EXEIIPLES DE L'ÉQUILIBRE D'UN CORPS FLEXIBLE

§ I". Équilibre du poljrgone funiculaire.

285. On appelle, en général , machine fimiculaire^ tout assemblage de cordes liées entre elles par des nœuds fixes , ou simplement passées dans des anneaux qui peuvent couler le long de ces cordes. Le nombre des cordons qui viennent aboutir à un même nœud peut être quelconque ; mais pour simplifier la question , nous supposerons que chaque nœud n'assemble jamais que trois cordons; et , en premier lieu, nous exclurons les anneaux mobiles.

Prenons donc une corde parfaitement flexible et dune longueur quelconque , dont A et B (fig. 71 ) soient les deux extrémités. Soient M , M', M", etc. , différens points de cette corde ; attachons à ces points des cordons MC , M'C, M'C, etc. , suivant lesquels agiront des forces données P, P', P^, etc. ; appliquons aussi au point M une force donnée H , agissant dans la direction du cordon MA , et au dernier des points M, M', M", etc. , une autre force donnée K, dirigée vers le point B. Dans Fétat d'équilibre, cette corde flexible formera un polygone dont les sommets seront

les points A , M , M', M',... B, etque nous appellerons spécialement un polygone funiculaire. Il s'agît de trouver les conditions que les forces données H, P, P', P', . . ■ K , doivent remplir pour que cet équilibre soit possible , et de tlélermîner la figure du polygone qui convient à cet état.

Pour trouver ces conditions , je pars de ce principe évident que si l'équilibre existe, chacun des cordons MM', M'M', etc., doit être tiré, à ses deux extrémités, par des forces égales, dirigées suivant ses prolongemeus; car si ces deux forces n'avaient pas la même direction que le cordon , rien ne les empêcherait de le faire tourner; et si «lies n'étaient pas égales et contraires, elles feraient avancer le cordon suivant sa direction.

U s'ensuit d'abord que la résultante des denx forces. U et P, appliquées au point M , doit coïncider avec le prolongement MD du cordon M'M. On peut donc transporter le point d'application de cette force au point M' situé sur sa direction ( n° 41 ); en la composant ensuite avec la force P*, appliquée à ce point, il faudra que cette seconde résultante , qui sera celle des trois forces H , P, F', coïncide avec le prolongement M'D' du cordon M'M' ; et, par conséquent, il sera permis de la transporter an point M'. Je prmds encore la résultante de cette force et de F' qui agit ence même point M'; j'ai, de cette manière, la force qw tire le cordon M'IVI"* à son extrémité M", et qui doit être dirigée suivant son prolongement M^". Cette force est, comme on voit, la résultante des forces H, P, P', P"; ua raisonnement semblable prou-

verait qae la force qui tire le même cordon à son extrémité M''', et qui doit coïncider avec son autre prolongement M'^'D'", est la résultante des forces P''', P'%. . ., K; ces deux résultantes sont donc égales et directement opposées; et, conséquemment , la résultante de toutes les forces données H, P, P', P*. . . . K, doit être égale à zéro. On parviendrait évidemment au même résultat, en considérant les forces qui agissent aux deux extrémités de tout autre côté du polygone. A insi y les forces appliquées au polygone funiculaire doivent être telles qu'en les transportant en un même point parallèlement à elles-mêmes , elles s'y fassent équilibre ; ce qui donne y comme on sait y trois équations entre les grandeurs de ces forces et les angles que font leurs directions avec trois axes rectangulaires menés par ce point. Ces équations sont (n** 35)

Hcosa+Kcose+Pcosflt+P'cosa'+etc.= o, ) Hcosi+Kcosy-f-Pcos^+P'cosÇ'+etc.=o, ? (a) H cosc+Kcosg"+Pcos7+P'cosy+etc,=o; )

Uy Cy Af a% etc. , désignant les angles relatifs à l'un des axes; byfy €y €', etc., les angles relatifs à un autre axe; et c, g, ^, y, etc., ceux qui répondent au troisième.

286. Lorsque les forces H, P, VyTf'p. .• K , et les directions des cordons par lesquels elles agissent y ne satisferont pas à ces équations, il sera impossible qu'elles se fassent équilibre par le moyen du polygone funiculaire, quelque figure qu'on lui donne; mais toutes les fois que ces équations seront salis--

:s, on pourra donner au polygone une figure l'équilibre ail lieu. Les grandeurs et les dilons des forces H, P, P'. P",. . . R, éfanl doncette Hgure est déterminée, et sa construction de la suite de compositions de forces que nous Ms indiquer.

i ;t , connaissant tes directions des cordons et C, par lesquels agissent les forces H et P, léterminera la g et la directîou de leur

dtante. Sur le prok int de celte direction , à

rtir du point M, je ; ia longueur donnée du

é MM'; cela fait, j': le au point M' la résul-

ite de H et P suivan ne M'M, et la force P"

ivanl la direction don i cordon M'C. Je prends

résultante de ces deux ces, et sur le prolongeant de sa direction , à pa r du point M', je porte longueur donnée du colé M'M". Mainlenant , je fais au point M" une construction semblable à celle que je viens d'indiquer ponr le point M; j'applique en M" la dernière résultante sur le côté M"M', et la force P" suivant la direction donnée du cordon M"C"; je compose ensuite ces deux forces en une seule, et, sur le prolongement de celle-ci, je porte la longueur donnée du cÀté M"M'.

Je continue ainsi jusqu'à ce que je sois parvenu an dernier des nœuds M, M', M", etc., qui sera, je suppose, le point M'*, de sorte que M'*B soit le deniier c6té du polygone. Sa direction est connue, puisqu'elle représente celle de la force extrême K, qui est donnée par hypothèse. Il faudra donc que la direction prolongée de la résultante des deux forces appli-

quëes au point. M'% suivant le côte M^TVI'^et suivant le cordon M'^C'% coïncide avec la direction donnée du côté M'^B. C'est, effectivement, ce qui arrivera toujours; car, d après notre construction, la force dirigée suivant M'^M'" n'est autre chose que la résultante des cinq forces H, P, F, P", P'", transportées au point M'^ parallèlement à leurs directions; en la composant avec la force P'% dirigée suivant M'^C'% on aura la résultante de toutes les forces données , moins la force K; or, en vertu des équations (a), qu'on suppose satisfaites, cette résultante est égale et directement opposée à la force K (n" 55).

Si Ton mène par le point A, les trois axes auxquels se rapportent les angles a, e, m, a', etc., h, f, Ç, & y etc. , ^, g, >, >', etc., les coordonnées de chacun des sommets du polygone , rapportées à ces axes , seront les projections sur ces mêmes axes de la partie du polygone comprise depuis le point A jusqu'à ce sommet. On pourrait les calculer, en fonctions de ces angles , des longueurs des côtés du polygone et des forces données ; les formules générales que Ton obtiendrait de cette manière serviraient, dans chaque cas, à construire directement tous les sommets du polygone, ou seulement un ou plusieurs de ces points ; mais il est plus simple de déterminer successivement , et les uns au moyen des autres , les différens côtés du polygone, ainsi qu'on vient de l'indiquer.

287. Quand les forces données remplissent les conditions exprimées par les équations (a), et qu'on a fait prendre au polygone la figure propre à Téqui*

libre, l'intensité commaae des deux forces égales et contraires qui tirent chacun des côlés suivant son prolongement, est la tension que ce cordon éprouve; il est donc important , dans la pratique , de calculer cette tension , et de s'assurer, par l'expérience, qu'elle ne dépasse pas celle qu'un cordon du même diamètre et de la même matière peut supporter sans se rompre,

Or, d'après ce qu'on vient de voir^ cette tension variera d'un côté à l'autre du polygone; la tension du côté MINI' sera égale à la résultante des forces H et P, ou à celle des forces P', P", P'",. . . K; la tension du cùlé M'M" sera égale il la résultante des forces H, P, P', ou à celle des forces P", P'",. . . K; et ainsi de suite. 11 sera donc aisé, dans chaque cas particulier, de déterminer les tensions qu'éprouvent tons les côtés du polygoue en équilibre, lorsque les gran~ deurs et les directions des forces 11, P, P', P",. . . K, seront toutes données.

Si les points extrêmes A et B du polygone sont fixes, les forces H et K représenteront à la fois les tensions des cordons qui aboutissent à ces points et les pressions que ces points éprouvent. Dans ce cas» les valeurs de H et K, et des angles a, é, c, e,/*, g, qui déterminent les directions des deux côtés extrêmes du polygone, ne seront plus données ; mais on aura huit équations pour déterminer ces buit inconnues, savoir, les équations {a), les équations (n* 6) cos'a+cos'i-f-cosV=i, cos'e-J-cos'/-|-cos'g=:i, et trois équations résultant de ce que la position des deux points fixes  et B est donnée. On formera

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 557

celles-ci en calculant les valeurs des trois coordonnées de l'un de ces points , rapportées à des axes passant par l'autre point, c'est-à-dire, les projections du polygone entier sur ces trois axes, et les égalant aux valeurs données de ces mêmes coordonnées.

La détermination de ces huit inconnues sera généralement très compliquée; mais après que le poly* gone funiculaire aura pris de lui-même la figure propre à l'équilibre des forces appliquées à ses som* mets, on obtiendra sans difficulté les tensions de ses différens côtés ; ce qui suffira pour la pratique. Ainsi y en décomposant la force P appliquée au point M en deux autres forces dirigées suivant les prolongemens des côtés AM et MM', les composantes, données immédiatement par la règle du parallélogramme des forces, seront les tensions de ces deux côtés. Celle qui agira suivant le prolongement de AM devra être égale à la force agissant suivant ce premier côté, lorsque le point A sera libre; et quand il sera fixe, elle exprimera la pression exercée sur ce point. Pareillement , les composantes de la force P' suivant les prolongemens de MM' et M'M", exprimeront la tension de MM', déjà connue par la décomposition de P, et celle du côté adjacent M'M"; et ainsi de suite.

288. Les cordons qui forment les difierens côtés d'un polygone funiculaire sont toujours un peu extensibles; chacun d'eux s'allonge d'une petite quan«titéy en raison de la tension qu'il éprouve dans l'état d'équilibre ; et lorsque cette tension est connue , on peut calculer l'allongement correspondant.

En effet, l'expérience f»*oave que tant que la

teasîoa d'un fil homogène et d'une épaisseur constante n'approche pas de la force nécessaire pour le rompre, son allongement est proportionnel à sa longueur et à la tension qu'il éprouve j il varie d'ailleurs, d'un Gl à un autre, avec l'épaisseur et la matière du fil. Cela étant, je suppose que l'on attache à an point fixe un fil de la même épaisseur et de ta même matière que le cordon AM , et que l'on suspende à son extrémité inférieure un poids donné fT, très grand par rapport à celui du lil. Soient l et t(i -f-isr) ses longueurs avant et après la suspension du poids Tï; cette quantité 'Sr sera une fraction très petite, indépendante de / et proportionnelle à II , en négligeant le poids du fil ; en sorte que si, dans une autre expérience, les trois quantités /, o-, n, sont f, '»■', n', on aura

quels que soient / et /'. Or, il est évident qu'un fil at' taché à un point fixe et tiré à son autre extrémité par une force dirigée suivant son prolongement , est dans le même état que s'il était lire par cette même force suivant ses deux prolongemens. Si donc on appelle T la tension du cordon AM, et si l'on suppose qu'il se soit allongé dans le rapport de i-f-Tà l'unité, on aura

pour déterminer cet allongement; et il en sera de même pour tous les autres côtés du polygone.

STATIQUE, SECONDE PARTIE. SSg

289. Soit qœ les points CJLlfémcs A et B da polygone soient fixes, ou qu'ils soient libres, si l'nn ou plusieurs des nœuds M, M', M'', etc., sont remplaces par des anneaux, cette circonstance donnera lieu à de nouvelles conditions d'équilibre. Supposons, par exemple, que M'' soit un anneau mobile qui puisse glisser le long du cordon M'M^'M''' ; il est clair que dans ce mouvement la somme des distances M'M'' et M^'M"', du point M" aux points M' et M''', restera constante. Or, si Téquilibre existe, cet état ne sera pas troublé en rendant fixes ces deux derniers points; mais alors le point M'' sera dans le même cas que s'il était astreint à demeurer sur la surface d'un ellipsoïde de révolution, dont M' et M'^^ sont les deux foj^ers, et dont le grand axe est égal a la longueur donnée du cordon MIM^M'"; donc ce point ne peut rester en équilibre (n* 36), à moins que la force P'' qui lui est appliquée ne soit perpendiculaire à cette surface; d'où il suit, d après une propriété connue de l'ellipse, que la direction de cette force doit couper en deux parties égales l'angle des deux rayons vecteurs M"M' et M"]W'.

Lors donc qu'en exécutant la construction du n"* 286, on sera parvenu à un anneau mobile tel que M'', et que l'on aura pris la résultante des deux forces dirigées suivant M"M' et M"C", dont le prolongement sera le côté M'M"'; si l'on trouve que les angles C"M"M' et C'M'W ne sont pas égaux entre eux , il en faudra conclure que l'équilibre n'existe pas. En général, il faudra que la direction du cordon M!'C', attaché a un anneau mobile, ne

TRAITÉ DE MÉCANIQLE.

doDDée d'avance, afin qu'on puisse, en la iinant d'une manière convenable, remplir la m de légalité des deux angles M'W'C" et

ervons que dans l'état d'équilibre, les tensions i côtés adjacens à un anneau mobile seront es entre elles; cela résulte de ce que ces deux font des angles égaux avec la direction de la rce appliquée à ce) -innpaij, ei que leurs tensions lut les composante; tie force suivant leurs

■oprcs directions; n: ; égalité de tension peut

ssi être considéi-ée > évidente en elle-même,

lisque les deux cùtét g desquels l'anneau peut

lisser ne forment qu'un cordon , qui doit nécessairement éprouver la même tension dans toute son ■tendue.

390. Ce que nous disons à l'égard d'un anneau obligé de glisser le long d'un fil considéré comme inextensible et parfoitement flexible, peut s'étendre à tous les points d'un système de points matérïeb en équilibre. Quelle que sott la liaison de ces points entre eux , on ne troublera pas cet équilibre en fixant Ions les points du système , excepté un seul. Or, si la liaison de ce point avec les autres est telle qu'il puisse encore décrire une surface ou seulement une ligne courbe autour de ces points fixes, il est évident que le point mobile sera dans le même cas que si la surface ou la ligue courbe existait réellement; par conséquent, la direction de la force qui lui est appliquée doit être normale à cette surface ou à celte ligne.

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 56 1

Concluons donc que dans tout système de points matériels en équilibre , la force appliquée à chacun de ces points est perpendiculaire à la surface ou à la ligne sur laquelle ce point serait obligé de rester^ si tous les autres points auxquels il est lié étaient regardés, pour un moment , comme des points fixes.

Quand cette condition , relative à la direction des forces et à la liaison des parties du système, n*est pas remplie, on peut ôtre certain que Féquilibre n'existe pas ; mais elle ne suffit pas à elle seule pour assurer l'équilibre du système.

291. Si toutes les forces qui agissent sur un poly* gone funiculaire suspendu aux deux points fixes A et B, sont des poids donnés, il résulte de la construction du n* 286, que ce polygone tout entier sera contenu dans le plan vertical passant par ces deux points ; et cela est d'ailleurs évident en soi-même , puisqu'il n'y aurait aucune raison j)Our qu'il s'écartât de ce plan plutôt d*un côté que de l'autre. En prenant alors la perpendiculaire à ce plan pour l'axe auquel répondent c , g , > , >' ^ etc. , tous ces angles seront droits, et la troisième équation (a) disparaîtra; les deux autres se réduiront à

Hcosa + Kcose =0, 1 >.tx

Hcosô + Kcos/+ n = o, J ^^

en supposant que les angles a, e, a, a', etc., répon»* dent à un axe horizontal, et les angles b, f, €p C% etc., à un axe dirigé dans le sens de la pesan*^ 1. 36

563 TKAITÉ DE MÉCAKIQUE.

teur, et en rcprcsentanl par R la soutioe ties p

P*, P", etc., appliqués au polygone.

L'équilibre de ce polygone ue sei-a pas ti-oublc à l'on rend sa forme invariable; par conséquent, la force n devra être égale et directeraeul opposée à la résultanle des forces U et K. En vertu des équations (i), elle est déjà égale et contraire à cette résultante; il faudra donc encore qu'elle pas&e par le point 0 ( fig. 72 ), où les prolongemens des cordoos extrêmes AM et BN viennent se couper, et qu'oa peut prendre pour le point d'applicatiou commua aux deux forces H et K. Ainsi, dans letat d'équilibre, la résultante fl des forces verticales P, P', F'', «te., sera dirigée suivant la verticale ODj et, cela ëlaot, on aura les proportions (n° a<j)

sin BOD : :

sia AOD : ;

I AOB, I AOB,

qui feront connaître les tensions des cordons extrêmes , ou les pressions U et K exercées sur les deux Doints lîxes A et B. quand on aura mesuré les shpIm

STATIQUE, SECONDE PAKTIE. 563

longement de cette droite, et con^truisoDS le paml-» lélépipede doat MD' est la^diagonale, et qai a ses trois côtés ad jacens MA', MB', MC, sur les directîoi» des trois cordons. Si l'on représente la force P par la droite MD% ses composantes suivant ces directions seront représentées par les droites MA', MB', MC, et elles exprimeront les tensions des trois cordons MA, MB, MC, on les charges des trois points fixes A , B, C, lesquelles se trouveront, dans ce cas, complètement déterminées. Mais , lorsque les cordons aboutissant au point M seront au nombre de quatre , ou en plus grand nombre, on pourra décomposer la force P d*une infinité de manières différentes, suivant leurs directions; en sorte que leurs tensions et les charges des points fixes ne seront plus déterminées , et une ou plusieurs d*entre elles pourront être nulles, ou prises arbitrairement. Or, cette indétermination aurait réellement lieu dans la question abstraite , où Ton n'a tenu aucun compte de Texteusibilité des cor-* dons; mais elle n'existe plus dès qu'on a égard à cette propriété de la matière : alors tous les cordons s'allongent un tant soit peu ; leurs extensions dépendent de leur nombre et de leurs positions relatives ; et si Ton mesurait ces petits allongemens, on en pourrait conclure la tension de chaque cordon, ou la charge de chaque point fixa qui a réellement lieu.

Ainsi , en supposant que le cordon AM, par exemple, se soit allongé duns le rapport de i4*crii l'unité, et sachant, d'ailleurs, qu'un cordon de même matière et de même diamètre s'allonge dans le rapport de

5ti4 TIUITÉ DE Mt-CAMQUK-

j -^-t^s^a l'unité, tjuand on le suspend verticalement à un point fixe , et qu'on attache le poids P a son extrémité inférieure, on en conclura (n' 288) que la tension éprouvée par ce cordon , ou la charee que supporte le point A, est égale au produit - P.

Si l'on désigne par -œr' et «T', la" et /", etc.^ ce que deviennent les fractions tar et J" relativement aux cordons MB, MC, etc., et par y, y', y", etc., les angles aigus que fout les cordoos MA, MB, MC, etc. , arec la verticale MD', Il faudra qu'on ait

- cos > + ^ cos j-' 4- ^cosy + etc.^ 1,

afin que la somme des composantes verticales de toutes les tensions soit égale au poids P. En projelant les mêmes conJons sur un plan horizontal mené par le point M, et désignant par a, <o' , cd", etc. , les angles que les projections de MA, MB, MC, etc., font avec une droite "MO tracée arbitrairemeut dans ce plan, on aura aussi .j^^H

moyen des angles que ces trois cordcVns font avec la verticale MD'^ et des angles compris entre les plans de cette droite et de leurs directions. Quand il n'y en a que deux, leurs directions et cette verticale sont comprises dans un même plan ; ce qui réduit à une seule les deux dernières équations.

§ II. Équilibre dun Jil Jleœible.

293. Considérons d'abord un fil pesant, homogène et d'un diamètre constant; supposonsrle parfaitement flexible et attaché par ses extrémités A et G (fîg. 74) à deux points fixes; et proposons-nous de déterminer la courbe ABC qu'il forme dans son état d'équilibre. On nomme cette courbe la chaînette; elle est évidemment comprise dans le plan vertical passant par les deux points fixes A et C ; car il n'y aurait aucune raison pour qu'elle s'en écartât plutôt d'un côté que de l'autre.

Par un point 0, menons dans ce plan deux axes rectangulaires 0^ et Qt* , qui seront ceux des coor-^ données positives ; prenons (Xr horizontal et dirigé du côte du point A, et 0^ vertical, dirigé en sens contraire de la pesanteur, et passant par le point B^ le plus bas de la courbe. Soient x eX, y- les coordon^ nées OP et PM, rapportées à ces deux axes, dun point quelconque M de la chaînette, et s l'arc BM aboutissant en ce point et compté du point B; et dé^ signons par ocf ^ y\ s\ ce que deviendront x, y, s , relativement à un autre point de cette courbe ^ tql que Ton. ait Jî' >\ ^» - ,rr -

Si l'on appelle p le poids de l'ututé de longueur du fil, lorsqu'il est coucl)« sur un plan horizontal , p (s' — s) sera , dans cet étal , le poids d'u ne longueur s' ^s du même fil , puisqu'on le suppose homogène et d'une épaisseur constante. Quaûd il sera suspendu aux deux points fixes A et B, ses diflëreotes parties s'allongeront inégalement, à raison de leurs tensions respectives; et, eu même temps, leurs densités ou leufs épaissenis diminueront de manière que leurs masses ne changent pas ; par conséquent , le poids de cette longueurs' — sae sera plus exactement le même qu'auparavant ; mais si la matière du fil est très peu extensible, et qu'on néglige les petites dilatations de ses parties, on pourra encore prendre p{s' — s) pour le poids correspondant à l'arc MM' de la chalnetle.

Soient, eu outre, T et T' les forces inconnues qui agissent à ses extrémités M et M', et proviennent de ce que ces points sont liés aux parties CM et AM' de cette courbL-. Enjoignant ces forces au poids /?(/ — s), on pourra considérer MM' comme entièrement libre;

Eontale du centre de gravité de l'arc MM'. ElW auront lieu , quelle que soit la longueur de cet arc : si on la suppose infiniment petite, on pourra négliger, dans ces équations , les quantités infiniment petites du second ordre; mais il faudra conserver les quantités du premier ordre; ce qui n*empécbera pas qu'on ne doive considérer la force T comme étant dirigée suivant la partie MH de la tangente , a Texti^mité M , et la force T', suivant la partie M'H' de la tangente , à lautre extrémité M\

Pour le faire voir, prenons sur MM' un point m tel que l'arc Mm soit infiniment petit du second ordre; ce qui permettra de négliger le poids de cette partie de la chaînette. Si l'on fixe le point m^ réquilibre ne sera pas troublé ; or, le fil étant sup* posé parfaitement flexible, il n'jr aurait rkn qui empêchât la force T de faire tourner l'arc Mm autour de m, si elle n'était pas dirigée suivant son prolongement MH. On verra de même que la force T' doit être dirigée suivant M'H'.

D'après cela, nous aurons

dx p dr

cos<i = — ^, cosC = — g,

et en n^ligeant les infiniment petits du second ordre , ces dernières valeurs seront

cos«'*=g-Hrf.^, cosff'= g + rf.f.

On pent aussi prouver qu'on a T'=sT«f*</T. En

efiet, la quantité T est une fonction des coordoanées du point quelconque M auquel elle répond , qui devient, conséquemment, T-f-^/T au point M'; en ce point, elle exprime la foice qui agit sur la partie supérieure AM' de la clialnetle, suivant la direction M'II, , prolongement de H'M'. Or, si m' est un point de la courbe dont la distance à M' est inHuiment petite du second ordre, la force qui agît en m' sur la partie Am', sera la même , en grandeur et en direction, que celle qui agit en M' sur AM'; par conséquent, la partie M'm' de la chaînette est tirée en sens contraire, suivant M'H' et m'H^, par des forces T' et T + (/r, qui doivent être égales pour que M'm' demeure en équilibre,

Cela posé , je substitue ces différentes valenrs dans les deux premières équations (a), et j'y fais/ — t — r/y; elles deviennent

rf.T^f=o, 'l.T'£ = pd.. (A)

Quant à la troisième, elle prendra la forme

en y négligeant les infiniment petits du second ordre, ce qui permet de remplacer jr, par x dans son second membre. Or , cette éqaation eat la même

chose que

et, comme on voit, elle est une suite des deux au-

très. Effectivement I le problème ne peut dépendre que de deux équations , puisqu'il n'y a que deux inconnues ^ et T à déterminer en fonctions de j: ; la première , pour connaître l'équation de la courbe , et la seconde^ pour savoir quelle est la tension en un point quelconque M, c'est-à-dire^ la grandeur des forces égales qui tirent l'élément Mm suivant ses deux prolongemens.