L'intégrale de la première équation (b) est
0w dx
en désignant par c la constante arbitraire. Au point B, on a j- = I et T = c ; si donc on représente la tension en ce point le plus bas, par le poids d une longueur A du fil ^ on aura c=ph, et, en un point quelconque ,
La seconde équation (b) deviendra donc d'où l'on tire
hd.^£^ds;
en observant qu'on a , en même temps ^ ^ z= o et
dr . , '.
'j- = o au point B. Ces équations feront connaître
immédiatement l'arc s et la tension T , lorsque l'ordonnée j" aura été déterminée en fonction de x.
S;» THAITÉ DE HÉCIHIQCE.
En mettant dans l'équation préc^eate, k la place de r/f, sa valeur
ds
= dx\/
En intégrant et observant qu'on a j:^o et ^ = au point B , on en dédaït
. = Alog(-|^ tt, par conséquent.
(* e'tant, à l'ordinaire, le base des logarithmes népériens. Je multiplie cette équation par
STATIQUE, SEœNDE PARTIE. S^t
d'où l'on tire
en observant que ssszq et xtstù, an point B , et prenant 1 origine 0 des coordonnées à la distance h au-dessous de ce points de sorte qu'on ait ^ se A quand ^ = o.
Jr Ces équations (c) donnent s=:h-^, comme plus
haut. La seconde est l'équation de la chaînette, sous la forme la plus simjde; elle montre que cette courbe est symétrique de part et d'autre de son point le plus bas.
La valeur précédente de T deviendra
'ï' — M ^ = /îr;
en sorte que la tension en un point quelconque M est exprimée par le poids d'une longueur du fil , égale à la perpendiculaire MF abaissée de C6 point sur la droite horizontale^ passant par le point 0. Cest au point B que cette tension est la plus petite ; et sa valeur en ce point est pk , comme on l'a supposé.
2g5. n ne reste plus qu^à déterminer la constante h qui entre dans ces formules. L'expression de ^ fera ensuite connaître la figure de la chaînette ; mais pour que sa position soit connue dans le plan vertical passant par les points A et C , il faudra aussi déter-
S;! TRAITÉ DE MÉCANIQliE. ^
miner la Jîstance de l'axe Of à l'un de ces points fixes.
Pour cela, je mène par le point A une horizontale qui coupe l'axe- 0^- eu un point Q, et par le point C, une verticale qui rencontre cette horizontale au point D. Ija position du point C , par rapport au point A, étant connue , les distances AD et DC seront données. Je les représente par a et ^ ; je désigne aussi par k 1» dislxince AQ ; en sorte qu'on ail
AD = rt , DC = J , AQ = >t , OB = /i ;
a et h étant des quantités données, cl k et h les Jeux inconnues qu'il s'agîra de déterminer.
J'appellerai /i la dislance QD , / la longueur doDnée de la courbe ABC , g et g" ses parties AB et BC,/la nèche BQ; oa aura ^
en regardant k' et g' comme des quantités positives ou négatives, selon que le point C appartiendra au prolongement de AB ou à AB même. Les ordoo-
STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 573
il en résultera
d'où l'on tire
/ k k y kfy.
• * * y Vv
= Ke^ + e * - e^ - e"^).
De là et de ^ + ^' = ^ > OQ conclut
/' — *• = A» \e^ 4- e~* — a), et , par conséquent ,
en faisant y pour abréger ^
Cette quantité /i étant composée de quantités données^ l'équation {^d) fera connaître la valeur de a, et par suite celle de h. En général y cette équation se résoudra par des essais ; et Ton en déduira la valeur numérique de a d'après ceUe de n , aussi exactement qu'on voudra. Si n diffère très peu de Tunité, la valeur de cl sera très petite ; en développant alors
les expooentielles , et négligeant la quatrième puisjJ sance de a , on aura simplement a.* = 6(n — i). Si nous faisons aussi
DOus aurons
k = ia + hë, k' = ^a — hC; et la valeur pre'cédente de b deviendra
ce qui fera connaître la valeur de €, d'après celte de h, et, conséquemment, les quantités k et k'. Le signe de k' décidera de quel côté de Oj, le point C sera placé.
Le cas le plus simple aura lieu quand les points fixe& Â et C seront situés sur une même droite horizonlale. On aura alors 5 ^ o ; l'équation (c) donnera C = o, et, par suite, k^k'^^a, comme cela doit être. On aura, en même temps,
A +/= Ke"^+ e 'V;
ce qui fera connaître les tensions aux points A et C , ou les charges que ces points fixes auront à supporter, après que la valeur de k aura été calculée. Dans le cas général, ces tensions extrêmes se déduiront des valeurs àe jf , correspondantes à x = k et X = — A'.
