VA
~ = L v + (A'-AHA''
pour le rapport des intensité* de la pesanteur dans lea deux lieux des observation*. Mais, quelque soin que l'on apporte dans la mesure des quantités que celte formule renferme , ce procédé sera toujours beaucoup moins susceptible d'exactitude que celui qui est fondé sur les expériences du pendule.
branche ouverte du baromètre, et ouvrons en A la branche qui était fermée; la pression atmosphérique s'ajoutent à celle du mercure , l'air contenu dans EC va se comprimer, et, conséquemment, le niveau du mercure s'élèvera dans cette branche et s'abaissera dans l'autre. Ajoutons dans cette autre branche une nouvelle quantité de mercure , de manière que la différence de niveau dans le* deux branches soit encore égal* k A, comme auparavant. Dans cet état , si le mercure s'est élevé de D en D' etde E enE', et que l'on mène par le point E' on plan horixootal qui coupe l'autre branche en F', on aura DT=DF. Au point F 1 , la pression du a mgk; en ajoutant la pression atmo- , qui * lieu au niveau D», on
m ? A-f « . ou Sm^A; par conséquent , la force élostique de l'air contenu dans CE', qui s'exerce sur le niveau E' et qui fait équilibre à cette pression totale, sera double de celle qui avait lieu quand l'air occupait l'espace CE. Or, l'expérience prouve que l'espace CE' est moitié de CE; elle fait voir aussi que si l'on triple la pression par une oddition convenable de mercure, l'espace occupé par l'air est réduit au tiers; et, généralement , on trouve que le volume du fluide varie en raison inverse de la pression qu'il éprouve, ou autrement dit, que la densité croît dans le mémo rapport que la force élastique.
Cette proportionnalité est ce qu'on appelle la loi de Mariette , du nom du physicien qui l'a déduite de l'observation. Elle suppose que le fluide n'éprouve aucune variation de température; en
sorte que, pour l'observer
il faut
donner à l'air contenu dans CE , le temps de perdre l'augmentation de température qu'il acquiert par la compression , et de revenir à sa température primitive. Elle a lieu pour tous les gat, et aussi pour les vapeurs, en supposant la pression moindre que celle qui les réduit en liquides. Enfin , elle subsiste également pour les mélanges de diiTérens fluides; et si, par exemple, deux gax ont la même température et un même volume V , que p soit la force élastique de l'un et p' relie de l'autre , et qu'on les réunisse sous le volume V , la température du mélange sera encore la même , et la force élastique, ou la pression qu'il exerce sur l'unité de surface , deviendra /' + /''•
624. Au moyen de la lot de Hariotte , on peut facilement calculer l'élévation de l'eau dans une pompe , lorsqu'il existe de l'air entre ce liquide et le piston; laquelle élévation serait 10", 4, comme nous l'avons dit précédemment (n° 690), si l'eau était en contact avec le piston.
Poor cela, soient ABCD (fig. 138) la tuyau cylindrique et vertical d'une pompe , plongé dans l'eau jusqu'en EF , et G H la base horisontale du piston. La pression atmosphérique t'exerce sur le niveau extérieur de l'eau, qui est le même que le niveau T. Cette pression , rapportée à l'unité de i, .cru égale à y/, en prenant ladensiléde l'eau pour unité , et désignant par l la hauteur 10°>,4 de la colonne d'eau qui lui ferait équilibre. L'espace contenu entre EF et GII est rempli d'air, dont la force élastique fait équilibre à la pression extérieure, et a aussi gl pour mesure. Dans cet état , j'appelle a la hauteur donnée de GII au-dessus de EF ; je suppose ensuite qu'on élève le pistou jusqu'en G'fl', et je désigne par c la hauteur aussi donnée de G'h" au-dessus de G 11. L'eau s'élèvera , dans l'intérieur de la pompe , jusqu'en E'F', à une bauteur x au-dessus de EF , et s'abaissera en dehors, au niveau d'une section 1,1 de pompe, située à une distance y au-dessous de EF. En Appelant 6 la section horixonlalc de la pompe, et C celle du réservoir dans lequel clic est plongée, on aura
à raison de l'incompressibilité du liquide; cl la question se réduira h déterminer la valeur de *.
Or, l'air qui occupait l'espace EFHG , occupera maintenant l'espace E'F'Il'G'; et celui-ci étant à l'autre comme a -\- > — * est a a, il s'ensuit que la force élastique gl du fluide sera diminuée dans
g la
le rapport inverse , et deviendra
Ce
sera la pression rapportée à l'unité de surface qui aura lieu sur E'F' ; en l'ajoutant à la pression de l'eau comprise entre E'F' et E F, , dont la valeur est g (*4-y), on aura la pression totale exercée sur le niveau intérieur E ( F ( , qui devra faire équilibre à la pression extérieure y/; ce qui exige qu'on ait
la ix + *+ - = /,
en supprimant le facteur commun g, et substituant pour y sa valeur précédente. Cette équation est du second degré, et peut s'écrire ainsi :
x [If + o + c) + clf = 0,
en réduisant, et faisant, pour abréger,
En résolvant cette équation, on trouvera deux valeurs réelles et positives de 0\ mais il est aisé de voir que l'une d'elles sera toujours inadmissible. En cflet , l'élévation x y de l'eau au-dessus du niveau extérieur, ne peut pas surpasser /; à cause
de * + y= -, on a donc x </*"; d'ailleurs, ileat
évident qu'on doit aussi avoir x < a-J-c ; or, la somme des deux racines de l'équation précédente étant fl -f- a -|- c, si l'une est plus petite que a -{-c, l'aulre sera plus grande que fl, ou bien , si l'une est moindre que fl, l'autre surpassera a + c ; par conséquent, l'une des deux racines sera seule admissible, «t l'autre devra être rejetée comme étrangère h la questiou.
Eu vertu de l'équation d'équilibre, la force
élastique
-, de l'air
entre FF' et
G'H', est égale à gl— g (* + y). Il eu résulte sur la base inférieure du piston , une pression dirigée eu sens contraire de la pesanteur, et égale à glb — g (x -f y ) b. La base supérieure de ce corps est poussée en sens contraire par la pression atmosphérique , égale à y/A; la charge que le piston supporte, ou l'excès de cette seconde force sur la première, est donc y (#-f-y)&, c'est-à-dire, le poids de l'eau contenue entre E,F, et ET, et élevée
HYDROSTATIQUE
au-dessus du niveau extérieur; ce qu'on peut regarder, à priori, comme évident.
625. Il nous reate actuellement à considérer la loi de la force élastique de l'air , relativement à M température.
Si l'air et diflërens gai , soumis à une pression constante , et la même pour tous, sont placés dons une enceinte dont la température varie d'il à l'outre, l'observation prouve que tous ces •e dilatent également. En prenant l'un d'eus , l'air par exemple , pour thermomètre , c'est-à-dire, en divisant sa dilatation totale en parties égales , qui marqueront les degrés de la température , il en résulte que les accroissemens de volume de tous ces gaz seront les mêmes pour des augmentations égales de température, et proportionnels à ces augmentations. L'observation prouve aussi que, dans une étendue très considérable, les indications du thermomètre à oir différent très peu de celles du thermomètre à mercure; en sorte que, dmis cette étendue, la dilatation d'un gai quelconque est proportionnelle à son accroissement de température, indiquée pHr les degrés du thermomètre ordinaire. Enfin, de zéro à 1U0", c'est-à-dire , de la température de la glace fondante à celle de l'eau bouillante, H. Gav-Lussuc a trouvé que le volume de Pair soumis a une pression constante, et, par conséquent, celui d'un gai quelconque, augmentent dans le rapport de l'unité à 1,375; ce qui donne une dilatation de 0,U0375 , pour chaque degré du thermomètre centigrade.
D'après cela, soient V le volume d'un gat quelconque, à la température xéro, «r su force élastique, et D sa densité. La pression m , rapportée à l'unité de surface, restaut la même, et le nombre de degrés de la température devenant 6, désignons par V et D' ce que deviendront le volume et la densité du gax ; nous aurons
« = 0,00376; et comme la densité varie en raison inverse du vo-
lume, nous aurons aussi
Maintenant , supposons qu'on fasse varier la pression sans changer la température ». Soient y et f ce que deviennent simultanément la pression et la densité, qui étaient m et D' ; d'après la loi de Mariolte,
et en mettant pour D' sa valeur précédente, et f.ii-
ile
pour l'expression de la force élastique d'un gax quelconque en fonction de sa densité et de sa température.
626. Cette formule convient aux gax, aux vapeurs, et à leurs mélunges. la température I étant indiquée par le termornètre à mercure , elle a lieu pour les valeurs négatives de I, jusqu'à environ — 36", ou un peu moindres que la température de la congélation de ce fluide. Elle a aussi été vérifiée pour des températures qui surpassaient beaucoup 100°; et la différence entre les lois de dilatation de l'air et du mercure, ne commence à devenir un peu considérable que quand x s'élève à environ 300» *.
Le coefficient k est différent pour les difTérens fluides. Relativement à l'air atmosphérique, MM. Biot et Arago ont trouvé, à l'Observatoire de Paria,
pour le rapport de la densité du mercure à celle du l'air, sous la pression barométrique de U ",76, et à la température xero (n° 01). Eu faisant donc, en même temps,
• = mGA, = 0«,76,
la voleur de k sera
et, dans cette valeur, il faudra prendre pour G la
gravité au lieu où le rappport — a été déterminé ,
c'est-à-dire, à la latitude de Paris, pour laquelle on a
Le coefficient de G se rapporte à l'air parfaitement sec; si l'air était humide, sa densité serait moindre, sous la même pression et à la même température, et la valeur de k varierait en raison irverse de cette densité. Sous la pression barométrique de 0 m ,76, et à la température xéro, soit, p»r exemple, i le rapport rie la densité de l'air au i mum d'humidité, à la densité de l'air parfait sec; on aura, comme on le verra plus loin,
' = 5vi + Ti TvT«= M»*»;
par conséquent, en divisant la valeur précédente de * par cette valeur de /, on aura la valeur de * qui répond au maximum d'humidité de l'air, savoir :
• f ej n , »r ce poi.,1, le Mémoire de MM. PctU et Dulonp,
627. Maintenant, nous formeront tant difficulté les différentes équations d'équilibre d'uno colonne atmosphérique. Supposons que cette colonne soit cylindrique et verticale, et qu'elle ait sa base à ta surface de la terre et «'étende jusqu'à la limite de l'atmosphère. Soit A l'aire de sa section horizontale. Divisons cette colonne en couches horizontales inainces, et supposons la surface A asses , étendue pour que la densité et la température > varient pas sensiblement d'un point à un autre d'une couche quelconque. Appelons p, p , I, la force élastique de Pair, sa densité et sa température, qui ont lieu à la distance s de la surface de la terre. Soit aussi y' la gravité a cette même distance; Ay'frfs sera le poids de la couche dont l'épaisseur est 4s, et dont les deux faces répondent a s et s — ds . La pression qu'elle éprouve sur sa face supérieure sera Aj»; celle qui aura lieu sur ta face inférieure
aura pour expression A ^p — — d*^ .Hais en passant de la première a la seconde face, la pression doit augmenter du poids Kg'fdz, il faudra donc qu'on ait
ou simplement
djp = -o' f d»; (3)
ce qui coïncide avec l'équation qu'on déduira de la formule (3) du n» 684, en y faisant
En éliminant f au moyen de l'équation (2), il
*P y'ds
Si l'on appelle r le rayon de la terre et y la pcsan-
pour les expressions de la force élastique et de la densité de l'air, depuis la surface du globe jusqu'à la hauteur où ce fluide a perdu par le froid toute son élasticité.
D'après ce qu'on a dit dans le n° 620, le poids de la colonne atmosphérique qui a pour base l'unité de surface , doit être équivalent à la pression • relative au point le plus bas; et, en effet, ce poids
est donné par l'intégraley 0 " fy'ds, dont la valeur
est «, d'après les expressions de p et de y'. 628. La force motrice d'un ballon qui s'élève ver-
teur à sa
à la hauteur s, en négligeant la variation de la force centrifuge, ainsi que l'action de la masse d'air comprise entre les deux surfaces sphériqnes et concentriques dont les rayons sont r et r + s , laquelle action n'entre pas dans la valeur de y, et devrait s'ajouter a celle de y* (n* 101). Nous aurons , de cette manière,
♦ yr« ds
intégrer cette formule , il faudrait encore connaître l'expression de I en fonction de m ; mais la loi des températures étant inconnue , on est obligé de considérer I comme une constante; et l'on prend dans chaque cas, pour sa valeur, la moyenne des températures qui répondent aux points extrêmes de la colonne d'air à laquelle on applique cette équation. Son intégrale est alors
log p =-
C étant la constante arbitraire. En la pression atmosphérique qui a lieu a la terre, on aura k la fois
= 0, P = "y «og • =
et il en résultera, à une hauteur quelconque s audessus de celte surface,
En vertu de cette équation et de la formule (2) , et en désignant par a la base < riens, on aura maintenant
— yrs
' dt* ~ A(i + .î Mf ^.*
ticalemenl dans l'atmosphère, est l'excès du , de l'air qu'il déplace à chaque instant, sur son propre poids. En appelant y. sa masse et V son volume, cette force sera donc V f y' — /uy', à la hauteur s audessus de la terre ; par conséquent, on aura
pour l'équation différentielle du mouvement vertical de ce corps, au bout du temps quelconque t. Si l'on appelle c sa densité moyenne, de sorte qu'on ait m = cV, et qu'on substitue pour p et y' leurs valeurs précédentes, cette équation deviendra
- yrs
*(. +.») (r + .) C JH
HYDROSTATIQUE
C la constante arbitraire, il Tient
par
dt»
Si Ton suppose que le mobile toit parti de la surface de la terre avec une vitesse nulle, on aura d%
à la fois z, =0 et — = 0 ; il faudra donc qu'on ait dt
C = I* — 2cgr ; et il en résultera
d** dt»
pour le carré de la vitesse k une hauteur quelconque. En résolvant cette équation par rapport k dt,
turcs, le temps que le k une hauteur donnée.
nera la hauteur à laquelle le mobile en équilibre, a'il y parvenait ian« v
et de même l'équation^- = 0, fera
plus grande hauteur à laquelle le ballon s'élèverait dans l'atmosphère, en supposant que sa masse et son volume ne varient pas. La première de ces deux hauteurs s'exprimera au moyen d'un logarithme; la seconde dépendra d'une équation transcendante, et ne pourra se calculer que par approximation.
629. Proposons-nous maintenant d'appliquer l'équation (4) k la mesure des hauteurs verticales.
Soient h et h' les hauteurs du mercure dans le baromètre, à la station inférieure et à la station supérieure; T et T' les températures correspondantes du mercure; I et t' celtes de l'air, qui seront différentes de T et T' , lorsque le mercure du baromètre n'aura pas eu le temps de se mettre, pendant les observations, en équilibre de température avec l'air environnant. Si m est la densité du mercure à
la station inférieure,(l + «era sa den-
sité h la station supérieure, parce que la densité de
ce fluide augmente de — — pour chaque deeré de
diminution dans la température. Pour plus de sim S, nous comprendrons le facteur 1
qui sera alors la hauteur observée, multipliée par cette quantité, et nous supposerons ensuite que s» soit la densité du mercure aux deux stations. De cette manière, nous aurons
* = p = mj'V
mgr* h'
au moyen de quoi l'équation (4) deviendra
grm
*(l+.l)(r + s)- (6) Ainsi qu'on l'a dit plus haut , il faudra prendre r P + 0 P° ur l« o« * est 0,00375 pour
l'air sec, aussi bien que pour celui qui renferme la vapeur d'eau en quantité constante, et dans une proportion quelconque. Hais il faut observer que , quand la température s'élève, la quautité de vapeur augmente , en général , dana l'atmosphère ; et comme la densité de la vapeur serait k celle de l'air comme 10 est à 16 , sous la pression ordinaire 0», 76, il a'ensuit que la densité de l'air libre, dont la température augmente, doit diminuer dans un plus grand rapport que celui qui répond au coefficient 0,00376. Pour tenir compte , autant qu'il est possible , de la quantité de vapeur qui se trouve dans l'atmosphère, nous augmenterons donc le coefficient • ; et pour la commodité du calcul , nous le ferons égal à 0,004 ; en sorte que nous aurons
Les logarithmes qui entrent dans le premier membre de l'équation précédente, sont népériens ; pour les convertir en logarithmes ordinaires, je multiplie cette équation par le module de ceux-ci, que j'appelle M, et dont la valeur est
La gravité g que renferme son second unu , est celle qui répond k la station inférieure et à la latitude du lieu de l'observation. En désignant cet angle par4 , et comparant la gravité g à celle qui entre dans les valeurs de A du u t à la latitude de Paris , on aura
(1 — 0,002688 cos 24) G 1 — 0,002688 cos S (48« W 14")'
D'ailleurs , les coefficiens de G dans ces deux valeurs de k répondant , l'un k l'extrême sécheresse de l'air, et l'autre à son extrême humidité, on peut prendre la demi-somme de ces deux quantités, ou 7961 m , 10, pour le coefficient qui convient k l'état ordinaire de l'atmosphère. On aura alors
— [1 — 0,002588 cos 2 (48» 60' 14")] = (18337»,46) G;
et, an moyen de celte valeur, jointe à celle de f , on tirera de l'équation (6)
1 — 0,002688 cos ?4 L *' (
formule dan» laquelle le» logarithmes «ont actuellement ceux qui ont ponr base le nombre 10.
Pour faire usage de cette équation, on négligera
d'abord la fraction — contenue dans son second r
membre; ce qui fera connaître une première râleur approchée de » : en la substituant dans ce second membre , on obtiendra une seconde valeur de *, plus approchée que la première, et à laquelle on pourra toujours s'arrêter.
En remplaçant le nombre 18337,46 par un coefficient inconnu a dans cette équation, et déterminant a d'après la moyenne d'un grand nombre de hauteurs », mesurées trigonométriquemcnt, on
ce qui diffère très peu du coefficient 18337,46 , que nous avons calculé directement.
630. Si l'on veut employer la formule (6) a déterminer l'élévation d'un lieu de la terre, au-dessus do niveau de la mer , on supposera que T', f', **, se rapportent à ce lieu , et T , t , h, au bord de la mer qui en est le moins éloigné; et, pour plus d'exactitude , on devra prendre pour 4 une latitude moyenne entre celles de ces deux points. D'après la remarque du n» 255, il faudra aussi •voir égard, dans l'expression de la pesanteur g', à l'octionde la couche delà terre dont la hauteur est s ; en supposant sa densité égale à la moitié de la densité moyenne de la terre, on a alors
et , a cause de la petitesse de la fonction — , on
trouvera qu'en faisant usage de cette pesanteur
g>, la quantité H ,
devra être remplacée par 1 -f- — •
Four donner un exemple du calcul de cette formule , ainsi modifiée, je prends celui qui est cité dans V Annuaire du Bureau des Longitudes, et qui se rapporte à la bauteur de du niveau de la mer.
Les données de cet exemple sont :
h sa 0"»,76315 , T = t = 26» 3 ,
La bauteur V, corrigée et multipliée par le facteur t x*
