Prenons actuellement

i* = d,*, ty = djf, — <*>;

de manière que les déplacemens des points du système que suppose l'équation (a), soient leurs déplacemens relatifs. Désignons par djp, d t u, dx, les projections des déplacemens relatifs des points où sont oppliquées les forces P, D, F, sur leurs directions. Les valeurs de tp, tu, d», qui répondent à celles de /x, ty, ts, que nous employons, seront dp, d>, d>. De plus, les autres parties dfx, d'y, d"s, des différentielles totales dx, dy, ds, n'influant pas, psr hypothèse, sur les distances mutuelles des points du système, Sr se changera dans la différentielle dr , comme dans le numéro précédent. L'équation {h) deviendra donc

as 2Pd,p ± 2Hdr + TmVd,u — ïmfds.

Si l'on appelle r, la vitesse relative du point m, dx d t y d s

dont les

dt dt dt

et, en différentiant,

I dd,x ddy dd,z

- d °' t =- d T d >*+-dtr d *+dir d >>-

Eu vertu des équations (/), ou aura donc

1 du 1 dv' dw'

= aJ.r.+ -4,. + -d,y + -dz.

3 dt dt dt

D'ailleurs, si l'on met dx, d,y, e>, d«u* iciprea-

•ion de A»dun«Wl,

TRAITÉ DE MÉCANIQUE, avoir celle de du , on

dL dL

<Z ' dy ' dz quantité nulle, en vertu de l'équation (y). Au moyen

de ces valeur», l'équation (*} prendra la forme 1 .du' oV oV

2 W< A dl /

= 2td lP ±ïKdr — 2*Yd i » i

et, en intégrant, il en résultera

(' du' dr* du/ N

-<*,*+- d,y + - d,s) di d/ dt '

k, étant le valeur initiale de v' , et les intégrales commençant à l'origine du mouvement.

694. Cette équation (/) fera connaître l'accroissement, pendant le temps t , de la demi-somme des forces vives, dues aux vitesses relatives de tous les points du système.

En faisant directement dans la formule générale , l'hypothèse qui nous a conduits à l'équa-

! d . wir.'

tion (/), c'est-à-dire, en y mettant d/r, d,y, d,j, au lieu de As*, Jy, ts, on aura

(a* x du d* s \

ou bien, d'après ce qui précède,

la somme 2 du second membre s'étendant à toutes les forces provenant des résistances normales des surfaces fixes ou mobiles , quo les valeurs prises pour te, /y, Xs, ont la propriété de faire disparaître. Or, si l'on appelle H la force dont les trois

du\

dr'.

et d,h la projection du

dit-', dt

relatif de son

du*

+ m(z--)d ( s = ±Hd/i,

selon que cette projection d.h tombera sur la direction même de la force H, ou sur son prolongement. Donc en conservant H et dh dans le premier cas, et employant L et d,/ dans le second , on en conclura

7 ïmr,' - f ïmk* =fïHd,h -fïldl,

la somme 2Dd,k s'étendant à toutes les forces mouvantes du système , et la somme 2Ld/ à toutes le» forces résistantes.

Cette dernière équation n'est autre chose que l'équation (/) présentée sous une forme différente. En la comparant à l'équation (d), on voit que le principe des forces vives a encore lieu à l'égard des vitesses relatives des points du système, telles qu'elles ont été défioies dans le n° 690, pourvu que l'on remplace les forces données P et Q, par d'autres forces H et L qui dépendent des premières et du mouvement commun du système.

Ce théorème est dû à M. Coriolis. Il peut être employé utilement dans beaucoup de questions étrangères à ce traité de Mécanique rationnelle, et pour lesquelles nous renverrons au mémoire de l'auteur tarit principe des forces vives dans tee mouvement relatifs de» machinée *.

695. Le terme j^WJr, qui provient de» forces moléculaires, est le même dans les deux équations (s) et (/); le plus souvent, le terme qui répond aux frottemens est aussi le même dans le mouvement absolu et dans le mouvement relatif du système, et ne change pas, par conséquent, en passant d'une équatiou à l'autre ; alors, en retranchai de ces équations de la première, on aura

L 1m ( t- — V ) - Tm (*• - V ) = Mf - dj> Au' de' dw' x

Si le» force» Pse réduisent aux poids de» différen- 1 tre de gravité pendant le temps t, dent te mouvetes parties du système ; que l'on appelle 17 le poids I

total, et ? la hauteur verticale que décrit son cen- I • w«- * rÈw. FW^ns»*}*, ». «kitr.

ADDITION

ment commun à tous ses points, il est aisé de voir que Ton aura

/2P(4p - a» = ne.

De plus, s'il n'y a qu'une seule surface résistante, et que ce soit, par exemple, un plan qui se meut parallèlement à lui-même, on pourra prendre, pour

donné de ce plan, car il satisfait aux deux conditions du «° 690 : il ne changera pas les distances mutuelles des points du système, et il n'empêchera pas les points qui sont en contact avec ce plan mobile, de demeurer à sa surface. D'ailleurs, il est évident que ce mouvement étant perpendiculaire au plan mobile, il n'influera aucunement sur les vitesses relatives des points qui glissent sur ce plan, non plus que sur les trajectoires qu'ils y décrivent ; d'où il résulte que le travail résistant dû au frottement contre ce plan, sera le même dans le mouvement absolu et dans le mouvement relatif, i pose l'équation (m).

Pour simplifier encore cette équation, je que le mouvement du plan résistant soit uniforme ; en sorte que tous ses points décrivent des perpenà sa position initiale, avec une vitesse

commune, qui sera rendue, par un moyen quelconque, invariable et indépendante de l'action du système sur ce plan. Ses composantes u\ r', seront constantes, et l'on aura

du

de'

dw'

^dt dt dt '

En désignant cette vitesse par a, et par a l'angle que sa direction fait aveo celle de la pesanteur, ou aura aussi

{' = at cos a.

Soit , en outre, Q la pression exercée au bout du temps t, sur la surface entière du plan donné, et dans le sens de la vitesse a. Le travail résistant qui répond à cette force prise en sens contraire de sa direction, c'est-à-dire) h la résistance du plan, sera — /Qodr, pendant la durée du temps r, en supposant que l'intégrale s'évanouisse avec cette variable. En faisant passer le facteur a en dehors du signe /, nous aurons donc

fluXdu — — a/tyf/,

pour la valeur du dernier terme dol'équation (m), laquelle deviendra

i 2m ( la - V ) L 2« (*» - v ) + n 0 r cos - = ofqdt.

La vitesse r, est la résultante de t> et de la vitesse a prise en sens contraire de sa direction ; si donc, on représente par «, l'angle que fait la direction de La vitesse v avec celle de a, on aura

v* = v* — 2av cos • -\- a ' ,

•t si l'on désigne par i la valeur initiale de *, on

*V = A» - 8aA cos i + n> ; d'où il résulte

-~ 2m(A« — A,» ) = sîmt cos*— 1 a» 2m,

± 2m ( e» - v J = a 2me cos . - 1 a* 2m ;

ce qui change l'équation (») en celle-ci,

2mA cos t — 2mc cos » + n# cos m =f^dt , (o) après qu'on a supprimé le facteur a commun à tous

Les sommes 2mA cos * et 2mt> cos t expriment, au commencement et à la fin du temps I, les quantités de mouvement de tous les points du système , dans le sens perpendiculaire au plan donné ; le produit lit cos » est la quantité de mouvement produite suivant la même direction par le poids 17 du système, pendant la durée du temps t ; et l'intégrale ypd/est la quantité de mouvement détruite pendant ce temps par la résistance du plan donné. Or, il est évident que cette dernière quantité doit être égale à. l'excès de la première somme sur la seconde, aug-

menté de la quantité Ur cos »; en sorte que I équation précédente , qui exprime cette égalité peut être regardée comme une vérification de notre analyse.

696. Lorsque la vitesse A de chaque point du système se changera brusquement dans la vitesse r, l'action du système sur le plan donné sera une percussion : pendant sa durée très courte , on pourra négliger l'effet lit cos m de la pesanteur; et la quantité de mouvement détruite par le plan sera l'excès de 2mA cos t sur 2mo cos *.

Si le système est un corps solide situé au-dessus du plan, et qui demeure juxta-posé à sa surface après le choc, la composante v cos • de la vitesse v sera la même, à cet instant, pour tous les points du corps, et égale à la constante a; en difTérentiant l'équation (•) par rapport à I, on aura donc

II cos a = Q ;

et, en effet, la vitesse du plan étant invariable, par hypothèse^ il faut que sa résistance détruise incessamment les accélérations do la gravité , qui auraient lieu perpendiculairement à sa surface; il faut donc que cette force soit égale et contraire à la composante du poids II suivant cette direction, et que la pression Q soit égule à cette composante.

On peut remarquer que, quand l'angle * est obtus, la valeur précédente de Q a le signe — . Hais on a supposé plus haut que la pression exercée sur ce plan était dirigée dans le sens de la vitesse a; et, si le contraire avait lieu il faudrait changer le signe de Q dans toutes les équations précédentes. Or, la

pretsion Q t'exerce effectivement en sens contraire de la vitesse a, lorsque l'angle « est obtus; la valeur de Q est donc alors — 17 coa », ou, autrement dit, cette valeur est tonjours II cos abstraction faite

du signe.

697. L'équation (o) évidente en elle-même , peut servir a déterminer la pression d'une veine fluide en mouvement sur un plan AB(fig. 142), animé de la vitesse a perpendiculaire à ce plan, et dont la direction fait, avec celle de la pesanteur, un an^le «.

Pour fixer les idées, supposons que le liquide sorte d'un vase par un orifice horitontal, et qu'il forme, au-dessous de la contraction de la veine (n<> 677), un cylindre vertical dont tous les points ont une vitesse commune et verticale, que nous désignerons par y. Supposons aussi que le niveau du liquide soit entretenu à une hauteur constante dans le vase; ce qui rendra la vitesse y indépendante du temps.

Jusqu'à une section horitontalc CD, faite à une petite distance au-dessus du plan AB, la veine conservera sa forme cylindrique et sa vitesse y\ elle s'étendra ensuite sur ce plan, et finira par le déborder. Au bout d'un certain temps, le fluide parviendra à un état permanent dans lequel la vitesse de chaque molécule ne dépendra plus que du lieu qu'elle occupe, et où la pression en un point quelconque du plan AB sera aussi indépendante du temps. C'est dans cet étal qu'il s'agira de déterminer la pression totale Q, exercée sur la surface entière du plan.

La partie de cette pression due au poids du liquide, sera la composante de ce poids, perpendiculaire au plan AB, défalcation faite de la partie de ce même poids, qui est soutenue par les parois du vase d'où le liquide s'écoule. Comme il sera toujours facile d'y avoir égard, dons chaque cas particulier, nous en ferons abstraction, et nous ferons, en conséquence, n — 0, dans l'équation (o). Il est évident, qu'on pourra aussi, dans les sommes ïmk cos ; et Imv cos t , ne pat tenir compte de» molécules du liquidesituées au-dessus de CD, puisqu'elles conservent toujours la même vitesse, ce qui fait disparaître la différence de ces deux sommes. Enfin si le diamètre de la veine fluide «t très petit, l'épaisseur de la couche liquide sera aussi très petite, à une petite distance autour de l'axe de la veine. A cette distance, les vitesses relatives des points de la couche seront sensiblement parallèles au plan AB, duns toute l'épaisseur de la couche, ou, co qui est la même chose, leurs composantes perpendiculaires à ce plan seront égales à a. De plus, cette partie du fluide comprise entre AB et CD sera beaucoup plus considérable que la partie voisine de l'axe de la veine, si la surface du plan AB est très grande par rapport à la section CD ; on pourra dune alors prendre a, sans erreur sensible, pour lu composante v cos i de la vitesse v de chaque point du fluide contenu entre AB et CD.

Cela posé, soit CD' une autre section de la veine

fluide, faite au-dessus de CD, et telle que le volume compris entre CD et CD* soit équivalent au volume de fluide compris entre AB et CD. Appelons » le temps que le premier volume du liquide emploie à traverser la section CD et à se changer dans le second volume. Supposons que les sommes Zmk cob i et Zm» cos i, de l'équation (o), étendues à tous les points du second volume , se rapportent au commencement et à la fin du temps t. Au commencement, tous ces points étaieut situés au-dessus de CD, et avaient, conséquemment, une vitesse y, faisant un angle a avec la vitesse a ; pour un point quelconque m, on a donc

k = y, l == », k cos t — y cos av.

A la fin du temps I, on a, comme on vient de le dire,

• cos a as a,

pour un point quelconque m du liquide contenu entre AB et CD. Si donc on appelle la masse de ce liquide, il en résultera

2m* cos t — 2m» cos • = f [y cos « — o).

D'ailleurs, la pression Q étant constante, l'intégrale /Qdf est égale au produit Ql, pour la durée du temps » ; d'après l'intégrale (o), nous aurons donc

(a [y cos « — o) sa Qt.

Soit» le nombre de fois que le temps 4 est contenu dans un temps t quelconque ; n/* sera la masse du liquide qui traversera la section CD pendant le temps t. Mais cette masse sera aussi fCyt, en appelant f la densité du liquide, c l'aire de la section CD, et observant que y est la vitesse constante de l'écoulement à travers celte section; on aura , par conséquent,

si Ton multiplie l'équation précédente par ta , que l'on y substitue cette valeur denp, et qu'on supprime ensuite le facteur /, commun à tous ses termes, on a finalement

Q = ,cy (y cos ai — a),

pour la valeur de la pression qu'on se proposait de

déterminer.

On devra se rappeler que cette formule suppose l'angle «aigu; quand il sera obtus, il faudra, comme on l'a dit plus haut, changer le signe de Q ; en sorte que l'on aura alors

Q = P*> (> co » • + •)•

Ces deux expressions de Q supposent aussi que le plan AB est entièrement recouvert par la veine fluide épanouie sur sa surface; ce qui exige que* ne soit pas un angle droit, et, qu'en général, il s'é-

plan est vertical, on a »=0, ou •= 180°, et, con- la vitesse due à la hauteur *, et g la gravité, on

le signe supérieur ayant I ieu lorsque le plan se meut dans le sens de la pesanteur, et le signe inférieur dans le cas contraire. Si Ton a o = 0, et que y soit

Q = 2 Jf ck;

en sorte que la pression Q sera, dans ce cas, le poids d'une portion de la veine cylindrique égale en Ion-