En opérant de la même manière sur les forces P coS C et — g", la première sera transporlée dans le plan des x et j- suivant la projection de sa première direclion, et les coordonnées du nouveau point d'application de la force — g, dans ce même plan

On transportera par le même moyen toutes les forces P'cosa.', P"cos a,", etc., P'cosë', P"cosC, etc., dans le plan des x et ^■; chacune de ces force* agira suivant la projection sur ce plan , de sa direction primitive, qui pouvait être au-dessus ou au-dessous de ce même plan ; et Ton aura de plus autant de coaples de forces g cl — g', g' et — g", etc., qu'il y a de points M', M", etc. Les coordonnées des points d'application de ces dernières forces, dans le plan des x et }', se déduiront de celles qui répondent aux forces g et — gî *i'i accentuant les lettres x, j-, », g , P,

STATIQUE, SECONDE PARTIE. Soi

au point Q , où le prolongement de sa direction HK vient rencontrer l'axe Ox; puis je la décompose suivant les directions rectangulaires Qjc et Q^, ce qui reproduit en ce point Q les forces P cos a et //. D'ailleurs, on aura

GQ : GH :: P cos a : h;

et , à cause de OG = a: et GH =7", on en conclura

pour l'abscisse du point Q.

La force Pcos a, dont la direction était HF , sera donc remplacée par une force P cos cl, qui agira suivant l'axe Oœ, et deux forces A et — A, perpendiculaires à cet axe, et appliquées à des points Q et G dont les positions sont connues. U en sera de même à l'égard des autres forces P'cosa', P'^cosa", etc., parallèles à l'axe des œ, et comprises dans le plan des X et jTf qui seront aussi remplacées par des forces P' cos a, V" cos a", etc. , dirigées suivant la droite Ox , et par des couples de forces h' et — h\ h!' et — h", etc., parallèles à l'axe 0^.

259. Nous voyons donc que par ces deux opérations successives, les forces données seront transformées, comme on l'avait dit, en trois groupes de forces^ dirigées suivant l'axe des a:, perpendiculaires à cet axe et comprises dans le plan des or et ^, et perpendiculaires à ce plan.

Dans cette transformation, la force quelconque P se trouvera remplacée par six autres forces, qui seront :

i*. Les trois forces T cosy, g, — g, parallèles a

5oa TRAITÉ DE MÉCAPIIQUE.

l'axe des z, et dont les points d'applïcatioD sav le plan dt^s X et y ont poui* coordouoées rapportées aux axes Ox et Oj , savoir : celai de la première, x

et r; celui de ia deuxième, x — — et r: celui

de la troisienit; , x et j -f- .

3°. Les deux lorces Pcos^ — h et h, parallèles à l'axe des^, comprises dans le plan des x tlj^ et qu'oit peut supposer appliquées à Taxe des x; la première à la distance x du point 0 , et la seconde à la distance

rj^o^ •* ;, •

3*. La force P cos a. , dirigée suivunt l'axe de» X^ et dont ou pourra transporter le point d'application en 0.

2G0. II est facile actuellement de former les équations d équilibre des forces données P, P', V", etc., ou des trois groupes de forces qu'on vient de leur substituer.

On doit d'abord remarquer que cet équilibre ne peut exister, à moins qu'il n'ait lieu séparément

STATIQUE, SÇCONDE PARTIE. 5o5

les forces perpendiculaires au plan des ^ et^ de fitire tourner le corps solide autour de Taxe fixe ; par conséquent^ l'équilibre est impossible tant que ces dernières forces ne se détruisent pas séparément. Cela étant, on verra de même que l'équilibre ne peut exister entre les forces comprises dans le plan des x e\ y ^ sans que les forces parallèles à Taxe des 7* ne se détruisent entre elles; car s'il avait lieu, et que cette condition ne fût pas remplie , on fixerait un point de Taxe des x^ qui détruirait toutes les forces dirigées suivant cette droite : rien n'empêcherait plus les forces perpendiculaires à cette droite, de faire tourner le système autour de ce point ; en sorte que l'équilibre se trouverait détruit par l'addition d'un point fixe, «ce qui serait absurde.

Cela posé, si le corps solide que nous considérons est entièrement libre, il faudra d'abord (n* 67), pour l'équilibre des forces parallèles P cos ^, P'cos y' ^ V' cos y\ etc., g et — g, g' et — g', g^' -rt — g'^ etc. , que leur somme soit nulle ; ce qui donne

Pcos}^ + F cos y 4- F' cos 3." -f- etc. = o.

U faudra, en outre, que les sommes de leurs momens par rapport au plan des x et z et à celui des ^ et z, qui sont parallèles à ces forces, soient aussi nulles. Or, par rapport au premier plan , on a

T^Pcosy + yP'cosy H- yF'cos>" + etc. ,

pour la somme des momens des forces P cos y , P' cos y\ V cos y", etc. j celle des momens des forces

5o4 TRAITÉ DE MÉCAMIQUE.

Sf g'» s"» ^C-t es»

gy + gy + g'y + etc. ;

et la somme des momens des forces — g , — g*, — g", etc., a pour valeur

d'après les coordonnées des points d'application de ces diverses forces. Oa a donc , en ajoutant ces trois sommes et réduisant,

P(;-cos ^— z cos Ê) +Ï^C^cosî^' — z'cos G')+ etc.=: oj

et l'on trouvera de même, en formant la somme des momens des mêmes forces, par rapport au plan des ;- et Jï , et l'égalant a zéro ,

P(xcos5' — 2;cosa)+P'(x'cosy — z'eosa')-f-ctc.=o.

Quant aux forces P cos & — A , P' cos Ç — A' , F'cosfi" — A", etc., et A, A', A", etc., parallèles à Taxe des j, et tontes comprises dans le plan des x et j', il n'y aura que deux équations d'équilibre (n" 57): il sntfira que leur somme soit égale à zéro, ce qui donne

Pco8e+P'co3C-i-P"cose"+etc.s=o,

et que la somme de leurs momens , par rapport au plan des^ et z, soit aussi égale à zéro. Or, par rapport à ce plan , la somme des momens des premières forces est

j:(Pcosff — A)H-x'(P'cosC'— A')-f-etc. = o;.

STATIQUE, SECONDE PARTIE. 5o5

celle des momens des forces h , h', h", etc. , est ^ en même temps,

^(^5r£?^*)+A'(:c'-?>^^) + etc.;

d'après leurs distances à Taxe des ^ ; par conséquent, en égalant la somme totale à zéro, on aura

P(j: cos ^— :/• cos ol) -|-P'(x'cos C — j^cos a') -j- etc.= o.

Enfin y pour l'équilibre des forces dirigées sui« vaut l'axe des x^ il suffira que leur somme soit nulle; d'où il résulte

P cos a + P' cos a' + P'' cos a" + etc. = o.

Telles sont les six équations nécessaires et suffisantes pour l'équilibre d'un corps solide entièrement libre et sollicité par des forces quelconques , qu'il s'agissait d'obtenir.