J P "HL
c et d étant des constantes arbitraires. £n intégrant et observant que les variables x* ^\.y sont nulles eq même temps , il vient
et , par conséquent ,
x' + c + \/{x' + c/ ^ c'^^ ye"" ,
en faisant , pour abréger ,
On tire de là
en faisant aussi
On aura doue
pour lëquation de !a courbe qui jouit de demandée. Au point C, on aura
a propriété
a étant la distance donnée de ce point à l'axe \x', de sorte qu'on ait à la fois x'ss 6 eiy = <*• Cette équation particulière et la longuear / de la courbe serviront à déterminer les deux constantes c et c'.
Maintenant, pour faire coïncider l'équatioD (J^ avec celle de la chaînette > désignons par e une constante indéterminée, et changeons les coordonnées x' etj^ en d'autres, telles que l'on ait
de manière que ces nouvelles cooixloanées x et/ soient dirigées en sens contraire de y et x', et rapportées à une autre origine. Par ce chaDgemeot, l'é-
qiiation (/) deviendra
« or
Déterminons la quantité € , en posant 1 équation
et décignons par — A , la valeur commune de ces deux quantités égales , de sorte qu'on ait
Comme on a yy' = c'*, il en résultera A = c'j et lequation précédente de la courbe deviendra
ce qui coïncide avec la seconde équation (c) que nous avons trouvée pour la chaînette.
297* Si la force verticale qui agit sur chaque élément du fil suspendu aux points A et C ( fig. j4)f au lieu d'être proportionnelle à la longueur de Télément ds, est proportionnelle à sa projection horizontale cLr , la seconde équation (b) deviendra
p étant une constante donnée qui repr&ente le poids d'un prisme dont la hauteur est l'unité linéaire. Eo vertu de la première équation (b), qui ne changera pas^ on aura toujours
ea designaat par ft nae ligne de longueor încoDDae, et par ph un poids équivalent à la tCDsion au polot B, le plus bas de la courbe. Il ea résultera donc
A^.^ = rfx;
■ dx
1 l'on tire
en plaçant l'origine des coordonnées xel^T" au pointB. Dans ce cas, la courbe sera, comme on voit, nne parabole qui aura son sommet au point le plus bas ; et l'on aura
T = p VA' + x%
pour la tension en na point quelconque.
Eq employant les notations du n" aç)5 , on aura , aux points A et C,
3hJ ^ k\ aA(/— h) = Jf",
et à cause de A: + Ar' ^ a, on en conclura
lura, I
STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 579
En supposant , pour plus de simplicité , les deux points A et C dans une même droite horizontale, on aura
A = o, k =1 k z=z ju;
rëquation précédente se réduira à
hl = h-\o^l±^L±I: 4. A vâ^hTâ^j
et l'on en déduira, par des essais, la valeur approchée de h j lorsque les valeurs numériques de / et A: seront données.
Cette inconnue h se déterminera plus facilement quand la longueur / de la courbe différera très peu de sa projection a\ ce qui rendra la valeur de h très grande par rapport à a. On aura alors, en séries très convergentes.
V/A« + A» = A + 1 ^- — i^; -f. etc.,
*°g ——H = * - i Al + «**=•
Au moyen de ces valeurs, Téquation précédente devient, à très peu près,
d'où l'on tire
58o illAlTÉ DE MÊCABIQUE.
On a tlioifii cet exemple, parce qu'il trouve Due application utile dans la coaslruclïon des pools saspendus, où il est important de calculer la tension (le la cliaine de suspension et la charge de ses points d'appui.
21)'^- Supposons actuellement que tous les poiols du m soient sollicités par des forces quelconques. Il Ibi-nicrn, en t^enéral, une courbe à double courbure; Icj équations dVqnilibre de chacun de ses elëmcns seront au nombre de trois; et, en supposant toujours le lîl parfaitement flexible, on obtiendra ces équations par h's considérations que nous avons exposées eu détail dans le n" 2g3. De cette manière, on trouve
,/.T'^-i-Xids = o, \
,/.Tf: + Y€rf. = o, \ (,)
-I.T '-'" -j- Zeds = o; \
lis ' )
ut les coordonnées rectangulaires d'un
Eu vertu de la tension T, rélëment ds aura éprouvé une extension et la quantité € une diminution, telles que la masse îds n'ait pas changé ; en désignant donc par ds' et e', ce que ces quantités étaient dans Tétat naturel du fil , on aura
ids = eW;
et en supposant Textension proportionnelle à la force qui la produit (n* 288), nous aurons, en même temps,
ds = {\ + œT)ds'i (2)
a> étant un coefficient très petit, dépendant de la matière et de l'épaisseur du fil au point M. Quand le fil sera homogène et d'une épaisseur constante dans toute sa longueur, c' et cà seront des quantités constantes; mais, en général, ces deux quantités pourront être regardées comme des fonctions données de l'arc 5"', compté d'un point déterminé du fil et aboutissant au point M.
299. Si le fil , de nature quelconque, est seulement soumis à la pesanteur et suspendu verticalement à un point fixe que j'appellerai A, les deux dernières équations (i) disparaîtront, et la troisième se réduira à
dT + gîdx = o,
en prenant l'axe des x vertical et dirigé dans le sens de la pesanteur, et désignant cette force par g. Je place au point A l'origine des x, et j'appelle Q la valeur de T qui répond à 07 = o , c'est-à-dire , la charge que ce point aura à supporter. Au point quelconque M , on aura
58ï TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
T = Q - g/a/x; l'iotégrale élant nulle en même temps <fue
Appelons B rextrémité inférieure du fil ; nt(acliODs en ce point un poids P, et désignons par / la longueur de AB. Il est évident que P sera la teosion au point B; on aura donc, en même temps, x = l, ut T := P ; ce qui donne
et, par conséquent,
T = 1? + gf' uijc—gfuh:.
Or, le second et le troisième terme de cette formule sont les poids du lil entier et de sa partie AM ; il s'ensuit donc que la tension au point M est le poids de la partie BM , augmenté du poîds P; ce qui est d'ailleurs évident.
La loi de l'allongement du fil dans toute son étendue . déneud de sa nature et de son éoaisseur. Je snn-
STATIQUE, SEœNDË PARTIE. 583
longement, et p son poids entier. Le poids de la par-
tîe BM sera ^-^ — j ^, et la tension au point M
aura pour valeur
T = p + PlL=^l.
En la substituant dans Féquation précédente, intégrant et observant qu'on aor'so eta: = oau point A , il vient
pour l'allongement de la partie AM. On en déduit rallongement total en faisant 0?'=/' et a: = /; ce qui donne
/f=«/'(p+ip).
en sorte que pour avoir égard au poids du fîl dans le calcul de cet allongement, il faut ajouter la moitié de ce poids à celui qui est attaché à son extrémité inférieure.
3oo. Dans le cas général , j'ajoute les équations (i), après les avoir multipliées P^^-jz^-j-f Ti^^^^ résulte
dT + ê{Xda: + Ydj + Zdz) = o, (5)
à cause de
ds^ "*" <if« "*" £/*• •" ''
ds * ds ^^ ds * ds '^ ds * ds """
Si Ton supppse le fil homogène et son épaisseur coii»^
564 TRAITIÈ DE MÉCANTQUE.
tante f et qa'oo néglige la petite dilatalian de ses élémeDS, la quantité e sera constante; de plus, la formule Xfix + \dj- + Zdz est, en général , la différentielle exacte d'une fonction des trois variables x,y, z, considérées comme indépeadanles; en faisant donc
:Ux + Xdy + Zdz=-~d.(p{x,j,z'), nous aurons
rfT = ed.ip{x,y, z),
et, par conséquent ,
T = eip{x,j, z),
en comprenant la constante arbitraire dans la fonction <p. Cette constante disparaîtra dans la différence dés Tâlèurs de T relatives à deux points dn fil ; il s'ensuit donc que sans avoir déterminé la fîgare d'équilibre, on connaîtra l'accroissement de la tension d'un point à un autre ; en sorte qu'il sufBra que la tension sort connue en un point déterminé, pour qp'elle le soit âtis^ dans tonte la longueur du fil.
Quant à la courbe formée par le fîl, elle sera déterminée par deux des trois équations (i) , OD par deux combinaisons quelconques de ces trois équations, dans lesquelles on substituera la valeur précédente de T; en sorte qu'H faudra généralement intégrer le système de deux équations différentielles du second ordre pour connaître cette courbe. Son rayon de courbure au point quelconque M s'exprimera au moyen de la formule difiërentielle suivante, qui o'est
que du premier ordre ^ et qui suppose seulement connue la direction de la tangente en ce point.
Les équations (i) peuvent être remplacées par celles-ci :
qui sont la même chose que dûcdy — djd^x = {Xdjr — Y^) %^ ,
dzd-x — d:jcd'z — {Zdx — Hdz) ~, } (4)
dfd'z — dzdy = Çidz — Zdj)
en effectuant les difTérentiattons et prenant Farc s pour la variable indépendante. Or, si Ton appelle p le rajon de courbure au point M, on a (n^ i8)
[(dxdy—djd^xY'^^ (dzd^x — dxd'zY'\- {djd'z — ^z^x)*]»
d'après les équations précédentes et la valeur de T ^ on aura donc
, = 9(^,.X,^)ds .
[(Xrfr — Y«fc)» -{- (Zrfr — Xdz)' + (ïdt — Z<ir)»]«
Dans le cas de la chaînette , on a X = o, ¥ = — g, Z = o, «p=âr>
ea preuaol les axes et l'ongioe des coordonnées que supposent les équations (c) du n> 294. On aura donc ds
ce qu'il est aisé de vérilier, d'après ces équations.
Sot . Appliquons ces formules au cas d'ua fil tendu sur la surface d'un corps solide, et supposons, pour plus de simplicité, qu'il ne soit soumis à aucune force donnée , de sorte qun la seule force qui agisse sur ses differens points soit la résistance inconnue du solide sur lequel il s'appuie.
Au point quelconque M du fil, soit Nds la grandeur de cette force appliquée a t'élémeiit eds du fîl, et dont les trois composantes seront \eds , Ytds , Ztds; sa direction sera normale à la surface du solide, et dirigée de dehors en dedans. La pression qui aura lieu sur la partie du solide correspondant à ds sera égale et contraire à cette force ?ids, de manière que N exprimera la mesure de la pression rapportée à l'unité de longueur.
En appelant ^, ft, v , les angles que fait la partie extérieure de la normale en M avec des parallèles aux axes des x , y ^ z, menées par ce point , on aura
eX = N cos A , «Y = N cos j» , iZ = N ces p .
De plus, si L = 0 est l'équation de la sar&ce du solide, et qu'on fasse, pour abréger.
OD aura aussi (n® 21)
en prenant convenablement le signe de V* Cela étante nous aurons
Xda: + Ydjr + Zdb = NV^L = o;
ce qui rendra nulle la valeur de ^T donnée par réquatîon (3). La tension sera donc la même dans toute la longueur du fîl^ quelle que soit la forme du corps solide. Je supposerai sa valeur donnée, et je la représenterai par k. Si le fil est attaché par une de ses extrémités à un point du corps , et qu'un poids considérable , par rapport à celui du fil qu'on a négligé , soit suspendu verticalement à son autre bout , ce poids sera la tension k et la pression que le point fixe éprouvera. Si le fil est libre par ses deux bouts y et que des poids considérables y soient suspendus , ils exprimeront les tensions extrêmes ; par conséquent , ils devront être égaux , et chacun d'eux sera la tension k. Enfin, si les deux bouts du fil sont supposés fixes, sa tension k se déduira de son extension, qui sera constante dans toute sa longueur.
3o2. Je désigne par X\ /jl', y', les angles que fait la perpendiculaire au plan osculateur au point M , avec des parallèles aux axes des jr, jr, z. Le rayon de courbure en ce point étant p , on aura (n* ig)
TRAITÉ DE MÉCANIQUF.
dxd^r — dyd'^:
■^ ■ — ^ P ros iF
did'x — dxd'f.
dj-d*s — dzdy
f COR fJt ,
f COS A'.
H Si donc on ajoute les équations (4) spvès les avoir
H multipliées par cos v, cos te , cos A , et qu'on ait
^L égard aux valeurs de X , Y, Z, qui ont lien dans
^P le cas que nous considérons, il en résultera
cos » cos / + cos ^ cos fi' + eos A cos A' = o ;
par conséqneRt , les normales k la surface da corps solide et au plan osculatcur de la courbe formée par le fil, en chaque point M, sont perpendiculaires l'une à l'autre; ce qui est la propriété caractéristique de la ligne dont la longueur est un minimum ou an maximum sur une surface donnée (n" i(îi). Il s'ensuit donc qu'un fil tendu sur un corps solide, trace , en général, la plus courte distance d'un point à un autre sur la surface. A la rigueur, il est possible que cette distance soif, au contraire,- un maximum ^ ainsi, par exemple, deux points donnés snr une sphère sont les extrémités communes â deux arcs de grands cercles, dont l'un est la plus courte distance entre ces points, et l'antre la courbe plane la plus longue; or, il est évident que l'équilibre du iil tenda'sera rigourensement possible sur ces deux arcs de Cercle, puisqu'en le plaçant sur l'un des deux, il n'j aurait aucnne raison pour qu'il s'en écart&t plutôt d'un côté que
.de Tautre; mais sur le petit arc l'équilibre sera stable y et sur le grand il ne sera qu'instaDtané , de sorte quil ne pourra subsister, physiquement, qu'à Taide du frottement du fil contre le corp^ solide.
Si Ton substitue encore les valeurs de eX , éY, cZ , du numeVo précédent, dans la formule (5), on aura
+ (^^cos;.--^cos.)J = -,
à cause de €^ {pc ^ j^ z) = k. En même temps, on a
^ "^ ^*» "*" ^» ^ ' cos* A + cos* fJL + cos* y = I ;
la normale à la surface du corps et la tangente à la courbe du fil, en chaque point M, étant perpendiculaires l'une à l'autre, on a aussi
cosA+^cosfi + ^cos,^ = o;
or , au moyen de ces trois dernières équations, on réduit sans difficulté le coefficient de N, dans la précédente, à Funité. On a donc simplement
ce qui montre que la pression rapportée à Funité de longueur, exercée par un fil fendu sur la surface d'un corps solide, est égale, en chaque point, M, à la tension divisée par le rayon de courbure du fil p
5fj» TRAITÉ DE MÉCAWIQtJE.
c'est-à-dire, par le rayon de la section normale h ia
surface et tangente à ta courbe du fil.
5o3. Ces résultats seront modifiés par le frottement du fil contre la surface du corps sur lequel il s'appuie. Pour montrer comment on doit avoir égard à cette force dans l'équilibre d'un fil flexible , je vais considérer l'équilibre d'un cordon ABMCD (fîg- 76} , dont la partie BMC est appliquée sur la gorge d'une poulie fixe, et qui est tiré, suivant les prolongemens BA et CD de cette partie , par des forces données. La poulie et la droite AB seront supposées verticales; la force agissant suivant BA sera un poids k, et je représenterai par F celle qui agit suivant CD. Les tensions qui ont lieu aux points B et C suivant les tangentes BA et CD, auront k et F pour valeurs. Je supposL-rai aussi , pour simplifier la question , que la poulie soit circulaire; j'appellerai c sou rayon, et je prendrai son centre O pour l'origine des coordonnées : l'axe des z sera perpendiculaire à la poulie, l'axe des j^ vertical et dirigé de bas en haut, l'aie des X horizontal et passant par le point B. Enfin , je fixerai au point C l'origine de l'arc s aboutissant au point quelconque M du cordon , de sorte qu'on ait CM = j.
Cela posé , si le fix>ttemeDt était nul , il faudrait qu'on eût A" = F dans le cas de l'équilibre ; mais , a raison du frottement , l'équilibre peut subsister tant que la différence de ces deux forces A: et F n'a pas dépassé une certaine limite. Concevons donc que l'équilibre soit sur le point de se rompre dans le sens du poids k} ce qui suppose qu'on ait A > F. A cet
STATIQUE, SECONDE PARTIE. 5gi
instant , le frottement du cordon contre la poulie , qui a lieu au point quelconque M, sera dirige, suivant la partie MH de la tangente , en ce point. Je re * présente par ft son intensité , et , comme précédemment, par N la résistance normale qui a lieu au même point Âf ^ suivant le prolongement MO' de MO , de manière que fids et ^ds soient les forces tangente et normale qui agissent sur Télément êds du cordon aboutissant au point M , et que ;x et N repr^ntent ces mêmes forces, rapportées à Funité de longueur. Si Ton mène par ce point M des parallèles Mor' et M;^ aux axes Ox et Ojr, on aura
cos arTVfH = — •?^, cos/MH =
cos or'MO' = j , cos^TVfO' = ^ ;
de là on condat
C c ' ce'
pour les valeurs de cX et £Y qu'il faudra substituer dans les équations (i). La force éZ sera évidemment nulle; la troisième équation (i) disparaîtra, et les deux premières deviendront
as C C
Le point M appartenant à la circonférence de la poulie , on a
592 TBAÏTÉ DE MÉCANIQ!/*"-
au mojeo de quoi les deux équations précédentes
peuvent être changées en celles-ci :
Mais ^(j-dx — xdj^) est la différentielle da secteur décrit par le rayou OM, à partir d'une ligne fixe (u' i56), qui sera OC, par exemple. Ce secteur étant circulaire et répondaut à l'arc s, sa valeur est jCS} on a donc
jdx — xd/ = cds.
D'ailleurSt on a aussi
■Tà$=-ds,
dx»
ce qui réduit les équations (6) à
T = cN , dT = f*dsi
d'où l'on tire
crfN = fids.
La pression qui a lieu au point M, sur la gor^e de la poulie , est égale et contraire à la force N ; si donc on suppose le frottement proportionnel à la pression (n° 369 J, on aura
y étant un coefficient constant qui dépendra de U
STATIQUE, SECONDE PARTIE. SgJ
nature des deux surfaces en contact. On aura donc
et^ en intégrant,
Jl N = Ac« ;
A désignant la constante arbitraire , et e ]a base des logarithmes népériens. On aura , en même temps ,
fs fs
T = Ace^ , /x = Ayc^
Au point C, on a j == o et T = F ; on a donc
A == - ; et si l'on appelle / la longueur de lare CMB,
on aura ^=:Z et T = A:, à son autre extrémité B. Nous aurons donc finalement
fi J± J*
en un point quelconque M, et, de plus,
A = Fe%
pour 1 équation d'équilibre.
En représentant par F' le frottement total qui a lieu dans toute la longueur de CMB , on aura
et Tcquation d'équilibre pourra s'écrire ainsi :
Si nous faisons I. 38
nous aurons
OÙ l'on voit que le frottement total F' est égal à îa plus putite des deux forces k tl Y, multipliée par un coeificient /', qui varie non-seulement avec la quantité f , mais aussi avec l'élendue / du coolact et le rayon c de la poulie. La difierence des forces ^ et F, à l'instant où l'équilibre se rompt, fera coanaltre la valeur de F', et leur rapport, diminue de l'unité , sera la valeur du coefficient J', d'où l'on pourra ensuite déduire celle de/. Lorsque F sera uu poids, ainsi que A, on devra, pour plus d'exactiiude, comprendre dans ces poids A: et F, ceux des parties verticales BA et CD du cordon.
3o4> D'après les trois équations (i), il est facile de vérifier que les six équations générales de l'équilibre (n* 361) ont lieu dans le cas d'un fil parfaitement flexible.
Pour cela, j'appelle K et K' les deux extrémités du fil , et / sa longueur ; et je fixe au point K l'origine de l'arc s. En intégrant les premiers membres des équations ( i ), depuis le point K jusqu'au point K', on aura
(T|)-[Tg+/:'x^.=o.
STATIQUE, SECONDE PARTIE. SgS
les quantités comprises entre les crochets répondant au point K, et celles qui sont renfermées entre deux parenthèses, au poiut K'. Indépendamment des forces X y Yy Z y qui agissent dans toute la longueur du fil , je suppose que des forces particulières , données en grandeur et en direction , soient appliquées à ses deux bouts : j'appelle k celle qui agit au point K , et a, €, y^ les angles que fait sa direction avec des parallèles aux axes des x^ jj Zj menées par ce point ; et je désigne par k!j a!j €', y' y les quantités analogues relativement au point K'. Ces forces k et k' seront les tensioos extrêmes, en grandeur et en direction; et d'après les parties des tangentes en K et K', avec lesquelles leurs directions devront coïncider, nous aurons
[tJ]=-*cos., [if ]=-A cosC. [t|]=-.* cosv. (T^')=A'eos.', (if )-*'eos<r, (t^) = *'cosv',
les équations précédentes deviendront donc
kcos€ + k'cosC'+' f^Yuis=^o,K (8) kcosy^ k^cosy'-^ 1 Zsdszssof
et elles expriment^ comme ou voit , les QOodUioa^ d'équilib;*e renfermées dans les trois premières «éicpiations;(i)dun*26^. . .,,.[• :,.,].. .
En- -oit^seitVBn t qu'oih a iâentiqtaement ...
Sg6 TRAITÉ DE MÉC4NIQDE.
OD déduira des équations (i) du n* 398
Si donc on intégre ces quantités nulles depuis le point K jusqu'au point K', et que l'on désigne par a , b, c, les valeurs de x, y, 2, relatives à K, et par a', b', c", celles qui répondent à K', on aura , eu ajant égard aux équations (7) ,
*(flcosC~6coM)+*'(<ï'coBr— ^'cDM^+r (x7~-jrX),ett.= o,\
Â(ccoM — aco»y)+A'(c coW— a'cosy )-f- / {tii—xIi)tds = o,\(^ k(bto»c—crath)+k'(fi'cof.c' — c'coiff)+f (j-Z — sT)id>=:o;1
ce qui exprime les conditions d'équilibre relatives aux momens des forces données , qui sont renfermées dans leR trois dernières équations (t)dQ n" a6i. 3o5. Ces équations (8) et (g) serviront , en général , à déterminer les coordonnées a, b, c, a', b' , c', des deux points extrêmes K et K' ; toutefois, il y aura
des cas où une partie de ces quantités devra rester iadéterminée. Si, par exemple , les forces données qui agissent sur le Hl sont la pesanteur et d'autres forces indépendantes des coordonnées de leurs points d'application , il est évident que la position absolu^ du fil dans l'espace ne pourra pas être déterminée : on pourra alors prendre arbitrairement les trois coordonnées de l'un des points K et K'; les équations (9) détermineront les trois coordonnées de l'autre point; et y pour que l'équilibre soit possible, il faudra que les forces données satisfassent aux équations (8).
Lorsque l'un des points K et K' sera fixe, le premier par exemple, les équations (8) et (9} auront encore lieu, pourvu que l'on regarde la force k comme inconnue, en grandeur et en direction, et représentant la pression que le point & aura à supporter. Dans ce caS', les valeurs de à, 6, c, seront données; les équa^ tious (9) détermineront celles de a\ V y c\ et les équa* tions (8) feront connaître les trois composantes de la force k. Quand les deux points K et K' seront fixes et donnés de position , on connaîtra leurs coordonnées, et les équations (8) et (9) serviront à déterminer, en grandeur et en direction , les pressions k et V exercées sur K et K'.
Dans tous les cas, soit que les coordonnées de K et K' aient été données, soit qu'on les ait déduites des équations (8) et (9) , on assujettira la courbe formée par le fil à passer par ces deux points ; ce qui servira à déterminer les quatre constantes arbitraires que renfermeront les intégrales complètes dp ses deux équations dififérentielles du second ordre, Quant à \%
figS TRAITÉ DE MÉCANIQrE.
constante arbitraire que contiendra la fonction f du □" 5oo, on déduira sa valeur de la longueur donnéa du fil, c'esl-à-dire , de l'équation
dans laquelle on regarde j et z comme des fonctiODS de X. De cette manière, le problème sera complètemenl résolu.
§ in. Équilibre rfime verge élastique.
5o6. Nous entendons par cette déoomïnalion une Verge droite ou courbe, dont on ne peut changer la courbure sans y appliquer une ou plusieurs forces, el qui reprend sa forme naturelle dès que ces forces ont cessé d'agir, tandis qu'au contraire un fil parfaïtcnienl flexible conserve , san-i le se^'ours d'ancune force, la conrbare qu'on lui a fait prendre, et n'est élastique que dans le sens de sa longueur. Poor qa'nne verge soit éls&tîque par rapport à la (lexioD , il fant qu'elle soit formée d'une matière fort peu extensible et contractible ; mais cela ne suffit pas : il faut encore que les dimensions de son ëpaisseor , ^oique très petites par rapport à sa longueur, aient cependant une grandeur convenable ; car, quelle que soit la matière de )a vei^e, on peut toujours diminuer assez son épaisseur pour qu'elle n'ait plus aucune tendance sensible à reprendre la figure dont on l'aécartée , et qu'elle soit ainsi réduite à Télat d'un fil par&itement flexible.
, Lorsqu'une verge élastique est écartée de sa formo naturelle par des forces données, chacun des filets longitudinaux dont elle se compose peut éprouver trois effets difi*érens : chaque partie, d'une longueur aussi petite qu'on voudra, peut être contractée ou dilatée, sa courbure naturelle peut être augmeqtée ou diminuée, et cette partie peut avoir été tordue sur ellemême. La tendance de chaque partie à reprendre son état naturel, dépend des attractions et répulsions mutuelles qui ont lieu entre les molécules de tous les corps et ne s'étendent qu'a des distances insensibles. Le calcul des forces totales qui en résultent et doivept faire équilibre aux forces données, appartient à la Physique mathématique : je renven^ai, pour cet objet, à mon Mémoire sur VéquiUbre et le mouvement des Corps élastiques (*). Dans ^:e Traité , on formera les équations d'équilibre d'une verge élastique, en partant de principes secondaires qui sont généralement admis*
On appelle, en particulier, lame élastique un parallélépipède rectangle d'une petite épaisseur, que Ion courbe dans le sens de sa longueur, de manière qu'il se trouve compris entre deux surfaces cylindriques, dont les arêtes sont égales à sa largeur. Cette dimension peut avoir une grandeur quelconque; en la divisant par des plans très rapprochés et perpendiculaires à sa direction, la lame sera partagée en verges élastiques rectangulaires. Jacques fiernouilli a déterminé, le premier, la figure de la lame élas- "•■'I IIII..I I I II .Il I
(*) Mémoires de V Aiadémie des Sciences, tome VIII.
6oo TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
tique CD équilibre , d'après des considérations que noQS allons développer, et qui serviront ensuite à ta solution complète du problème, dans le cas d'une verge élastique quelconque.
îoy. Cousidérons une lame élastique encastrée par une de ses extrémités, c'esl-à-^ire, fixée de manîèi'e que l'un des deux petits rectangles qui la terminent perpendiculairement à sa longueur, ne puisse prendre aucun mouvement. Supposons qu'on la plie dans le sens de sa longueur au moyen d'nne force appliquée à son autre bout , et qui sera la seule qui agisse sur la lame. Four que la lame prenne une figure cylindrique , comme on vient de le dire, il faudra qu'elle soit terminée, à son extrémité libre, par un rectangle inflexible, au milieu duquel on appliquera la force donnée, dans un plan perpendiculaire à la largeur de la lame. Toutes les coupes longitudinales ou perpendiculaires à celte largeur seront égales; celle q'ii renferme la direction de la force donnée est représentée par la figure 77 ; et les courbes AMB et AIM'B' sont les sections des deux surfaces cylindriques de la lame, qui formaieat ses deux faces planes dans son état naturel.
On suppose que tous les points qui appartenaient, dans cet état, à une même perpendiculaire à ces deux &ces, sont encore situés, après que la lame a été pliée, sur une même normale aux deux surfaces cylindriques; ce qui est, etTecliTement» conforme a ce qu'on observe dans son changement de figure, Il en résulte que si MM' est une normale à
la courbe ÂMB^ elle sera aussi perpendiculaire à Â'M'B', et contiendra tous les points de la lame qui étaient situés primitivement sur une des perpendiculaires à ses deux faces ; il s^ensuit aussi que si l'on décompose la lame, dans son état naturel^ en filets longitudinaux , et que la courbe CND représente un de ces filets après le changement de figure, elle coupera à angle droit en N la normale MS/l'.
Soit m un point de la courbe ÂMB, infiniment voisin de M; menons ]a normale mnm! aux trois lignes ÂMB, CND, A'M'B', qui les coupe en m y n, m'; les prolongemens de MNM^ et mnm^ se rencontreront en un point 0 , qui sera le centre de courbure commun à ces trois courbes. Appelons p le rayon de courbure du filet moyen, ou également éloigné de AMB et A'M'B'; cr la partie de ce filet comprise entre ces deux normales M IXM' et mnm' ; u la distance du filet quelconque CND au filet moyen, et (/ la longueur de N^. En considérant cette distance u coinme positive ou comme négative , selon que CND se trouve , par rapport au filet moyen , du côté de la convexité AMB de la lame, ou du côté de sa concavité A'M'B', le rayon de courbure NO de CND sera égal à f+u, et les longueurs infiniment petites cr' et ^ seront entre elles comme p'^uét p , de sorte que Ton aura
En se courbant , les filets longitudinaux auront éprouvé de très petites extensions ou contractions , et les longueurs a' et ^, qui étaient égales auparavant.
seront ili^venucs uiegalt^s. Désignons pav^ leur grandeur primitive , et faisons
^ et S' étant de très pelites fraclions, positives ou négatives, selon que ie filet rao^en et le lilet CND se
seront allongés ou raccourcis. l»a fraction - est aussi
supposée très petite ; si ckmc on néglige le produîtde
J^ et -, on anra
ce qui montre que quand le filet niojen n'aura pa.* changé de longueur, les fîlets situés du côté de la convexité se seront tous allongés, et tes filets situés du côté de la concavité se sei-oot fous raccourcis, les uns et les autcs proportionnellement à leurs distances au filet moyen .
Cela posé, reodops invariable la forme de chacune ^ecdeux parties de ]a.lai^^;qui répondent à AMM'A' et hmm'B', et que nous. appellerons H et K, pour abréger, ha partie 11 sera.inftqpbile; ^9- pairie K sera tirée vers H , ou en sera repoiissée, par la tendanoe de la partie intermédiaire Mmm'Mt' a reprendre son état naturel et redevenir une tranche d'une ép>aisseur constante y. Le filet Nn de cette tranche tendra à se contracterou à se dilater, selon qu'il aura été allongé ou raccourcijc'est-à-dire, sqloo que la. quantité J^' sera positive QU négative- La partie K sera donc tirée dans le premier cas, et pou.ssee dans le second caR, par une
STATIQUE, SECONDE PARTIE. 6o3
force appliquée au point n } or, on suppose que cette force, provenant de Faction de N/i, est proportionnelle à la quantité ^' et normale à mnm\ comme si ce filet ^^/l était isolé.
En adoptant cette hypothèse , je représenterai par a^'\z, force dont il s agit, rapportée à lunité de sur* face, et , conséquerament , par a^'^du la force normale exercée sur l'élément transversal de la surface K, qui répond au point n; a étant une constante dépendante de la matière de la lame , A sa largeur, et ?^du l'aire de cet élément. Si donc on désigne par 2i l'épaisseur de la lame, et qu'on représente par T la force totale qui tirera ou poussera K, selon qu'elle sera positive ou négative ^ on aura
T = aXp^rdu,
et , en mettant pour i"' sa valeur,
T = aaAécT.
Soit, en outre ^ /et le moment des forces normales à la surface de K , pris par rapport à l'axe transversal également éloigné des deux faces de la lame; nous aurons aussi
et y par conséquent,
On voit par là , i •. que la force T, qui tend à contracter ou à dilater une tranche quelconque de la lame , ^t proportionnelle à lextension positive ou né-
6oi TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
edu Gletmojen, et indépendante de sa courbure; que >n moment^ est, au contraire, îndépenit de cette exieusion , et en raison inverse du rayoa courbure; 5". que la matière et la largeur de la le restant tes mêmes, la valeur de T est proporm à son épaisseur, et celle de /*, ^u cube de lension.
land ie filet moyen n'a pas changé de longueur, ^^ = 0 et T=:o; ' ""orces parallèles qui lit ou poussent K se i ent à deux , égales et
ntraires, mais non ment opposées, dont le
iment, par rapport à ï transversal perpendi-
laire à ces forces, ""* tn jours égal à /t. Celle i ^ est eu qu'i i^lle le moment de Cé-
Hé^ lequel est pr inel, en chaque point,
i courbure de la 1 it à l'angle de contin-
ice de son lîlet moj 5o8. Il est facile actuellement de former les équations d'équilibre de cette lame. Dabord, si l'on appelle T* ce que devient la force T au point M, on voit que la trancbe infiniment petite qui répond à MnunlVI', sera tirée ou poussée , d'un côté par cette force T', et de l'autre par une force égale et contraire à T; et puisque , par hypothèse , aucune force donnée n'agit sur cette tranche, il faudra donc qu'on ait T' = T. Ainsi la force T est constante dans toute la longueur de U lame, et, par conséquent, égale à la composante suivant cette longueur, de la force donnée qui agît à son extrémité libre. La dilatation cT sera aussi constante , proportionnelle à cette force, et posîtÏTe oo négative selon que celle force tendra à allonger ou à
STATIQUE, SEœWDE PARTIE. 6o5
contracter les filets longitudinaux. Elle n'aura aucune influence sur la figure de la lame ;' mais quand on laura mesurée, elle pourra servir à déterminer la valeur de la constante <t , relative à la matière de la lame. En représentant par ftsr un poids équivalent à la force qui tire la lame dans le sens de sa longueur, et par co Taire de chaque section transversale de la lame , on aura
Four déterminer la figure de la lame , menons par le point A, dans le plan du filet moyen, deux axes rectangulaires A^ et hjr^ dont le premier sera tangent à la courbe AMB , et représentera la direction de la lame dans son état naturel , et dont le second sera tourné du côté de sa concavité. Soient a? et ^ les coordonnées rapportées à ces deux axes, d'un point quelconque du filet moyen; a et &, celles de son extrémité libre, que nous prendrons pour le point d'application de la force donnée qui tient la lame en équilibre; PetQ les composantes de cette force, suivant les prolongemens de a et A. Par le point qui répond à x eXjr^ menons Taxe perpendiculaire au plan de la figure, auquel répond le moment désigné parjU, et faisons une section perpendiculaire au filet moyen. Pour réquilibre de la partie de la lame comprise entre cette section et son extrémité libre, il faudra que le moment ft, ajouté aux momens de P et Q, par rapport au même axe, donne une somme égale'^à zéro, en ayant égard au sens dans lequel les forces dont (jl est le roo-
6oti TRAITÉ DE MÉCAMQUE.
ment, et les forces P et Q, tendent k faire tourner
cette partie de la lame ; on aura de cette manière
£n prenant l'ahscîsse x pour la variable ïndi^pendantti, et observant que la lame est convexe lett l'axe Sx , on aura
OÙ l'on regardera le radical comme une quantité positive. Si donc on substitue cette valeur dans celle de fÂ., et celle-ci dons l'équation précédeDie, et qu'où fasse , pour abréger ,
il en résultera
pour l'équalioa de la courbe formée par la lame élastique en équilibre.
Son intégrale contiendra deux constantes arbitraires que l'on déterminera par les condîtioos y^%
et j- = o, quand x = o, ou, si l'on veut^=o
et 4-^=- 0 , pour cette valeur 4e x ^ à cause de la
petitesse de e. En faisant ensuite x^=^a eA^ ys^h dans cette intégrale , on anra une équation en a et b, que Ton joindra à celle qui résultera de la longueur donnée de la lame; on aura alors les deux équations nécessaires pour déterminer cet inconnues a et é; et
la courbe élastique proprement dite, sera complèteiTient déterminée.
509. Si la lame, au lieu d'être encastré)e, est entièrement libre à son extrémité A , il faudra pour la maintenir en équilibre, appliquer à cette ejctrémité une force dont les composantes soient égales et contraires à P et Q; en prenant l'extrémité côn'espondante du filet moyen pour son point d'application, il faudra, de plus, que la résultante de P et Q vienne passer par ce point; ce qui exigera qu'on
ait
Qa=P(^> — g).
Cette équation suffira, quand la lame sera retenue par un axe fixe, passant par cette extrémité du filet moyen, et dirigé dans le sens, de sa largeur. Si elle est simplement posée sur un plan perpendiculaire à sa longueur, qui ne Vempêche pas de tourner autour de l'arête d'une de ses deux faces , il faudra que le frottement de cette arête contre le plan , ou une autre force, empêche la lame de glis.ser
La lame n'étant point encastrée, la direction de son plan tangent en A ne sera plus connue ; si l'on place toujours en ce point l'origine des coordonnées X et y y on aura encore J^* == 6 ou ^ = o , quand a: = o; mais on ne pourra plus prendre l'axe des x sur la tangente en A , dont la direction ne sera pas donnée à priori. Cet axe sera alors la direction donnée
de la force P, et l'équation j^=o, quaqdj:=:o,
devra être remplacée , pour la détermination des constantes arbitraires, par l'équation précédente.
6o8 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
relative aux momens des forces P et Q, qu'on pourra
réduire à Qa :^ Vb.
S lO. Supposons qu'on ait F^o; en sorte que U lame soit pliée par une force Q perpendicnlaire à sa direction primitive ; ce qui est, par exemple, le cas d'une lame horizontale, encastrée par un bout , et à l'autre bout de laquelle on suspend un poids donné Q.
Je fais dans ce cas
c étant une ligne dont la longueur donnée sera généralement très grande, à moins que le poids Q ne soit aussi très considérable. L'équation ( i } deviendra
et en intégrant de manière qu'on ail ^ = o quand
On en déduit
^4c' — (aor -
ds étant l'élément différentiel de la courbe. Ces formules s'intégrei-onl exactement par le moyen des fonctions elliptiques; mais à cause de la grandeur de c, oa as = x , à très peu près^ et l'on peut r^aù'e à
STATIQUE, SEœWDE PARTIE. 609
la valeur de djr} d'où Ton tire
pour l'équation de la courbe.
La lame s'écartera peu de la direction horizontale; l'abscisse a pourra être prise pour sa longueur, et l'ordonnée b exprimera son plus grand écart. A cause de
3Qc*= ou»€%
si l'on fait 2éA = co , comme précédemment , nous aurons
acoé^b = o^Q ,
dans le cas de x = a et jr :=z b. l\ en résulte donc que la nature de la lame restant la même, la quantité b dont elle fléchira sera proportionnelle au poids ' Q et au cube de la longueur a , et en raison inverse du carré de son épaisseur € et de l'aire ^ de sa section tranversale.
Si l'on substitue pour au) sa valeur j du n* 3o8, et
qu'on appelle h l'allongement total aj" de la lame , produit par un poids nsr, on aura
ha'Q
En supposant ^zt'sQ, on en conclura que si un même poids Q , appliqué à l'extrémité libre d'une lame élastique, agit successivement dans le sens de sa I. 39
longueur et perpendiculairement à sa longueur , rcxtension k et la flcxioo h, supposées très petites par rapport à la longueur a , seront entre elles conimc les carrés de l'e'paisseur et de cette longueur.
5i 1. Quelles que soient les forces P et Q, on obtiendra toujours uue intégrale pi-emîère de l'équation (i) en la reduîsanl à la forme de lequatioa (a) par la transformation des coordonnées. Nous nous bornerons à considérer le cas où ta lame , appu^ ée contre un plan et non encastrée, s'écarte peu de sa forme naturelle. Ce sera, par exemple, un ressort posé sur un plan horlzonlal par son exircmité inférieure A, et chargé d'un poids donné à son exlré- j mité supérieure B. On suppose qu'eu se pliant sous cette tliargc, le ressort s'écarte très peu de la ver- 1 ticale AB, et que dans toute sa longueur, la tangente | à la courbe qu'il forme dans son état d équilibre, fait un très petit angle avec cette ligne droite. La figure 78 représente différeutes formes qu'il peut prendre dans cet état.
Prenons pour axes des x et des y , la verticale Ax dirigée en sens contraire de la pesanteur, et l'hori-
Kontale A^. La quantité ^ sera très petite , par hypothèse; nous négligerons son carré dans l'équation (1)^ on aura aussi Q =ïs o , puisque la force qui agit à l'extréniité B est verticale ; en vertu de l'éqnatioa Qa=:P^ du n" 3og, il s'ensuivra b^o; et comme le poids P sera dingé de B vers A, il faudra changer le signe de cette force dans réquatîon ( 1 ), qui la suppose dirigée eu sens contraire. De cette
STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 61 1
manière, cette équation deviendra simplement
en faisant, pour abréger.
g = i or^é* = 5 P.
On représente ici par œ Taire de la section du ressort, perpendiculaire à sa longueur; par € sa demi-épaisseur, dans le sens où il est plié; et par (t une quantité dépendante de la matière dont il est formé. Ces trois quantités sont supposées constantes, et par suite c est une ligne de grandeur Constante et donnée.
A cause que l'on a^=o, quand x=o, on déduit de cette équation
• . nx dr itk ifx
r = A; sin — , -^ = — cos — ;
k étant une constante arbitraire qui doit être nulle ou très petite par rapport à c.
Quand on aura A: = o, le ressort restera droit , et sa longueur ÂB sera un peu diminuée par la pression du poids P. Lorsque ce coefficient k ne sera pas nul , le ressort se pliera; au point B^ on aura jc = a et ^ = 6=0; en désignant par i un nombre entier, il faudra donc qu'on ait
a "ss;. ic
pour la valeur de a ou de AB. Si Ton appelle / la longueur du ressort, on aura aussi
TKilTÉ DE MÉCABIQUE.
ea négligeant la quatrième puissance de tant pour a sa valeur, il vient l = ic (i
d'où l'oa tire
nul ou exprimé par celte
Ainsi le coefficient k • formule.
5 12. Voici les conséquences remarquables qui se déduisent de ce résultat.
i". Tant que l sera moindre que c, la formale (5) sera imaginaire pour toutes les valeurs du nombn entier i; on ne pourra pas preudre le coeflîcieni k différent de zéro, et le ressort ne sera pas plié par le
poids p. .
a°. Soit parce qu'on aura augmenté la longueur du ressort, soit pfirce qu'on aura diminué la quantité c en faisant croître le poids P, supposons que / surpasse c; )a valeur de^^, différente de zéro et qui répond à I = I, sera sébile, et le ressort pourra être plié ppr ce poids. Éo désignaat'par / une fraction très petite, et faisant
■.c, t==./ai
STATIQUE > SECONDE PARTIE. 6i3
I équation de la courbe du ressort sera donc
a sin — ,
où l'on voit qu'elle ne coupera pas la verticale entre les deux points A et B.
5*. Le rapport - continuant à croître , s'il vient à
surpasser 2 , la valeur de k qui répond à i = 2 sera réelle, et le ressort pourra prendre une figure différente de la précédente. En désignant pary une fraction très petite y et faisant
nous aurons
1 = 2, a = 2C, k zsi fay
d'où il résultera
a sm — ;
ce qui montre que , dans ce cas , la courbe coupera la verticale au milieu de ÂB, qui répond à x = ^ a. 4"". En continuant ainsi, on voit; que 31 / surpasse un peu iCy et qu'en désignant par ^ une très petite fraction, on ait
on pourra prendre ce qui donnera
iirx
y = Ç)a sm — ;
6t4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
êqaatioa d'une courbe qui coupera la droite AB en un nombre i-\~\ de points équidistaus , y compris A et B.
Lorsque / surpasse un multiple de c d'une quaulilé qui n'est pas très petite, la valeur de k, donnée par la formule (5), cesse d'être très petite par rapport à c; et celle de ^ n'étant plus alors une très
petite fraction , la figure du ressort ne peut plus être déterminée par l'analyse précédente. Il faut observer que, dans tous les cas, la figure rectiligne, qui répond à A =: o , est possible ; mats elle n'est stable et nécessaire que quand l est moindre que c. 3i3. On entend par \a. force d'un ressort, supposé vertical pour fixer les idées, le plus grand poids qu'il peut supporter sans fléchir. Ce poids P est déterminé par l'équation c=zl, qui donne
où l'on voit que, tontes choses d'ailleurs égales , U force d'un ressort est en raison inverse du carr^ de sa longueur. Le ressort étant un parallélépipède rectangle , on voit aussi que si l'on essaie de plier successivement les faces adjacentes, sa force sera proportionnelle au carré de l'épaisseur perpendiculaire à la face qu'on voudra plier.
Quant à la grandeur absolue de P, on la calculera en mettant dans la formule précédente la valeur de a, que l'on déduit soit de l'extension A de ce ressort, i»it de sa flexion h, que produirait un poids «■ ; or ,
STATIQUE, SECONDE PARTIE. 6rS
d'après les n~ 3o8 et 3io, et à cause de a^ = A et a:=:l, ces valeurs sont
wl
par conséquent, on aura
3lh ' * 3ô •
5i4* Les résultats du n* Soy s'étendent aisément à une yerge élastique , lorsqu'on la suppose droite ou à simple courbure dans son état naturel , et qu'en la pliant elle reste encore à simple courbure et n'éprouve aucune torsion.
On prendra, dans ce cas, pour le filet moyen, celui qui passe par les centres de gravité de toutes les sections perpendiculaires k sa longueur, lesquelles pourront être constantes ou variables, pourvu qu'en chaque point leurs dimensions soient très petites par rapport au rayon de courbure de la verge. Soit C9 l'aire de Tune de ces sections, faite par un point quelconque du filet moyen ; décomposons eo en élémens perpendiculaires au plan de ce filet ; et soit i^du l'aire de l'élément qui répond à la distance i^ de ce même filet ; la variable u pouvant être positive ou négative, et V désignant une fonction donnée de u. Soient aussi A: et — ^ A^ les valeurs extrêmes de u; nous aurons
la seconde équation résultant de ce que l'origine de; U variable u est le centre de gravité de a.
fu6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
Désigaons par u, ff*, J' , /'^ p, les mêmes quantités que dans le o" Soy, et par y, y', r, ce qu'étaient ff, <j', f, dans l'état naturel de la verge élastique; on aura, pour les deux états de cette verge,
et, pour le passage de l'ua à l'autre.
Si donc ou néglige les produits — et — , oa en déduira
valeur qui coïncide avec celle (lu numéro cité, dans le cas de la verge natarellement droite, OÙ l'on a
Soit encore T la somme des forces perpendicnlaîres à a qui tirent ou poussent l'une des deux parties de la vei^e, séparées par cette sectIoD normale. Appelons ft le moment de ces forces par rapport à l'axe passant par le centre de gravité de a>, et perpendiculaires au plan du filet moyeu; d'après l'hypothèse du n" 5o7, on aura
zf'^r^u, ^ = 'f\
J''vudu-,
a. étant une quantité dépendante de la matière de la verge, qu'on suppose constante dans l'étendue de chaque section a , mais qui pourra varier d'uu point à un autre du filet moyen. En subslilusnt ponr /'
STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 617
sa valeur précédente, et faisant, pour abréger,
il en résultera
Quand la verge élastique sera à double courbure , dans son état naturel ou après son changement de figure , la force T aura encore la même expression ; de plus 9 le filet moyen étant toujours celui qui passe par les centres de gravité de toutes les sections normales , et en désignant par r et f ses rayons de courbure en un même point, avant et après ce changement , on pourra prendre cette expression de /t4 pour le moment de l'élasticité par rapport à un axe passant par ce point et perpendiculaire au plan osculateur du filet moyen ; mais il faudra, en outre, avoir égard à la torsion de la verge , comme nous le ferons tout à l'heure.
Si 5. En comparant cette valeur de /ci à celle du n* 807 , on voit que l'équation différentielle seconde de la courbe plane formée par le filet moyen d'une verge élastique qui n'a éprouvé aucune torsion , ne différera de celle qui répond à la lame élastique proprement dite , qu'en ce qu'elle contiendra au
lieu de - , et la quantité 9 à la place de la demiépaisseur £. Si la verge est homogène , et qu'elle soit, dans son état naturel, un prisme ou un cylindre al«
longé, les trois quantités a, a, q, seront cODSlaotes, et l'on aura r= oo . On en conclut que la flexioa d'uue verge naturellement droite, produite par no poids Q perpendiculaire à sa direction, et la force de ce ressort, se déduiront des valeurs de 6 et P ti"ouvées dans les n" 3io et 3i5, en y mettant y à la place de e. Par celte substitution, l étant la longueur de cette verge, on aara
ou, ce qui est la même chose,
Four denx Tei^s diflîfrantef, iOms 4e i gaenr, les flexions prodaitea par on inAim- poid» wroDt donc en raison înTerse des forces de resaott ; «ft sorte qu'il snffira de comparer entre elles les gnndcarsde ces forces, dans lesdiOëreotes hypothèses sur le contour de la section normale.
Supposons que la section normale soit nn triangle isocèle, et qu'on veuille plier la vei^e, de manière que la face correspondante à la base de ce triangle devienne une surface cylindrique, concave on convexe. Soient a et c la base et la hauteur de ce triangle. Dans le cas de la convexité, vers laquelle sont dirigées les valeurs positives de u (n* 307) , nous aurons
et il en résultera
Dans le cas de la concavité , on aura
A=|c, A'=5C, i.=:2Qc + «); d'où l'on conclut
ce qui montre que, dans ce second cas, la force du ressort est triple de ceUe qui a lieu dans le premier. Si la section normale est un carré représenté par f*, et qu^il s'agisse de plier le ressort, de sorte que deux de ses faces opposées deviennent des surfaces cylindriques, on aura
Si eUe est un cercle dont le rayon soit k , nous aurons
et en supposant Taire de la section normale égale dans les deux cas , de sorte qu'on ait y* = ^Tck*, on voit que la force de ressort qui a lieu dans le premier cas surpasse celle qui répond au second, dans le rapport de TT à 3.
Supposons encore que le ressort cylindrique soit un tuyau creux , dont les surfaces concentriques, intérieure et extérieure, aient g et ^ pour rayons. Pour avoir la force de ce ressort, il faudra mettre
6ao TRAITÉ DE MÉCAHIQIE.
siiccessîvement g tl g' k la place de A dans la deroure valeur de P, et retrancher les résnllats l'uu de l'autre; ce qui donne
Si l'aire T(g'' — g*) de la section normale est égale à 'TtA'*, on aura donc
d'oii l'on conclut que le volume, la longueur et la matière étant les mêmes, la force d'un ressort creux est plus grande que celle d'un ressort plein , dans le
rapport de 1 -|- ^ à l'unité; ag étant le dîaniètre
intérieur, et ■Ttk* l'aire de la section normale.
5i6, Formons maintenant les équations d'équilibre d'une verge élastique quelconque, dont tous les points sont sollicités pai- des forces données.
Appelons A et Blés deux extrémités du fîlet moyen. Soient JT,^, 2, les trois coordonnées rectangulaires d'u n point quelconque M de cette courbe, s l'arc AM, at la section normale de la verge faite par le point M , y sa densité en ce point, et, cooséquemment, yotds la masse d'une tranche infiniment mince de la veree. Désignons par \yads, Yyaids, Zyads, les forces don* nées qui agissent sur cette masse paratlèlement anx axes des x, j-, z, de sorte que X, Y, Z, soient ces forces rapportées à l'unité de masse. La somme de leurs composantes , suivant la taiigente en M au 61et moyen , et tendant h augmenter l'arc s , sera
STATIQUE, SECONDE PARTIE. 6a i
Représentons aussi par T la force provenant de l'action d'une partie de la verge sur la partie adjacente, appliquée à l'une des faces de la tranche ycùds^ perpendiculaire à û)y et tendant à diminuer ou à augmenter l'arc s f selon qu'elle est positive ou négative. L'autre face de yœds sera tirée ou poussée en sens contraire par une force égale à T + dT ; par conséquent, pour l'équilibre de cette tranche , il faudra que la force dT soit égale et contraire à la force tangen* tielle donnée, ou qu'on ait
dT + ytjù ÇLdx 4- \dj+Zdz) = o ; (a)
ce qui s'accorde avec l'équation (3) du n^ 3oo.
 cause du peu d'extensibilité de la matière de la verge , on pourra prendre , dans cette équation (a) , pour ^ et â) la densité et la section normale de la verge au point M, dans son état naturel. Si ces deux quantités sont constantes, et que la formule comprise entre les parenthèses soit une différentielle exacte, on obtiendra, par l'intégration immédiate» la valeur de T; et, parce que l'on a Tstsccûé^cT (a' Soy), on en conclura la dilatation positive ou négative de l'élément ds , qui se sera allongé dans le rapport de I -(- J^ à l'unité ; mais cela ne fera pas connaître la dilatation de la section normale co, ni le changement de densité de la verge au point M. Or , d'aprèd ce que j'ai fait voir dans le Mémoire cité au commencement de ce paragraphe, l'allongement ou le rac^
6ia TRAITÉ DE MÉCAMQUE.
courcissement de ds est toujours accompagné d'uoe diminution ou d'une augmentation de ce, mais telle, que le volume aids variera dans le raéme sens que ds, et la densité y, en sens inverse. Il s'ensuit que quand une verge homogène , prismatique ou cylindrique, est attachée par un bout, et tirée à son autre extrémité par une force dirigée suivant le prolongement de sa longueur, elle éprouvera, à la fois, une extension et une augmentation de volume, proportionnelles à cette force; ce qui a été effectivement confirmé par l'expérience. Réciproquemeat , si cette verge est posée verticalement sur un plan horizontal, et chargée d'un poids à sa partie supérieure, qui ne ta fasse pas plier, elle se raccourcira, et, en même temps, son volume sera diminué proportionnellement à la graudeur de ce poids.
317. Prenons sur l'arc AM du filet mo^en un point m infinîment voisin de M; par ce point m , faisons une section normale ; et concevons que la partie de la verge comprise entre cette section et l'extrrâaité A» soit rendue tout-à-fait immobile, et que la partie comprise entre l'autre bout B et la section faite par le point M, devienne seulement de forme invariable. Cela étant, cherchons les conditions d'équilibre de cette seconde partie , que nous appellerons K.
En vertn de la torsion de la verge , les points de la tranche comprise entre les deux sections normales faites par M et m , seront sollicités par des forces qui tendront à détordre ses diSërens filets loDgitudioaux, et agiront dans des plans perpendiculaires à Mm, c'est-à-dire, à la tangente en M au filet moyen. Ces
STATIQUE, SeœNDE PARTIE. 623
forces tendront à faire tourner K autour de cette droite > en sens contraire de la torsion. Soit r leur moment par rapport à cette droite, que Ton appellera le moment de la torsion de la yerge, correspondant au point M. Si Ton mène par ce point des parallèles aux axes des x^ y ^ z, et si Ton observe que l'axe de ce moment fait, avec ces droites ,
des angles dont les cosinus sont ^, -j-^ 7^0^ ^^ conclura (n? 281)
dx dr dz
^ ds' ^ ds ' ^ ds'
pour les momens par rapport à ces trois parallèles, des forces qui agissent sur K dans le sens de la tor<sion.
Désignons par fc , le moment de Télasticité relatif au point M, c'est-à-dire, le moment des forces dont T est la somme , par rapport à un axe mené par ce point et perpendiculaire au plan osculateur du filet moj^en; r et p étant les rayons de courbure en ce même point, dans l'état naturel et après le changement de forme de la lame, et f désignant une quantité pasitive, dépendant de la matière et de la section normale au point M, nous aurons (n* 3 14)
et si Ton appelle /, g, h, les angles que l'axe de ce moment fait avec les parallèles aux axes des oc^jr^z^ menés par le point M, les momens de l'élasticité par rapport à ces trois droites seront
fiai TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
fACOsf, ^cosg, fi,cosfi.
Soient M' un point quelconque de l'arc MB; se, y*, d, ses trois coordonnées; / l'arc AM', et y', eu' t X', Y', Z', ce que deviennent y, m, X, V, Z, i-^lativement à M'. En appelant /la longueur totale du filet mojen , et faisant
f\ [Y- (^ - X) - X'C/- jr)] >-«■&' = z„
Ç' [X' (i' z) — Z'(ar' — x)]5.Vrfr' = Y„
/' [Z' (/ -rj - Y'('' - 2)]/»'*' = X„
ces trois quantités X,, Y^, Z, , seront les niomeos (les forces données qui agissent sur K, par rapport aux ajfes menés par le point M, suivant les directions des X , y , s.
Enfin , supposons que des forces particulières agissent à l'extrémité libre de K; représentons par F, Q , R-, les sommes de leurs composantes parallèles aux axes des j: , /, z , et par a', h' , d, les coordonoées du point d'application de leur résultante; leurs momens par rapport aux mêmes axes que Z^^ Y, , X ^ seront
et si l'on désigne par a y b, c, les coordonnées de l'extrémité B du filet moyen, on pourra remplacer ces momens par
STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 6i5
P (c — z) — R (a — or) + Q',
en faisant^ pour abréger,
Généralement, les coordonnées d^ h\ cf^ seront distinctes de ^ , ^ ^ ^ # parce que les forces extrêmes P, Q, R, ne seront pas appliquées immédiatement à la verge élastique, et qu'elles agiront aux extrémités de bras de levier. Soit que ces forces aient ou non une résultante unique , les quantités F, Q', R', seront leurs momens par rapport à des axes menés par le point B, parallèlement à ceux des x^ y ^ z^\vi donc on suppose qu'on ait en ce point
dx I 4t m, dz ,
-=cosa^ ^ = cosC, ^ = cosy,
et qu'on fasse
P'cos a' + Q' cos C' + R' cos / =3 L,
cette quantité L exprimera le moment des forces extrêmes par rapport à la tangente au point B (n* 281); d'où l'on peut déjà conclure que L sera le moment de la torsion extrême , où la valeur de r relative à ce' même point.
Cela posé pour l'équilibre de la partie K de la verge 1. 4^
Gi£ TKAITÉ DE MÉCATflQDE.
élastique, il faadra que la somme des momens par rapport à chaque axe , de toutes les forces qui agissent sur ses dîfféreutes tranches et à ses extrémités , soit égale à zéro; ce qui donne ces trois équations
^cos/-r^ + X, + P' + R(&-j-)-Q(c=) = o.
^cosfi-r^ + 2^ + R' + Q(a-a:)-P(&— j) = o. 3i8. D'après les formules du n* ig, on a cos/
djd'z — did'jr
COa e = r-r -,
cos n = — ^ — T-r^- —
>^ étant la racine carrée de la somme des carrés des trois numérateurs. 11 en résulte
Mis' '
et, {Ar cooi^tpieùt ,
^.>«>»/^i.^rf.;.COTg + ^rf.^c<»» = o.
Oa a d'ailleurs
d^ ^ ds* ' ds* ''
dx w dx ^^ djr ^ djr dz t dz
ds * ds "^ ds * ds "^ ds * ds """
Si donc on ajoute les différentielles des équations {b)^ après les avoir multipliées par ^y ^, x# on aura, en réduisant y
mais à cause que les quantités soumises à l'intégration dans les expressions de X^, Y^, Z^, s'évanouissent à la limite /=:s, il suffit (n"" 14) de différentier sous les signes /par rapport k Xpjr, z, pour obtenir les valeurs de dX.^ , dY^ , dZ^ ; on a donc simplement
rfX^ == dzj^\yc0'ds' — djr f^^Zya>'ds', d\,t^dx f^^Vy%W — dz y^'xVû^W, dl^ = dx f^^X'yWd/ — dxJ^Yy'œW ;
et en substituant ces valeurs dans Téquation précé'dente y elle se réduit à Jr = o.
Ainsi le moment de la torsion est constant dans toute la longueur d'une verge élastique en équilibre, quelles que soient les forces qui y sont appliquées.
Sa valeur sera donc partout la mèn>e qu'à chacun des deux bouts de la verge; et il est facile de vérifier qu'au point B^ on a r = L, comme on l'a dit plus haut. En effet, en ce point, on a, x ^=«, jr = bp
628 TRAITÉ DE MÉCAHigUË.
z= c; les intégrales X,, Y,, Z,, s'évanouissent , et
les équations (&) deviennent
T COS a' = /t ces / 4- P',
T cos C = /* cos g + Q', T COS 5.' = ;a cos h -f- R'.
A cause que la normale au plan oscillateur du filet moyen et la tangente à cette courbe, sont perpendiculaires l'une à l'autre, on a, en ce même point B,
cos a.' cosf + cos S' cos g + cos >•' cos A ^ o ;
eu ajoutant donc les équations précédentes, après les avoir multipliées par cos a', cos C, cos y', la quantité /jt disparaîtra, et, d'après la valeur de L, on aura T — L.
Le moment de la torsion pent seul se de'duire des équations d'équilibre ; quant à la torsion elle-même, sa grandeur est variable le long de la verge, lorsque la matière ou la section normale varie d'un pointa un autre. Si la verge est homogène, et que la section normale soit constante, la diflërence des angles de torsion est la même aux extrémités de deux parties de la verge, d'égales longueurs, et proportionnelle aux longueurs, quand elles sont difiërentes. Supposons, pour fixer les idées, qu'une verge homogène, prismatique ou cylindrique, soit encastrée par un bout, et qu'on ap[dique à son autre extrémité deux forces égales , parallèles et contraires, agissant à distances égales et de deux côtés différeos ; cette verge restera droite ; mais elle se tordra sur elle-même, proportion nellement à sa longueur et au moment de ces deux forces
par rapport à son filet moyen , lequel moment sera la valeur de la quantité L. J'ai trouvé, en outre, dans le Mémoire déjà cité (n* 3o6), que si la section normale de cette verge est un cercle , la quantité de la torsion sera proportionnelle, toutes choses d ailleurs égales, à la quatrième puissance de son diamètre; ce qui est conforme à Texpérience.
319. Deux des équations (6), ou deux combinaisons quelconques de ces équations, après qu'on y aura substitué la valeur de /jl et mis L à la place de r, serviront à déterminer la figure de la verge en équilibre. Si elle est droite dans sou état naturel , et que toutes les forces qui y sont appliquées soient comprises dans un même plan , les trois équations (b) se réduiront à une seule qui sera celle de la courbe plane formée par le filet moyen.
Prenons le plan de ces forces pour celui des a: et j^; nous aurons
z = o, cosy=o, cosg = o,.
c = o, c' = o, R = o, cosy=;=o;
d'où il résultera
et les deux premières équations {b) s'évanouiront.
A cause de r=: 00 , la valeur de u se réduira à- ;
on aura aussi cos A =: ± i ; mais en ayant égard au sens de Faction de T Sur la partie K de la verge (n® 314)9 il est aisé de voir qu'il faudra prenÂ*e cos kz=: — 1 dans la troisième équation {b) , qui
63ft TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
deviendra, de cette manière,
r'[Ti^- - *) - XV -jr) V^-f )
+ R'+QCa-:r)-P(J-^)=?; ^
et l'on remarquera (pi en consen'ant les Dotations du n° 5 r4 , le coefficient G aura pour valeur
Lorsque les forces X et Y seront ntilles , cette équation (c) coïncidera avec l'éqaation (i) du n* 3o8, en observant que dans celle-ci , les forces P et Q agissent à l'extrémité même de la verge, ce qui rend nul leur moment K'. Dans tous les cas, on fera dtsparaitre par des diâerentiations, les intégrales contenues dans cette équation (c), qui se cbangera par là en une équation différentielle du quatrième ordre.
La figure de la verge étant détemiinée par réqoation (c), il faudra en outre que les forces données qui y sont appliquées, satisfassent aux conditions d'équilibre du n" a6i , qui se réduiseot à trois, à cause que ces forces sont toutes comprises dans nn même plan. Désignons donc par D et E les sommes des forces particulières nui agissent à l'extrémité A de la verge , parallèlement aux axes des x et y, et par P leur moment par rapport à ce point A , de manière que D, E, F', soient à l'égard de ce point, ce que F, Q, R', sont reUtivemeat à l'autre extrémité B; les trois équations dont il s'agîC seront
STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 63 1
D+p+r xv*»w=o,
F + K+Qia - j:) - P(& — ^)
"^/o' [YV-^)-x'Cr-j')]>VJ/=:o,
où Ton mettra pour x et ^ les coordonnées du point A.
Lorsque les deux bouts de la verge seront entièrement libres , les forces evtréipes et leqrsi mômens sauront donnés. Si la verge est encastrée à son extrémité A , les (brces D et E ^ ainsi que leur moment f, seront indéterminés ; mais on conna)tn^ les valeurs
de j:,^, ^, relatives à ce point A. Si la verge est
seulement retenue par le point fixe A , les' forces D et £ seront encore indéterminée^ ; leur résultante sera égale et contraire à la charge de ce point d'appui , dout elle exprimera la résistajaçe^ et VQnAW^J^/rr^.^ pour leur moment : on connaitr# ajiors. \//^ .y^^pff
de X et^, mais non plus celle , de -j-. Les mêmes re-
marques s appliquent au point B.
Z20. Supposons , par exemple p que la verge ioit hooiogène et naterdlement prismatîqiic ou icylin^ drâque; ce qui rràdra constant», les traîa quaniifds y,e$pQ» Supposons y en outre;^ qu'elle ne soit souU mise qu'à des forces perpendicolnres à sa longueur^ qui l'écartent très peu de sa position primitive; et prenons popr l'axe des x , le filet moy efi dans> oftte
position ; od aura alors
D = o, X = o, P = o; ce qni fait disparaître la première équation (d"). En négligeant le carré de ~ , on aura aussi
et l'éqaatioa (c) se réduira à
Eu la différentiaDt une première fois, on a
On a aussi (a** i4)
i-f^^^'ds' = .
. \âs;
en différetitiant une seconde fois, et mettant dx an lîeti'dé ds t on anra donc
' Les tpatre constantes arbitraires que contiendra llntégrale complète de cette dernière équatioo , se détermineront d'après les conditions reUtivcg muc deux bouts de la verge, et en observant que la Taleur de^ tirée de cette équation devra satisfaire «nx deux précédentes pour tontes les valenrs de ce. Or, réquatiott (/) résultant des deux autres par la diffë-
rentiation, il suffira, pour cela, qne cette valeur de^ satisfasse à celles-ci pour une valeur particulière de a:; il suffira donc qu'on ait
«g='''. «s=-<î. fe)
pour x= a ; conditions qui résultent de Féquation (e) et de sa différentielle première, en y donnant à x cette valeur particulière. Si l'on y donne à or la valeur relative au point A, et qu'on ait égard aux équations (d) , on aura
mais ces équations n'expriment pas de nouvelles conditions distinctes de celles que renferment les équations (d) et (g) , que l'on pourra , si l'on veut , remplacer par le système des équations (g) et (h).
5^1. Ces formules comprennent le cas de la vei^e pesante. Alors, je suppose le point A fixe, et j'y place l'origine des coordonnées x et jr; je suppose aussi que l'axe des x, qui représente la direction naturelle de la verge, soit horizontal ; je prends l'axe des jr positives dans le sens de la pesanteur, et je représente cette force par g. On aura Y := g, et Tintégrale de Féquation (/) sera
€x = ^Jc^-f-Cx^-f-Cx^-f-C'a:; (i)
C, C, C% désignant trois constantes arbitraires, et la quatrième étant nulle, à cause qu'on a a:=so et jrz=zo au point A.
634 TRAITE DE UÉCÀNIQITE.
Supposons la verge eacastrév à c«tte extréaûlé; U fàadra qu'oD ait aussi ^ z=o quand x = o ; d'où il
résulte C"= o. Supposons, en outre, que le poids Q soit attaché immédiatement à l'autre extrémité fi, de sorte qae son moment R' soît zéro; en verlu des équations (g), qui répoadent « ce point, ou à X = o , on aura
~ gyaia* + 6Ca + aC = o ,
gyoia -|- 6C = — Q.
Je tire de là les valeurs de C et C; je les substitue dans l'équation (i), dont ]e supprime le lerme C'x; j'appelle q le poids de la verge , de sorte qu'on ail q^^ gycea; il vient
équation qui coïncide avec celle du o" Sic, quand on néglige le poids de la T«rge, «t qu'on j met (^f^ fi la place de C.
Pans les deux c«s de Q m o et 9 ^a: o, on a
pour l'ordonnée du point B , qui nprîipfi U flexioa totale de la verge. En supposant Q = 9, on voit dcHic que les flexions prodtûtes pac ut) poids Q suspendu à l'extrémité libre d'une verge horizontale encastrée par son autre bout, et, par ce même poids , réparti uniformément sur toute la longueur de cette verge , sont entre elles comme 8 est à 5.
STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 635
322. Si le point B est fixe comme le point A, et situé sur la même horizontale , il faudra qu'on ait jr:=o quand x = a; ce qui change Téquation (i) en celle-ci :
fy = g (x«— a') + Qx (a-— a*)-f- Ga:{x — a); (a)
q étant toujours le poids de la verge. La détermination des deux constantes C et C présentera les cas suivans.
i». Quand la yei^e est encastrée à ses deux bouts, il faut qu'on ait ^ ^=: o pour a: = o et pour xs=za; ou tire de là
et l'équation (a) devient
En appelant f la flèche de la courbe formée par cette verge , c'est-à-dire , la valeur de jr qui répond à son milieu^ ou à x=ija, on aura
a*. Si la verge est simplement retenue par les points fixes A et B, les charges de ces points d'appui seront les forces E et Q, prises en sens contraire de leurs di« rections, et leurs momens F' et R' seront nuls (n? 3 19). En vertu des premières équations (g) et (h), on aura
63G TRAITÉ DE MÉCAKIQUE,
j--^ = o pour X =r o et pour x = a-, d'où Ton"
conclut
Jj,, C' = o.
On aura
alors
er =
et la flèche /sera
c'est-à-dire, quintuple de celle qui avait lieu dans le premier cas. D'après les dernières équations (g) et (h), on aura aussi
valeurs qnî ont aussi lieu dans le premier cas , et qni sont évidentes en elles-roêmes.
3°. Enfin, lorsque la verge est encastrée à son extrémité A, et seulement retenue à son autre boot,
dr ^ d'Y
on a ^^o pour a:=:0, et ^ = o poor x=a ; ce qui donne
^ — — 48' ^ — le-'
au moyen de quoi l'équation (a) devient
g~ — gJ'Çfl — J)(3a— aj)
Les secondes équations (g) et (k) donnent , en même temps.
STATIQUE , SEœNDE PARTIR 637
ce qui montre que le poids de la verge se partage inégalement entre les deux points d'appui , et que la charge de lextrémité encastrée est plus grande que celle de Tautre , dans le rapport de 5 à 3.
5a5. En supposant toujours les points A et B fixes et situés sur une même horizontale, et la vei^e homogène et prismatique , considérons le cas où les autres points sont chargés de poids inégalement distribués dans toute la longueur.
Soit donc
ymY =z= ?^a:j
(px étant une fonction donnée qui s'évanouit quand :r = o et quand x=:a, et q désignant le poids total , ce qui suppose
/ Çxdjc
Cette fonction ^x pourra être continue ou discontinue , c'est-à-dire que son expression analj^tique pourra changer une ou plusieurs fois entre les valeurs extrêmes x = oetx=:a;ou, autrement dit, si on la représente par l'ordonnée d'une ligne dont a: soit l'abscisse, cette ligne pourra se composer de plusieurs portions de courbes différentes. Si Ton désigne par cT une ligne d'une longueur aussi petite qu'on voudra , nous pourrons supposer, par exemple , que cpx soit zéro depuis j: = o jusqu'à j:=r|;a — J^, et depuis x = 7 û 4" J^ j usqu'à x = a, de sorte que cette fonction n'ait de valeurs différentes de zéro que dans une très petite étendue cT de part et d'autre de x^sju.
Ce cas sera celui d'un poids q agissant au milieu de Ut verge élastique , que nous examinerons font à l'heure en particulier.
Quelle que soit la (onction ipx , continue oa dts~ continue, pourvu qu'elle soit nulle pour jr = o et pour X = rt , on aura , depuis x = o j usqu'à x^4i ÎDclusivement ,
ipx:=-z.{ j sin farax j sm — ; (a)
' n étant un nombre entier et positif, et la caraclëristique S indiquant une somme qui s'étend à toutes les Talents de n, depuis n = i jusqu'à n = oo . Cette formule est due à Lagrange, qui l'a donnée dans les anciens Mémoires de CJcadêmie de Turin (*) ; nous la démontrerons plus bas. En eu faisant usage , Tëquation (/") devient
et en intégrant et observant que ^ =; o pour a: = o et pour X = a^ on aura
H- X (a — j:) [Cx + C (a — x)] ; (*;
C et C étant des coostantes arbitraires que Ton déterminera comme dans les trois cas du numéro précédent.
334> Examinons en détail te cas où le poids a est
<*) Tome III , page a6i .
STATIQUE, SEOONDE PARTIE. 689
suspendu au milieu de la verge , c'est-à-dire , le cas où y comme on vient de le dire, la fonction ^j/ est nulle pour toutes les valeurs de x* qui différent un tant soit peu de -^a.
On pourra alQi*s faire x' = ^ a dans le facteur
sîn que renferme l'intégrale relative à j:'; ce
qui donnera
sm 0x€lx =s sm — / ^x'cuxfzsrasin — ,
et fera disparaître tous les termes de la somme Z qui répondent à des nombres pairs n. Je désigne par 1 un nombre pair ou impair; je fais /i=2i — i, et j'étends la somme 2 à toutes les valeurs de i, depuis 1=1
jusqua ISS 00 k A cause de sia<' < ra — ( — ^ i)',
réquatiou {b) devient
Cy=±=jc(â — x)[Cjc4.C(a — x)]
Mais d'après une formule connue ^ on a , comme on le verra plus bas ,
pour toutes les valeurs de6#, depuis a) = o jusqu'à <»=î^.Sidonc<max<ia, on fera»=— et Ton
'«^ (—0* ^- {ii—\)9X ^ j, ^ •• V
64o TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
si , au coatraire, on a x >■ - a, on fera et = ~ — ;
et coRime on a
(ai — i),(a — x) . (a»— i)»i sm ^^ ' — i =: sin i ,
oo CD conclura
De cette manière, nous aurons l'une on l'autre de ces deux équations :
Çr = xla-x)lCx+C'ia-x)]- ^ C4t^
(a-xy-ia'i^—xy].^
Il ne restera donc plus qu'à déterminer les constantes C et C dans les trois cas suivans :
i'. La condition ^ = oponrj:^=o etpoarj:7^=a, qui a lieu quand la verge est encastrée k ses deux extrémités > donne
Les équations (i) deviendront
au milieu de la verge, on aura ^ = o , comme aux extrémités; et la flèche y, ou l'ordonnée conrespon-
STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 641
liante a x s=z ^a, sert
€ est-à-dire, double de celle qai avait lieu dans le premier cas du n"* 322. En vertu de^-scoondes équations (g) et (h), on aura aussi
comme cela devait être
2"*. Dans le cas de la verge simplement retenue par
ses deux bouts, oii Ion doit avoir -~ = o pour X = o et pour a: = a , il en résulte
C = o , C = o , et, par conséquent,
La tangente au milieu de la courbe est horizontale, et les valeurs de Q et È sont — {q, comme dans le premier cas; mais la flèche y a pour valeur
en sorte qu'elle est quadruple de la précédente, et plus grande dans le rapport de 8 à 5, que oelle du second cas du n"" 522. Si Ion mène une tangente à la courbe élastique, par Tun pu l'autre des points A et B; que Ton appelle a son inclinaison, et qu'on
64a TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
ilésîgue par j' l'ordoQnée verticale du point de cette
droite qui répond à l'abscisse égale â ^ a, on aura
tang a. = -g-> , J' z=. - a tang « ; d'où l'on conclut
Dans le secopd cas du n* 333, le rapport de y^ à y sc-
•. 8 rait j.
5*. EoBn, si la verge est encastrée à rextrémité A
et seulement appuyée à l'autre bout B, oa aura
ày ^ d'y
-— = o pour x^o , et ^^ = o pour x^a\ od ea
déduira
et les éqnatious ( i ) devieudront i
Elles dooaent pour x=:4 ^> ^^ même valeur de y, savoir
__ 7ga* ^ — 8.96.C'
mais ce n'est pas la plus grande ord<Hinée. On «tin
STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 643
en sorte que le poids q se partagera dans le rapport de 1 1 à 5 entre les points d'appui A et B.
Z^S* Nous allons maintenant démontrer la formule de Lagrange , citée précédemment.
Pour cela ^ considérons la quantité
1 — aA cosO -f- S* •
qui est une fraction rationnelle par rapport à A ^ et dans laquelle 6 désigne un angle réel. Son développement suivant les puissances de h sera
ce qu'on peut aisément vérifier ; car si l'on multiplie cette série infinie par le dénominateur i*— aA cos 6-f*^' de la fraction, on retrouve son numérateur , enob-* servant qu'on a
2 cos Tlfl cos G = cos (/!+ l)fl -{- COS {u l)fl ,
quel que soit le nombre n. Si h est moindre que l'unité, abstraction faite du signe, cette série sera conver-gente , et la fraction sera rigoureusement égale à son développement prolongé à l'infini ; à cause de
i aAcosfl + A* = (i — A)'+ ^Asîn'^e, nous aurons donc, dans cette hypothèse,
= I + sSA'cos/iO;
la somme 2 s'étendant à toutes les valeura du nombre entier n^ depuis /i = i jusqu'à 71= oo . Quelles que soient la fonction yâ et la constante réelle a, on aura
044 TRAITÉ DE MÉCANigUE.
donc aussi
Soit g une quantité positive et infiniment petite; cette équation subsistera encore en y faisant A=i — g, puisqu'elle a lieu pour toute valeur de h moindre que l'unité. Four toutes les valeui'S finies de n , on aura
pour des valeurs infinies de cet exposant, h' pourra différer de l'unité, mais en intégrant par partie , OD a
Os coi 7.(» - «)dt=: -Jt Si n n(»-«) - i y ^ 5in n(9 — «î^;
en sorte que si y 6 ne devient point infinie, entre les limites 0 = 0 et 6=7r, ui pour ces limites, Tiulégrale / yâ cos n(â — a.)(l^ , qui multiplie A', s'évanouira
pour n=:ao > d'où il résulte qu'on pourra toujours remplacer h' par l'unité sous le àgoe Z. Au ouméraleur de la fraction comprise sous le signe J", oa aura I — A* = 3g, en négligeant g* par rapport à ag; dans le secdnd terme du déûominatteur, on pourra mettre l'unité aulleu de A ou t rf-g ; et, de cette manière , nous aurons
Le coefficient de tiQ soos cette dernière iht^rale est infionnent petit, excepté poor les ralénrs de 6
STATIQUE, SEœNDE PARTIE. «45
infiniment peu différentes de « , qui rendent son dénominateur infiniment petit ; cette intégrale est donc infiniment petite ou nulle , tant que la différence 9 — a est une quantité finie ; ce <}ui aura lieu dans toute rétendue de l'intégration , lorsqu'on supposera eL<C Of ou a'^ tt; donc toutes les fois que la constante CL tombera en dehors des limites zéro et ^, on aura l'équation
ifl^^ ^^fo^ cos » (9 ~ a)d8 = o. (a)
Si, au contraire, on a ^t^o et •<9ryiiy aura des valeurs de 6 qui différeront infiniment peu de CL] en faisant donc
6 = «t + w, , dB s= du,
l'intégrale dont il s'agit s'évanouira encore pour les valeurs finies àe u, mais non plus pour les valeurs infiniment petites de cette variable, positives ou né-* gatives; à l'égard de celles-ci, on aura
/G=/a, sini(fl a) = i«;
par conséquent, le second membre de l'équation (i) devient
lorsque a tombe entre zéro et 'TT. Or, cette intégrale étant nulle pour toute valeur de u qui n'est point infiniment petite, nous pouvons maintenant l'étendre, sans en altérer la valeur , à des valeurs quelconques de Uf positives ou négatives, et. la prendre > st'nous
voulons, depuis u ^ — oo jusqu'à « = qo : on aura
slorfi
et fioalemeut
\f'fWi + ^J'f^ cos n (6 -
Ce raisonoemeot convieudra encore au cas on a coïncide arec uue des deux limites zéro on -n" ; mais si l'on a a^o, on ne pourra donner à u que des valeurs positives, et seulement des valeurs négatives, si l'on a œ=: tt, afin que dans ces deux cas, la variable 6 qn'ou a faite e'gale à s-f- u , ne sorte pas des limites de l'intégration. De cette manière, l'inte'grale relative à u se trouvera réduite à la moitié de sa yaleur, ou à 1?; et si l'on représente par 6 et ^ les valeurs de fa, qui répondent à et, ^ o et a =■»■, il en résultera
îr7fl^+z/'79cos«flrf8 = -5rC, 1
V o J o a > {il
|/'^>ifl+2(-i)«y^'/flco9nBtft= l-Ky.)
Maintenant faisons
et soit aussi
La quantité x étant positire et moindre que la cens-
STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 647
tanle a, mettons à la place de a, dans l'équation (2) et — dans Féquation (5) ; en observant qae
les limites relatives à x^ seront zéro et a y nous aurons
— ; ^x'dx' + - 2 / ^x C08 7.aJ o a J o
— / ^dx' + - X / ^x cos — ^ -dx = çx ;
et en retranchant ces deux équations lune de l'autre, îl vient
- 2 f / ^x sm dùc'\ sm = ^x ;
ce qn'il s'agissait de trouver.
3a6. Cette formule représente les valeurs de la fonction ^x^ pour toutes les valeurs de la variable Xy qui sont positives et moindres que a, et même pour JC = o et x = a, lorsque ^x sera nulle pour ces valeurs extrêmes. U est important d'observer que la série indiquée par 2, finira toujours par être convergente ; car pour de très grandes valeurs de n^ l'intégrale relative à x^ deviendra une très petite quantité, qui diminuera de plus en plus à mesure que n augmentera, et qui sera tout-à-fait nulle pour 72 =: GO , comme on l'a vu plus haut au moyen de l'intégration par partie. Cette remarque est nécessaire et suffit pour justifier l'emploi, qu'on fera de la formule précédente.
Les différentes formules par lesquelles on peut ainsi représenter en séries de quantités périodiques, toujours convergentes, des portions de fonctions arbi*
Iraires coutiaues ou discontenucs, se déduisent des cHpiatïon.'; (5) , que nous venons d'établir. Je me conteaterai de donner ici deux de ces formules , qui nous seront utiles dans la suite ; pour de plus grands développenoens sur celte matière, je renverrai à mes Mémoires sur le Calcul intégrât, qui font partie du Journal de r École Polytechnique, et où l'on trouvera une théorie complète de ce genre de transformations.
Après avoir ajouté les équations (5) et retranché la première de la seconde, j'y mets al au lieu de n , puis 37 + / ei a^-^-la. la place de x et x'^ et ensuite ^a:et (px'au lieu deçfx-f-/) et ?(x'+ /); les limites des intégrales relatives à af deviennent =1: i, et ces équations sont remplacées par celles-ci :
Partageons chaque somme £ en deux antres , dont l'une se rapporte aux nombres n pairs, et l'antre anx nombres n impairs. Four cela, soit t nn nombre entier quelconque; et faisons successivement n = 31% n =s 31 — I ; aoQS aurons
:' Vo9-
WTt£+/)
