O'COS

. Ç£i-i)« ^,(t»-iW(x+l)

et de même pour les sinus et CQsinus compris sons

les signes A par conséquent , on aura

çx= 7 Sf / f j: sin — j- </jr Jsin -y-

les sommes 2 s^étendant à toutes les valeurs de i, depuis z=i jusqu'à i = oo. Ces équations auront lieu pour toutes les valeurs de a: qui seront comprises entre les limites db l.

Cela posé, si la fonction çjc est telle que Ton ait ^ (— x) = — çx, il en résultera

/' , . / r^ ' '«"^'j ' r^ ' (a'-i)ir*' . V ^xdx'=x)y j çxcos—j-dx=sOy I fxcos^ j- — dxz=zo,

et, en outre,

j (px^ sin -^^ rfx' = 2 1 ^x'sîn -^^ rfr' ,

au moyen de quoi la seconde équation (6) coïncidera avec la formule (a), en y changeant a en Z; et la première se réduira à

^x= ^ 2 (/>^'sin ^^^da^'yn^^^. (7)

Si , au contraire, la fonction (px est telle que l'on ait

^( — a:)r=^x, on aura

6jk>

TRAITÉ DE MÉCAWIQUE.

^x'sin

(ai — l)7rx'

dr':

= o, / Çx'sîn

f~da:'= i

et les autres iolégrales pourront s'étendre seulement depuis jr = o jusqu'à or = i, en doublant les résuitats. La seconde équation (6) rentrera dans l'équation (7), en y mettant / — x au lieu de x, et fx ï la place de q)(l — x)- La première équation (6) deviendra

Ces formules (7) et (8) représenteront les valearsdf fx, depuis j: = o jusqu'à x= t; celles quî s'en déduiront, en les différentiant par rapport h ce , exprimeront, dans le même intervalle, les valeurs

de -^. La formule (7) suppose (px = o pour ar=:o, et -^ = 0 quand x:=l; la formule (8) exige que l'on ait -^—^o pour j;:^oet pour x^ ^ Lorsque ces conditioos ne sont pas remplies, ces formules 00 leurs différentielles n'ont pas lieu pour les râleurs extrêmes de X.

337. Réciproquement, les formules de ce genre font connaître les sommes des nombreuses séries périodiques que l'on a obtenues par différens moyens. Ainsi , par exemple^ pour en déduire la somme de la série dont on a fait usage dans le n* 3^4 w }^~ joute les équations (3) et (3) , après avoir mis — » s à la place de a dans la première; il en résulte

STATIQUE, SECONDE PARTIE. 65i

f'f^ + a2 ( r'/fl C08 n ÔdO) cos net = »/«. Je prends ensuite yd^ 6; on a alors

///9cos»flrfe=^îîi^^:-l;

quantité nulle pour tous les nombres pairs , et égale à — . pour 71 = 31 — i . L'équation précédente devient donc

la somme 2 s'étendant à toutes les valeurs du nombre entier i, depuis i = i jusqu'à f = oo .

En multipliant par «b et intégrant, on en déduit

^8in(2i— i)tf r • .

On n'ajoute pas de constante arbitraire, parce que les deux membres de cette équation sont nuls , soit pour a = o, soit pour a=:7C; en sorte que cette équation a lieu pour toutes les valeurs de a, depuis a=:o jusqu'à a = ^ inclusivement. Si l'on y fait a=:^^ -\' co, on aura

sin (aï — i) a = — ( — i)'cosC2i — i)cû ,

et, par conséquent.

65a TRAITÉ DE MÊCAWÏQUE.

depuis û) = -^ 7T jusqu'à a = ^tt. Je n]a]lîplie par da et j'intègre de nouveau; il en résulte

■ij. ^ ^ a4 3a '

^(—1)' gin (31

ce qu'il s'agissait d'obtenir.

338. Si l'on met na au lieu de a , et ensuite a:^+ a et x-\-a à la place de x et x', dans la seconde équation (5), et qu'oo fasse ^(a + j;):^Fa: , on

pour toutes les valeurs de x comprises entre ±a^ En faisant

ia * ^a *

cette équation pourra s'écrire ainsi :

Yx = -^f' Fx'(ir'+ i^ry Fj?'cosu(a/— j:)"J(;

u étant un multiple de c, et la somme Z s'étendant à toutes les valeurs de u, depuis u =: c jusqu'à u;^co. Or, si la constante a devient infinie, la différence c des valeurs consécutives de u deviendra infiniment petite, et la somme "S. se changera en une intégrale prise depuis u^c, ou u:^o, jusqu'à K = oo. En faisant donc a^=<o et t^du^ mettant le signe / an lieu de Z, et supprimant le premier terme de la formule précédente , nous an-

STATIQUE, SBœNDE PARTIE.

rons

Fx =s ^ r r r Fo/ cos u (x' — œ) ctr'l du.

Fourier a donné le p'remier cette formule importante^ qui s'étend à toutes les valeurs réelles, positives ou négatives , de la variable a: , et convient , comme les. précédentes , dont elle se déduit, à une fonction quelconque Fj:, continue ou discontinue.

654 TRAITÉ DE MÉCAHIQUE.